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- 2021-05-14 发布
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2013年上海高考数学试题(文科)
一、填空题(本大题共有14题,满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.
1.不等式的解为 .
2.在等差数列中,若,则 .
3.设,是纯虚数,其中是虚数单位,则 .
4.若,,则 .
5.已知的内角、、所对的边分别是,,.若,则角的大小是 (结果用反三角函数值表示).
6.某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%.在一次考试中,男、女生平均分数分别为75、80,则这次考试该年级学生平均分数为 .
7.设常数.若的二项展开式中项的系数为-10,则 .
8.方程的实数解为 .
9.若,则 .
10.已知圆柱的母线长为,底面半径为,是上地面圆心,、是下底面圆周上两个不同的点,是母线,如图.若直线与所成角的大小为,则 .
11.盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7的七个球,从中任意取出两个,则这两个球的编号之积为偶数的概率是 (结果用最简分数表示).
12.设是椭圆的长轴,点在上,且.若,,则的两个焦点之间的距离为 .
13.设常数,若对一切正实数成立,则的取值范围为 .
14.已知正方形的边长为1.记以为起点,其余顶点为终点的向量分别为、、;以为起点,其余顶点为终点的向量分别为、、.若且,则的最小值是 .
二、选择题(本大题共有4题,满分20分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.
15.函数的反函数为,则的值是( )
(A) (B) (C) (D)
16.设常数,集合,.若,则的取值范围为( )
(A) (B) (C) (D)
17.钱大姐常说“好货不便宜”,她这句话的意思是:“好货”是“不便宜”的( )
(A)充分条件 (B)必要条件
(C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件
18.记椭圆围成的区域(含边界)为,当点分别在上时,的最大值分别是,则( )
C、2 D、
三.解答题(本大题共有5题,满分74分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域写出必要的步骤.
19.(本题满分12分)
如图,正三棱锥底面边长为,高为,求该三棱锥的体积及表面积.
20.(本题满分14分)本题共有2个小题.第1小题满分6分,第2小题满分8分.
甲厂以千米/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求),每小时可获得的利润是元.
(1)求证:生产千克该产品所获得的利润为;
(2)要使生产千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该如何选取何种生产速度?并求此最大利润.
21.(本题满分14分)本题共有2个小题.第1小题满分6分,第2小题满分8分.
已知函数,其中常数.
(1)令,判断函数的奇偶性并说明理由;
(2)令,将函数的图像向左平移个单位,再往上平移个单位,得到函数的图像.对任意的,求在区间上零点个数的所有可能值.
22.(本题满分16分)本题共有3个小题.第1小题满分3分,第2小题满分5分,第3小题满分8分.
已知函数.无穷数列满足.
(1)若,求,,;
(2)若,且,,成等比数列,求的值;
(3)是否存在,使得,,,…,…成等差数列?若存在,求出所有这样的;若不存在,说明理由.
23.(本题满分18分)本题共有3个小题.第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分9分.
如图,已知双曲线:,曲线:.是平面内一点,若存在过点的直线与、都有公共点,则称为“型点”.
(1)在正确证明的左焦点是“型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证);
(2)设直线与有公共点,求证,进而证明原点不是“型点;
(3)求证:圆内的点都不是“型点”.