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- 2021-05-14 发布
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2016年高考数学(理)一轮复习精品平面向量
F1 平面向量的概念及其线性运算
5.A3、F1[2014·辽宁卷] 设a,b,c是非零向量,已知命题p:若a·b=0,b·c=0,则a·c=0,命题q:若a∥b,b∥c,则a∥c,则下列命题中真命题是( )
A.p∨q B.p∧q
C.(綈p)∧(綈q) D.p∨(綈q)
5.A [解析] 由向量数量积的几何意义可知,命题p为假命题;命题q中,当b≠0时,a,c一定共线,故命题q是真命题.故p∨q为真命题.
15.F1[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知A,B,C为圆O上的三点,若=(+),则与的夹角为________.
15.90° [解析] 由题易知点O为BC的中点,即BC为圆O的直径,故在△ABC中,BC对应的角A为直角,即AC与AB的夹角为90°.
7.F1[2014·四川卷] 平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且c与a的夹角等于c与b的夹角,则m=( )
A.-2 B.-1
C.1 D.2
7.2 [解析] c=ma+b=(m+4,2m+2),由题意知=,即=,即5m+8=,解得m=2.
F2 平面向量基本定理及向量坐标运算
4.F2[2014·重庆卷] 已知向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),且(2a-3b)⊥c,则实数k=( )
A.- B.0
C.3 D.
4.C [解析] ∵2a-3b=2(k,3)-3(1,4)=(2k-3,-6),又(2a-3b)⊥c,∴(2k-3)×2+(-6)=0,解得k=3.
8.F2[2014·福建卷] 在下列向量组中,可以把向量a=(3,2)表示出来的是( )
A.e1=(0,0),e2=(1,2)
B.e1=(-1,2),e2=(5,-2)
C.e1=(3,5),e2=(6,10)
D.e1=(2,-3),e2=(-2,3)
8.B [解析] 由向量共线定理,选项A,C,D中的向量组是共线向量,不能作为基底;而选项B中的向量组不共线,可以作为基底,故选B.
16.F2,C4[2014·山东卷] 已知向量a=(m,cos 2x),b=(sin 2x,n),函数f(x)=a·b,且y=f(x)的图像过点和点.
(1)求m,n的值;
(2)将y=f(x)的图像向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y=g(x)的图像,若y=g(x
)图像上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1,求y=g(x)的单调递增区间.
16.解:(1)由题意知,f(x)=a·b=msin 2x+ncos 2x.
因为y=f(x)的图像过点和点,
所以
即
解得m=,n=1.
(2)由(1)知f(x)=sin 2x+cos 2x=2sin.
由题意知,g(x)=f(x+φ)=2sin.
设y=g(x)的图像上符合题意的最高点为(x0,2).
由题意知,x+1=1,所以x0=0,
即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2).
将其代入y=g(x)得,sin=1.
因为0<φ<π,所以φ=.
因此,g(x)=2sin=2cos 2x.
由2kπ-π≤2x≤2kπ,k∈Z得kπ-≤x≤kπ,k∈Z,
所以函数y=g(x)的单调递增区间为,k∈Z.
13.F2[2014·陕西卷] 设0<θ<,向量a=(sin 2θ,cos θ),b=(cos θ,1),若a∥b,则tan θ=________.
13. [解析] 因为向量a∥b,所以sin 2θ-cos θ·cos θ=0,又cos θ≠0,所以2sin θ=cos θ,故tan θ=.
18.F2,E5[2014·陕西卷] 在直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2),点P(x,y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上.
(1)若++=0,求||;
(2)设=m+n(m,n∈R),用x,y表示m-n,并求m-n的最大值.
18.解:(1)方法一:∵++=0,
又++=(1-x,1-y)+(2-x,3-y)+(3-x,2-y)=(6-3x,6-3y),
∴解得
即=(2,2),故||=2.
方法二:∵++=0,
则(-)+(-)+(-)=0,
∴=(++)=(2,2),
∴||=2.
(2)∵=m+n,
∴(x,y)=(m+2n,2m+n),
∴
两式相减得,m-n=y-x,
令y-x=t,由图知,当直线y=x+t过点B(2,3)时,t取得最大值1,故m-n的最大值为1.
