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  • 2021-05-14 发布

版高考数学理直线与圆锥曲线的位置关系二轮考点专练

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考点43 直线与圆锥曲线的位置关系 一、选择题 ‎1. (2013·新课标Ⅰ高考文科·T8)为坐标原点,为抛物线:的焦点,为C上一点,若,则△POF的面积为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【解题指南】由抛物线的定义:抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离求解.‎ ‎【解析】选C.设,则,解得,因为为C上一点,则,得 ,所以.‎ ‎2.(2013·江西高考文科·T9)已知点A(2,0),抛物线C:x2=4y的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,则|FM|:|MN|= ( )‎ A.2: B.1:2 C. 1: D. 1:3‎ ‎【解题指南】由抛物线的定义把转化为点M到准线的距离,再结合直线的斜率,借助直角三角形进行求解.‎ ‎【解析】选C.设直线FA的倾斜角为,因为F(0,1),A(2,0),所以直线FA的斜率为,即,过点M作准线的垂线交准线于点Q,由抛物线定义得,在中,可得,即|FM|:|MN|=.‎ ‎3. (2013·重庆高考文科·T10)设双曲线的中心为点,若有且只有一对相交于点、所成的角为的直线和,使,其中、和、分别是这对直线与双曲线的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【解题指南】根据双曲线的对称性找到渐近线与直线和的斜率之间的关系即可.‎ ‎【解析】选A.由题意知, 直线和关于轴对称,又所成的角为,所以直线方程为 或,又因为有且只有一对相较于点、所成的角为的直线和,使,所以渐近线斜率满足,解得.故选A.‎ ‎4. (2013·新课标Ⅰ高考理科·T10)已知椭圆的右焦点,过点的直线交于,两点,若的中点坐标为,则的方程为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【解题指南】本题中给出的中点坐标,所以在解题时先设出,两点坐标,然后采用点差法求解.‎ ‎【解析】选D.由椭圆得,,‎ 因为过点的直线与椭圆交于,两点,‎ 设,,则,‎ 则 ①‎ ‎ ②‎ 由①-②得,‎ 化简得.‎ ‎, ‎ 又直线的斜率为,即.‎ 因为,所以,解得,.‎ 故椭圆方程为.‎ 二、解答题 ‎5.(2013·安徽高考理科·T18)设椭圆的焦点在轴上 ‎(Ⅰ)若椭圆的焦距为1,求椭圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)设分别是椭圆的左、右焦点,为椭圆上的第一象限内的点,直线交轴与点,并且,证明:当变化时,点在某定直线上。‎ ‎【解析】(1)因为焦距为1,所以,解得,从而椭圆E的方程为.‎ (2) 设,其中,由题设知,则直线的斜率,直线的斜率,,故直线的方程为, 当x=0时,,即点Q坐标为,因此直线的斜率。由于,所以 化简得 ① ‎ 将① 代入椭圆E的方程,由于点在第一象限,解得,即点P在定直线x+y=1上。‎ ‎6. (2013·天津高考文科·T18) 与(2013·天津高考理科·T18)相同 设椭圆的左焦点为F, 离心率为, 过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为. ‎ ‎(Ⅰ) 求椭圆的方程; ‎ ‎(Ⅱ) 设A, B分别为椭圆的左、右顶点, 过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C, D两点. 