2020高考数学三轮冲刺 专题 圆的方程练习（含解析） 14页

圆的方程 一、选择题（本大题共12小题，共60分）‎ ‎1. 已知圆C的圆心是直线与y轴的交点，且圆C与直线相切，则圆的标准方程为 ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎（正确答案）A 解：对于直线，令，解得．‎ 圆心，‎ 设圆的半径为r，‎ 圆C与直线相切，‎ ‎，‎ 圆的标准方程为．‎ 故选：A．‎ 对于直线，令，解得可得圆心设圆的半径为r，利用点到直线的距离公式及其圆C与直线相切的充要条件可得r．‎ 本题考查了点到直线的距离公式及其圆与直线相切的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎2. 若过原点O的动直线l将圆分成两部分的面积之差最大时，直线l与圆的交点记为A，直线l将圆E分成两部分的面积相等时，直线l与圆的交点记为C，则四边形ACBD的面积为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎（正确答案）C 14‎ 当直线l时，弦AB将圆E分成两部分的面积之差最大，当直线l过圆心即与OE重合时，直径CD将圆E分成两部分的面积相等圆心到原点O的距离为，半径为，所以，因为 ，所以 ．‎ ‎3. 已知圆的方程为，那么圆心坐标为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎（正确答案）C 解：将圆化成标准方程，得，‎ 圆表示以为圆心，半径的圆．‎ 故选：C．‎ 将已知圆化成标准方程并对照圆标准方程的基本概念，即可得到所求圆心坐标．‎ 本题给出圆的一般方程，求圆心的坐标着重考查了圆的标准方程与一般方程的知识，属于基础题．‎ ‎4. 圆心在y轴上，且过点的圆与x轴相切，则该圆的方程是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎（正确答案）B 解：圆心在y轴上且过点的圆与x轴相切，‎ 设圆的圆心，半径为r．‎ 则：．‎ 解得．‎ 所求圆的方程为：即．‎ 故选：B．‎ 设出圆的圆心与半径，利用已知条件，求出圆的圆心与半径，即可写出圆的方程．‎ 本题考查圆的方程的求法，求出圆的圆心与半径是解题的关键．‎ 14‎ ‎5. 某学校有2500名学生，其中高一1000人，高二900人，高三600人，为了了解学生的身体健康状况，采用分层抽样的方法，若从本校学生中抽取100人，从高一和高三抽取样本数分别为a，b，且直线与以为圆心的圆交于B，C两点，且，则圆C的方程为 ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎（正确答案）C 解：由题意，，，，‎ 直线，即，‎ 到直线的距离为，‎ 直线与以为圆心的圆交于B，C两点，且，‎ ‎，‎ 圆C的方程为，‎ 故选C．‎ 根据分层抽样的定义进行求解a，b，利用点到直线的距离公式，求出到直线的距离，可得半径，即可得出结论．‎ 本题考查分层抽样，考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．‎ ‎6. 已知平面上点，其中，当，变化时，则满足条件的点P在平面上所组成图形的面积是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎（正确答案）C 解：由题意可得，点P在圆上，‎ 而且圆心在以原点为圆心，以2为半径的圆上．‎ 满足条件的点P在平面内所组成的图形的面积是以6为半径的圆的面积减去以2为半径的圆的面积，‎ 14‎ 即，‎ 故选：C．‎ 先根据圆的标准方程求出圆心和半径，然后研究圆心的轨迹，根据点P在平面内所组成的图形是一个环面进行求解即可．‎ 本题主要考查了圆的参数方程，题目比较新颖，正确理解题意是解题的关键，属于中档题．‎ ‎7. 已知三点，，则外接圆的圆心到原点的距离为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎（正确答案）B 解：因为外接圆的圆心在直线BC垂直平分线上，即直线上，‎ 可设圆心，由得 ‎，‎ 得 圆心坐标为，‎ 所以圆心到原点的距离，‎ 故选：B．‎ 利用外接圆的性质，求出圆心坐标，再根据圆心到原点的距离公式即可求出结论．‎ 本题主要考查圆性质及外接圆的性质，了解性质并灵运用是解决本题的关键．‎ ‎8. 在平面直角坐标系xOy中，已知点，点B是圆上的动点，则线段AB的中点M的轨迹方程是 ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎（正确答案）A 14‎ 解：设，，‎ 又，且M为AB的中点，‎ ‎，则，‎ 点B在圆上，‎ ‎，即．