2012高考数学二轮专题综合训练圆锥曲线分专题含答案 45页

圆锥曲线综合训练题 一、求轨迹方程：‎ ‎1、（1）已知双曲线与椭圆：有公共的焦点，并且双曲线的离心率与椭圆的离心率之比为，求双曲线的方程．‎ ‎（2）以抛物线上的点M与定点为端点的线段MA的中点为P，求P点的轨迹方程．‎ ‎（1）解：的焦点坐标为由得设双曲线的方程为则 解得 双曲线的方程为 ‎（2）解：设点，则，∴．‎ 代入得：．此即为点P的轨迹方程．‎ ‎2、（1）的底边，和两边上中线长之和为30，建立适当的坐标系求此三角形重心的轨迹和顶点的轨迹．（2）△ABC中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=sinA,求点A的轨迹方程．‎ 解： （1）以所在的直线为轴，中点为原点建立直角坐标系．设点坐标为，由，知点的轨迹是以、为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因，，有，故其方程为．设，，则． ①由题意有代入①，得的轨迹方程为，其轨迹是椭圆（除去轴上两点）．‎ ‎（2）分析：‎ 由于sinA、sinB、sinC的关系为一次齐次式，两边乘以2R（R为外接圆半径），可转化为边长的关系．‎ 解：sinC-sinB=sinA 2RsinC-2RsinB=·2RsinA ‎∴‎ 即 （*）‎ ‎∴点A的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点）‎ ‎∵2a=6，2c=10‎ ‎∴a=3， c=5， b=4‎ 所求轨迹方程为 （x>3）‎ 点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支）‎ ‎3、如图，两束光线从点M（-4，1）分别射向直线y= -2上两点P（x1，y1）和Q（x2，y2）后，反射光线恰好通过椭圆C：（a>b>0）的两焦点，已知椭圆的离心率为，且x2-x1=，求椭圆C的方程.‎ 解：设a=2k，c=k，k≠0，则b=k，其椭圆的方程为.‎ ‎ 由题设条件得：， ①‎ ‎， ②‎ x2-x1=， ③‎ ‎ 由①、②、③解得：k=1，x1=，x2=-1，所求椭圆C的方程为.‎ ‎4、在面积为1的中，，，建立适当的坐标系，求出以、为焦点且过点的椭圆方程．‎ ‎∴所求椭圆方程为 解：以的中点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，设．‎ 则∴即∴得 ‎5、已知点P是圆x2+y2=4上一个动点，定点Q的坐标为（4，0）．‎ ‎（1）求线段PQ的中点的轨迹方程；（2）设∠POQ的平分线交PQ于点R（O为原点），求点R的轨迹方程．‎ 解：（1）设线段PQ的中点坐标为M（x，y），由Q（4，0）可得点P（2x-4，2y），代入圆的方程x2+y2=4可得（2x-4）2+（2y）2=4，整理可得所求轨迹为（x-2）2+y2=1.‎ ‎ （2）设点R（x，y），P（m，n），由已知|OP|=2，|OQ|=4，∴，由角平分线性质可得=，又∵点R在线段PQ上，∴|PR|=|RQ|，∴点R分有向线段PQ的比为，由定比分点坐标公式可得，即，∴点P的坐标为，代入圆的方程x2+y2=4可得，‎ ‎ 即+y2=（y≠0）. ∴点R的轨迹方程为+y2=（y≠0）.‎ ‎6、已知动圆过定点，且与直线相切.(1) 求动圆的圆心轨迹的方程；(2) 是否存在直线，使过点（0，1），并与轨迹交于两点，且满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.‎ 解：（1）如图，设为动圆圆心， ，过点作直线的垂线，垂足为，由题意知：， 即动点到定点与定直线 的距离相等，由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线， ∴ 动点的轨迹方程为 ‎ ‎（2）由题可设直线的方程为，‎ 由得 ‎ ‎ △， ‎ 设，，则，‎ ‎ 由，即 ，，于是，‎ 即，，‎ ‎ ，解得或（舍去），‎ 又， ∴ 直线存在，其方程为 ‎ ‎7、设双曲线的两个焦点分别为，离心率为2.（I）求此双曲线的渐近线的方程；（II）若A、B分别为上的点，且，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（III）过点能否作出直线，使与双曲线交于P、Q两点，且.若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.‎ 解：（I）‎ ‎ ‎ ‎ ，渐近线方程为 4分 ‎ （II）设，AB的中点 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 则M的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为，短轴长为的椭圆.（9分）‎ ‎ （III）假设存在满足条件的直线 ‎ 设 ‎ 由（i）（ii）得 ‎ ∴k不存在，即不存在满足条件的直线. ‎ ‎8、设M是椭圆上的一点，P、Q、T分别为M关于y轴、原点、x轴的对称点，N为椭圆C上异于M的另一点，且MN⊥MQ，QN与PT的交点为E，当M沿椭圆C运动时，求动点E的轨迹方程．‎ 解：设点的坐标 则……1分 ‎ ………3分 由（1）－（2）可得…6分又MN⊥MQ，所以直线QN的方程为，又直线PT的方程为从而得所以 代入（1）可得此即为所求的轨迹方程.