F3 平面向量的数量积及应用
10.F3[2014·北京卷] 已知向量a,b满足|a|=1,b=(2,1),且λa+b=0(λ∈R),则|λ|=________.
10. [解析] ∵λa+b=0,∴λa=-b,
∴|λ|===.
11.F3[2014·湖北卷] 设向量a=(3,3),b=(1,-1).若(a+λb)⊥(a-λb),则实数λ=________.
11.±3 [解析] 因为a+λb=(3+λ,3-λ),a-λb=(3-λ,3+λ),又(a+λb)⊥(a-λb),所以(a+λb)·(a-λb)=(3+λ)(3-λ)+(3-λ)(3+λ)=0,解得λ=±3.
14.F3[2014·江西卷] 已知单位向量e1与e2的夹角为α,且cos α=,向量a=3e1-2e2与b=3e1-e2的夹角为β,则cos β=________.
14. [解析] cos β===
=
==.
4.F3[2014·全国卷] 若向量a,b满足:|a|=1,(a+b)⊥a,(2a+b)⊥b,则|b|=( )
A.2 B.
C.1 D.
4.B [解析] 因为(a+b)⊥a,所以(a+b)·a=0,即|a|2+b·a=0.因为(2a+b)⊥b,所以(2a+b)·b=0,即2a·b+|b|2=0,与|a|2+b·a=0联立,可得2|a|2-|b|2=0,所以|b|=|a|=.
3.F3[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设向量a,b满足|a+b|=,|a-b|=,则a·b=( )
A.1 B.2 C.3 D.5
3.A [解析] 由已知得|a+b|2=10,|a-b|2=6,两式相减,得4a·b=4,所以a·b=1.
12.F3,C8[2014·山东卷] 在△ABC中,已知·=tan A,当A=时,△ABC的面积为______.
12. [解析] 因为AB·AC=||·||cos A=tan A,且A=,所以||·||=,所以△ABC的面积S=||·||sin A=××sin = .
8.F3[2014·天津卷] 已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E,F分别在边BC,DC上,BE=λBC,DF=μDC.若·=1,·=-,则λ+μ=( )
A. B. C. D.
8.C [解析] 建立如图所示的坐标系,则A(-1,0),B(0,-),C(1,0),D(0,).设E(x1,y1),F(x2,y2).由BE=λBC得(x1,y1+)=λ(1,),解得即点E(λ,(λ-1)).由=μ得(x2,y2-)=μ(1,-),解得即点F(μ,(1-μ)).又∵AE·AF=(λ+1,(λ-1))·(μ+1,(1-μ))=1,①
·=(λ-1, (λ-1))·(μ-1, (1-μ))=-.②
①-②得λ+μ=.
F4 单元综合
15.F4[2014·安徽卷] 已知两个不相等的非零向量a,b,两组向量x1,x2,x3,x4,x5和y1,y2,y3,y4,y5均由2个a和3个b排列而成.记S=x1·y1+x2·y2+x3·y3+x4·y4+x5·y5,Smin表示S所有可能取值中的最小值,则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号).
①S有5个不同的值
②若a⊥b,则Smin与|a|无关
③若a∥b,则Smin与|b|无关
④若|b|>4|a|,则Smin>0
⑤若|b|=2|a|,Smin=8|a|2,则a与b的夹角为
15.②④ [解析] S可能的取值有3种情况:S1=2a2+3b2,S2=a2+2b2+2a·b,S3=b2+4a·b,所以S最多只有3个不同的值.
因为a,b是不相等的向量,所以S1-S3=2a2+2b2-4a·b=2(a-b)>0,S1-S2=a2+b2-2a·b=(a-b)2>0,S2-S3=(a-b)>0,所以S3|b2|-4|a||b|>16|a|2-|a|2=0,所以Smin>0,故④正确;
对于⑤,|b|=2|a|,Smin=4|a|2+8|a|2cos θ=8|a|2,所以cos θ=,又θ∈[0,π],所以θ=,故⑤错误.
