高考文科数学第一轮复习选修45不等式选讲课时跟踪训练62 4页

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课时跟踪训练(六十二)‎ ‎[基础巩固]‎ ‎1．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－2|.‎ ‎(1)求不等式f(x)≥1的解集；‎ ‎(2)若不等式f(x)≥x2－x＋m的解集非空，求m的取值范围．‎ ‎[解]　(1)f(x)＝ 当x<－1时，f(x)≥1无解；‎ 当－1≤x≤2时，f(x)≥1得，2x－1≥1，解得1≤x≤2；‎ 当x>2时，由f(x)≥1解得x>2.‎ 所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}．‎ ‎(2)由f(x)≥x2－x＋m得m≤|x＋1|－|x－2|－x2＋x.‎ 而|x＋1|－|x－2|－x2＋x≤|x|＋1＋|x|－2－x2＋|x|＝－2＋≤，‎ 且当x＝时，|x＋1|－|x－2|－x2＋x≤.‎ 故m的取值范围为.‎ ‎2．(2017·甘肃兰州模拟)设函数f(x)＝|x－1|＋|x－a|(a∈R)．‎ ‎(1)当a＝4时，求不等式f(x)≥5的解集；‎ ‎(2)若f(x)≥4对x∈R恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎[解]　(1)当a＝4时，|x－1|＋|x－a|≥5等价为或或解得x≤0或x≥5.‎ 所以不等式f(x)≥5的解集为{x|x≤0或x≥5}．‎ ‎(2)因为f(x)＝|x－1|＋|x－a|≥|(x－1)－(x－a)|＝|a－1|，所以f(x)min＝|a－1|.要使f(x)≥4对x∈R恒成立，则需|a－1|≥4.所以a≤－3或a≥5，即实数a的取值范围是{a|a≤－3或a≥5}．‎ ‎3．(2017·东北三省四市高三二模)已知a>0，b>0，函数f(x)＝|x＋a|＋|2x－b|的最小值为1.‎ ‎(1)证明：2a＋b＝2；‎ ‎(2)若a＋2b≥tab恒成立，求实数t的最大值．‎ ‎[解]　(1)因为－a<，所以f(x)＝|x＋a|＋|2x－b|＝显然f(x)在上单调递减，在上单调递增，所以f(x)的最小值为f＝a＋，所以a＋＝1，即2a＋b＝2.‎ ‎(2)因为a＋2b≥tab恒成立，所以≥t恒成立，‎ ＝＋＝(2a＋b)＝≥＝.‎ 当且仅当a＝b＝时，取得最小值，‎ 所以t≤，即实数t的最大值为.‎ ‎4．(2017·湖南五市十校高三联考)已知函数f(x)＝|x－a|＋|x－3|(a<3)．‎ ‎(1)若不等式f(x)≥4的解集为，求a的值；‎ ‎(2)若对∀x∈R，f(x)＋|x－3|≥1，求实数a的取值范围．‎ ‎[解]　(1)解法一：由已知得f(x)＝ 当x3时，2x－a－3≥4，得x≥.‎ 已知f(x)≥4的解集为，则显然a＝2.‎ 解法二：由已知易得f(x)＝|x－a|＋|x－3|的图象关于直线x＝对称，‎ 又f(x)≥4的解集为，则＋＝a＋3，即a＝2.‎ ‎(2)解法一：不等式f(x)＋|x－3|≥1恒成立，即|x－a|＋2|x－3|≥1恒成立．‎ 当x≤a时，－3x＋a＋5≥0恒成立，得－3a＋a＋5≥0，解得a≤；‎ 当a1，a>，即a的取值范围为.‎ ‎[能力提升]‎ ‎6．(2017·广西桂林市、百色市、崇左市一联)设函数f(x)＝|x＋1|.‎ ‎(1)求不等式f(x)<2x的解集；‎ ‎(2)若2f(x)＋|x－a|>8对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎[解]　(1)由f(x)<2x得|x＋1|<2x，‎ 则－2x1，∴不等式f(x)<2x的解集为(1，＋∞)．‎ ‎(2)∵f(x)＋|x－a|＝|x＋1|＋|x－a|≥|x＋1－x＋a|＝|a＋1|，‎ 又2f(x)＋|x－a|>8＝23对任意x∈R恒成立，即f(x)＋|x－a|>3对任意x∈R恒成立，‎ ‎∴|a＋1|>3，解得a<－4或a>2，‎ ‎∴实数a的取值范围是(－∞，－4)∪(2，＋∞)．‎ ‎7．(2017·安徽安师大附中、马鞍山二中高三阶段性测试)已知函数f(x)＝|x－2|.‎ ‎(1)解不等式：f(x)＋f(x＋1)≤2；‎ ‎(2)若a<0，求证：f(ax)－af(x)≥f(2a)．‎ ‎[解]　(1)由题意，得f(x)＋f(x＋1)＝|x－1|＋|x－2|.‎ 因此只要解不等式|x－1|＋|x－2|≤2.‎ 当x≤1时，原不等式等价于－2x＋3≤2，即≤x≤1；‎ 当12时，原不等式等价于2x－3≤2，即20，‎ 所以|1－4ab|2>4|a－b|2，‎ 故|1－4ab|>2|a－b|.‎ ‎9．(2015·福建卷)已知a>0，b>0，c>0，函数f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c的最小值为4.‎ ‎(1)求a＋b＋c的值；‎ ‎(2)求a2＋b2＋c2的最小值．‎ ‎[解]　(1)因为f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c≥|(x＋a)－(x－b)|＋c＝|a＋b|＋c，‎ 当且仅当－a≤x≤b时，等号成立．‎ 又a>0，b>0，所以|a＋b|＝a＋b，‎ 所以f(x)的最小值为a＋b＋c.‎ 又已知f(x)的最小值为4，‎ 所以a＋b＋c＝4.‎ ‎(2)由(1)知a＋b＋c＝4，由柯西不等式得 (4＋9＋1)≥‎ 2＝(a＋b＋c)2＝16，‎ 即a2＋b2＋c2≥.‎ 当且仅当＝＝，‎ 即a＝，b＝，c＝时等号成立．‎ 故a2＋b2＋c2的最小值为.‎