天津工业大学附中高考数学一轮复习单元精品训练空间几何体 6页

天津工业大学附中2019届高考数学一轮复习单元精品训练：空间几何体 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．‎ 第Ⅰ卷(选择题　共60分)‎ 一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．下列各图是正方体或正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点中不共面的一个图是( )‎ ‎【答案】D ‎2．如图是某一几何体的三视图，则这个几何体的体积为( )‎ A．4 B．8 C．16 D．20[来源:Zxxk.Com]‎ ‎【答案】A ‎3．若△ABC中，∠C＝90°，A(1,2，－3k)，B(－2,1,0)，C(4,0，－2k)，则k的值为( )‎ A． B．－ C．2 D．± ‎【答案】D ‎4．在下列四个正方体中，能得出异面直线AB⊥CD的是( )‎ ‎【答案】A ‎5．8、△ABC的边BC在平面 α内， A不在平面 α内， △ABC与α所成的角为θ（锐角）， AA＇⊥α，则下列结论中成立的是( )‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】B ‎6．已知空间四边形ABCD，M、G分别是BC、CD的中点，连结AM、AG、MG，则+等于( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎7．空间有9个点，其中任四点不共面，在这9个点间连接若干条线段，构成三角形个。若图中不存在四面体，则的最大值是( )‎ A． 7 B． 9 C． 20 D． 不少于27‎ ‎【答案】D ‎8．在空间直角坐标系中点P（1，3，－5）关于对称的点的坐标是( )‎ A．（－1，3，－5） B．（1，－3，5） ‎ C．（1，3，5） D．（－1，－3，5）‎ ‎【答案】C ‎9．下面列举的图形一定是平面图形的是( )‎ A．有一个角是直角的四边形 B．有两个角是直角的四边形 ‎ C．有三个角是直角的四边形 D．有四个角是直角的四边形 ‎【答案】D ‎10．将棱长为a的正四面体和棱长为a的正八面体的一个面重合，得到的新多面体的面数是( )‎ A．7 B．8 C．9 D．10‎ ‎【答案】A ‎11．用一个平面截去正方体一角，则截面是( )‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．正三角形 ‎【答案】A ‎12．一圆锥侧面展开图为半圆，平面与圆锥的轴成角，则平面与该圆锥侧面相交的交线为( )‎ A． 圆 B． 抛物线 C． 双曲线 D． 椭圆 ‎【答案】D 第Ⅱ卷(非选择题　共90分)‎ 二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)‎ ‎13．在四面体O——ABC中，，D为BC的中点，E为AD的中点，则= (用表示）‎ ‎【答案】‎ ‎14．已知, , . 若将坐标平面沿x轴折成直二面角, 则折后的余弦值为 ‎ ‎【答案】，‎ ‎15．如图是一个空间几何体的主视图、侧视图、俯视图，如果主视图、侧视图所对应的三角形皆为边长为2的正三角形，俯视图对应的四边形为正方形，那么这个几何体的体积为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎16．已知四棱锥P-ABCD的三视图如图所示，则四棱锥P-ABCD的体积为____________‎ ‎【答案】‎ 三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)‎ ‎17．我们将侧棱和底面边统称为棱，则三棱锥有４个面，６条棱，４个顶点，如果面数记作，棱数记作，顶点数记作，那么，，之间有什么关系？再用三棱柱，四棱台检验你得到的关系式，你知道这是个什么公式？‎ ‎【答案】这个是欧拉式．‎ ‎18．如图，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD是矩形，PA ⊥平面 ABCD，PA＝AD =AB.点M为线段PD的中点．