三角函数和解三角形高考模拟考试题精选含详细答案解析 25页

三角函数与解三角形高考试题精选 ‎　‎ 一．解答题（共31小题）‎ ‎1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）=+．‎ ‎（Ⅰ）证明：a+b=2c；‎ ‎（Ⅱ）求cosC的最小值．‎ ‎2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知asinA=4bsinB，ac=（a2﹣b2﹣c2）．‎ ‎（Ⅰ）求cosA的值；‎ ‎（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值．‎ ‎3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．‎ ‎（Ⅰ）求C；‎ ‎（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．‎ ‎4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA=，sinB=C．‎ ‎（1）求tanC的值；‎ ‎（2）若a=，求△ABC的面积．‎ ‎5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．‎ ‎（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC；‎ ‎（Ⅱ）若b2+c2﹣a2=bc，求tanB．‎ ‎6．在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．‎ ‎（1）求BC的长；‎ ‎（2）求sin2C的值．‎ ‎7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△‎ ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣．‎ ‎（Ⅰ）求a和sinC的值；‎ ‎（Ⅱ）求cos（2A+）的值．‎ ‎8．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行．‎ ‎（Ⅰ）求A；‎ ‎（Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面积．‎ ‎9．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且b=3，c=1，△ABC的面积为，求cosA与a的值．‎ ‎10．如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=，EA=2，∠ADC=，∠BEC=．‎ ‎（Ⅰ）求sin∠CED的值；‎ ‎（Ⅱ）求BE的长．‎ ‎11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB．‎ ‎（Ⅰ）证明：A=2B；‎ ‎（Ⅱ）若△ABC的面积S=，求角A的大小．‎ ‎12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．‎ ‎（1）求tanC的值；‎ ‎（2）若△ABC的面积为3，求b的值．‎ ‎13．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a+b+c=8．‎ ‎（Ⅰ）若a=2，b=，求cosC的值；‎ ‎（Ⅱ）若sinAcos2+sinBcos2=2sinC，且△ABC的面积S=‎ sinC，求a和b的值．‎ ‎14．△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．‎ ‎（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；‎ ‎（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值．‎ ‎15．△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c．‎ ‎（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；‎ ‎（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，且c=2a，求cosB的值．‎ ‎16．四边形ABCD的内角A与C互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2．‎ ‎（1）求C和BD；‎ ‎（2）求四边形ABCD的面积．‎ ‎17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）=8sin2．‎ ‎（1）求cosB；‎ ‎（2）若a+c=6，△ABC的面积为2，求b．‎ ‎18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB．‎ ‎（1）证明：A=2B；‎ ‎（2）若cosB=，求cosC的值．‎ ‎19．设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．‎ ‎（Ⅰ）证明：B﹣A=；‎ ‎（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．‎ ‎20．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosB=，sin（A+B）=，ac=2，求sinA和c的值．