‎ ‎9、已知：直线L过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上。若点A（-1，0）和点B（0，8）关于L的对称点都在C上，求直线L和抛物线C的方程．‎ 分析：曲线的形状已知，可以用待定系数法．设出它们的方程，L：y=kx(k≠0),C:y2=2px(p>0).‎ 设A、B关于L的对称点分别为A/、B/，则利用对称性可求得它们的坐标分别为：A/（），B/（）。因为A/、B/均在抛物线上，代入，消去p，得：k2-k-1=0.解得：k=,p=.所以直线L的方程为：y=x,抛物线C的方程为y2=x.‎ ‎10、已知椭圆的左、右焦点分别是F1（－c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足（Ⅰ）设为点P的横坐标，证明；（Ⅱ）求点T的轨迹C的方程；（Ⅲ）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使△F1MF2的面积S=若存在，求∠F1MF2的正切值；若不存在，请说明理由.‎ ‎（Ⅰ）证法一：设点P的坐标为 由P在椭圆上，得 由，所以 ………………………3分 证法二：设点P的坐标为记 则 由 证法三：设点P的坐标为椭圆的左准线方程为 由椭圆第二定义得，即 ‎ 由，所以…………………………3分 ‎（Ⅱ）解法一：设点T的坐标为 ‎ ‎ 当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上.‎ 当|时，由，得.‎ 又，所以T为线段F2Q的中点.‎ 在△QF1F2中，，所以有 综上所述，点T的轨迹C的方程是…………………………7分 解法二：设点T的坐标为 当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上.‎ ‎ 当|时，由，得.‎ ‎ 又，所以T为线段F2Q的中点. ‎ ‎ 设点Q的坐标为（），则 ‎ 因此 ①‎ ‎ 由得 ②‎ ‎ 将①代入②，可得 ‎ 综上所述，点T的轨迹C的方程是……………………7分 ‎③‎ ‎④‎ ‎ （Ⅲ）解法一：C上存在点M（）使S=的充要条件是 ‎ ‎ ‎ 由③得，由④得 所以，当时，存在点M，使S=；‎ ‎ 当时，不存在满足条件的点M.………………………11分 ‎ 当时，，‎ ‎ 由，‎ ‎，‎ ‎ ，得 解法二：C上存在点M（）使S=的充要条件是 ‎③‎ ‎④‎ ‎ ‎ ‎ 由④得 上式代入③得 ‎ 于是，当时，存在点M，使S=；‎ ‎ 当时，不存在满足条件的点M.………………………11分 ‎ 当时，记，‎ ‎ 由知，所以…………14分 ‎11、设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.（1）求△APB的重心G的轨迹方程；（2）证明∠PFA=∠PFB.‎ 解：（1）设切点A、B坐标分别为，‎ ‎∴切线AP的方程为：‎ ‎ 切线BP的方程为：‎ 解得P点的坐标为：‎ 所以△APB的重心G的坐标为 ，‎ 所以，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为：‎ ‎ （2）方法1：因为 由于P点在抛物线外，则 ‎∴‎ 同理有 ‎∴∠AFP=∠PFB.‎ 方法2：①当所以P点坐标为，则P点到直线AF的距离为：‎ 即 所以P点到直线BF的距离为：‎ 所以d1=d2，即得∠AFP=∠PFB.‎ ‎②当时，直线AF的方程：‎ 直线BF的方程：‎ 所以P点到直线AF的距离为：‎ ‎，同理可得到P点到直线BF的距离，因此由d1=d2，可得到∠AFP=∠PFB.‎ 二、中点弦问题：‎ ‎12、已知椭圆，（1）求过点且被平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；（4）椭圆上有两点、，为原点，且有直线、斜率满足，求线段中点的轨迹方程．‎ 分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法．‎ 解：设弦两端点分别为，，线段的中点，则 ‎①－②得．‎ 由题意知，则上式两端同除以，有，‎ 将③④代入得．⑤‎ ‎（1）将，代入⑤，得，故所求直线方程为： ． ⑥‎ 将⑥代入椭圆方程得，符合题意，为所求．‎ ‎（2）将代入⑤得所求轨迹方程为： ．（椭圆内部分）‎ ‎（3）将代入⑤得所求轨迹方程为： ．（椭圆内部分）‎ ‎（4）由①＋②得 ： ， ⑦， 将③④平方并整理得 ‎， ⑧， ， ⑨‎ 将⑧⑨代入⑦得： ， ⑩‎ 再将代入⑩式得： ， 即 ．‎ 此即为所求轨迹方程．当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决．‎ ‎13、椭圆C:的两个焦点为F1,F2,点P在椭圆C上，且（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M，交椭圆C于两点，且A、B关于点M对称，求直线l的方程.‎ 解法一：(Ⅰ)因为点P在椭圆C上，所以，a=3.‎ 在Rt△PF1F2中，故椭圆的半焦距c=,‎ 从而b2=a2－c2=4,所以椭圆C的方程为＝1.‎ ‎(Ⅱ)设A，B的坐标分别为（x1,y1）、（x2,y2）. 由圆的方程为（x+2）2+(y－1)2=5,所以圆心M的坐标为（－2，1）. 