‎ ‎ (I）证明：平面ABM⊥平面PCD;‎ ‎ (II）求BM与平面PCD所成的角．‎ ‎【答案】 (Ⅰ)∵平面，.‎ 底面是矩形，.‎ 平面.‎ 平面，‎ 又，点M为线段PD的中点，‎ 平面.[来源:1ZXXK]‎ 又平面，‎ ‎∴平面⊥平面.‎ ‎(Ⅱ)，平面.‎ ‎∴点B到平面PCD的距离与点A到平面PCD的距离相等.‎ 由(Ⅰ)知，，‎ 平面，即点到平面的距离为.‎ 设，则.‎ 点B到平面PCD的距离为.‎ 在中，求得.‎ 设BM与平面PCD所成的角为，‎ 则.‎ 所以BM与平面PCD所成的角为.‎ ‎19．如图，圆柱轴截面ABCD是正方形，E是底面圆周上不同于A、B的一点，AF⊥DE于F。‎ ‎(1）求证：AF⊥BD ‎(2）若圆柱的体积是三棱锥D-ABE的体积的倍，‎ 求直线DE与平面ABCD所成角的正切值。‎ ‎【答案】（1）∵ ∴ ‎ ‎∵为底面圆的直径 ∴ ‎ ‎ ∵ 　 ∴[来源:学&科&网Z&X&X&K]‎ ‎(２）过E在底面上作于，连结 于是为直线与平面所成的角 ‎ 设圆柱的底面半径为，则其母线为 由 即 ‎ ‎ 得 即为底面圆心 ‎ 又 ‎ ‎20．如图，在空间中的直角三角形ABC与直角梯形EFGD中，平面ABC//平面DEFG，AD⊥平面DEFG，AC∥DG.且AB=AD＝DE=DG=2,AC=EF=1.‎ ‎ (Ⅰ）求证：四点B、C、F、G共面；‎ ‎ (Ⅱ）求平面ADGC与平面BCGF所组成的二面角余弦值；‎ ‎ (Ⅲ） 求多面体ABC-DEFG的体积.‎ ‎【答案】由 AD⊥面DEFG和直角梯形EFGD可知，AD、DE、DG两两垂直，建立如图的坐标系，则A（0，0，2），B（2，0，2），C（0，1，2），E（2，0，0），G（0，2，0），F（2，1，0）‎ ‎(1）‎ ‎∴，即四边形BCGF是平行四边形.‎ 故四点B、C、F、G共面. ‎ ‎(2），‎ 设平面BCGF的法向量为，‎ 则，‎ 令，则，‎ 而平面ADGC的法向量 ‎ 故面ADGC与面BCGF所组成的二面角余弦值为. ‎ ‎(3）设DG的中点为M，连接AM、FM，则＝‎ 解法二 (1）设DG的中点为M，连接AM、FM，则由已知条件易证四边形DEFM是 平行四边形，所以MF//DE，且MF＝DE 又∵AB//DE，且AB＝DE ∴MF//AB，且MF＝AB ‎∴四边形ABMF是平行四边形，即BF//AM，且BF＝AM ‎ 又∵M为DG的中点，DG=2,AC＝1，面ABC//面DEFG ‎∴AC//MG，且AC＝MG，即四边形ACGM是平行四边形 ‎∴GC//AM，且GC＝AM 故GC//BF，且GC＝BF，‎ 即四点B、C、F、G共面4分 ‎ (2）∵四边形EFGD是直角梯形，AD⊥面DEFG ‎∴DE⊥DG，DE⊥AD，即DE⊥面ADGC ， ‎ ‎∵MF//DE，且MF＝DE ， ∴MF⊥面ADGC 在平面ADGC中，过M作MN⊥GC，垂足为N，连接NF，则 显然∠MNF是所求二面角的平面角. ‎ ‎∵在四边形ADGC中，AD⊥AC，AD⊥DG，AC=DM＝MG＝1‎ ‎∴ ， ∴MN＝‎ 在直角三角形MNF中，MF＝2，MN 故面ADGC与面BCGF所组成的二面角余弦值为 ‎ ‎ (3）＝＝[来源:学#科#网Z#X#X#K]‎ ‎21．在四棱锥P—ABCD中，已知PA垂直于菱形ABCD所在平面，M是CD的中点，，AB=PA=‎2a，AE⊥PD于PD上一点E。‎ ‎(1）求证：ME∥平面PBC；‎ ‎(2）当二面角M—PD—A的正切值为时，求AE与PO所成角。‎ ‎【答案】（1） 又PA=AD=‎2a，AE⊥PD 为PD的中线， 又M为CD的中点 AE∥PC 故ME∥平面PBC ‎(2）过M作MH⊥AD于H，‎ PA⊥平面ABCD ‎ 过H作HN⊥PD于N，连MN则MN在[来源:学_科_网Z_X_X_K]‎ 平面PAD内的射影为HN 故HN⊥PD ‎ 故 ‎ 设，则MH=‎ 在Rt△ABC中NH=MH 在Rt△HND中 ‎ 即 故 取OD的中点G，连AG，EC 故EG∥PO且EG=OP 为异面直线AE与OP所成角 故AE与OP所成的角为 ‎22．已知A(1 , -2 , 11) , B(4 , 2 , 3) ,C(6 , -1 , 4) , 求证: ABC是直角三角形.‎ ‎【答案】证明: ‎ 为直角三角形.‎