‎ ‎21．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA．‎ ‎（Ⅰ）证明：sinB=cosA；‎ ‎（Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C．‎ ‎22．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．‎ ‎23．已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．‎ ‎（Ⅰ）若a=b，求cosB；‎ ‎（Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积．‎ ‎24．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC ‎（Ⅰ） 求．‎ ‎（Ⅱ） 若∠BAC=60°，求∠B．‎ ‎25．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c=b，sinB=sinC，‎ ‎（Ⅰ）求cosA的值；‎ ‎（Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．‎ ‎26．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+．‎ ‎（Ⅰ）求b的值；‎ ‎（Ⅱ）求△ABC的面积．‎ ‎27．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．‎ ‎（1）若sin（A+）=2cosA，求A的值．‎ ‎（2）若cosA=，b=3c，求sinC的值．‎ ‎28．在△ABC中，角A，B，C的对边是a，b，c，已知3acosA=ccosB+bcosC ‎（1）求cosA的值 ‎（2）若a=1，cosB+cosC=，求边c的值．‎ ‎29．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=a•cosB．‎ ‎（1）求角B的大小；‎ ‎（2）若b=3，sinC=2sinA，分别求a和c的值．‎ ‎30．在△ABC中，a=3，b=2，∠B=2∠A．‎ ‎（Ⅰ）求cosA的值；‎ ‎（Ⅱ）求c的值．‎ ‎　‎ 三角函数与解三角形高考试题精选 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．解答题（共31小题）‎ ‎1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）=+．‎ ‎（Ⅰ）证明：a+b=2c；‎ ‎（Ⅱ）求cosC的最小值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）证明：由得：‎ ‎；‎ ‎∴两边同乘以cosAcosB得，2（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+sinB；‎ ‎∴2sin（A+B）=sinA+sinB；‎ 即sinA+sinB=2sinC（1）；‎ 根据正弦定理，；‎ ‎∴，带入（1）得：；‎ ‎∴a+b=2c；‎ ‎（Ⅱ）a+b=2c；‎ ‎∴（a+b）2=a2+b2+2ab=4c2；‎ ‎∴a2+b2=4c2﹣2ab，且4c2≥4ab，当且仅当a=b时取等号；‎ 又a，b＞0；‎ ‎∴；‎ ‎∴由余弦定理，=；‎ ‎∴cosC的最小值为．‎ ‎　‎ ‎2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知asinA=4bsinB，ac=‎ ‎（a2﹣b2﹣c2）．‎ ‎（Ⅰ）求cosA的值；‎ ‎（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值．‎ ‎【解答】（Ⅰ）解：由，得asinB=bsinA，‎ 又asinA=4bsinB，得4bsinB=asinA，‎ 两式作比得：，∴a=2b．‎ 由，得，‎ 由余弦定理，得；‎ ‎（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得，代入asinA=4bsinB，得．‎ 由（Ⅰ）知，A为钝角，则B为锐角，‎ ‎∴．‎ 于是，，‎ 故．‎ ‎　‎ ‎3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．‎ ‎（Ⅰ）求C；‎ ‎（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sinC≠0‎ 已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，‎ 整理得：2cosCsin（A+B）=sinC，‎ 即2cosCsin（π﹣（A+B））=sinC ‎2cosCsinC=sinC ‎∴cosC=，‎ ‎∴C=；‎ ‎（Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab•，‎ ‎∴（a+b）2﹣3ab=7，‎ ‎∵S=absinC=ab=，‎ ‎∴ab=6，‎ ‎∴（a+b）2﹣18=7，‎ ‎∴a+b=5，‎ ‎∴△ABC的周长为5+．‎ ‎　‎ ‎4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA=，sinB=C．‎ ‎（1）求tanC的值；‎ ‎（2）若a=，求△ABC的面积．