若, 求k的值. ‎ ‎【解题指南】(Ⅰ)由离心率及过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长求出a,b的值,写出椭圆方程. ‎ ‎(Ⅱ)写出过点F且斜率为k的直线方程,与椭圆方程联立,利用根与系数的关系表示求解.‎ ‎【解析】(Ⅰ)设由知过点F且与x轴垂直的直线为代入椭圆方程有解得于是解得又,从而,所以椭圆方程为. ‎ ‎(Ⅱ)设,由得直线CD的方程为由方程组消去y,整理得 ‎ 可得因为所以 由已知得,解得 ‎7.(2013·北京高考文科·T19)直线y=kx+m(m≠0)与椭圆W:+y2=1相交于A,C两点,O是坐标原点。‎ ‎(1)当点B的坐标为(0,1),且四边形OABC为菱形时,求AC的长;‎ ‎(2)当点B在W上且不是W的顶点时,证明:四边形OABC不可能为菱形。‎ ‎【解题指南】(1)把线段OB的垂直平分线方程与椭圆方程联立,求出点A,C的坐标,再求AC的长.‎ ‎(2)用反证法.假设OABC为菱形,则只需证明若OA=OC,则A点与C点的横坐标相等或互为相反数,从而与已知矛盾.‎ ‎【解析】(1)线段OB的垂直平分线为,因此A、C点的坐标为,于是AC的长为。‎ ‎(2)只需证明若OA=OC,则A点与C点的横坐标相等或互为相反数。‎ 设OA=OC=r(r>1),则A、C为圆与椭圆的交点。‎ ‎, ,点与C点的横坐标互为相反数或相等,‎ 此时B点为顶点。因此四边形OABC不可能是菱形。‎ ‎8. (2013·新课标全国Ⅱ高考理科·T20)平面直角坐标系xOy中,过椭圆M:(a>b>0)右焦点的直线x+y-=0交M于A,B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为 ‎(1)求M的方程 ‎(2)C,D为M上的两点,若四边形ACBD的对角线CD⊥AB,求四边形ACBD面积的最大值 ‎【解题指南】(1)涉及到弦AB的中点问题,考虑点差法,建立关于a,b的方程组,解得a,b的值,确立M的方程;‎ ‎(2)将四边形的面积表示出来,可转化为S=,然后利用函数的知识求最值.‎ ‎【解析】设,则①,‎ ‎ ②,①-②得 ‎.因为,设,因为P为AB的中点,且OP的斜率为,所以,即,所以可以解得,‎ 即,即,又因为,所以,所以M的方程为.‎ ‎(2)因为,直线AB的方程为,所以设直线CD方程为,将代入得:,解得 不防令、B,所以可得,将代入得:,‎ 设,,则 又因为,即,‎ 所以当时,CD取得最大值4,所以四边形ACBD面积的最大值为 ‎9. (2013·辽宁高考文科·T20)与(2013·辽宁高考理科·T20)相同 如图,‎ 抛物线点在抛物线上,过 作的切线,切点为(为原点时,重合于).当时,切线 的斜率为。‎ 求的值;‎ 当在上运动时,求线段的中点的轨迹方程(重合于,中点为).‎ ‎【解题指南】利用导数的几何意义,求切线的斜率,建立相关参数的方程求参数;根据条件寻求动点坐标与相关点的坐标间的关系,消去相关点的坐标,可得轨迹方程。‎ ‎【解析】设,则 已知切线在抛物线上的切点为,‎ 由导数的几何意义得,‎ 所以从而 故点 由点斜式得切线的方程:‎ 由于点在抛物线上,又在切线上,‎ 所以得 将代入上述方程组,即得 故的值为2.‎ 设 又点在抛物线上,‎ 则,‎ 由于为线段的中点,所以 ①‎ 切线的方程分别为: ② ‎ ‎ ③‎ 由②③得切线得交点的坐标 ④‎ 又由于点在抛物线上,所以 ⑤‎ 由④⑤得 ⑥‎ 由①得, ⑦‎ 将⑥代入得 ⑧‎ 由⑦⑧得.‎ 当时,重合于,中点N为,其坐标满足方程 综上可知,线段的中点的轨迹方程为.‎ ‎10. (2013·湖南高考文科·T20)已知,分别是椭圆的左、右焦点,,关于直线的对称点是圆的一条直径的两个端点。