‎ 线段AB的中点M的轨迹方程是．‎ 故选：A．‎ 设出，的坐标，利用中点坐标公式把B的坐标用M的坐标表示，代入已知圆的方程得答案．‎ 本题考查轨迹方程的求法，训练了利用代入法求动点的轨迹，是中档题．‎ ‎9. 阿波罗尼斯约公元前年证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆后人将这个圆称为阿氏圆若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P与A，B距离之比为，当P，A，B不共线时，面积的最大值是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎（正确答案）A 解：设，， ‎ 则，化简得 ‎ 如图，‎ ‎ ‎ 14‎ 当点P到轴距离最大时，面积的最大值，‎ 面积的最大值是．‎ 故选：A．‎ 设，，，则，化简得，当点P到轴距离最大时，面积的最大值，‎ 本题考查轨迹方程求解、直线与圆的位置关系，属于中档题．‎ ‎10. 在长方体中，，，，点P、Q分别在直线和BD上运动，且，则PQ的中点M的轨迹是 ‎ A. 平行四边形 B. 圆 C. 椭圆 D. 非以上图形 ‎（正确答案）A 解：如图所示，点P在点时，Q点从点G运动到点H，则EF是中点M的轨迹；‎ 同理，点P在点、点Q在B点、点Q在C点时，中点M的轨迹对应四条线段，且两组对边平行且相等．‎ 所以，PQ的中点M的轨迹是平行四边形．‎ 故选：A．‎ 如图所示，点P在点时，Q点从点G运动到点H，则EF是中点M的轨迹；同理，点P在点、点Q在B点、点Q在C点时，中点M的轨迹对应四条线段，且两组对边平行且相等，即可得出结论．‎ 本题考查轨迹方程，考查立体几何与解析几何的综合，考查数形结合的数学思想，属于中档题．‎ 14‎ ‎11. 在平面直角坐标系xOy中，以为圆心且与直线相切的所有圆中，面积最大的圆的标准方程是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎（正确答案）C 解：根据题意，设圆心为P，则点P的坐标为 ‎ 对于直线，变形可得 ‎ 即直线过定点，‎ 在以点为圆心且与直线，‎ 面积最大的圆的半径r长为MP，‎ 则，‎ 则其标准方程为；‎ 故选B．‎ 根据题意，将直线的方程变形可得，分析可得其定点，进而分析可得满足题意的圆是以P为圆心，半径为MP的圆，求出MP的长，将其代入圆的标准方程计算可得答案．‎ 本题考查直线与圆的位置关系，关键是分析出直线过的定点坐标．‎ ‎12. 已知圆C过坐标原点，面积为，且与直线l：相切，则圆C的方程是 ‎ A. ‎ B. 或 C. 或 D. ‎ ‎（正确答案）C 解：设圆心坐标为，‎ 面积为，半径，‎ 圆C过坐标原点，且与直线l：相切，‎ 14‎ ‎，‎ ‎，‎ 圆心为或，‎ 圆C的方程是或，‎ 故选：C．‎ 设圆心坐标为，利用圆C过坐标原点，面积为，且与直线l：相切，求出a，b，即可求出圆C的方程．‎ 本题考查的是圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，利用条件建立方程，求出圆心与半径是解题的关键所在．‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20分）‎ ‎13. 已知，，以AB为直径的圆的标准方程为______ ．‎ ‎（正确答案）‎ 解：设圆心为C，，，‎ 圆心C的坐标为；‎ ‎，即圆的半径，‎ 则以线段AB为直径的圆的方程是．‎ 故答案为：．‎ 因为线段AB为所求圆的直径，所以利用中点坐标公式求出线段AB的中点即为所求圆的圆心坐标，再利用两点间的距离公式求出圆心C与点A之间的距离即为所求圆的半径，根据求出的圆心坐标与半径写出圆的标准方程即可．‎ 此题考查了中点坐标公式，两点间的距离公式以及圆的标准方程，解答本题的关键是灵活运用已知条件确定圆心坐标及圆的半径同时要求学生会根据圆心与半径写出圆的标准方程．‎ ‎14. 圆心在直线上的圆C与x轴的正半轴相切，圆C截y轴所得的弦的长为，则圆C的标准方程为______．‎ ‎（正确答案）‎ 14‎ 解：设圆心，则由圆与x轴相切，可得半径．‎ 圆心到y轴的距离，‎ 由圆C截y轴所得的弦的长为， ‎ 解得．‎ 故圆心为，半径等于2．‎ 故圆C的方程为．‎ 故答案为．‎ 设圆心，由题意可得半径，求出圆心到直线的距离d，再由，解得t的值，从而得到圆心坐标和半径，由此求出圆的方程．‎ 本题主要考查求圆的标准方程的方法，求出圆心坐标和半径的值，是解题的关键，属于中档题．‎ ‎15. 已知圆C的圆心在x轴正半轴上，点圆C上，且圆心到直线的距离为，则圆C的方程为______ ．‎ ‎（正确答案）‎ 解：由题意设圆的方程为，‎ 由点在圆上，且圆心到直线的距离为，‎ 得，解得，．