‎ ‎【解答】解：（1）∵A为三角形的内角，cosA=，‎ ‎∴sinA==，‎ 又cosC=sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=cosC+sinC，‎ 整理得：cosC=sinC，‎ 则tanC=；‎ ‎（2）由tanC=得：cosC====，‎ ‎∴sinC==，‎ ‎∴sinB=cosC=，‎ ‎∵a=，∴由正弦定理=得：c===，‎ 则S△ABC=acsinB=×××=．‎ ‎　‎ ‎5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．‎ ‎（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC；‎ ‎（Ⅱ）若b2+c2﹣a2=bc，求tanB．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：在△ABC中，∵+=，‎ ‎∴由正弦定理得：，‎ ‎∴=，‎ ‎∵sin（A+B）=sinC．‎ ‎∴整理可得：sinAsinB=sinC，‎ ‎（Ⅱ）解：b2+c2﹣a2=bc，由余弦定理可得cosA=．‎ sinA=，=‎ ‎+==1，=，‎ tanB=4．‎ ‎　‎ ‎6．在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．‎ ‎（1）求BC的长；‎ ‎（2）求sin2C的值．‎ ‎【解答】解：（1）由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA=4+9﹣2×2×3×=7，‎ 所以BC=．‎ ‎（2）由正弦定理可得：，则sinC===，‎ ‎∵AB＜BC，BC=，AB=2，角A=60°，在三角形ABC中，大角对大边，大边对大角，＞2，‎ ‎∴角C＜角A，角C为锐角．sinC＞0，cosC＞0则cosC===．‎ 因此sin2C=2sinCcosC=2×=．‎ ‎　‎ ‎7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣．‎ ‎（Ⅰ）求a和sinC的值；‎ ‎（Ⅱ）求cos（2A+）的值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）在三角形ABC中，由cosA=﹣，可得sinA=，△ABC的面积为3，可得：，‎ 可得bc=24，又b﹣c=2，解得b=6，c=4，由a2=b2+c2﹣2bccosA，可得a=8，‎ ‎，解得sinC=；‎ ‎（Ⅱ）cos（2A+）=cos2Acos﹣sin2Asin==．‎ ‎　‎ ‎8．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行．‎ ‎（Ⅰ）求A；‎ ‎（Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面积．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）因为向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行，‎ 所以asinB﹣=0，由正弦定理可知：sinAsinB﹣sinBcosA=0，因为sinB≠0，‎ 所以tanA=，可得A=；‎ ‎（Ⅱ）a=，b=2，由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，可得7=4+c2﹣2c，解得c=3，‎ ‎△ABC的面积为：=．‎ ‎　‎ ‎9．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且b=3，c=1，△ABC的面积为，求cosA与a的值．‎ ‎【解答】解：∵b=3，c=1，△ABC的面积为，‎ ‎∴=，‎ ‎∴sinA=，‎ 又∵sin2A+cos2A=1‎ ‎∴cosA=±，‎ 由余弦定理可得a==2或2．‎ ‎　‎ ‎10．如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=，EA=2，∠ADC=，∠BEC=．‎ ‎（Ⅰ）求sin∠CED的值；‎ ‎（Ⅱ）求BE的长．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设α=∠CED，‎ 在△CDE中，由余弦定理得EC2=CD2+ED2﹣2CD•DEcos∠CDE，‎ 即7=CD2+1+CD，则CD2+CD﹣6=0，‎ 解得CD=2或CD=﹣3，（舍去），‎ 在△CDE中，由正弦定理得，‎ 则sinα=，‎ 即sin∠CED=．‎ ‎（Ⅱ）由题设知0＜α＜，由（Ⅰ）知cosα=，‎ 而∠AEB=，‎ ‎∴cos∠AEB=cos（）=coscosα+sinsinα=，‎ 在Rt△EAB中，cos∠AEB=，‎ 故BE=．‎ ‎　‎ ‎11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB．‎ ‎（Ⅰ）证明：A=2B；‎ ‎（Ⅱ）若△ABC的面积S=，求角A的大小．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：∵b+c=2acosB，‎ ‎∴sinB+sinC=2sinAcosB，‎ ‎∴sinB+sin（A+B）=2sinAcosB ‎∴sinB+sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB ‎∴sinB=sinAcosB﹣cosAsinB=sin（A﹣B）‎ ‎∵A，B是三角形中的角，‎ ‎∴B=A﹣B，‎ ‎∴A=2B；‎ ‎（Ⅱ）解：∵△ABC的面积S=，‎ ‎∴bcsinA=，‎ ‎∴2bcsinA=a2，‎ ‎∴2sinBsinC=sinA=sin2B，‎ ‎∴sinC=cosB，‎ ‎∴B+C=90°，或C=B+90°，‎ ‎∴A=90°或A=45°．