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- 2021-05-14 发布
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空间向量及其运算
知识点1、向量共线、共面的判定.
1、共线: 对空间任意两个向量a, b(b≠0), a∥b的充要条件是_______________.
2、共面: 如果两个向量a, b(不共线), 那么向量p与向量a, b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x, y), 使_______________. 答案: p=xa+yb.
3、不共面: 如果三个向量a, b, c不共面, 那么对空间任一向量p, 存在有序实数组{x, y, z}, 使得p=____________________________, 把{a, b, c}叫做空间的一个基底.
知识点2、向量运算律
① 两向量的数量积
已知两个非零向量a, b, 则____________________叫做向量a, b的数量积, 记作________, 即__________________.数量积的坐标运算, 若a=(a1, a2, a3), b=(b1, b2, b3), 则
a·b=____________________.
② 空间向量数量积的运算律
结合律: (λa)·b=____________; 交换律: a·b=_______; 分配律: a·(b+c)=_____________.
③ 模、夹角和距离公式
设a=(a1, a2, a3), b=(b1, b2, b3),
则|a|==________________, cos〈a, b〉==________________________ .
若A(a1, b1, c1), B(a2, b2, c2), 则||=__________________________.
题型一 直线的方程形式
(1) 空间向量: 在空间中, 具有______和______的量叫做空间向量.
(2) 相等向量: 方向______且模______的向量.
(3) 共线向量定理
1. 若a=(2x,1,3), b=(1, -2y,9), 且a∥b, 则( )
A. x=1, y=1 B. x=, y=- C. x=, y=- D. x=-, y=
解: 选C, ∵a∥b, ∴==, ∴x=, y=-.
2. (2016·青岛月考)
如图所示, 在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中, M为AC与BD的交点, 若=a, =b, =c, 则下列向量中与相等的向量是( )
A. -a+b+c B.a+b+c C.a-b+c D. -a-b+c
解: 选A, [=++=-++
=-a+c+(a+b)=-a+b+c.
3. (2016·广州调研)在平行六面体ABCD—A′B′C′D′中, 已知∠BAD=∠A′AB=∠A′AD=60°,
AB=3, AD=4, AA′=5, 则||=________.
解: ∵=++=++,
∴||2=2+2+2+2·+2·+2·
=32+42+52+2×3×4×cos 60°+2×4×5×cos 60°+2×3×5×cos 60°=97, ∴||=.
4. 有下列4个命题:
① 若p=xa+yb, 则p与a、b共面; ② 若p与a、b共面, 则p=xa+yb;
③ 若=x+y, 则P、M、A、B共面; ④ 若P、M、A、B共面, 则=x+y.
其中真命题的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 选B, ①正确. ②中若a、b共线, p与a不共线, 则p=xa+yb就不成立. ③正确. ④中若M、A、B共线, 点P不在此直线上, 则=x+y不正确.
5. A(1,0,1), B(4,4,6), C(2,2,3), D(10,14,17)这四个点________(填共面或不共面).
5. 共面, 解: =(3,4,5), =(1,2,2), =(9,14,16), 设=x+y,
即(9,14,16)=(3x+y,4x+2y,5x+2y). ∴, 从而A、B、C、D四点共面.
题型二 空间基向量的应用
6、已知空间四边形OABC中, M为BC的中点, N为AC的中点, P为OA的中点, Q为OB的中点, 若AB=OC, 求证: PM⊥QN.
设=a, =b, =c. ∵=(+)=(b+c), =(+)=(a+c),
∴=+=-a+(b+c)=(b+c-a),
=+=-b+(a+c)=(a+c-b).
∴·=[c-(a-b)][c+(a-b)]=[c2-(a-b)2]=(||2-||2)
∵||=||, ∴·=0. 即⊥, 故PM⊥QN.
7、如图, 在正四面体ABCD中, E、F分别为棱AD、BC的中点, 则异面直线AF和CE所成角的余弦值为________.
设{, , }为空间一组基底, 则=+,
=+=+(-)=-+.
∴·=·=-·-2+·+·
=-2-2+2+2=-2.
又||=||=||, ∴||·||=||2. ∴cos〈, 〉===-.
∴异面直线AF与CE所成角的余弦值为.