‎ ‎(Ⅰ)求圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)设过点的直线被椭圆和圆所截得的弦长分别为,。当最大时,求直线的方程。‎ ‎【解题指南】第(Ⅰ)问的关键是明白圆的直径和椭圆的焦距等长,圆心就是原点关于直线的对称点,否则会增加许多计算量。第(Ⅱ)问要掌握利用弦心三角形求直线被圆所截得的弦长,利用弦长公式 ‎ 求直线被椭圆截得的弦长,然后再根据化简的结果用相关知识去解题。‎ ‎【解析】(I)由题设知的坐标分别是 ‎,圆C的半径为2,圆心为原点O关于直线的对称点,设圆心坐标为,由得,所以圆C的方程为 ‎(II)由题意,可设直线方程为,则圆心到直线的距离为 ‎,所以,‎ 由得,‎ 设与E的两个交点坐标分别为,‎ 则,‎ 于是 ‎,‎ 从而 ‎,‎ 当且仅当,即时等号成立,故当时,‎ 最大,此时,直线的方程为或,即,或.‎ ‎11.(2013·浙江高考理科·T21)如图,点P(0,-1)是椭圆C1: 的一个顶点,C1的长轴是圆C2:x2+y2=4的直径. l1,l2是过点P且互相垂直的两条直线,其中l1交圆C2于A,B两点,l2交椭圆于另一点D.‎ ‎(1)求椭圆C1的方程.‎ ‎(2)求△ABD面积取最大值时直线l1的方程.‎ ‎【解题指南】(1)由图形和题意很容易找到椭圆中a,b的值;(2)先利用待定系数法设出直线方程(即设直线的斜率为k),把△ABD的面积表示出来(一定是关于k的表达式),当△ABD面积取最大值时,求k的值.‎ ‎【解析】(1)由题意得,a=2,b=1,‎ 所以椭圆C1的方程为: .‎ ‎(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0).‎ 由题意知,直线l1的斜率存在,不妨设其为k,则直线l1的方程为:y=kx-1,‎ 又圆:,故点到直线的距离 所以 又,故直线的方程为:‎ 由,消去,整理得 故,,所以 设△的面积为,则 所以,‎ 当且仅当时取等号 所以所求的方程为.‎ ‎12.(2013·安徽高考文科·T21)已知椭圆C:的焦距为4,且过点。‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)设为椭圆C上一点,过点Q作x轴的垂线,垂足为E。取点,连接AE,过点A作AE的垂线交x轴于点D.点G是点D关于y轴的对称点,作直线QG,问这样作出的直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点?并说明理由。‎ ‎【解题指南】(1)由题设的两个条件可得a,b;(2)设点,由 用,写出,联立直线QG与椭圆的方程,整理转化为关于x的一元二次方程问题求解。‎ ‎【解析】(1)因为焦距为4,所以,又因为椭圆C过点,所以,故,从而椭圆C的方程为.‎ (2) 一定有唯一的公共点.由题意,设E点坐标为,D点坐标为(xD,0),则,‎ 再由知,,即,由于,故,‎ 因为点G是点D关于y轴的对称点,所以点.故直线QG的斜率又因为在椭圆C上,所以,①‎ 从而故直线QG的方程为, ②‎ 将②代入椭圆C方程,得 ③‎ 再将①代入③,化简得,解得,即直线QG与椭圆C一定有唯一的公共点.‎ ‎13.(2013·浙江高考文科·T22)已知抛物线C的顶点为O(0,0),焦点F(0,1).‎ ‎(1)求抛物线C的方程.‎ ‎(2)过F作直线交抛物线C于A,B两点.若直线AO,BO分别交直线l:y=x-2于M,N两点,求|MN|的最小值.‎ ‎【解题指南】(1)知道抛物线的焦点易求抛物线的方程;(2)可以先设出A,B两点的坐标(设而不求),设出直线的方程,由已知条件把|MN|表示出来,进行求解.‎ ‎【解析】(1)由题意可设抛物线C的方程为x2=2py(p>0),则=1,p=2,‎ 所以抛物线C的方程为x2=4y.