‎ ‎　‎ ‎12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．‎ ‎（1）求tanC的值；‎ ‎（2）若△ABC的面积为3，求b的值．‎ ‎【解答】解：（1）∵A=，∴由余弦定理可得：，∴b2﹣a2=bc﹣c2，‎ 又b2﹣a2=c2．∴bc﹣c2=c2．∴b=c．可得，‎ ‎∴a2=b2﹣=，即a=．‎ ‎∴cosC===．‎ ‎∵C∈（0，π），‎ ‎∴sinC==．‎ ‎∴tanC==2．‎ 或由A=，b2﹣a2=c2．‎ 可得：sin2B﹣sin2A=sin2C，‎ ‎∴sin2B﹣=sin2C，‎ ‎∴﹣cos2B=sin2C，‎ ‎∴﹣sin=sin2C，‎ ‎∴﹣sin=sin2C，‎ ‎∴sin2C=sin2C，‎ ‎∴tanC=2．‎ ‎（2）∵=×=3，‎ 解得c=2．‎ ‎∴=3．‎ ‎　‎ ‎13．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a+b+c=8．‎ ‎（Ⅰ）若a=2，b=，求cosC的值；‎ ‎（Ⅱ）若sinAcos2+sinBcos2=2sinC，且△ABC的面积S=sinC，求a和b的值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵a=2，b=，且a+b+c=8，‎ ‎∴c=8﹣（a+b）=，‎ ‎∴由余弦定理得：cosC===﹣；‎ ‎（Ⅱ）由sinAcos2+sinBcos2=2sinC可得：sinA•+sinB•=2sinC，‎ 整理得：sinA+sinAcosB+sinB+sinBcosA=4sinC，‎ ‎∵sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=sinC，‎ ‎∴sinA+sinB=3sinC，‎ 利用正弦定理化简得：a+b=3c，‎ ‎∵a+b+c=8，‎ ‎∴a+b=6①，‎ ‎∵S=absinC=sinC，‎ ‎∴ab=9②，‎ 联立①②解得：a=b=3．‎ ‎　‎ ‎14．△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．‎ ‎（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；‎ ‎（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵a，b，c成等差数列，‎ ‎∴2b=a+c，‎ 利用正弦定理化简得：2sinB=sinA+sinC，‎ ‎∵sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C），‎ ‎∴sinA+sinC=2sinB=2sin（A+C）；‎ ‎（Ⅱ）∵a，b，c成等比数列，‎ ‎∴b2=ac，‎ ‎∴cosB==≥=，‎ 当且仅当a=c时等号成立，‎ ‎∴cosB的最小值为．‎ ‎　‎ ‎15．△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c．‎ ‎（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；‎ ‎（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，且c=2a，求cosB的值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵a，b，c成等差数列，‎ ‎∴a+c=2b，‎ 由正弦定理得：sinA+sinC=2sinB，‎ ‎∵sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C），‎ 则sinA+sinC=2sin（A+C）；‎ ‎（Ⅱ）∵a，b，c成等比数列，‎ ‎∴b2=ac，‎ 将c=2a代入得：b2=2a2，即b=a，‎ ‎∴由余弦定理得：cosB===．‎ ‎　‎ ‎16．四边形ABCD的内角A与C互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2．‎ ‎（1）求C和BD；‎ ‎（2）求四边形ABCD的面积．‎ ‎【解答】解：（1）在△BCD中，BC=3，CD=2，‎ 由余弦定理得：BD2=BC2+CD2﹣2BC•CDcosC=13﹣12cosC①，‎ 在△ABD中，AB=1，DA=2，A+C=π，‎ 由余弦定理得：BD2=AB2+AD2﹣2AB•ADcosA=5﹣4cosA=5+4cosC②，‎ 由①②得：cosC=，‎ 则C=60°，BD=；‎ ‎（2）∵cosC=，cosA=﹣，‎ ‎∴sinC=sinA=，‎ 则S=AB•DAsinA+BC•CDsinC=×1×2×+×3×2×=2．‎ ‎　‎ ‎17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）=8sin2．‎ ‎（1）求cosB；‎ ‎（2）若a+c=6，△ABC的面积为2，求b．