从而可设直线l的方程为 y=k(x+2)+1,‎ ‎ 代入椭圆C的方程得 （4+9k2）x2+(36k2+18k)x+36k2+36k－27=0.‎ ‎ 因为A，B关于点M对称.所以 解得，所以直线l的方程为 即8x-9y+25=0. (经检验，符合题意)‎ 解法二：(Ⅰ)同解法一.‎ ‎(Ⅱ)已知圆的方程为（x+2）2+(y－1)2=5,所以圆心M的坐标为（－2，1）.‎ ‎ 设A，B的坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2).由题意x1x2且 ‎ ①‎ ‎ ②‎ ‎①-②得 ③‎ 因为A、B关于点M对称，所以x1+ x2=－4, y1+ y2=2,‎ 代入③得＝，即直线l的斜率为，‎ 所以直线l的方程为y－1＝（x+2），即8x－9y+25=0.(经检验，所求直线方程符合题意.‎ ‎14、已知椭圆的一个焦点，对应的准线方程为.（1）求椭圆的方程；（2）直线l与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN恰被点 平分，求直线l 的方程.‎ 解：（1）由得 即椭圆的方程为 ‎（2）易知直线l的斜率一定存在，设l：‎ 设M（x1, y1），N（x2, y2），由 得 ‎∵x1、x2为上述方程的两根，则 ①‎ ‎∴‎ ‎∵MN的中点为，∴ ∴‎ ‎∴，解得k=3.‎ 代入①中，‎ ‎∴直线l：y=3x+3符合要求.‎ ‎15、设分别是椭圆C：的左右焦点，(1)设椭圆C上的点到两点距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；(2)设K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段的中点B的轨迹方程；(3)设点P是椭圆C 上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M，N两点，当直线PM ，PN的斜率都存在，并记为  试探究的值是否与点P及直线L有关，并证明你的结论.‎ 解：（1）由于点在椭圆上，2=4, 椭圆C的方程为 焦点坐标分别为（-1，0） ，（1，0）‎ ‎（2）设的中点为B（x, y）则点 把K的坐标代入椭圆中得线段的中点B的轨迹方程为 ‎（3）过原点的直线L与椭圆相交的两点M，N关于坐标原点对称 ‎ 设，得 ‎==‎ 故：的值与点P的位置无关，同时与直线L无关 ‎16、已知椭圆的一个焦点为 ，对应的准线为，离心率满足成等比数列．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在直线，使与椭圆交于不同的两点，且线段恰好被直线平分？若存在，求出直线的倾斜角的取值范围；若不存在，说明理由．‎ 解 ： (Ⅰ)由题意知，，所以．‎ 设椭圆上任意一点的坐标为，则由椭圆的第二定义得，‎ ‎，化简得，故所求椭圆方程为． ‎ ‎（Ⅱ）设，中点，依题意有 ‎，可得．‎ 若直线存在，则点必在椭圆内，故，解得．‎ 将代入椭圆方程，有 得，，‎ 故， 所以，‎ 则有，‎ 解得，‎ 故存在直线满足条件，其倾斜角．‎ 三、定义与最值：‎ ‎17、已知F是椭圆的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点．‎ ‎（1）求的最小值，并求点P的坐标；（2）求的最大值和最小值．‎ 解:(1)由椭圆的第二定义转化知的最小值是，此时P；‎ ‎(2)依题意，由椭圆的第二定义知 ‎∵∴‎ ‎∴‎ ‎18、设F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，若P是该椭圆上的一个动点，‎ ‎（Ⅰ）求的最大值和最小值;（Ⅱ）求的最大值和最小值．‎ 解：易知，所以 设P（x, y），则 因为，故当x=0，即点P为椭圆短轴端点时，有最小值-2.‎ 当，即点P为椭圆长轴端点时，有最大值1.‎ ‎19、若双曲线过点，其渐近线方程为.（I）求双曲线的方程;‎ ‎（II）已知，,在双曲线上求一点,使的值最小．‎ 解：（Ⅰ）（II）,最小值为 ‎20、以椭圆的焦点为焦点，过直线上一点作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点应在何处？并求出此时的椭圆方程．‎ 分析：椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点，使该点到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小，只须利用对称就可解决．‎ 解：如图所示，椭圆的焦点为，．‎ 点关于直线的对称点的坐标为（－9，6），直线的方程为．‎ 解方程组得交点的坐标为（－5，4）．此时最小．‎ 所求椭圆的长轴：，∴，又，‎ ‎∴．因此，所求椭圆的方程为．‎ ‎21、已知动点P与双曲线－=1的两个焦点F1、F2的距离之和为6．‎ ‎（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）若•=3，求⊿PF1F2的面积；‎ ‎（Ⅲ）若已知D(0,3)，M、N在轨迹C上且=l，求实数l的取值范围．‎ 解：①+=1；②2；③[,5]‎ 22、 ‎、是椭圆的左、右焦点，是椭圆的右准线，点，过点的直线交椭圆于、两点.（1）当时，求的面积；（2）当时，求的大小；（3）求的最大值．‎ 解：（1）‎ ‎（2）因，‎ 则 ‎（3）设 ‎ ‎，‎ 当时，‎ ‎23、已知定点、、，动点满足：.