‎ 圆C的方程为：．‎ 故答案为：．‎ 由题意设出圆的方程，把点M的坐标代入圆的方程，结合圆心到直线的距离列式求解．‎ 本题考查圆的标准方程，训练了点到直线的距离公式的应用，是中档题．‎ ‎16. 已知圆C的圆心与点M关于直线对称，并且圆C与双曲线 的渐近线相切，则圆C的方程为 ．‎ 14‎ ‎（正确答案）‎ 因为圆C的圆心与点关于直线对称，‎ 所以圆C的圆心为，双曲线 的渐近线方程为 ，与圆相切，‎ 所以圆的半径为 所以圆C的方程为．‎ 三、解答题（本大题共3小题，共30分）‎ ‎17. 已知抛物线C：的焦点为F，平行于x轴的两条直线，分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．‎ Ⅰ若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明；‎ Ⅱ若的面积是的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．‎ ‎（正确答案）Ⅰ证明：连接RF，PF，‎ 由，及，得，‎ ‎，‎ 是PQ的中点，‎ ‎，‎ ‎≌，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ 14‎ Ⅱ设，，‎ ‎ ，准线为，‎ ‎ ，‎ 设直线AB与x轴交点为N，‎ ‎，‎ 的面积是的面积的两倍，‎ ‎，，即．‎ 设AB中点为，由得，‎ 又，‎ ‎，即．‎ 中点轨迹方程为．‎ Ⅰ连接RF，PF，利用等角的余角相等，证明，即可证明；‎ Ⅱ利用的面积是的面积的两倍，求出N的坐标，利用点差法求AB中点的轨迹方程．‎ 本题考查抛物线的方程与性质，考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎18. 设圆的圆心为A，直线l过点且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．‎ Ⅰ证明为定值，并写出点E的轨迹方程；‎ Ⅱ设点E的轨迹为曲线，直线l交于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．‎ ‎（正确答案）解：Ⅰ证明：圆即为，‎ 14‎ 可得圆心，半径，‎ 由，可得，‎ 由，可得，‎ 即为，即有，‎ 则，‎ 故E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，‎ 且有，即，，，‎ 则点E的轨迹方程为；‎ Ⅱ椭圆：，设直线l：，‎ 由，设PQ：，‎ 由可得，‎ 设，，‎ 可得，，‎ 则 ‎ ‎，‎ A到PQ的距离为，‎ ‎，‎ 则四边形MPNQ面积为 ‎ 14‎ ‎，‎ 当时，S取得最小值12，又，可得，‎ 即有四边形MPNQ面积的取值范围是 Ⅰ求得圆A的圆心和半径，运用直线平行的性质和等腰三角形的性质，可得，再由圆的定义和椭圆的定义，可得E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，求得a，b，c，即可得到所求轨迹方程；‎ Ⅱ设直线l：，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，可得，由，设PQ：，求得A到PQ的距离，再由圆的弦长公式可得，再由四边形的面积公式，化简整理，运用不等式的性质，即可得到所求范围．‎ 本题考查轨迹方程的求法，注意运用椭圆和圆的定义，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及直线和圆相交的弦长公式，考查不等式的性质，属于中档题．‎ ‎19. 已知圆C：，点，P是圆C上任意一点，线段AP的垂直平分线交CP于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为曲线E．‎ 求曲线E的方程；‎ 若直线l：与曲线E相交于M，N两点，O为坐标原点，求面积的最大值．‎ ‎（正确答案）解：Ⅰ点Q在线段AP的垂直平分线上，．‎ 又，．‎ 曲线E是以坐标原点为中心，和为焦点，长轴长为的椭圆．‎ 设曲线E的方程为，．‎ ‎，，．‎ 曲线E的方程为．‎ Ⅱ设， ‎ 14‎ 联立消去y，得．‎ 此时有．‎ 由一元二次方程根与系数的关系，得，， ‎ ‎ ‎ 原点O到直线l的距离，‎ ‎．，由，得．‎ 又，‎ 据基本不等式，得．，‎ 当且仅当时，不等式取等号．‎ 面积的最大值为．‎ 根据椭圆的定义和性质，建立方程求出a，b即可．‎ 联立直线和椭圆方程，利用消元法结合设而不求的思想进行求解即可．‎ 本题主要考查与椭圆有关的轨迹方程问题，以及直线和椭圆的位置关系的应用，利用消元法以及设而不求的数学思想是解决本题的关键，运算量较大，有一定的难度．‎ 14‎