- 1.13 MB
- 2021-05-14 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
应用一、求最值
直接求
例 1、若 , 是正数,则 的最小值是【 】
A. B.
C. D.
例 2、设 的最大值为【 】
A. B. C. D.
练习 1.若 ,则 的最小值为 .
练习 2.设 为正数, 则 的最小值为【 】
A. B. C. D.
练习 3.若 ,且函数 在 处有极值,则 的最大值等于【 】
A. B. C. D.
练习 4.某公司一年购买某种货物 吨,每次都购买 吨,运费为 万元/次,一年的总存储费用为 万
元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则 吨.
练习 5.求下列函数的值域:
(1) (2)
练习 6.已知 , , 成等差数列, 成等比数列,则
的最小值是【 】
A. B. C. D.
例 3、已知 则 最小值为【 】
A. B. C. D.
凑系数
例 4、若 ,且 ,则 的最大值是 .
练习 1.已知 ,且满足 ,则 的最大值为 .
练习 2. 当 时,求 的最大值.
凑项
例 5、若函数 在 处取最小值,则 【 】
A. B. C. D.
练习 1.已知 ,求函数 的最大值.
练习 2.函数 的最小值为【 】
A. B. C. D.
练习 3.函数 的最小值为【 】
A.
B. C. D.
0x > 2x x
+
0x > 0y > x a b y, , , x c d y, , ,
2( )a b
cd
+
x y 22 )2
1()2
1( xyyx +++
3 2
7 4 2
9
yxbababaRyx yx 11,32,3,1,1,, +=+==>>∈ 则若
2 2
3 1 2
1
,x y 1 4( )( )x y x y
+ +
6 9 12 15
0,0 >> ba 224)( 23 +−−= bxaxxxf 1=x ab
2 3 6 9
400 x 4 4x
x =
2
2
2
13 xxy +=
xxy 1+=
0 4 2 1
0, 0, 0 1,a b c a b c> > > + + =且 1 1 1( 1)( 1)( 1)a b c
− − −
5 6 7 8
x y ∈ +R, 14 =+ yx x y⋅
,x y R+∈ 13 4
x y+ = xy
40 << x (8 2 )y x x= −
)2(2
1)( >−+= xxxxf x a= a =
21+ 31+ 3 4
5
4x < 14 2 4 5y x x
= − + −
1 ( 3)3 x xx
+ >−
2 3 4 5
2 32 ( 0)x xx
+ >
3 93 2
3 94 2
3 95 2
3 9
2
两次用不等式
例 6、已知 ,则 的最小值为__________.
例 7、已知 ,则 的最小值是【 】
A. B. C. D.
例 8、设 ,则 的最小值是【 】
A. B. C. D.
练习 1.设 ,则 的最小值是【 】
A. B. C. D.
练习 2.设 ,则 的最小值是【 】
A. B. C. D.
练习 3.设 ,则 的最小值是【 】
A.
B. C. D.
练习 4.设 ,则 的最小值是 .
换元
例 9、若 的最大值是 .
练习 1.设 的最小值是【 】
A. B.
C. D.
例 10、设 是实数,且 则 的最小值是【 】
A. B. C. D.
练习 1.若 则最大值是
练习 2.若 且 则 【 】
A.无最大值也无最小值 B.无最大值但有最小值
C.有最大值但无最小值 D.有最大值也有最小值
消元
例 11、设 为正实数,满足 ,则 的最小值是 .