（1）求动点的轨迹方程，并说明方程表示的图形；（2）当时，求 的最大值和最小值．‎ 解：(1)设动点的坐标为，‎ 则，，.‎ ‎∵，∴，‎ 即 .‎ 若，则方程为，表示过点且平行于轴的直线.‎ 若，则方程为，‎ 表示以为圆心，以为半径的圆.‎ ‎(2)当时，方程化为.‎ ‎∴.‎ 又∵，‎ ‎∴ 令，则 ‎∴当时，的最大值为，当时，最小值为.‎ ‎24、点A、B分别是以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆C长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆C上，且位于x轴上方， （1）求椭圆C的的方程；（2）求点P的坐标；（3）设M是椭圆长轴AB上的一点，点M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到M的距离d的最小值．‎ 解（1）已知双曲线实半轴a1=4，虚半轴b1=2，半焦距c1=，‎ ‎∴椭圆的长半轴a2=c1=6，椭圆的半焦距c2=a1=4，椭圆的短半轴=，‎ ‎∴所求的椭圆方程为 ‎ ‎（2）由已知,，设点P的坐标为，则 由已知得 ‎ ‎ 则，解之得， ‎ 由于y>0，所以只能取，于是，所以点P的坐标为9分 ‎（3）直线，设点M是，则点M到直线AP的距离是，于是， ‎ 又∵点M在椭圆的长轴上，即 ‎ ‎∴当时，椭圆上的点到的距离 ‎ ‎ 又 ∴当时，d取最小值 ‎ ‎25、已知在平面直角坐标系中，向量，且 .（I）设的取值范围；（II）设以原点O为中心，对称轴在坐标轴上，以F为右焦点的椭圆经过点M，且取最小值时，求椭圆的方程.‎ 解：（1）由，‎ ‎ 得…………………………………………………………………3分 ‎ ∴夹角的取值范围是（）‎ ‎………………………………………………………………6分 ‎ （2）‎ ‎ ‎ ‎…………………………………………………………………………………………8分 ‎………………10分 ‎∴当且仅当 或 …………12分 椭圆长轴 或 故所求椭圆方程为.或 …………14分 ‎26、已知点，一动圆过点且与圆内切．‎ ‎（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹的方程；（Ⅱ）设点，点为曲线上任一点，求点到点距离的最大值；（Ⅲ）在的条件下，设△的面积为（是坐标原点，是曲线上横坐标为的点），以为边长的正方形的面积为．若正数满足，问是否存在最小值，若存在，请求出此最小值，若不存在，请说明理由．‎ 解（Ⅰ）设动圆圆心为，半径为，已知圆圆心为，‎ 由题意知，，于是，‎ 所以点的轨迹是以、为焦点，长轴长为的椭圆，其方程为．‎ ‎（Ⅱ）设，则 ‎，令，，所以，‎ 当，即时在上是减函数，；‎ 当，即时，在上是增函数，在上是减函数，则；‎ 当，即时，在上是增函数，．‎ 所以， ．‎ ‎（Ⅲ）当时,,于是,,（12分）‎ 若正数满足条件，则，即，‎ ‎，令，设，则，，‎ 于是，‎ 所以，当，即时，，‎ 即，．所以，存在最小值．‎ ‎27、已知点M（-2，0），N（2，0），动点P满足条件|PM|-|PN|=2. 记动点P的轨迹为W.‎ ‎（1）求W的方程；（2）若A、B是W上的不同两点，O是坐标原点，求的最小值．‎ ‎（1）由|PM|-|PN|=2知动点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，实半轴长a=.‎ ‎ 又半焦距c=2，故虚半轴长b=‎ ‎ 所以W的方程为，x≥.‎ ‎（2）设A、B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）.‎ 当AB⊥x轴时，x1=x2，y1=y2，从而·=x1x2+y1y2=‎ 当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m，与W的方程联立，消去y得 ‎（1-k2）x2-2kmx-m2-2=0，‎ 故x1+x2=，x1x2=，‎ 所以·=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2‎ ‎=‎ 又因为x1x2>0，所以k2-1>0，从而·>2.‎ 综上，当AB⊥x轴时，·取得最小值2.‎ ‎28、一束光线从点出发，经直线上一点反射后，恰好穿过点．（Ⅰ）求点关于直线的对称点的坐标；（Ⅱ）求以、为焦点且过点的椭圆的方程；（Ⅲ）设直线与椭圆的两条准线分别交于、两点，点 为线段上的动点，求点 到的距离与到椭圆右准线的距离之比的最小值，并求取得最小值时点的坐标．‎ 解：（Ⅰ）设的坐标为，则且．……2分 解得， 因此，点 的坐标为． …………………4分 ‎（Ⅱ），根据椭圆定义，‎ 得，……………5分 ‎，．‎ ‎∴所求椭圆方程为． ………………………………7分 ‎（Ⅲ），椭圆的准线方程为． …………………………8分 设点的坐标为,表示点到的距离，表示点到椭圆的右准线的距离．‎ 则，．‎ ‎， ……………………………10分 令，则在时取得最小值． ………………………………13分 因此，最小值＝，此时点的坐标为．…………14分 注：的最小值还可以用判别式法、换元法等其它方法求得．‎ ‎29、设F是椭圆的左焦点，直线l为其左准线，直线l与x轴交于点P，线段MN为椭圆的长轴，已知：（1）求椭圆C的标准方程；（2）若过点P的直线与椭圆相交于不同两点A、B求证：∠AFM=∠BFN；（3）‎ 求三角形ABF面积的最大值．