备战高考数学一轮热点难点一网打尽专题 平面向量中的两个定理doc 8页

‎【备战2017年高考高三数学一轮热点、难点一网打尽】‎ ‎ 第22讲 平面向量中的两个定理 考纲要求:‎ ‎1．了解平面向量的基本定理及其意义．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；‎ ‎ 2．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．‎ 基础知识回顾:‎ ‎1.向量的数乘运算：求实数λ与向量的积的运算，‎ 运算法则：(1)|λa|＝|λ||a|；‎ ‎(2)当λ＞0时，λ与的方向相同；当λ＜0时，λ的与的方向相反；当λ＝0时，λ＝0‎ 运算律：λ(μ)＝(λμ)；(λ＋μ)＝λ＋μ；　λ(＋)＝λ＋λ ‎2.共线向量定理向量(≠0)与共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得＝λ ‎2．平面向量基本定理及坐标表示 ‎(1)平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数λ1，λ2，使.其中，不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.‎ ‎(2)平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．‎ ‎(3)平面向量的坐标表示：‎ ‎①在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数x，y，使，把有序数对叫做向量的坐标，记作＝，其中叫在x轴上的坐标，叫在y轴上的坐标．‎ ‎②设，则向量的坐标就是终点A的坐标，即若，则A点坐标为，反之亦成立．(O是坐标原点)‎ 应用举例:‎ 类型一、共线向量定理的应用 ‎【例1】【2017山东省枣庄八中高三月考】 设两个非零向量与b不共线，‎ ‎(1)若＝＋，＝2＋8，＝3(－)，求证：A，B，D三点共线；‎ ‎(2)试确定实数k，使k＋和＋k同向．‎ ‎【答案】见解析；k＝1.‎ ‎【例2】【2017河北正定一中高三月考】如图，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，＝，＝，＝‎ ‎(1)用，b表示向量，，，，；‎ ‎(2)求证：B，E，F三点共线．‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】(1)延长AD到G，使＝，连接BG，CG，得到▱ABGC，所以＝＋，‎ 则有＝＝(＋)，＝＝(＋)，‎ ‎＝＝， ＝－＝(＋)－＝(b－2)，‎ ‎＝－＝－＝(b－2)．‎ ‎(2)证明：由(1)可知＝，又因为，有公共点B，所以B，E，F三点共线．‎ 点评：共线向量定理的3个应用 ‎ (1)证明向量共线：对于向量，，若存在实数λ，使＝λ，则与共线．‎ ‎(2)证明三点共线：若存在实数λ，使＝λ，则A，B，C三点共线．‎ ‎(3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．‎ 提醒]　证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．‎ 类型二、平面向量基本定理的应用 ‎【例3】【2017湖南衡阳八中月考】如果e1，e2是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是(　　)‎ A．e1与e1＋e2　　　　　 　B．e1－2e2与e1＋2e2‎ C．e1＋e2与e1－e2 D．e1＋3e2与6e2＋2e1‎ ‎【答案】D ‎【解析】选项A中，设e1＋e2＝λe1，则无解；选项B中，设e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，则无解；选项C中，设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则无解；选项D中，e1＋3e2＝(6e2＋2e1)，所以两向量是共线向量．‎ ‎【例4】【2017山西省怀仁县第一中学高三月考】如图，以向量＝，＝为邻边作▱OADB，＝，＝，用，表示，，.‎ ‎【答案】见解析 ‎【例5】【2017湖北省襄阳市第四中学高三月考】如图，G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA，OB上的动点，且P，G，Q三点共线．‎ ‎(1)设＝λ，将用λ，，表示；‎ ‎ (2)设＝x，＝y，证明：＋是定值．‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】(1) ＝＋＝＋λ ‎ ＝＋λ(－)＝(1－λ) ＋λ.‎ ‎ (2)证明：一方面，由(1)，得＝(1－λ) ＋λ＝(1－λ)x＋λy；①‎ 另一方面，∵G是△OAB的重心，∴＝＝×(＋)＝＋.