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- 2021-05-14 发布
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2012高考真题分类汇编:平面向量
1.【2012高考真题重庆理6】设R,向量且,则
(A) (B) (C) (D)10
【答案】B
【解析】因为,所以有且,解得,,即,所以,,选B.
2.【2012高考真题浙江理5】设a,b是两个非零向量。
A.若|a+b|=|a|-|b|,则a⊥b
B.若a⊥b,则|a+b|=|a|-|b|
C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ,使得b=λa
D.若存在实数λ,使得b=λa,则|a+b|=|a|-|b|
【答案】C
【解析】利用排除法可得选项C是正确的,∵|a+b|=|a|-|b|,则a,b共线,即存在实数λ,使得a=λb.如选项A:|a+b|=|a|-|b|时,a,b可为异向的共线向量;选项B:若a⊥b,由正方形得|a+b|=|a|-|b|不成立;选项D:若存在实数λ,使得a=λb,a,b可为同向的共线向量,此时显然|a+b|=|a|-|b|不成立.
3.【2012高考真题四川理7】设、都是非零向量,下列四个条件中,使成立的充分条件是( )
A、 B、 C、 D、且
【答案】C
【解析】A.可以推得为既不充分也不必要条件;B.可以推得
或为必要不充分条件;C.为充分不必要条件;D同B.
4.【2012高考真题辽宁理3】已知两个非零向量a,b满足|a+b|=|ab|
,则下面结论正确的是
(A) a∥b (B) a⊥b
(C){0,1,3} (D)a+b=ab
【答案】B
【解析】一、由|a+b|=|ab|,平方可得ab=0, 所以a⊥b,故选B
二、根据向量加法、减法的几何意义可知|a+b|与|ab|分别为以向量a,b为邻边的平行四边形的两条对角线的长,因为|a+b|=|ab|,所以该平行四边形为矩形,所以a⊥b,故选B
【点评】本题主要考查平面向量的运算、几何意义以及向量的位置关系,属于容易题。解析一是利用向量的运算来解,解析二是利用了向量运算的几何意义来解。
5.【2012高考真题江西理7】在直角三角形中,点是斜边的中点,点为线段的中点,则=
A.2 B.4 C.5 D.10
【答案】D
【解析】将直角三角形放入直角坐标系中,如图,设,则,,所以,,,所以,所以,选D.
6.【2012高考真题湖南理7】在△ABC中,AB=2,AC=3,= 1则.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由下图知.
.又由余弦定理知,解得.
【点评】本题考查平面向量的数量积运算、余弦定理等知识.考查运算能力,考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法.需要注意的夹角为的外角.
7.【2012高考真题广东理3】若向量=(2,3),=(4,7),则=
A.(-2,-4) B. (3,4) C. (6,10) D. (-6,-10)
【答案】A
【解析】.故选A.
8.【2012高考真题广东理8】对任意两个非零的平面向量α和β,定义.若平面向量a,b满足|a|≥|b|>0,a与b的夹角,且和都在集合中,则=
A. B.1 C. D.
【答案】C
【解析】因为,,
且和都在集合中,所以,,所以,因为,所以,故有.故选C.
9.【2012高考真题安徽理8】在平面直角坐标系中,,将向量
按逆时针旋转后,得向量,则点的坐标是( )
【答案】A
【命题立意】本题考查平面向量与三角函数交汇的运算问题。
【解析】【方法一】设,
则.
【方法二】将向量按逆时针旋转后得,则.
10.【2012高考真题天津理7】已知为等边三角形,AB=2,设点P,Q满足,,,若,则=
(A) (B)
(C) (D)
【答案】A
【解析】如图,设 ,则,又,,由得,即,整理,即,解得
选A.
11.【2012高考真题全国卷理6】△ABC中,AB边的高为CD,若a·b=0,|a|=1,|b|=2,则
(A) (B) (C) (D)
【答案】D
【解析】在直角三角形中,,则,所以,所以,即,选D.
12.【2012高考真题新课标理13】已知向量夹角为 ,且;则
【答案】
【解析】因为,所以,即,所以,整理得,解得或(舍去).
13.【2012高考真题浙江理15】在△ABC中,M是BC的中点,AM=3,BC=10,则=________.
【答案】-16
【解析】法一此题最适合的方法是特例法.
假设ABC是以AB=AC的等腰三角形,如图,
AM=3,BC=10,AB=AC=.
cos∠BAC=.=
法二:.
14.【2012高考真题上海理12】在平行四边形中,,边、的长分别为2、1,若、分别是边、上的点,且满足,则的取值范围是 。
【答案】[2,5].
【解析】设=(0≤≤1),
则=,=,
则==
=+++,
又∵=2×1×=1,=4,=1,
∴=,
∵0≤≤1,∴2≤≤5,即的取值范围是[2,5].
15.【2012高考真题山东理16】如图,在平面直角坐标系中,一单位圆的圆心的初始位置在,此时圆上一点的位置在,圆在轴上沿正向滚动。当圆滚动到圆心位于时,的坐标为______________.
【答案】
【解析】因为圆心移动的距离为2,所以劣弧,即圆心角,,则,所以,
,所以,,所以。
16.【2012高考真题北京理13】已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则的值为________,的最大值为______。
【答案】1,1
【解析】根据平面向量的数量积公式,由图可知,,因此,
,而就是向量在边上的射影,要想让最大,即让射影最大,此时E点与B点重合,射影为,所以长度为1.
17.【2012高考真题安徽理14】若平面向量满足:,则的最小值是。
【答案】
【命题立意】本题考查平面向量的模与数量积的运算。
【解析】
18.【2012高考江苏9】(5分)如图,在矩形中,点为的中点,点在边上,若,则的值是 ▲ .
【答案】。
【考点】向量的计算,矩形的性质,三角形外角性质,和的余弦公式,锐角三角函数定义。
【解析】由,得,由矩形的性质,得。
∵,∴,∴。∴。
记之间的夹角为,则。
又∵点E为BC的中点,∴。
∴
。
本题也可建立以为坐标轴的直角坐标系,求出各点坐标后求解。