8、(2016·合肥调研)两个边长为1的正方形ABCD与正方形ABEF相交于AB, ∠EBC=90°, 点M、N分别在BD、AE上, 且AN=DM.
(1) 求证: MN∥平面EBC; (2) 求MN长度的最小值.
解: 如图所示, 建立坐标系后, 要证MN平行于平面EBC, 只要证的横坐标为0即可.
(1) 证明 如图所示, 以、、为单位正交基底建立空间直角坐标系, 则A(1,0,0), D(1,1,0), E(0,0,1), B(0,0,0), 设==λ, 则
=++=λ++λ=λ(1,1,0)+(0, -1,0)+λ(-1,0,1)=(0, λ-1, λ).
∵0<λ<1, ∴λ-1≠0, λ≠0, 且的横坐标为0. ∴平行于平面yBz, 即MN∥平面EBC.
(2) 解: 由(1)知||=== ,
∴当λ=时, MN取得长度的最小值为.
A组 专项基础训练题组
1. 下列命题:
① 若A、B、C、D是空间任意四点, 则有+++=0;
② |a|-|b|=|a+b|是a、b共线的充要条件;
③ 若a、b共线, 则a与b所在直线平行;
④ 对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C, 若=x+y+z(其中x、y、z∈R)则P、A、B、C四点共面. 其中假命题的个数是( C )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2. 如图所示, 在正方体ABCD—A1B1C1D1中, O是底面ABCD的中心, M、N分别是棱DD1、D1C1的中点, 则直线OM( A )
A. 既垂直于AC, 又垂直于MN
B. 垂直于AC, 但不垂直于MN
C. 垂直于MN, 但不垂直于AC
D. 与AC、MN都不垂直
3. (2016·绍兴月考) 如图所示, 在三棱柱ABC—A1B1C1中, AA1⊥底面ABC, AB=BC=AA1, ∠ABC=90°, 点E、F分别是棱AB、BB1的中点, 则直线EF和BC1所成的角是( B )
A. 45° B. 60°
C. 90° D. 120°
4. 设点C(2a+1, a+1,2)在点P(2,0,0)、A(1, -3,2)、B(8, -1,4)确定的平面上, 则a等于( A )
A. 16 B. 4 C. 2 D. 8
解: 选A [由=λ1+λ2得: (2a-1, a+1,2)=λ1(-1, -3,2)+λ2(6, -1, 4),
∴解得a=16.
5. 在直角坐标系中, A(-2,3), B(3, -2), 沿x轴把直角坐标系折成120°的二面角, 则AB的长度为( B )
A. B. 2 C. 3 D. 4
解: 过A、B分别作AA1⊥x轴, BB1⊥x轴, 垂足分别为A1和B1, 则AA1=3, A1B1=5, BB1=2,
∵=++, ∴2=2+2+2+2·=32+52+22+2×3×2×cos 60°=44.∴||=2.
6. (2016·信阳模拟)如图所示, 已知空间四边形ABCD, F为BC的中点, E为AD的中点, 若=λ(+), 则λ=________.
解: ∵=++, 又=++,
∴2=+, ∴=(+), ∴λ=.
7. (2016·铜川模拟)在正方体ABCD—A1B1C1D1中, 给出以下向量表达式:
① (-)-; ② (+)-;
③ (-)-2; ④ (+)+.
其中能够化简为向量的是________. (填所有正确的序号)
解 ①(-)-=-=;
②(+)-=-=;
③(-)-2=-2≠;
④(+)+=+(+)=≠.
8. (2016·丽水模拟) 如图所示, PD垂直于正方形ABCD所在平面,
AB=2, E为PB的中点, cos〈, 〉=, 若以DA, DC, DP所在直线分别为x, y, z轴建立空间直角坐标系, 则点E的坐标为________.
解: 设DP=y>0, 则A(2,0,0), B(2,2,0), P(0,0, y), E,
=(0,0, y), =. ∴cos〈, 〉====.
解得y=2, ∴E(1,1,1).
B组 专项能力提升题组
9. 如图所示, 已知ABCD—A1B1C1D1是棱长为3的正方体, 点E在AA1上, 点F在CC1上, 且AE=FC1=1.
