2017年全国高考理科数学试题及答案-全国卷288021 20页

绝密★启用前 ‎2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷2）‎ 理科数学 注意事项：‎ ‎ 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。‎ ‎2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚 ‎3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效 ‎4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。‎ ‎5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1. （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2. 设集合，．若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）‎ A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏 ‎4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ ）‎ A． ‎ B． C． D．‎ ‎5. 设，满足约束条件，则的最小值是（ ）‎ A． B． C．1 D．9‎ ‎6. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）‎ A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 ‎7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（ ）‎ A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩 ‎8. 执行右面的程序框图，如果输入的，则输出的（ ）‎ A．2‎ B．3‎ C．4‎ D．5‎ ‎9. 若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为（ ）‎ A．2 B．‎ C． D．‎ ‎10. 已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11. 若是函数的极值点，则的极小值为（ ）‎ A. B. C. D.1‎ ‎12. 已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（ ）‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13. 一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件数，则 ．‎ ‎14. 函数（）的最大值是 ．‎ ‎15. 等差数列的前项和为，，，则 ．‎ ‎16. 已知是抛物线：的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则 ．‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17.（12分）‎ 的内角所对的边分别为，已知，‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，的面积为2，求．‎ ‎18.（12分）‎ 海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）某频率分布直方图如下：‎ （1） 设两种养殖方法的箱产量相互独立，记表示事件“旧养殖法的箱产量低于‎50kg, 新养殖法的箱产量不低于‎50kg”‎,估计的概率；‎ （2） 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：‎ 箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 新养殖法 （3） 根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）‎ P（）‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎ ‎ ‎19.（12分）‎ 如图，四棱锥中，侧面为等比三角形且垂直于底面， 是的中点.‎ ‎（1）证明：直线 平面PAB ‎（2）点在棱上，且直线与底面所成角为 ，求二面角的余弦值 ‎20. （12分）‎ 设为坐标原点，动点在椭圆：上，过做轴的垂线，垂足为，点满足.‎ ‎（1）求点的轨迹方程；‎ ‎（2）设点在直线上，且.证明：过点且垂直于的直线过的左焦点. ‎ ‎21.（12分）‎ 已知函数，且。‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）证明：存在唯一的极大值点，且.‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题计分。‎ ‎22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）为曲线上的动点，点在线段上，且满足,求点的轨迹的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点的极坐标为，点在曲线上，求面积的最大值．‎ ‎23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ 已知，证明：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）．‎ ‎2017年普通高等学校招生全国统一考试全国卷2‎ 理科数学参考答案 一、选择题：‎ ‎1. D 2. C 3. B 4. B 5. A 6. D ‎7. D 8. B 9. A 10. C 11. A 12. B 二、填空题：‎ ‎13. 1.96 14. 1 15. 16. 6‎ 三、解答题：‎ ‎17.（12分）解：‎ ‎（1）由题设及得，故 上式两边平方，整理得 ‎ 解得 ‎ ‎（2）由，故 又 由余弦定理及得 所以 ‎18.（12分）‎ 解：‎ ‎（1）记表示事件“旧养殖法的箱产量低于50”， 表示事件“新养殖法的箱产量不低于50”.‎ 由题意知 旧养殖法的箱产量低于50的频率为 ‎，‎ 故的估计值为0.62‎ 新养殖法的箱产量不低于50的频率为 ‎，‎ 故的估计值为0.66‎ 因此，事件的概率估计值为 ‎（2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表 箱产量 箱产量 旧养殖法 新养殖法 由于，故有的把握认为箱产量与养殖方法有关。‎ ‎（3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于的直方图面积为 ‎，‎ 箱产量低于的直方图面积为 ‎，‎ 故新养殖法箱产量的中位数的估计值为 ‎19.（12分）‎ 解：‎ ‎（1）取的中点，连接，‎ 因为是的中点，‎ 所以，‎ 由 得，‎ 又，‎ 所以，‎ 四边形是平行四边形，，‎ 又平面，平面，‎ 故平面 ‎（2）由已知得，以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ‎，‎ 设，则 因为与底面所成的角为，而是底面的法向量，‎ 所以，‎ 即 ①‎ 又在棱上，设，则 ‎ ②‎ 由①，②解得（舍去），‎ 所以，从而 设是平面的法向量，则 ‎ 即 所以可取，‎ 于是 因此二面角的余弦值为 ‎20. （12分）‎ 解：‎ ‎（1）设，，‎ 则 由得 ‎ 因为在上，所以 因此点的轨迹方程为 ‎（2）由题意知 设，则 ‎，‎ 由得 又由（1）知，故 所以，即.‎ 又过点存在唯一直线垂直于，‎ 所以过点且垂直于的直线过的左焦点.‎ ‎21.（12分）‎ 解：‎ ‎（1）的定义域为 设，则等价于 因为，‎ 故，‎ 而，‎ 得 若，则 当时，单调递减；‎ 当时，单调递增 所以是的极小值点，故 综上，‎ ‎（2）由（1）知 设，则 当时，；当时，.‎ 所以在单调递减，在单调递增.‎ 又，所以在有唯一零点，在有唯一零点1，且当时，；当时，；当时，.‎ 因为，所以是的唯一极大值点.‎ 由得，故.‎ 由得.‎ 因为是在的最大值点，由得 ‎.‎ 所以 ‎（二）选考题：‎ ‎ 22.解：‎ ‎（1）设的极坐标为，的极坐标为.‎ 由题设知 由得的极坐标方程 因此的直角坐标方程为 ‎（2）设点的极坐标为.‎ 由题设知，‎ 于是面积 ‎.‎ 当时，取得最大值 所以面积的最大值为 ‎23.解：‎ ‎（1）‎ ‎（2）因为 所以，因此.‎