②‎ 而，不共线，∴由①②，得解得∴＋＝3(定值)．‎ 方法、规律归纳:‎ ‎1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．‎ ‎2.用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．‎ ‎3.解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解．‎ 实战演练:‎ ‎1．【2017江西吉安一中高三月考】如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且＝a，＝b，则＝(　　)‎ A．b－a　　　　B．b＋a C．a＋b D．a－b ‎【答案】A ‎2．【2017浙江省温州市高三月考试题】已知O，A，B，C为同一平面内的四个点，若2‎ ‎＋＝0，则向量等于(　　)‎ A. － B．－＋ C．2－ D．－＋2‎ ‎【答案】C ‎3．【2017贵州省贵阳市一中高三月考】设M是△ABC所在平面上的一点，且＋＋＝0，D是AC的中点，则的值为(　　)‎ A. B. C．1 D． 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵D是AC的中点，延长MD至E，使得DE＝MD，∴四边形MAEC为平行四边形，∴＝＝(＋)．∵＋＋＝0，∴＝－(＋)＝－3，∴＝＝，故选A.‎ ‎4．【2017江西吉安一中高三月考】设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且＝2，＝2，＝2，则＋＋与 (　　)‎ A．反向平行 B．同向平行 C．互相垂直 D．既不平行也不垂直 ‎【答案】A ‎【解析】由题意得＝＋＝＋，＝＋＝＋，‎ ‎＝＋＝＋，因此＋＋＝＋(＋－)＝＋＝－，故＋＋与反向平行．‎ ‎5. 【2017江苏省南通市如东县一中高三月考】如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，＝x＋y，且＝2，则(　　)‎ A．x＝，y＝ B．x＝，y＝ C．x＝，y＝ D．x＝，y＝ ‎【答案】A ‎【解析】由题意知＝＋，又＝2，所以＝＋＝＋(－)＝＋，所以x＝，y＝.‎ ‎6．【2017湖南省永州市高三月考】设O在△ABC的内部，D为AB的中点，且＋＋2＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为(　　)‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎【答案】B ‎7．【2017河北省定州中学高三月考】在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2，BC＝2，点E在线段CD上，若＝＋μ，则μ的取值范围是________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】由题意可求得AD＝1，CD＝，所以＝2.∵点E在线段CD上，∴＝λ (0≤λ≤1)．‎ ‎∵＝＋，又＝＋μ＝＋2μ＝＋，∴＝1，即μ＝.∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤.即μ的取值范围是.‎ ‎8．【2017河北省沧州市高三月考】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＝BC，E，F分别为线段AD与BC的中点．设＝a，＝b，试用a，b为基底表示向量，，.‎ ‎ 【答案】见解析 ‎【解析】＝＋＋＝－b－a＋b＝b－a，＝＋＝－b＋＝b－a，＝＋＝－b－＝a－b.‎ ‎9．【2017西藏林芝市高三月考】设e1，e2是两个不共线的向量，已知＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2.‎ ‎(1)求证：A，B，D三点共线；‎ ‎(2)若＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，求k的值．‎ ‎【答案】见解析 ‎10．【2017江苏泰兴中学高三月考】已知O，A，B是不共线的三点，且＝m＋n (m，n∈R)．‎ ‎(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；‎ ‎(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】证明：(1)若m＋n＝1，则＝m＋(1－m) ＝＋m(－)，‎ ‎ ∴－＝m(－)，即＝m，∴与共线．‎ 又∵与有公共点B，∴A，P，B三点共线．‎ ‎(2)若A，P，B三点共线，存在实数λ，使＝λ，∴－＝λ(－)．‎ 又＝m＋n.故有m＋(n－1) ＝λ－λ，‎ 即(m－λ) ＋(n＋λ－1) ＝0.∵O，A，B不共线，∴，不共线，‎ ‎∴∴m＋n＝1.‎ ‎ ‎ ‎ ‎