‎ ‎(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为:y=kx+1,由,‎ 消去,整理得 所以 从而 由解得点的横坐标 同理点的横坐标,‎ 所以 令,则 当时,‎ 当时,‎ 综上所述,当时,即时,的最小值是.‎ ‎14. (2013·山东高考理科·T22)椭圆C:(a>b>0)的左、右焦点分别是F1、F2,离心率为 ,过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为l.  (Ⅰ)求椭圆C的方程;  (Ⅱ)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点,连接PF1、PF2,设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0),求m的取值范围;  (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过点p作斜率为k的直线l,使得l与椭圆C有且只有一个公共点, 设直线PF1,PF2的斜率分别为k1,k2,若k≠0,试证明为定值,并求出这个定值.‎ ‎【解题指南】(Ⅰ)由椭圆及过F1的线段长,可列出方程求出椭圆的方程;(Ⅱ ‎)先设出点P的坐标,根据角平分线的性质,角平分线上的点到角两边的距;离相等,可列出方程求出点P的横坐标与m的关系,由椭圆的范围求出m的范围.(Ⅲ)可先设出直线的点斜式方程,与椭圆联立消去y,由于l与椭圆C有且只有一个公共点,即,可得出k与点P的坐标的联系,然后将斜率用坐标表示出来的式子代入即可.‎ ‎【解析】(Ⅰ)由于,x=-c代入椭圆方程,‎ 得,由题意知,即,‎ 又,所以a=2,b=1,‎ 所以椭圆C的方程为 ‎(Ⅱ)设,‎ 又,‎ 所以直线的方程分别为 ‎:,‎ ‎:,‎ 由题意知,M到直线的距离相等,‎ 所以,‎ 由于点P在椭圆上,所以 所以 因为,,‎ 可得,‎ 所以 因此 ‎(Ⅲ)设,则直线的方程为,‎ 联立 整理得.‎ 由l与椭圆C有且只有一个公共点,所以,‎ 即 即,又 所以,‎ 故,‎ 由(Ⅱ)知,‎ 所以,‎ 因此为定值,这个定值为-8.‎ ‎15. (2013·山东高考文科·T22)在平面直角坐标系中,已知椭圆C的中心在原点O,焦点在轴上,短轴长为2,离心率为.‎ ‎(I)求椭圆C的方程;‎ ‎(II)A,B为椭圆C上满足△AOB的面积为的任意两点,E为线段AB的中点,射线OE交椭圆C于点P,设,求实数t的值.‎ ‎【解题指南】(Ⅰ)可由椭圆的定义及简单的几何性质,易知椭圆的标准方程;(II)由于A,B两点任意,因此需要考虑直线AB的斜率是否存在,斜率不存在时,设出A,B两点坐标,由已知条件得出P点坐标代入椭圆方程即可求得t的值,斜率存在时,可设直线的方程,然后与椭圆联立,根据条件得出t的关系式.‎ ‎【解析】(Ⅰ)设椭圆C的方程为,‎ 由题意知,解得 因此椭圆C的方程为.‎ ‎(II) 当AB⊥x轴时,设A(x0,y0),B(x0,-y0),‎ 由 ‎ 由=t=t(x0,0)=(tx0,0),得P(tx0,0),‎ 又P在椭圆上,所以+02=1,所以t2==4或,‎ 所以t=2或(舍去负值).‎ 当AB不垂直于x轴时,设AB:y=kx+m,显然m≠0,代入椭圆方程得 ‎(1+2k2)x2+4kmx+2(m2-1)=0.…(*)‎ 由三角形面积公式知, |xAyB-xByA|=|xA(kxB+m)-xB(kxA+m)|‎ ‎=|m||xA-xB|=,‎ 所以, ,‎ 即,整理得, …①‎ 又,‎ 所以, ,‎ 即,将其代入椭圆方程得 ‎,‎ 整理可得,②‎ 联立①②,消去,约分掉,移项整理得,,‎ 解之可得,或,均能使式的,‎ 所以或(舍去负值).‎ 综上,或.‎