走向高考高三数学二轮专题复习专题综合检测五Word有详解答案 53页

专题综合检测五 时间：120分钟　满分：150分 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．(文)(2013·泗县双语中学模拟)若直线2tx＋3y＋2＝0与直线x＋6ty－2＝0平行，则实数t等于(　　)‎ A.或－　　　　　　 B. C．－ D. ‎[答案]　B ‎[解析]　由条件知，＝≠，∴t＝.‎ ‎(理)(2013·吉大附中二模)若曲线y＝2x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则切线l的方程为(　　)‎ A．x＋4y＋3＝0 B．x＋4y－9＝0‎ C．4x－y＋3＝0 D．4x－y－2＝0‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　y′＝4x，直线x＋4y－8＝0的斜率k＝－，令4x＝4得x＝1，‎ ‎∴切点(1,2)，∴切线l：y－2＝4(x－1)，‎ 即4x－y－2＝0，故选D.‎ ‎2．(2013·眉山二诊)抛物线y＝4x2的焦点坐标是(　　)‎ A．(1,0) B．(0,1)‎ C．(0，) D．(0，)‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　y＝4x2化为x2＝y，∴2p＝，∴p＝，‎ ‎∴焦点F(0，)．‎ ‎3．(文)(2013·北京理，6)若双曲线－＝1的离心率为，则其渐近线方程为(　　)‎ A．y＝±2x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x ‎[答案]　B ‎[解析]　本题考查双曲线的离心率及渐近线方程等几何性质．‎ 因为离心率e＝，所以c＝a，∴b2＝c2－a2＝2a2，∴b＝a，因为双曲线的焦点在x轴上，所以渐近线方程为y＝±x.选B.‎ ‎(理)(2013·北京文，7)双曲线x2－＝1的离心率大于的充分必要条件是(　　)‎ A．m> B．m≥1‎ C．m>1 D．m>2‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　双曲线离心率e＝>，‎ 所以m>1，选C.‎ ‎4．(2013·天津理，5)已知双曲线－＝1(a>0，b ‎>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别交于A、B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p＝(　　)‎ A．1 B. C．2 D．3‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　∵e＝＝2，∴b2＝c2－a2＝3a2，∴＝，双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，不妨设A(－，)，B(－，－)，则AB＝p，又三角形的高为，则S△AOB＝××p＝，∴p2＝4，又p>0，∴p＝2.‎ ‎5．(2013·哈六中二模)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，直线l与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线的准线上的射影为C，若＝，·＝36，则抛物线的方程为(　　)‎ A．y2＝6x B．y2＝3x C．y2＝12x D．y2＝2x ‎[答案]　D ‎[解析]　∵F(，0)，设A(x0，y0)，y0>0，则C(－，y0)，B(p－x0，－y0)，由条件知p－x0＝－，∴x0＝，∴y＝2p·＝3p2，∴y0＝p，∴B(－，－p)，A(，p)，C(－，p)，∴·＝(2p,2p)·(0,2p)＝12p2＝36，∴p＝，‎ ‎∴抛物线方程为y2＝2x.‎ ‎6．