高考真题——理科数学新课标II卷 7页

‎2015年普通高等学校招生全国统一考试新课标II卷 数学（理科）‎ 一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。‎ ‎1．已知集合，，则( )‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎2．若为实数且，则( )‎ ‎（A） （B）0 （C）1 （D）2‎ ‎3．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。以下 结论不正确的是（ ） （A）逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 ‎（B）2007年我国治理二氧化硫排放显现 （C）2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 　 （D）2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 ‎4．等比数列满足，，则( ) ‎ ‎（A）21 　　 （B）42 　　 （C）63 （D）84‎ ‎5．设函数，则 ( ) ‎ ‎ （A）3 （B）6 （C）9 （D）12‎ ‎6．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( ) （A） （B） （C） （D）‎ ‎7．过三，，的圆交于轴于两点，则( )‎ ‎（A）2 （B）8 （C）4 （D）10‎ ‎8．右边程序抗土的算法思路源于我国古代数 学名著《九章算术》中的“更相减损术”。 执行该程序框图，若输入分别为，则输出的( ) （A）0 （B）2 （C）4 （D）14‎ ‎9．设是球的球面上两点，，为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为36，则球的表面积为( )‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎ 10．如图，长方形的边，，是的中点，点沿着边，与运动，记，将动点到两点距离之和表示为的函数，则的图像大致为（ ）‎ ‎11．已知为双曲线的左，右顶点，点在上，为等腰三角形，且顶角为，则的离心率为( ) （A） （B）2 （C） （D）‎ ‎12．设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是( ) （A）‎ ‎（B） （C） （D）‎ 二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。‎ ‎13．设向量不平行，向量与平行，则实数________。‎ ‎14．若满足约束条件，则的最大值为__________。‎ ‎15．的展开式中的奇数次幂项的系数之和为32，则__________。‎ ‎16．设是数列的前n项和，且，，则 __________。‎ 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（本小题满分12分）中，是上的点，平分，是面积的2倍。⑴求；⑵若，，求和的长。‎ 地区 ‎62‎ ‎73‎ ‎81‎ ‎92‎ ‎95‎ ‎85‎ ‎74‎ ‎64‎ ‎53‎ ‎76‎ ‎78‎ ‎86‎ ‎95‎ ‎66‎ ‎97‎ ‎78‎ ‎88‎ ‎82‎ ‎76‎ ‎89‎ 地区 ‎73‎ ‎83‎ ‎62‎ ‎51‎ ‎91‎ ‎46‎ ‎53‎ ‎73‎ ‎64‎ ‎82‎ ‎93‎ ‎48‎ ‎65‎ ‎81‎ ‎74‎ ‎56‎ ‎54‎ ‎76‎ ‎65‎ ‎79‎ 满意度评分 低于70分 ‎70分到89分 不低于90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 ‎18．（本小题满分12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如右表所示。⑴根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；⑵根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级（右表所示）。记事件：“地区用户的满意度等级高于地区用户的满意度等级”。假设两地区用户的评价结果相互独立。根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求的概率。‎ ‎19．（本小题满分12分）长方体中（如图），，，，点分别在上，，过点的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。⑴在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；⑵求直线与平面所成的角的正弦值。‎ ‎20．（本小题满分12分）已知椭圆：，直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为。⑴证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；⑵若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率；若不能，说明理由。‎ ‎21．（本小题满分共12分）设函数。⑴证明：在单调递减，在单调递增；⑵若对于任意，都有，求的取值范围。‎ 请考生在第（22）、（23）、（24‎ ‎）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。‎ ‎22．（本小题满分10分）如图，为等腰三角形内一点，⊙与的底边交于两点，与底边上的高交于点，且与分别相切于两点。⑴证明：；⑵若等于⊙的半径，且，求四边形的面积。‎ ‎23．（本小题10分）在直角坐标系中，曲线：（为参数，），其中，在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线：，：。⑴求与交点的直角坐标；⑵若与相交于点，与相交于点，求的最大值。‎ ‎24．（本小题满分10分）设均为正数，且，证明：⑴若，则；⑵是的充要条件。‎ ‎2015年普通高校招生全国统考数学试卷新课标II卷解答 一．ABDBC DCBCB DA 二．13．；14．；15．3；16．‎ ‎ 17．解：⑴由题，。因为，，所以。由正弦定理可得；‎ ‎ ⑵因，故。在和中，由余弦定理可知，，故。由⑴知，所以。‎ ‎ 18．解：⑴两地区用户满意度评分的茎叶图如右下表所示。通过茎叶图可以看出：‎ 地区用户满意度评分的平均值高于地区用户满意度评分的平均值，地区用户满意度评分比较集中，地区用户满意度评分比较分散；‎ 地 区 地 区 ‎4‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎6‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎8‎ ‎6‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎7‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎9‎ ‎9‎ ‎2‎ ‎8‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎8‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎7‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎9‎ ‎1‎ ‎3‎ ⑵记为事件“地区用户满意度等级为满意或非常满意”，为事件“地区用户满意度等级为非常满意”，为事件“地区用户满意度等级为不满意”，为事件“地区用户满意度等级为满意”，则与独立，与独立，与互斥，，故。由题发生的频率分别为，故，，，，故。‎ ‎19．解：⑴交线围成的正方形如图所示；‎ ⑵作于，则，。因为正方形，故，于是，所以。以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，，。设为平面的法向量，则，即。可取。又，故，所以与平面所成角的正弦值为。‎ ‎20．解：⑴设直线：，，，由得，故，‎ ‎，因此，即。所以直线的斜率与的斜率的乘积为定值；‎ ‎ ⑵四边形能为平行四边形。因过点，故不过原点且与有两个交点的充要条件是，。由⑴得：，设的横坐标为，由得，即。将点的坐标代入的方程得，因此。四边形为平行四边形当且仅当线段与线段互相平分，即，于是，解得，。因，，所以当的斜率为或时，四边形为平行四边形。‎ ‎ 21．解：⑴由题，因在上恒成立，所以在上单调递增。又，故当时，；当时，。因此在单调递减，在单调递增；‎ ⑵由⑴知，当时，在的最大值为2，故成立；当时，，，令，则，故在上单调递增。因，故当时，即；当时，即。因此当时，，令，则，故在单调递增，从而可得；当时，，故即。综上可知，的取值范围是。‎ ‎22．解：⑴因是等腰三角形， ，故为的平分线。又⊙与 分别相切于，故，因此，从而；‎ ⑵由⑴知，，，故为的中垂线。又为⊙的弦，故在上。连，则。因等于⊙的半径，故，因此，从而和都是正三角形。因，故，。因，，故，于是，。所以四边形的面积为。‎ ‎ 23．解：⑴曲线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为，解得或。因此与交点的直角坐标为和； ‎ ‎ ⑵曲线的极坐标方程为，故的极坐标为，的极坐标为，所以，当时取得最大值4。‎ ‎24．解：⑴因，，而，，故，从而；‎ ‎ ⑵①若，则，即。因，故，从而；②若，则，即，故，于是，所以。综上得证。‎