‎ ‎【解答】解：（1）sin（A+C）=8sin2，‎ ‎∴sinB=4（1﹣cosB），‎ ‎∵sin2B+cos2B=1，‎ ‎∴16（1﹣cosB）2+cos2B=1，‎ ‎∴16（1﹣cosB）2+cos2B﹣1=0，‎ ‎∴16（cosB﹣1）2+（cosB﹣1）（cosB+1）=0，‎ ‎∴（17cosB﹣15）（cosB﹣1）=0，‎ ‎∴cosB=；‎ ‎（2）由（1）可知sinB=，‎ ‎∵S△ABC=ac•sinB=2，‎ ‎∴ac=，‎ ‎∴b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣2××‎ ‎=a2+c2﹣15=（a+c）2﹣2ac﹣15=36﹣17﹣15=4，‎ ‎∴b=2．‎ ‎　‎ ‎18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB．‎ ‎（1）证明：A=2B；‎ ‎（2）若cosB=，求cosC的值．‎ ‎【解答】（1）证明：∵b+c=2acosB，‎ ‎∴sinB+sinC=2sinAcosB，‎ ‎∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，‎ ‎∴sinB=sinAcosB﹣cosAsinB=sin（A﹣B），由A，B∈（0，π），‎ ‎∴0＜A﹣B＜π，∴B=A﹣B，或B=π﹣（A﹣B），化为A=2B，或A=π（舍去）．‎ ‎∴A=2B．‎ ‎（II）解：cosB=，∴sinB==．‎ cosA=cos2B=2cos2B﹣1=，sinA==．‎ ‎∴cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB=+×=．‎ ‎　‎ ‎19．设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．‎ ‎（Ⅰ）证明：B﹣A=；‎ ‎（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由a=btanA和正弦定理可得==，‎ ‎∴sinB=cosA，即sinB=sin（+A）‎ 又B为钝角，∴+A∈（，π），‎ ‎∴B=+A，∴B﹣A=；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知C=π﹣（A+B）=π﹣（A++A）=﹣2A＞0，‎ ‎∴A∈（0，），∴sinA+sinC=sinA+sin（﹣2A）‎ ‎=sinA+cos2A=sinA+1﹣2sin2A ‎=﹣2（sinA﹣）2+，‎ ‎∵A∈（0，），∴0＜sinA＜，‎ ‎∴由二次函数可知＜﹣2（sinA﹣）2+≤‎ ‎∴sinA+sinC的取值范围为（，]‎ ‎　‎ ‎20．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosB=，sin（A+B）=，ac=2，求sinA和c的值．‎ ‎【解答】解：①因为△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知cosB=，‎ sin（A+B）=，ac=2，所以sinB=，sinAcosB+cosAsinB=，‎ 所以sinA+cosA=①，结合平方关系sin2A+cos2A=1②，‎ 由①②解得27sin2A﹣6sinA﹣16=0，‎ 解得sinA=或者sinA=﹣（舍去）；‎ ‎②由正弦定理，由①可知sin（A+B）=sinC=，sinA=，‎ 所以a=2c，又ac=2，所以c=1．‎ ‎　‎ ‎21．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA．‎ ‎（Ⅰ）证明：sinB=cosA；‎ ‎（Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）证明：∵a=btanA．‎ ‎∴=tanA，‎ ‎∵由正弦定理：，又tanA=，‎ ‎∴=，‎ ‎∵sinA≠0，‎ ‎∴sinB=cosA．得证．‎ ‎（Ⅱ）∵sinC=sin[π﹣（A+B）]=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，‎ ‎∴sinC﹣sinAcosB=cosAsinB=，由（1）sinB=cosA，‎ ‎∴sin2B=，‎ ‎∵0＜B＜π，‎ ‎∴sinB=，‎ ‎∵B为钝角，‎ ‎∴B=，‎ 又∵cosA=sinB=，‎ ‎∴A=，‎ ‎∴C=π﹣A﹣B=，‎ 综上，A=C=，B=．‎ ‎　‎ ‎22．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．‎ ‎【解答】解：（1）如图，过A作AE⊥BC于E，‎ ‎∵==2‎ ‎∴BD=2DC，‎ ‎∵AD平分∠BAC ‎∴∠BAD=∠DAC 在△ABD中，=，∴sin∠B=‎ 在△ADC中，=，∴sin∠C=；‎ ‎∴==．…6分 ‎（2）由（1）知，BD=2DC=2×=．‎ 过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，‎ ‎∵AD平分∠BAC，‎ ‎∴DM=DN，‎ ‎∴==2，‎ ‎∴AB=2AC，‎ 令AC=x，则AB=2x，‎ ‎∵∠BAD=∠DAC，‎ ‎∴cos∠BAD=cos∠DAC，‎ ‎∴由余弦定理可得：=，‎ ‎∴x=1，‎ ‎∴AC=1，‎ ‎∴BD的长为，AC的长为1．‎ ‎　‎ ‎23．已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．‎ ‎（Ⅰ）若a=b，求cosB；‎ ‎（Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积．