(2013·江西八校联考)若圆锥曲线C是椭圆或双曲线，其中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过A(－2，2)，B(，－)，则(　　)‎ A．曲线C可为椭圆，也可为双曲线 B．曲线C一定是双曲线 C．曲线C一定是椭圆 D．这样的曲线C不存在 ‎[答案]　B ‎[解析]　设曲线为mx2＋ny2＝1，∵A、B在曲线C上，‎ ‎∴∴ ‎∴曲线方程为x2－＝1，故选B.‎ ‎7．(2013·江西师大附中、鹰潭一中模拟)已知等边△ABC中，D、E分别是CA、CB的中点，以A、B为焦点且过D、E的椭圆和双曲线的离心率分别为e1、e2，则下列关于e1、e2的关系式不正确的是(　　)‎ A．e2＋e1＝2 B．e2－e1＝2‎ C．e2e1＝2 D.>2‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　设正三角形的边长为2，椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a、b、c，双曲线的实半轴、虚半轴、半焦距长分别为a′、b′、c′，则2c′＝2c＝|AB|＝2，∴c′＝c＝1,2a＝|DB|＋|DA|＝＋1,2a′＝|DB|－|DA|＝－1，∴e1＝＝＝－1，e2＝＝‎ eq (3)＋1，故选A.‎ ‎8．(2013·苍南求知中学月考)过双曲线M：x2－＝1的左顶点A作斜率为2的直线l，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B、C，且＝2，则双曲线M的离心率是(　　)‎ A. B. C. D. ‎[答案]　C ‎[解析]　由条件知A(－1,0)，∴l：y＝2(x＋1)，双曲线渐近线方程为y＝±bx，∵＝2，∴B在A，C之间，∴由得B(－，)，‎ 由得C(，)，‎ 再由＝2得b＝4，∴e＝.‎ ‎9．(2013·天津和平区质检)若抛物线y2＝2px上恒有关于直线x＋y－1＝0对称的两点A、B，则p的取值范围是(　　)‎ A．(－，0) B．(0，)‎ C．(0，) D．(－∞，0)∪(，＋∞)‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　设直线AB：y＝x＋b，代入y2＝2px中消去x得，y2－2py＋2pb＝0，∴y1＋y2＝2p，x1＋x2＝y1＋y2－2b＝2p－2b ‎，由条件知线段AB的中点(，)，‎ 即(p－b，p)在直线x＋y－1＝0上，∴b＝2p－1，Δ＝4p2－8pb＝4p2－8p(2p－1)＝－12p2＋8p>0，∴00)，代入y2＝4x中消去x得，y2＝－4，由Δ＝－16＝0及k>0得k＝1，∴PA：y＝x＋1，P(1,2)，|PA|＝2，|PB|＝2，‎ ‎∴＝＝.‎ ‎[点评]　也可以不用判别式法，用导数法求解．‎ ‎(理)(2013·北京东城区模拟)已知点A(2,1)，抛物线y2＝4x的焦点是F，若抛物线上存在一点P，使得|PA|＋|PF|最小，则P点的坐标为(　　)‎ A．(2,1) B．(1,1)‎ C．(，1) D．(，1)‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　过P作PB与准线垂直，垂足为B，则|PF|＝|PB|，∴P点在抛物线弧内，∴当P、A、B共线时，|PA|＋|PF|取最小值，此时yP＝yA＝1，∴xP＝，‎ 即P(，1)．‎ ‎11．(文)(2013·保定二模)双曲线－＝1(b>a>0)与圆x2＋y2＝(c－)2无交点，c2＝a2＋b2，则双曲线的离心率e的取值范围是(　　)‎ A．(1，) B．(，)‎ C．(，2) D．