练习 1。已知实数 满足 ,则 的取值范围为
两次用
例 12、已知正数 满足 则 的最小值是【 】
2 2log log 1a b+ ≥ 3 9a b+
0, 0a b> > 1 1 2 aba b
+ +
2 2 2 4 5
0a b c> > > 2 21 12 10 25( )a ac cab a a b
+ + − +−
2 4 2 5 5
0a b> > ( )2 1 1a ab a a b
+ + −
1 2 3 4
0a b> > 2 1
( )a b a b
+ −
2 3 4 5
0a b≥ > 1
(2 )a b a b
+ −
33 22
33 32
32 2 33 42
2 0a b> > 2 9( ) ( 2 )a b b a b
− + −
yxyx −=+ 则,422
bababa +=+∈ 则,62,, 22R
22−
3
35− 3−
2
7−
,x y 2 2 4,x y+ = 2
2
xyS x y
= + −
2− 2− 2 2 2− 2( 2 1)+
2 2 1,x y+ =
1
xy
x y+ −
0 1,0 1,a x y< < < ≤ < (log )(log ) 1a ax y = xy
, ,x y z 2 3 0x y z− + =
2y
xz
, , 0a b c > 9, 24,a b c ab bc ca+ + = + + = b
, ,x y z 2 2 2 1,x y z+ + = 1
2
zS xyz
+=
A. B. C. D.
练习 1。已知正数 满足 则 的最小值是【 】
A. B. C. D.
练习 2.已知 均为正数,则 的最大值是【 】
A.
B. C. D.
练习 3.已知实数 满足 则 的最大值是
整体代换
例 13、已知 ,则 的最小值是【 】
A. B. C. D.
例 14、函数 的图象恒过定点 ,若点 在直线 上,则
的最小值为 .
例 15、设 若 的最小值为
A. B. C. D.
例 16、已知 都是正实数,且满足 ,则使 恒成立的 的取值范围
是
A. B. C. D.
练习 1.函数 的图象恒过定点 ,若点 在直线 上,
其中 ,则 的最小值为__________.
练习 2.若 ,且 ,则 的最小值为 .
练习 3.已知 ,且 ,求 的最小值.
练习 4.若 且 ,求 的最小值.
练习 5.已知 且 ,求 的最小值.
练习 6.已知 则 的最小值等于【 】
A. B. C. D.
3 3(1 3)
2
+
4 2( 2 1)+
, ,x y z 2 2 2 1,x y z+ + =
2
1
2S xyz
=
3 9
2 4 2 3
, ,x y z 2 2 2
xy yz
x y z
+
+ +
2
2
2 2 2 2 3
, ,x y z 2 2 2 1,x y z+ + = 2xy yz+
2,0,0 =+>> baba 1 4y a b
= +
7
2 4 9
2 5
1 ( 0 1)xy a a a−= > ≠, A A 1 0( 0)mx ny mn+ − = >
1 1
m n
+
0, 0.a b> > 1 13 3 3a b
a b
+是 与 的等比中项,则
8 4 1 1
4
, ,a b c 9 3log (9 ) loga b ab+ = 4a b c+ ≥ c
4[ ,2)3 [0,22) [2,23) (0,25]
log ( 3) 1ay x= + − ( 0 1)a a> ≠且, A A 1 0mx ny+ + =
0mn > 1 2
m n
+
+∈ Ryx, 12 =+ yx yx
11 +
0, 0x y> > 1 9 1x y
+ = x y+
+∈ Ryx, 12 =+ yx
yx
11 +
+∈ Ryxba ,,, 1=+
y
b
x
a yx +
2
1 2 1 21, 1, 1000,x x x x> > =
1 2
1 3
lg lgx x
+
4 4 6
3
7 2 6
3
+ 7 2 6
3
−
练习 7.若 为常数,则 的最小值是
练习 8.已知 恒成立,则 的取值范围是
练习 9. 则 最小值为
分离法【分式】
例 17、 ,则函数 的最小值为__________.
例 18、已知 有【 】
A.最大值 B.最小值 C.最大值 D.最小值
练习 1.求 的值域.
练习 2.若 ,则函数 的最小值为 .
放缩法—— 解不等式
例 19、设 为实数,若 则 的最大值
是 .
例 20 已知 ,则 的最小值是 .
例 21、若 是 与 的等比中项,则 的最大值为【 】
A. B. C. D.
练习 1.若实数 满足 ,则 的最大值是__________.
练习 2.若正实数 满足 则 的最小值是
练习 3.已知 则 的最小值是【 】
A. B. C. D.
练习 4.已知 ,求 的最小值.