‎ 解（1）‎ ‎………………………（文6分，理4分）‎ ‎（2）当AB的斜率为0时，显然满足题意 当AB的斜率不为0时，设，AB方程为代入椭圆方程 整理得 则 综上可知：恒有.………………………………（9分）‎ ‎（3）‎ 当且仅当（此时适合△＞0的条件）取得等号.‎ 三角形ABF面积的最大值是………………………………（13分）‎ 四、弦长及面积：‎ ‎30、已知双曲线的方程为，设F1、F2分别是其左、右焦点．(1)若斜率为1且过F1 的直线交双曲线于A、B两点，求线段AB的长；(2)若P是该双曲线左支上的一点，且，求的面积S．‎ 解：（1）AB：，代入并整理得 设则 ‎（2）设，则2‎ 在中，由余弦定理有 ‎31、已知椭圆及直线．（1）当为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程．‎ 解：（1）把直线方程代入椭圆方程得 ，‎ 即．，解得．‎ ‎（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为，，由（1）得，．‎ 根据弦长公式得 ：．解得．方程为．‎ ‎32、已知长轴为12，短轴长为6，焦点在轴上的椭圆，过它对的左焦点作倾斜解为的直线交椭圆于，两点，求弦的长．‎ 分析：可以利用弦长公式求得，‎ 也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求．‎ 解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．‎ ‎．因为，，所以 ‎．因为焦点在轴上，‎ 所以椭圆方程为，左焦点，从而直线方程为．‎ 由直线方程与椭圆方程联立得：．设，为方程两根，所以，，， 从而．‎ ‎(法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解．‎ 由题意可知椭圆方程为，设，，则，．‎ 在中，，即；‎ 所以．同理在中，用余弦定理得，所以．‎ ‎(法3)利用焦半径求解．‎ 先根据直线与椭圆联立的方程求出方程的两根，，它们分别是，的横坐标．‎ 再根据焦半径，，从而求出．‎ ‎33、设双曲线方程的半焦距为，直线过两点，已知原点到直线的距离为．（1）求双曲线的离心率；（2）经过该双曲线的右焦点且斜率为2的直线被双曲线截得的弦长为15，求双曲线的方程．‎ 解：（1） ………………………2分 ‎ 直线的方程为，即，由原点到直线的距离为得 ‎ ，即，…………………………………4分 两边同时除以得，整理得，解得…5分 ‎ 又，故双曲线的离心率为 ……………………………………………6分 ‎（2）由（1）知道即，所以设双曲线的方程为 ‎ 又由题意得直线方程为，代入双曲线方程得 ……………………7分 ‎，整理得…………………………………8分 记直线与双曲线的交点为，则有 …9分 ‎………………………………………………………………………………11分 所求双曲线方程为…………………………………………………12分 ‎34、已知的顶点在椭圆上，在直线上，且．‎ ‎（Ⅰ）当边通过坐标原点时，求的长及的面积；‎ ‎（Ⅱ）当，且斜边的长最大时，求所在直线的方程．‎ 解：（Ⅰ）因为，且边通过点，所以所在直线的方程为．‎ 设两点坐标分别为．‎ 由得．所以．‎ 又因为边上的高等于原点到直线的距离．所以，．‎ ‎（Ⅱ）设所在直线的方程为，由得．‎ 因为在椭圆上，所以．‎ 设两点坐标分别为，则，，‎ 所以．又因为的长等于点到直线的距离，即．．‎ 所以当时，边最长，（这时）‎ 此时所在直线的方程为．‎ P D C B M N A x y O ‎35、梯形ABCD的底边AB在y轴上，原点O为AB的中点，M为CD的中点.（Ⅰ）求点M的轨迹方程；（Ⅱ）过M作AB的垂线，垂足为N，若存在正常数，使，且P点到A、B 的距离和为定值，求点P的轨迹E的方程；（Ⅲ）过的直线与轨迹E交于P、Q两点，求面积的最大值．‎ 解：（Ⅰ）设点M的坐标为M(x, y)(x≠0)，则 ‎ 又由AC⊥BD有，即，‎ ‎∴x2+y2=1（x≠0）. ………………………（4分）‎ ‎（Ⅱ）设P（x, y），则，代入M的轨迹方程有 即，∴P的轨迹为椭圆（除去长轴的两个端点）.‎ 要P到A、B的距离之和为定值，则以A、B为焦点，故.‎ ‎∴ 从而所求P的轨迹方程为9x2+y2=1(x≠0). ………………………9分 ‎（Ⅲ）易知l的斜率存在，设方程为 联立9x2+y2=1，有 ‎ ‎ 设P(x1, y1), Q(x2, y2)，则 令，则且 ‎，‎ 所以当，即也即时，面积取最大值，最大值为．…… 14分 五、范围问题:‎ ‎36、直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1相交于A、B两点．(1) 当a为何值时，A、B两点在双曲线的同一支上？当a为何值时，A、B两点分别在双曲线的两支上？(2) 当a为何值时，以AB为直径的圆过原点？‎ 解： 消去y (1) 联立 (3－a2)x2－2ax－2＝0 ①‎ 显然a2≠3，否则方程①只有一解，于是直线与双曲线至多一个交点．‎ 若交点A、B在双曲线同支上，则方程①满足：‎ a∈(－，－)∪(，)‎ 若A、B分别在双曲线的两支上，则有：‎ a∈(－，)‎ ‎(2) 若以AB为直径的圆过点O，则OA⊥OB，设A(x1，y1)，B(x2，y2)由于x1＋x2＝，x1x2＝．