(1) 求证: E、B、F、D1四点共面;
(2) 若点G在BC上, BG=, 点M在BB1上, GM⊥BF, 垂足为H, 求证: EM⊥平面BCC1B1.
证明: (1) 建立如图所示的空间直角坐标系, 则=(3,0,1), =(0,3,2),
=(3,3,3). 所以=+. 故、、共面.
又它们有公共点B, ∴E、B、F、D1四点共面. (6分)
(2) 设M(0,0, z), 则=. 而=(0,3,2),
由题设, 得·=-×3+z·2=0, 得z=1. ∴M(0,0,1), E(3,0,1), ∴=(3,0,0).
又=(0,0,3), =(0,3,0), ∴·=0, ∴·=0, 从而ME⊥BB1, ME⊥BC.
又∵BB1∩BC=B, ∴ME⊥平面BCC1B1.
10、如图所示, 已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,
AB=, AF=1, M是线段EF的中点.
求证: (1) AM∥平面BDE; (2) AM⊥面BDF.
证: (1)建立如图所示的空间直角坐标系,
设AC∩BD=N, 连接NE. 则点N、E的坐标分别为、
(0,0,1). ∴=.又点A、M的坐标分别为
(, , 0)、, ∴=.
∴=且NE与AM不共线. ∴NE∥AM. 又∵NE⊂平面BDE, AM⊄平面BDE, ∴AM∥平面BDE.
(2) 由(1)得, =, ∵D(, 0,0), F(, , 1), B(0, , 0),
∴=(0, , 1), =(, 0,1). ∴·=0, ·=0.∴⊥, ⊥,
即AM⊥DF, AM⊥BF. 又DF∩BF=F, ∴AM⊥平面BDF.
11、(2009·福建)如图, 四边形ABCD是边长为1的正方形, MD⊥平面ABCD, NB⊥平面ABCD, 且MD=NB=1, E为BC的中点.
(1) 求异面直线NE与AM所成角的余弦值;
(2) 在线段AN上是否存在点S, 使得ES⊥平面AMN?若存在, 求线段AS的长;若不存在, 请说明理由.
解 (1) 如图所示, 以点D为坐标原点, 建立空间直角坐标系D—xyz.
依题意, 得D(0,0,0), A(1,0,0), M(0,0,1), C(0,1,0), B(1,1,0), N(1,1,1),
E.∴=, =(-1,0,1).
∵cos〈, 〉===-,
∴异面直线NE与AM所成角的余弦值为.
(2) 假设在线段AN上存在点S, 使得ES⊥平面AMN.
∵=(0,1,1), 可设=λ=(0, λ, λ), 又=,
∴=+=. 由ES⊥平面AMN, 得
即故λ=, 此时=, ||=.
经检验, 当AS=时, ES⊥平面AMN. 故线段AN上存在点S, 使得ES⊥平面AMN, 此时AS=.
12. (2011·汕头月考) 如图所示, 已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a, 点M、N分别是AB、CD的中点.
(1) 求证: MN⊥AB, MN⊥CD;
(2) 求MN的长;
(3) 求异面直线AN与CM所成角的余弦值.
(1) 证明 设=p, =q, =r.
由题意可知: |p|=|q|=|r|=a, 且p、q、r三向量两两夹角均为60°.
=-=(+)-=(q+r-p), (2分)
∴·=(q+r-p)·p=(q·p+r·p-p2)=(a2·cos 60°+a2·cos 60°-a2)=0.
∴MN⊥AB,又∵=-=r-q,
∴·=(q+r-p)·(r-q)=(q·r-q2+r2-q·r-p·r+p·q)
=(a2cos 60°-a2+a2-a2cos 60°-a2cos 60°+a2cos 60°)=0, ∴MN⊥CD.
(2) 解 由(1)可知=(q+r-p), ∴||2=2=(q+r-p)2
=[q2+r2+p2+2(q·r-p·q-r·p)]==×2a2=.
∴||=a, ∴MN的长为a.(9分)
(3) 解 设向量与的夹角为θ.
∵=(+)=(q+r), =-=q-p,
∴·=(q+r)·=
===.(12分)
又∵||=||=a, ∴·=||·||·cos θ即a·a·cos θ=.
∴cos θ=, ∴向量与的夹角的余弦值为, 从而异面直线AN与CM所成角的余弦值为.