练习 5:已知 恒成立,则 的最小值是 .
练习 6.若直角三角形周长为 ,求它的面积最大值.
练习 7.若实数 满足 则 的取值范围是
取平方
例 22、若 且 ,则 的最小值是【 】
A. B. C. D.
练习 1.若 且 ,则 的最小值为【 】
A. B. C. D.
练习 2.已知 为正实数, ,求函数 的最值.
取平方+解不等式
例 23、已知 则 最小值为【 】
0 1, ,x a b< <
2 2
1
a b
x x
+ −
1 1 ma b c a b b c a c
> > + ≥− − −且 m
, (0, ), 3 1,a b a b∈ +∞ + = 1 1
3a b
+
0t >已知
2 4 1t ty t
− +=
42
54)(,2
5 2
−
+−=≥
x
xxxfx 则
4
5
4
5 1 1
2 7 10 ( 1)1
x xy xx
+ += > −+
1x > 2
1 16
1
xy x x x
= + + +
,x y 2 24 1,x y xy+ + = 2x y+
( )2 3 2 0, 0x yx y
+ = > > xy
a 1 2b+ 1 2b− 2
2
ab
a b+
2 5
15
2
4
5
5
2
2
,x y 2 2 1x y xy+ + = x y+
,X Y 2 6 ,X Y XY+ + = XY
0, 0, 2 2 8x y x y xy> > + + = , 2x y+
3 4 9
2
11
2
1)(,0,0 =+−>> baabba ba +
5 3 2( 0, 0)x yx y
+ = > > xy
1
,x y 1 14 4 2 2x y x y+ ++ = + 2 2x yt = +
, , 0a b c > 2 2 2 4 12a ab ac bc+ + + = a b c+ +
2 3 3 2 3
, , 0a b c > ( ) 4 2 3a a b c bc+ + + = − 2a b c+ +
3 1− 3 1+ 2 3 2+ 2 3 2−
yx, 1023 =+ yx yxW 23 +=
0, 0, 0 1,a b c a b c> > > + + =且 2 2 2a b c+ +
A. B. C. D.
结合单调性——与函数
例 24、若 ,则 的最小值为【 】
A. B. C. D.
练习 1.求函数 的值域.
练习 2.求下列函数的最小值,并求取得最小值时 的值.
(1) (2)
(3)
练习 3.已知 ,求函数 的最大值.
练习 4. ,求函数 的最大值.
练习 5.设 且 的最大值是【 】
A. B. C. D.
例 25、已知 ,则 的最小值是【 】
A. B. C. D.
练习 1.若实数 的最大值是
用另一个公式
例 26、函数 的最大值为 .