‎ ‎∴y1y2＝(ax1＋1)(ax2＋1)＝a(x1＋x2)＋a2x1x2＋1‎ ‎＝a2·＋a·＋1＝1‎ ‎∵OA⊥OB ∴x1x2＋y1y2＝0 ∴＋1a＝±1‎ 此时△＞0，符合要求．‎ ‎37、已知圆C：（x-1）2+y2=r2 （r>1），设M为圆C与x轴负半轴的交点，过M作圆C的弦MN，并使它的中点P恰好落在y轴上．‎ ‎（1）当r=2时，求满足条件的P点的坐标；（2）当r∈（1，+∞）时，求点N的轨迹G的方程；（3）过点P（0，2）的直线l与（2）中轨迹G相交于两个不同的点E、F，若·>0，求直线l的斜率的取值范围．‎ 解：(1)由已知得，r=2时，可求得M点的坐标为M（-1，0）. 设P（0，b），则由kCP·kMP=-1（或用勾股定理）得：b2=1. ∴b=±1即点P坐标为（0，±1）.‎ ‎（2）设N坐标为（x，y），由已知得，在圆方程中令y=0，求得M点的坐标为（1-r，0）.‎ ‎ 设P（0，b），则由kCP·kMP=-1（或用勾股定理）得：r=b2+1.‎ ‎ ∵点P为线段MN的中点，∴x=r-1=b2，y=2b，又r>1.∴点N的轨迹方程为y2=4x（x>0）.‎ ‎ （3）由题意知直线l的斜率存在且不等于0.‎ ‎ 设直线l的方程为y=kx+2，E（x1，y1），F（x2，y2）， x1>0， x2>0.‎ ‎ 由， 得k2x2+（4k-4）x+4=0，由=-32k+16>0，得k<且k≠0.‎ ‎ x1+x2=>0，x1x2=>0，得k<1. ∵·>0，∴（x1-1）（x2-1）+y1y2>0.‎ ‎ ∴（k2+1） x1x2+（2k-1）（x1+x2）+5>0.得k2+12k>0. ∴k>0或k<-12. ∴00,将b=2p-1代入得:4p2-8p(2p-1)>0,3p2-2p<0.解得：‎ ‎00），则=（3，‎ a），=（b，-a），又·=0，∴a2=3b ①，又∵=（x-b，y），=（b，-a），=2，∴ ②，‎ 由①②得y2=4x（x≠0）. 即M的轨迹的方程为y2=4x，x≠0.‎ ‎（2）设=（x1，y1），=（x2，y2），=（x1-1，y1），=（x2-1，y2），·=||·||cos∠BDC，∵∠BDC为钝角，∴cos∠BDC=，∴·<0，x1x2-（x1+x2）+1+y1y2<0 ③.‎ 由 消去y，得k2x2+（2k2-4）x+k2=0（k≠0），则x1+x2=，x1x2=1 ④，y1y2=k2（x1+1）（x2+1）= k2［x1x2+（x1+x2）+1］ ⑤，④⑤代入③，得k2<0. ∴0>y2）.‎ 则y1y2=-4.因为，所以x1x2=‎ ‎ 故x1x2+y1y2=-3.‎ ‎ （2）因为所以（1-x1，-y1）=（x2-1，y2）.‎ 即，又③ ， ④‎ ‎ 由②、③、④消去y1，y2后，得x1=2x2，将其代入①注意到>0，解得x2=.‎ ‎ 从而可得y2=，y1=.故三角形OAB的面积S =|OF|·|y1-y2|=，‎ 因为≥2恒成立. 所以只要解≤即可，解得≤≤.‎ ‎43、已知动圆过定点P（1，0），且与定直线相切，点C在l上. （1）求动圆圆心的轨迹M的方程；（2）设过点P，且斜率为－的直线与曲线M相交于A，B两点.（i）问：△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由；（ii）当△ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围.‎ 讲解 本例主要考查直线、圆与抛物线的基本概念及位置关系，是解析几何中的存在性问题.‎ ‎（1）由曲线M是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线，知曲线M的方程为.‎ ‎（2）（i）由题意得，直线AB的方程为 消y得 于是, A点和B点的坐标分别为A，B（3，），‎ ‎(3，)‎ 假设存在点C（－1，y），使△ABC为正三角形，则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，‎ 即有 ‎①‎ ‎②‎ ‎ ‎ 由①－②得 因为不符合①，所以由①，②组成的方程组无解.‎ 故知直线l上不存在点C，使得△ABC是正三角形.‎ ‎（ii）设C（－1，y）使△ABC成钝角三角形，‎ 由 即当点C的坐标是（－1，）时，三点A，B，C共线，故.‎ ‎ ，‎ ‎ ， ‎ ‎ .‎ ‎ (i) 当，即，‎ ‎ 即为钝角. ‎ ‎(ii) 当，即，‎ ‎ 即为钝角.‎ ‎(iii)当，即，‎ ‎ 即. 该不等式无解，所以∠ACB不可能为钝角.‎ 故当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是.‎ ‎44、在Rt△ABC中，∠CBA=90°，AB=2，AC=。DO⊥AB于O点，OA=OB，DO=2，曲线E过C点，动点P在E上运动，且保持| PA |+| PB |的值不变.（1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程；（2）过D点的直线L与曲线E相交于不同的两点M、N且M在D、N之间，设， ‎ ‎ 试确定实数的取值范围．‎ 讲解: （1）建立平面直角坐标系, 如图所示 . ‎ ‎ ∵| PA |+| PB |=| CA |+| CB | y ‎ C ‎ =‎ A O B ‎∴动点P的轨迹是椭圆 . ‎ ‎∵ ‎ ‎∴曲线E的方程是 .