(，2)‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　由条件知c－1，∴1a，∴c2－a2>a2，∴e>，∴0，b>0)的右焦点为F，O为坐标原点，以OF为直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于O，A两点，若△AOF的面积为b2，则双曲线的离心率等于(　　)‎ A. B. C. D. ‎[答案]　D ‎[解析]　∵A在以OF为直径的圆上，∴AO⊥AF，‎ ‎∴AF：y＝－(x－c)与y＝x联立解得x＝，y＝，∵△AOF的面积为b2，‎ ‎∴·c·＝b2，∴e＝.‎ ‎12．(2013·大兴区质检)抛物线y＝x2(－2≤x≤2)绕y轴旋转一周形成一个如图所示的旋转体，在此旋转体内水平放入一个正方体，使正方体的一个面恰好与旋转体的开口面平齐，则此正方体的棱长是(　　)‎ A．1 B．2‎ C．2 D．4‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　当x＝2时，y＝4，‎ 设正方体的棱长为a，由题意知(a,4－a)在抛物线y＝x2上，∴4－a＝a2，∴a＝2.‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填写在题中横线上．)‎ ‎13．(2013·天津六校联考)已知直线ax＋by＝1(其中a，b为非零实数)与圆x2＋y2＝1相交于A，B两点，O为坐标原点，且△AOB为直角三角形，则＋的最小值为________．‎ ‎[答案]　4‎ ‎[解析]　∵△AOB为等腰直角三角形，⊙O的半径为1，∴O到直线ax＋by－1＝0的距离为，即＝，∴2a2＋b2＝2，∴＋＝(＋)()＝2＋＋≥4，等号在＝，‎ 即b2＝2a2＝1时成立，∴所求最小值为4.‎ ‎14．(文)(2013·黄埔区模拟)已知点P(2，－3)是双曲线－＝1(a>0，b>0)上一点，双曲线两个焦点间的距离等于2，则该双曲线方程是________．‎ ‎[答案]　x2－＝1‎ ‎[解析]　由条件知， 解之得，a2＝1，b2＝3，∴双曲线的方程为x2－＝1.‎ ‎(理)(2013·天津十二区县联考)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率e＝，它的一条渐近线与抛物线y2＝2px(p＞0)的准线交点的纵坐标为6，则正数p的值为________．‎ ‎[答案]　4‎ ‎[解析]　由条件知＝，·＝6，‎ 由＝得＝10，∴＝3，∴p＝4.‎ ‎15．(文)(2013·西城区模拟)抛物线y2＝2x的准线方程是________；该抛物线的焦点为F，点M(x0，y0)在此抛物线上，且|MF|＝，则x0＝________.‎ ‎[答案]　x＝－　2‎ ‎[解析]　由2p＝2得p＝1，∴准线方程为x＝－；‎ ‎∵|MF|＝x0－(－)＝，∴x0＝2.‎ ‎(理)(2013·苍南求知中学月考)过抛物线y2＝4x的焦点F作一条倾斜角为α，长度不超过8的弦，弦所在的直线与圆x2＋y2＝有公共点，则α的取值范围是________．‎ ‎[答案]　[，]∪[，]‎ ‎[解析]　F(1,0)，直线AB：y＝tanα(x－1)，由条件知，圆心(0,0)到直线AB的距离d＝≤，∴－≤tanα≤.(1)‎ 将y＝k(x－1)代入y2＝4x中消去y得，[来源:Zxxk.Com]‎ k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，‎ ‎∴x1＋x2＝，y1＋y2＝k(x1＋x2－2)＝，‎ ‎∴AB的中点坐标为P(，)，‎ ‎∵|AB|≤8，∴P到准线的距离＋1≤4，‎ ‎∴|k|≥1，∴|tanα|≥1，(2)‎ 由(1)(2)得≤α≤或≤α≤.‎ ‎16．(文)已知椭圆＋＝1(a>b>0)，A(2,0)为长轴的一个端点，弦BC过椭圆的中心O，且·＝0，|－|＝2|－|，则椭圆的方程为________．‎ ‎[答案]　＋y2＝1‎ ‎[解析]　∵|－|＝2|－|，‎ ‎∴||＝2||，‎ 又·＝0，∴⊥.‎ ‎∴△AOC为等腰直角三角形．‎ ‎∵||＝2，∴点C的坐标为(1,1)或(1，－1)，‎ ‎∵点C在椭圆上，‎ ‎∴＋＝1，又a2＝4，‎ ‎∴b2＝，故所求椭圆方程为＋y2＝1.