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- 2021-05-14 发布
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导数中的求参数取值范围问题
一、 常见基本题型:
(1)已知函数单调性,求参数的取值范围,如已知函数增区间,则在此区间上导函数,如已知函数减区间,则在此区间上导函数。
(2)已知不等式恒成立,求参数的取值范围问题,可转化为求函数的最值问题。
例1.已知R,函数.(R,e为自然对数的底数)
(1)若函数内单调递减,求a的取值范围;
(2)函数是否为R上的单调函数,若是,求出a的取值范围;若不是,请说明理由.
解: (1)
=.
上单调递减, 则 对 都成立,
对都成立.
令,则 , .
(2)①若函数在R上单调递减,则 对R 都成立, 即 对R都成立.
对R都成立,令,
图象开口向上 不可能对R都成立
②若函数在R上单调递减,则 对R 都成立,即 对R都成立,
对R都成立.
,故函数不可能在R上单调递增.
综上可知,函数不可能是R上的单调函数
例2:已知函数,若函数的图像在点处的切线的倾斜角为,对于任意,函数在区间上总不是单调函数,求的取值范围;
解:
令得,
故两个根一正一负,即有且只有一个正根
函数在区间上总不是单调函数
在上有且只有实数根
故,
而单调减, ,综合得
例3.已知函数.(Ⅰ)求函数的单调区间;(Ⅱ)设,若对任意,,不等式 恒成立,求实数的取值范围.
解:(I)的定义域是
由及 得;由及得,
故函数的单调递增区间是;单调递减区间是
(II)若对任意,,不等式恒成立,
问题等价于,
由(I)可知,在上,是函数极小值点,这个极小值是唯一的极值点,故也是最小值点,所以;
当时,;当时,;当时,;
问题等价于 或 或 ,解得 或 或
即,所以实数的取值范围是。
例4.设函数,
(1)当a=0时,f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立,求实数m的取值范围;
(2)当m=2时,若函数k(x)=f(x)-h(x)在[1,3]上恰有两个不同零点,求实数a的取值范围.
解:(1)由a=0,f(x)≥h(x),可得-mlnx≥-x,x∈(1,+∞),即m≤.
记φ(x)=,则f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立等价于m≤φ(x)min.,求得φ′(x)=
当x∈(1,e),φ′(x)<0;当x∈(e,+∞)时,φ′(x)>0.故φ(x)在x=e处取得极小值,也是最小值,
即φ(x)min=φ(e)=e,故m≤e.
(2) 函数k(x)=f(x)-h(x)在[1,3]上恰有两个不同的零点等价于方程x-2lnx=a,
在[1,3]上恰有两个相异实根.
令g(x)=x-2ln,则g′(x)<1-.
当x∈[1,2)时,g′(x)<0;
当x∈(2,3]时,g′(x)>0.
∴g(x)在(1,2)上是单调递减函数,在(2,3]上是单调递增函数.
故g(x)min=g(2)=2-2ln2.
又g(1)=1,g(3)=3-2ln3,
∵g(1)>g(3),∴只需g(2)<a≤g(3).
故a的取值范围是(2-ln2,3-2ln3].
二、针对性练习
1.已知函数若函数在[1,4]上是减函数,求实数a的取值范围。
解:由,得.
又函数为[1,4]上的单调减函数。
则在[1,4]上恒成立,.
所以不等式在[1,4]上恒成立.
即在[1,4]上恒成立。
设,显然在[1,4]上为减函数,
所以的最小值为
的取值范围是
2.已知函数
(1)若存在,使成立,求的取值范围;
(2)当时,恒成立,求的取值范围.
解:(1)即
令
时,时,
在上减,在上增.
又时,的最大值在区间端点处取到.
,
在上最大值为
故的取值范围是,
(3)由已知得时,恒成立,
设
由(2)知当且仅当时等号成立,
故,从而当
即时,为增函数,又
于是当时,即,时符合题意.
由可得从而当时,
故当时,为减函数,又
于是当时,即
故不符合题意.综上可得的取值范围为
3.已知函数,设在(0,2)上有极值,求a的取值范围.
解:由可得,