‎ ‎ （2）设直线L的方程为 , 代入曲线E的方程，得 ‎ ‎ 设M1（, 则 ‎①‎ ‎②‎ ‎③‎ ‎ ‎ i) L与y轴重合时， ‎ ii) L与y轴不重合时，‎ ‎ 由①得 ‎ ‎ 又∵,‎ ‎∵ 或 ‎ ‎∴0＜＜1 , ‎ ‎∴ . ‎ ‎∵‎ 而 ∴‎ ‎∴ ‎ ‎∴ , ,‎ ‎∴的取值范围是 .‎ ‎45、已知平面上一定点和一定直线Ｐ为该平面上一动点，作垂足为，.(1) 问点Ｐ在什么曲线上？并求出该曲线方程；（2）点Ｏ是坐标原 点，两点在点Ｐ的轨迹上，若求的取值范围．‎ 解:(1)由,得: ,………（2分）‎ 设,则,化简得: ,………（4分）‎ 点P在椭圆上,其方程为.………（6分）‎ ‎(2)设、，由得：，所以，、B 、C三点共线.且,得:,即: …（8分）‎ 因为,所以 ①………（9分）‎ 又因为,所以 ②………（10分）‎ 由①-②得: ,化简得: ,………（12分）‎ 因为,所以.‎ 解得: 所以的取值范围为. ………（1４分）‎ 六、定值、定点、定直线 ‎46、过y2=x上一点A（4，2）作倾斜角互补的两条直线AB、AC交抛物线于B、C两点.求证：直线BC的斜率是定值.‎ 分析：（1）点A为定点，点B、C为动点，因直线AB、AC的倾斜角互补，所以kAB与kAC相反，故可用“k参数”‎ 法，设AB的斜率为k，写出直线AB的方程，将AB的方程与抛物线方程联立，因A为已知交点，则方程有一根已知故用韦达定理容易解出点B坐标，同理可得点C坐标，再求BC斜率。‎ ‎（2）因点B、C在抛物线上移动，也可用“点参数”法，设B（x1,y1）,C(x2,y2),因x1=y12,x2=y22,即可设B（y12,y1）,C(y22,y2)。再考虑kAB=-kAC得参数y1,y2的关系。‎ 解法1：设AB的斜率为k，则AC的斜率为-k ‎ AB：y-2=k(x-4),与y2=x联立得：‎ ‎ y-2=k(y2-4),即ky2-y-4k+2=0‎ ‎ ∵y=2是此方程的一解，∴2yB=‎ ‎ xB=yB2=∴B ‎ ∵kAC=-k,以-k代替k代入B点坐标得C ‎ ∴kBC=为定值 解法2：设B（y12,y1）,C(y22,y2)，则kBC=‎ ‎ ∵kAB=‎ ‎ 由题意，kAB=-kAC ∴ 则kBC=为定值。‎ 点评：解法1运算量较大，但其方法是一种基本方法，因k的变化而造成了一系列的变化，最终求出BC的斜率为定值；解法2利用点B，C在抛物线上设点，形成含两个参数y1,y2的问题，用整体思想解题，运算量较小。‎ ‎47、已知A，B分别是直线y＝x和y＝－x上的两个动点，线段AB的长为2，D是AB的中 点．（1）求动点D的轨迹C的方程；（2）若过点(1,0)的直线l与曲线C交于不同两点P、Q，‎ ‎① 当|PQ|＝3时，求直线l的方程；② 设点E (m，0)是x轴上一点，求当·恒为定值时E点的坐标及定值．‎ 解：(1)设D(x，y)，A(a，a)，B(b，－b),∵ D是AB的中点， ∴x＝，y＝，‎ ‎∵ |AB|＝2，∴(a－b)2＋(a＋b)2＝12，∴(2y)2＋(2x)2＝12∴点D的轨迹C的方程为x2＋y2＝3.‎ ‎(2) ①当直线l与x轴垂直时，P(1，)，Q(1，－)，此时|PQ|＝2，不符合题意；‎ 当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x－1)，‎ 由于|PQ|＝3，所以圆心C到直线l的距离为，‎ 由＝，解得k＝.故直线l的方程为y＝(x－1).‎ ‎②当直线l的斜率存在时，设其斜率为k，则l的方程为y＝k(x－1)，‎ 由消去y得(k2＋1)x2－2k2x＋k2－3＝0， ‎ 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)则由韦达定理得x1＋x2＝，x1x2＝，‎ 则＝(m－x1，－y1)，＝(m－x2，－y2)，‎ ‎∴·＝(m－x1)(m－x2)＋y1y2＝m2－m(x1＋x2)＋x1x2＋y1y2‎ ‎＝m2－m(x1＋x2)＋x1x2＋k2(x1－1)(x2－1)‎ ‎＝m2－＋＋k2 (－＋1)＝‎ 要使上式为定值须＝1，解得m＝1，∴·为定值－2，‎ 当直线l的斜率不存在时P(1，)，Q(1，－)，‎ 由E(1，0)可得＝(0，－)，＝(0，)，∴·＝－2， ‎ 综上所述当E(1，0)时，·为定值－2.‎ ‎48、垂直于x轴的直线交双曲线于M、N不同两点，A1、A2分别为双曲线的左顶点和右顶点，设直线A1M与A2N交于点P（x0，y0）（Ⅰ）证明：（Ⅱ）过P作斜率为的直线l，原点到直线l的距离为d，求d的最小值.‎ 解（Ⅰ）证明：‎ ‎　　　　①‎ 直线A2N的方程为 ②……4分 ‎①×②，得 ‎（Ⅱ）‎ ‎……10分 当……12分 ‎49、如图，在平面直角坐标系xOy中，过定点C（0，p）作直线与抛物线相交于A、B两点.‎ ‎（1）若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求面积的最小值；‎ ‎（2）是否存在垂直y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．