‎ ‎(理)(2013·湖南理，14)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为________．‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　设点P在C的右支上，F1为左焦点，F2为右焦点，则|PF1|－|PF2|＝2a，又已知|PF1|＋|PF2|＝6a，∴|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，又在双曲线中c>a，‎ ‎∴|F1F2|>|PF2|，故在△PF1F2中，最小内角为∠PF1F2＝30°，‎ 在△PF1F2中，由余弦定理得，‎ ‎|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1|·|F1F2|cos30°，‎ 即4a2＝16a2＋4c2－2×4a×2c×，‎ ‎∴3a2＋c2－2ac＝0，‎ 两边同除以a2得，e2－2e＋3＝0，‎ ‎∴e＝.‎ 三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17．(本小题满分12分)(2013·重庆一中月考)(1)已知直线l1：mx＋2y＋1＝0与直线l2：2x－4m2y－3＝0垂直，求直线l1的方程；(结果要求用一般式)‎ ‎(2)若直线l1：mx＋2y＋1＝0被圆C：x2＋y2－2x＋2y－2＝0所截得的线段长为2，求直线l1的方程．(结果要求用一般式)‎ ‎[解析]　(1)∵l1⊥l2⇒m·2＋2·(－4m2)＝0⇒m＝0或m＝，所以直线l1的方程为：2y＋1＝0或x＋8y＋4＝0.‎ ‎(2)由圆的方程得：(x－1)2＋(y＋1)2＝4，所以圆心为C(1，－1)，半径r＝2，由题意知，()2＋3＝4⇒(m－1)2＝m2＋4⇒m＝－，‎ ‎∴l1的方程为：－x＋2y＋1＝0，即l1：3x－4y－2＝0.‎ ‎18．(本小题满分12分)(文)‎ 如图，直角三角形ABC的顶点坐标A(－2，0)，直角顶点B(0，－2)，顶点C在x轴上，点P为线段OA的中点．‎ ‎(1)求BC边所在直线方程；‎ ‎(2)M为直角三角形ABC外接圆的圆心，求圆M的方程；‎ ‎(3)若动圆N过点P且与圆M相切，求动圆N的圆心N的轨迹方程．‎ ‎[解析]　(1)∵kAB＝－，AB⊥BC，∴kCB＝，‎ ‎∴BC边所在直线方程为y＝x－2.‎ ‎(2)在BC边所在直线方程中，令y＝0，得C(4,0)，‎ ‎∴圆心M(1,0)．又∵|AM|＝3，‎ ‎∴外接圆的方程为(x－1)2＋y2＝9.‎ ‎(3)∵P(－1,0)，M(1,0)，‎ 圆N过点P(－1,0)，∴PN是该圆的半径．‎ 又∵动圆N与圆M内切，‎ ‎∴|MN|＝3－|PN|，即|MN|＋|PN|＝3，‎ ‎∴点N的轨迹是以M、P为焦点，长轴长为3的椭圆．‎ ‎∴a＝，c＝1，b＝＝，‎ ‎∴轨迹方程为＋＝1.‎ ‎(理)‎ 在平面直角坐标系xOy中，过定点C(2,0)作直线与抛物线y2＝4x相交于A、B两点，如图，设动点A(x1，y1)、B(x2，y2)．‎ ‎(1)求证：y1y2为定值；‎ ‎(2)若点D是点C关于坐标原点O的对称点，求△ADB面积的最小值．‎ ‎(3)求证：直线l：x＝1被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值．‎ ‎[解析]　(1)当直线AB垂直于x轴时，y1＝2，y2＝－2，因此y1y2＝－8.‎ 当直线AB不垂直于x轴时，‎ 设直线AB的方程为y＝k(x－2)，‎ 由，得ky2－4y－8k＝0，∴y1y2＝－8.‎ 因此有y1y2＝－8为定值．‎ ‎(2)∵C(2,0)，∴C点关于原点的对称点D(－2,0)，‎ ‎∴DC＝4，S△ADB＝DC·|y1－y2|.‎ 当直线AB垂直于x轴时，S△ADB＝×4×4＝8；‎ 当直线AB不垂直于x轴时，‎ 由(1)知y1＋y2＝，因此 ‎|y1－y2|＝＝>4，‎ ‎∴S△ADB＝×4×|y1－y2|>8.