16.F4[2014·湖南卷] 在平面直角坐标系中,O为原点,A(-1,0),B(0,),C(3,0),动点D满足||=1,则|++|的最大值是________.
16.1+ [解析] 由||=1,得动点D在以C为圆心,半径为1的圆上,故可设D(3+cos α,sin α),
所以OA+OB+OD=(2+cos α,+sin α),所以|OA+OB+OD|2=(2+cos α)2+(+sin α)2=8+4cos α+2sin α=8+2sin (α+φ),
所以(|++|2)max=8+2,即|++|max=+1.
10.E6,F4[2014·四川卷] 已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,·=2(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是( )
A.2 B.3 C. D.
10.B [解析] 由题意可知,F.设A(y,y1),B(y,y2),∴·=y1y2+yy=2,
解得y1y2=1或y1y2=-2.又因为A,B两点位于x轴两侧,所以y1y2<0,即y1y2=-2.
当y≠y时,AB所在直线方程为y-y1=(x-y)= (x-y),
令y=0,得x=-y1y2=2,即直线AB过定点C(2,0).
于是S△ABO+S△AFO=S△ACO+S△BCO+S△AFO=×2|y1|+×2|y2|+×|y1|=(9|y1|+8|y2|)≥×2=3,当且仅当9|y1|=8|y2|且y1y2=-2时,等号成立.当y=y时,取y1=,y2=-,则AB所在直线的方程为x=2,此时求得S△ABO+S△AFO=2××2×+××=,而>3,故选B.
8.F4[2014·浙江卷] 记max{x,y}=min{x,y}=设a,b为平面向量,则( )
A.min{|a+b|,|a-b|}≤min{|a|,|b|}
B.min{|a+b|,|a-b|}≥min{|a|,|b|}
C.max{|a+b|2,|a-b|2}≤|a|2+|b|2
D.max{|a+b|2,|a-b|2}≥|a|2+|b|2
8.D [解析] 对于A,当a=0,b≠0时,不等式不成立;对于B,当a=b≠0时,不等式不成立; 对于C,D,设=a,=b,构造平行四边形OACB,根据平行四边形法则,∠AOB与∠OBC至少有一个大于或等于90°,根据余弦定理,max{|a+b|2,|a-b|2}≥|a|2+|b|2成立,故选D.
6.[2014·汕头一模] 如图X191所示,在三角形ABC中,BD=2CD.若=a,=b,则=( )
图X191
A.a+b B.a+b
C.a-b D.a-b
6.A [解析] ∵=-=b-a,∴==b-a,∴=+=a+b-a=a+b.
12.[2014·四川自贡诊断] 设=(3,2),=(2,4)(O为坐标原点),点H(m+2,m-1)为△ABC的垂心,则m=________.
12.2 [解析] 易知=-=(m+2-2,m-1-4)=(m,m-5).由题知·=0,即m×3+(m-5)×2=0,∴m=2.
8.[2014·广东韶关一模] 已知向量与的夹角为120°,且||=2,||=3.若=λ+,且⊥,则实数λ的值为( )
A. B.13 C.6 D.
8.D [解析] 由·=(λ+)·(-)=λ·-λ()2+()2-·=0,得-3λ-4λ+9+3=0,解得λ=.
2.[2014·四川自贡一诊] 在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1).
(1)求以线段AB,AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长;
(2)当k=-时,求(-k)·的值.
2.解:(1)由题意,得=(3,5),=(-1,1),
则+=(2,6),-=(4,4).
故所求两条对角线的长分别为4 ,2 .
(2)∵=(-2,-1),-k=(3+2k,5+k),
∴(-k)·=(3+2k,5+k)·(-2,-1)=-11-5k.
∵k=-,∴(-k)·=-11-5k=0.
4.[2014·惠州调研] 已知△ABC中,角A为锐角,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.设向量m=(cos A,sin A),n=(cos A,-sin A),且m与n的夹角为.
(1)计算m·n的值并求角A的大小;
(2)若a=,c=,求△ABC的面积S.
4.解:(1)∵|m|==1,
|n|==1,
∴m·n=|m|·|n|·cos=.
∵m·n=cos2A-sin2A=cos 2A,∴cos 2A=.
∵0c,
∴0