‎ 解法一：（1）依题意，点N的坐标为N（0，-p），可设A（x1, y1），B（x2, y2），直线AB的方程为，与x2=2py联立得 消去y得 ‎ 由韦达定理得于是 ‎∴当k=0时，‎ N O A C B y x l ‎（2）假设满足条件的直线l存在，其方程为y=a, AC的中点为，l与以AC 为直径的圆相交于点P、Q，PQ的中点为H，则点的坐标为 ‎∵‎ ‎ ‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 令，得，此时|PQ|=p为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为，即抛物线的通径所在的直线.‎ 解法二：（1）前同解法一，再由弦长公式得 又由点到直线的距离公式得，从而，‎ ‎，‎ ‎（2）假设满足条件的直线l存在，其方程为y=a，则以AC为直径的圆的方程为，将直线方程y=a代入得 则 设直线l与以AC为直径的圆的交点为P（x3, y3），Q（x4, y4），则有 令，此时|PQ|=p为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为，即抛物线的通径所在的直线.‎ ‎50、已知双曲线的离心率为，右准线方程为（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交于不同的两点，证明的大小为定值.‎ ‎【解法1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程 的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．‎ ‎（Ⅰ）由题意，得，解得，‎ ‎∴，∴所求双曲线的方程为.‎ ‎（Ⅱ）点在圆上，‎ 圆在点处的切线方程为，‎ 化简得.由及得，‎ ‎∵切线与双曲线C交于不同的两点A、B，且，‎ ‎∴，且，‎ 设A、B两点的坐标分别为，则，‎ ‎∵，且，‎ ‎.∴ 的大小为.‎ ‎【解法2】（Ⅰ）同解法1.‎ ‎（Ⅱ）点在圆上，‎ 圆在点处的切线方程为，‎ 化简得.由及得 ① ②∵切线与双曲线C交于不同的两点A、B，且，∴，设A、B两点的坐标分别为，则，∴，∴ 的大小为.（∵且，∴，从而当时，方程①和方程②的判别式均大于零）.‎ ‎51、（1）若A、B是抛物线y2=2Px(p>0)上的点,且∠AOB=90°（O为原点）．求证：直线AB过定点．（2）已知抛物线的焦点为F， A、B为抛物线上的两个动点．（Ⅰ）如果直线AB过抛物线焦点，判断坐标原点与以线段AB为直径的圆的位置关系，并给出证明；（Ⅱ）如果（为坐标原点），证明直线AB必过一定点，并求出该定点．‎ ‎(1)证明：设OA：y=kx，代入y2=2px得k2x2=2px则 ∴‎ 同理由OB：y=-x 可得B(2pk2,-2pk) ‎ ‎∴ 令x=2p得y=0，说明AB恒过定点（2p，0）‎ ‎(2)解：（Ⅰ）∵焦点F为（1，0），过点F的直线AB的方程可设为，代入抛物线 ‎ 得：，，则有，‎ ‎ ，‎ 于是为钝角，故在圆内. ………………6分 ‎（Ⅱ）设直线AB的方程为消去x，得 ‎，则 ，‎ ‎=．‎ 令，∴直线AB过定点（2，0）．…………………13分 ‎52、已知椭圆上存在一点到椭圆左焦点的距离与到椭圆右准线的距 离相等．（I）求椭圆的离心率的取值范围；（II）若椭圆上的点到焦点距离的最大值为，‎ 最小值为，求椭圆的方程；（Ⅲ）若直线与（II）中所述椭圆相交于、‎ 两点（、不是左右顶点），且以为直径的圆经过椭圆的右顶点，求证：直线 过定点，并求出该定点坐标．‎ 解:（Ⅰ）设点P的坐标为，则|PF|=，∴=， 整理得：，而，∴，解得 ‎ ‎（II），， ∴椭圆的方程为．‎ ‎（Ⅲ）设，联立 得． ‎ 则 又， ‎ ‎∵椭圆的右顶点为，‎ ‎ 解得：，且均满足， ‎ ‎ 当时，的方程为，直线过定点，与已知矛盾．‎ 当时，的方程为，‎ 直线过定点， ∴直线过定点，定点坐标为．‎ ‎53、已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过、、三点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线：（）与椭圆交于、两点，证明直线与直线的交点在一条定直线上．‎ ‎（Ⅰ）解法一：当椭圆E的焦点在x轴上时，设其方程为（），‎ 则，又点在椭圆上，得．解得．‎ ‎∴椭圆的方程为．‎ 当椭圆E的焦点在y轴上时，设其方程为（），‎ 则，又点在椭圆上，得．解得，这与矛盾．‎ 综上可知，椭圆的方程为． ……4分 解法二：设椭圆方程为（），将、、代入椭圆的方程，得解得，．∴椭圆的方程为 ‎． ‎ ‎（Ⅱ）证法一：将直线：代入椭圆的方程并整理，得，设直线与椭圆的交点，，‎ 由根与系数的关系，得，． ……8分 直线的方程为：，它与直线的交点坐标为，同理可求得直线与直线的交点坐标为． ……10分 下面证明、两点重合，即证明、两点的纵坐标相等：‎ ‎∵，，‎ ‎∴‎ ‎．‎ 因此结论成立．‎ 综上可知，直线与直线的交点在直线上． ……14分 证法二：将直线：，代入椭圆的方程并整理，得， ……6分 设直线与椭圆的交点，，‎ 由根与系数的关系，得，． ……8分 直线的方程为：，即．‎ 直线的方程为：，即． ……10分 由直线与直线的方程消去，得 ‎ ．‎ ‎∴直线与直线的交点在直线上． ……14分 证法三：将直线：，代入椭圆方程并整理，得， ……6分 设直线与椭圆的交点，，‎ 由根与系数的关系，得，． ……8分 消去得，． ……10分 直线的方程为：，即．‎ 直线的方程为：，即． ……12分 由直线与直线的方程消去得，‎ ‎．‎ ‎∴直线与直线的交点在直线上． ……14分