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  • 2021-05-14 发布

高考数学考前归纳总结复习题导数中的求参数取值范围问题

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导数中的求参数取值范围问题 一、 常见基本题型:‎ ‎ (1)已知函数单调性,求参数的取值范围,如已知函数增区间,则在此区间上导函数,如已知函数减区间,则在此区间上导函数。‎ ‎ (2)已知不等式恒成立,求参数的取值范围问题,可转化为求函数的最值问题。‎ 例1.已知R,函数.(R,e为自然对数的底数)‎ ‎ (1)若函数内单调递减,求a的取值范围;‎ ‎(2)函数是否为R上的单调函数,若是,求出a的取值范围;若不是,请说明理由.‎ ‎ 解: (1)‎ ‎ =. ‎ ‎ 上单调递减, 则 对 都成立,‎ ‎ 对都成立. ‎ ‎ 令,则 , . ‎ ‎ (2)①若函数在R上单调递减,则 对R 都成立, 即 对R都成立. ‎ ‎ 对R都成立,令,‎ ‎ 图象开口向上 不可能对R都成立 ‎ ‎ ②若函数在R上单调递减,则 对R 都成立,即 对R都成立,‎ ‎ 对R都成立.‎ ‎,故函数不可能在R上单调递增.‎ 综上可知,函数不可能是R上的单调函数 ‎ 例2:已知函数,若函数的图像在点处的切线的倾斜角为,对于任意,函数在区间上总不是单调函数,求的取值范围;‎ ‎ 解: ‎ ‎ ‎ ‎ 令得,‎ ‎ 故两个根一正一负,即有且只有一个正根 ‎ ‎ 函数在区间上总不是单调函数 ‎ 在上有且只有实数根 ‎ 故,‎ ‎ 而单调减, ,综合得 ‎ 例3.已知函数.(Ⅰ)求函数的单调区间;(Ⅱ)设,若对任意,,不等式 恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎ 解:(I)的定义域是 ‎ ‎ 由及 得;由及得,‎ ‎ 故函数的单调递增区间是;单调递减区间是 ‎ ‎(II)若对任意,,不等式恒成立,‎ ‎ 问题等价于, ‎ 由(I)可知,在上,是函数极小值点,这个极小值是唯一的极值点,故也是最小值点,所以; ‎ 当时,;当时,;当时,; ‎ 问题等价于 或 或 ,解得 或 或 ‎ 即,所以实数的取值范围是。 ‎ 例4.设函数,‎ ‎ (1)当a=0时,f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立,求实数m的取值范围;‎ ‎ (2)当m=2时,若函数k(x)=f(x)-h(x)在[1,3]上恰有两个不同零点,求实数a的取值范围.‎ 解:(1)由a=0,f(x)≥h(x),可得-mlnx≥-x,x∈(1,+∞),即m≤.‎ 记φ(x)=,则f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立等价于m≤φ(x)min.,求得φ′(x)= 当x∈(1,e),φ′(x)<0;当x∈(e,+∞)时,φ′(x)>0.故φ(x)在x=e处取得极小值,也是最小值,‎ 即φ(x)min=φ(e)=e,故m≤e.‎ (2) 函数k(x)=f(x)-h(x)在[1,3]上恰有两个不同的零点等价于方程x-2lnx=a,‎ ‎ 在[1,3]上恰有两个相异实根.‎ ‎ 令g(x)=x-2ln,则g′(x)<1-.‎ 当x∈[1,2)时,g′(x)<0;‎ 当x∈(2,3]时,g′(x)>0.‎ ‎∴g(x)在(1,2)上是单调递减函数,在(2,3]上是单调递增函数.‎ 故g(x)min=g(2)=2-2ln2.‎ 又g(1)=1,g(3)=3-2ln3,‎ ‎∵g(1)>g(3),∴只需g(2)<a≤g(3).‎ 故a的取值范围是(2-ln2,3-2ln3]. ‎ 二、针对性练习 ‎ 1.已知函数若函数在[1,4]上是减函数,求实数a的取值范围。‎ ‎ 解:由,得. ‎ ‎ 又函数为[1,4]上的单调减函数。‎ ‎ 则在[1,4]上恒成立,. ‎ ‎ 所以不等式在[1,4]上恒成立.‎ ‎ 即在[1,4]上恒成立。 ‎ ‎ 设,显然在[1,4]上为减函数, ‎ ‎ 所以的最小值为 ‎ ‎ 的取值范围是 ‎ ‎2.已知函数 ‎ (1)若存在,使成立,求的取值范围;‎ ‎ (2)当时,恒成立,求的取值范围.‎ ‎ 解:(1)即 ‎ 令 ‎ 时,时,‎ ‎ 在上减,在上增.‎ ‎ 又时,的最大值在区间端点处取到.‎ ‎ ,‎ ‎ ‎ ‎ 在上最大值为 ‎ 故的取值范围是, ‎ ‎ (3)由已知得时,恒成立,‎ 设 由(2)知当且仅当时等号成立,‎ 故,从而当 即时,为增函数,又 于是当时,即,时符合题意. ‎ 由可得从而当时,‎ 故当时,为减函数,又 于是当时,即 ‎ 故不符合题意.综上可得的取值范围为 ‎ ‎3.已知函数,设在(0,2)上有极值,求a的取值范围.‎ ‎ 解:由可得,‎ ‎ ‎