‎ ‎【解答】解：（I）∵sin2B=2sinAsinC，‎ 由正弦定理可得：＞0，‎ 代入可得（bk）2=2ak•ck，‎ ‎∴b2=2ac，‎ ‎∵a=b，∴a=2c，‎ 由余弦定理可得：cosB===．‎ ‎（II）由（I）可得：b2=2ac，‎ ‎∵B=90°，且a=，‎ ‎∴a2+c2=b2=2ac，解得a=c=．‎ ‎∴S△ABC==1．‎ ‎　‎ ‎24．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC ‎（Ⅰ） 求．‎ ‎（Ⅱ） 若∠BAC=60°，求∠B．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）如图，‎ 由正弦定理得：‎ ‎，‎ ‎∵AD平分∠BAC，BD=2DC，‎ ‎∴；‎ ‎（Ⅱ）∵∠C=180°﹣（∠BAC+∠B），∠BAC=60°，‎ ‎∴，‎ 由（Ⅰ）知2sin∠B=sin∠C，‎ ‎∴tan∠B=，即∠B=30°．‎ ‎　‎ ‎25．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c=b，sinB=sinC，‎ ‎（Ⅰ）求cosA的值；‎ ‎（Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）将sinB=sinC，利用正弦定理化简得：b=c，‎ 代入a﹣c=b，得：a﹣c=c，即a=2c，‎ ‎∴cosA===；‎ ‎（Ⅱ）∵cosA=，A为三角形内角，‎ ‎∴sinA==，‎ ‎∴cos2A=2cos2A﹣1=﹣，sin2A=2sinAcosA=，‎ 则cos（2A﹣）=cos2Acos+sin2Asin=﹣×+×=．‎ ‎　‎ ‎26．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+．‎ ‎（Ⅰ）求b的值；‎ ‎（Ⅱ）求△ABC的面积．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵cosA=，‎ ‎∴sinA==，‎ ‎∵B=A+．‎ ‎∴sinB=sin（A+）=cosA=，‎ 由正弦定理知=，‎ ‎∴b=•sinB=×=3．‎ ‎（Ⅱ）∵sinB=，B=A+＞‎ ‎∴cosB=﹣=﹣，‎ sinC=sin（π﹣A﹣B）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×（﹣）+×=，‎ ‎∴S=a•b•sinC=×3×3×=．‎ ‎　‎ ‎27．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．‎ ‎（1）若sin（A+）=2cosA，求A的值．‎ ‎（2）若cosA=，b=3c，求sinC的值．‎ ‎【解答】解：（1）因为，‎ 所以sinA=，‎ 所以tanA=，‎ 所以A=60°‎ ‎（2）由 及a2=b2+c2﹣2bccosA 得a2=b2﹣c2‎ 故△ABC是直角三角形且B=‎ 所以sinC=cosA=‎ ‎　‎ ‎28．在△ABC中，角A，B，C的对边是a，b，c，已知3acosA=ccosB+bcosC ‎（1）求cosA的值 ‎（2）若a=1，cosB+cosC=，求边c的值．‎ ‎【解答】解：（1）由余弦定理可知2accosB=a2+c2﹣b2；2abcosc=a2+b2﹣c2；‎ 代入3acosA=ccosB+bcosC；‎ ‎ 得cosA=；‎ ‎（2）∵cosA= ‎ ‎∴sinA= ‎ cosB=﹣cos（A+C）=﹣cosAcosC+sinAsinC=﹣cosC+sinC ③‎ 又已知 cosB+cosC= 代入 ③‎ cosC+sinC=，与cos2C+sin2C=1联立 解得 sinC=‎ 已知 a=1‎ 正弦定理：c===‎ ‎　‎ ‎29．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=a•cosB．‎ ‎（1）求角B的大小；‎ ‎（2）若b=3，sinC=2sinA，分别求a和c的值．‎ ‎【解答】解：（1）∵bsinA=a•cosB，由正弦定理可得：sinBsinA=sinAcosB，‎ ‎∵sinA≠0，∴sinB=cosB，‎ B∈（0，π），‎ 可知：cosB≠0，否则矛盾．‎ ‎∴tanB=，∴B=．‎ ‎（2）∵sinC=2sinA，∴c=2a，‎ 由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB，‎ ‎∴9=a2+c2﹣ac，‎ 把c=2a代入上式化为：a2=3，解得a=，‎ ‎∴．‎ ‎　‎ ‎30．在△ABC中，a=3，b=2，∠B=2∠A．‎ ‎（Ⅰ）求cosA的值；‎ ‎（Ⅱ）求c的值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由条件在△ABC中，a=3，，∠B=2∠A，‎ 利用正弦定理可得 ，即=．‎ 解得cosA=．‎ ‎（Ⅱ）由余弦定理可得 a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即 9=+c2﹣2×2×c×，‎ 即 c2﹣8c+15=0．‎ 解方程求得 c=5，或 c=3．‎ 当c=3时，此时a=c=3，根据∠B=2∠A，可得 B=90°，A=C=45°，‎ ‎△ABC是等腰直角三角形，但此时不满足a2+c2=b2，故舍去．‎ 当c=5时，求得cosB==，cosA==，‎ ‎∴cos2A=2cos2A﹣1==cosB，∴B=2A，满足条件．‎ 综上，c=5．‎ ‎　‎