练习 1.已知 ,则 的最大值是【 】
A. B. C. D.
例 27、已知 则 最小值为【 】
A. B. C. D.
直接取值【讨论】
例 28、 则 的最小值【 】
A. B. C. D.
, , 2 2 2 ,2 2 2 2 ,a b a b a b c a b ca b c c+ + ++ = + + =满足 则
1
2
1
3
1
4
1
5
, , 1a b R a b+∈ + = 1ab ab
+
14 4
14 2
12 4
2
2
2
5
4
xy
x
+=
+
x
2 3 1,( 0)x xy xx
+ += > 12 , 33y x xx
= + >−
12sin , (0, )siny x xx
π= + ∈
0 1x< < (1 )y x x= −
20 3x< < (2 3 )y x x= −
+∈ Rba, 2242,12 baabSba −−==+
12 −
2
12 −
12 +
2
12 +
1a b+ = 4 4a b+
1 1
2
1
4
1
8
3 1 3x x+ −
2
2, , 1,2
ba b R a+∈ + = 21a b+
1 1
2
3 24
2
2
0, 0, 0 1,a b c a b c> > > + + =且 2 2 2
1 1 1
a b c
+ +
12 18 24 27
,2,2,1 222222 =+=+=+ accbba cabcab ++
13 2
− 1 32
− 1 32
− − 1 32
+
应用二、恒成立问题
例 1、若 ,且 ,则下列不等式中,恒成立的是【 】
A. B.
C. D.
例 2、设 是互不相等的正数,则下列等式中不恒成立的是【 】
A. B.
C. D.
例 3、设 则以下不等式中不恒成立的是【 】
A. B.
C. D.
例 4、已知不等式 对任意正实数 恒成立,则正实数
的最小值为【 】
A. B. C. D.
例 5、若直线 通过点 ,则【 】
A. B. C. D.
练习 1.设 ,则下列不等式中不成立的是【 】
A. B.
C. D.
练习 2.已知下列不等式:① ;② ;
③ .
其中正确的个数是【 】
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
练习 3.已知 且 ,求使不等式 恒成立的实数 的取值范围.
练习 4.若 ,且 恒成立,则 的最小值是【 】
A. B. C. D.
练习 5.已知 ,则使不等式 成立的最小 的值是【 】
A. B. C. D.
练习 6.是否存在常数 ,使得不等式 对任意正数
恒成立,试证明你的结论.
,a b R∈ 0ab >
2 2 2a b ab+ > 2a b ab+ ≥
1 1 2
a b ab
+ > 2b a
a b
+ ≥
, ,a b c
|||||| cbcaba −+−≤−
aa
a
a 11
2
2 +≥+
21|| ≥−+−
baba aaaa −+≤+−+ 213
,0,0 >> ba
( ) 1 1 4a b a b
+ + ≥
233 2abba ≥+
baba 22222 +≥++ baba −≥− ||
1( )( ) 9ax y x y
+ + ≥ ,x y a
8 6 4 2
1x y
a b
+ = ( )cos sinM α α,
2 2 1a b+ ≤ 2 2 1a b+ ≥ 2 2
1 1 1a b
+ ≤ 2 2
1 1 1a b
+ ≥
+∈ Rba,
4)11)(( ≥++
baba ab
ab
ba 2
22
≥+
21 ≥+
ab
ab abba
ab ≤+
2
)(233 +∈>+ Rxxx ),(322355 +∈+≥+ Rbabababa
)1(222 −−≥+ baba
0 1 2 3
0, 0x y> > 1 9 1x y
+ = x y m+ ≥ m
+∈ Ryxa ,, yxayx +≤+ a
22 2 2 1
,a b R+∈ 3 3 3( ) ( )a b k a b+ ≤ + k
1 2 3 4
c yx
y
yx
xcyx
y
yx
x
+++≤≤+++ 2222 yx,
应用三、证明不等式
例 1、已知 且 ,求证: .
例 2、若 且 ,求证: .
例 3、已知 是互不相等的正数且 ,求证: .
练习 1.在某两个正数 之间插入一个数 ,使 成等差数列;若插入两个数 ,使
成等比数列,求证: .
练习 2.证明:对于任意实数 有 .
应用四、比较大小
例 1、若 ,则 的大小关系是
.
例 2、若 ,则 中最大的是 .
练习 1.若 ,且 ,则下列代数式中值最大的是【 】
A. B. C. D.
1 2 1 20 ,0a a b b< < < < 1 2 1 2 1a a b b+ = + =
1 1 2 2a b a b+ 1 2 1 2a a b b+ 1 2 2 1a b a b+
2
1
0,0 >> ba 1=+ ba 4
25)1)(1( ≥++
bbaa
+∈ Rba, 1=+ ba 22
1
2
1 ≤+++ ba
zyx ,, 1=++ zyx 8)11)(11)(11( >−−−
zyx
yx, a yax ,, cb,
ycbx ,,, )1)(1()1( 2 ++≥+ cba
,, yx 244 )(2
1 yxxyyx +≥+
)2lg(),lg(lg2
1,lglg,1 baRbaQbaPba
+=+=⋅=>> RQP ,,
baba ≠<<<< 且,10,10 abbaabba 2,,2, 22 ++