‎ 综上，△ADB面积的最小值为8.‎ ‎(3)AC中点E(，)，‎ AC＝，‎ 因此以AC为直径的圆的半径 r＝AC＝＝，‎ AC中点E到直线x＝1的距离d＝|－1|＝，‎ ‎∴所截弦长为2＝2 ‎＝2(定值)．‎ ‎19．(本小题满分12分)(文)(2013·江西八校联考)在平面直角坐标系xOy上取两点A1(－2,0)、A2(2,0)，再取两个动点N1(0，m)、N2(0，n)，且mn＝3.‎ ‎(1)求直线A1N1与A2N2交点的轨迹M的方程；‎ ‎(2)过点O作两条互相垂直的射线，与曲线M分别交于A、B两点．证明点O到直线AB的距离为定值，并求弦AB长度的最小值．‎ ‎[解析]　(1)依题意知直线A1N1的方程为：‎ y＝(x＋2)，①‎ 直线A2N2的方程为：y＝－(x－2)，②‎ 设Q(x，y)是直线A1N1与A2N2的交点，‎ ‎①×②得y2＝－(x2－4)．③‎ 将mn＝3代入③整理得＋＝1，‎ ‎∵N1、N2不与原点重合，‎ ‎∴点A1(－2,0)、A2(2,0)不在轨迹M上，‎ ‎∴轨迹M的方程为＋＝1(y≠0)．‎ ‎(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，若直线AB的方程为y＝kx＋m，与椭圆 ＋＝1联立消去y并化简得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，‎ 由根与系数的关系得：‎ x1＋x2＝－，‎ x1x2＝.‎ ‎∵OA⊥OB，∴x1x2＋y1y2＝0，‎ ‎∴x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝0.‎ 即：(k2＋1)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝0，‎ ‎∴(k2＋1)－＋m2＝0，‎ 整理得7m2＝12(k2＋1)，‎ 所以O到直线AB的距离：‎ d＝＝＝.‎ 若直线AB的方程为x＝t，易得O到直线AB的距离也为.‎ 故点O到直线AB的距离为定值．‎ ‎∵OA⊥OB，∴OA2＋OB2＝AB2≥2OA·OB，‎ 当且仅当OA＝OB时取“＝”号．‎ 由直角三角形面积公式得：‎ d·AB＝OA·OB，‎ ‎∵OA·OB≤，∴d·AB≤，‎ ‎∴AB≥2d＝，‎ 即当OA＝OB时，弦AB的长度的最小值是.‎ ‎(理)(2013·苍南求知中学月考)已知点M是圆C：x2＋y2＝2上的一点，且MH⊥x轴，H为垂足，点N满足＝，记动点N的轨迹为曲线E.‎ ‎(1)求曲线E的方程；‎ ‎(2)若AB是曲线E的长为2的动弦，O为坐标原点，求△AOB面积S的最大值．‎ ‎[解析]　(1)设N(x，y)，M(x′，y′)，则由已知得，x′＝x，y′＝y，‎ 代入x2＋y2＝2得，x2＋2y2＝2.‎ 所以曲线E的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)因为线段AB的长等于椭圆短轴的长，要使三点A、O、B能构成三角形，则弦AB不能与x轴垂直，故可设直线AB的方程为y＝kx＋m，‎ 由消去y并整理得，‎ ‎(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 又Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－2)>0，‎ 所以x1＋x2＝－，x1x2＝，‎ 因为|AB|＝2，‎ 所以＝2，‎ 即(1＋k2)[(x2＋x1)2－4x1x2]＝4，‎ 所以(1＋k2)[(－)2－]＝4，‎ 即m2＝，‎ 因为k2≥0，所以≤m2<1.‎ 又点O到直线AB的距离h＝，‎ 因为S＝|AB|·h＝h，‎ 所以S2＝h2＝＝.‎ 令S2＝u,1＋k2＝t，则t≥1，∴1＋2k2＝2t－1，‎ ‎∴S2＝，即u＝，u′＝≤0，‎ ‎∴u＝在[1，＋∞)上单调递减，‎ ‎∴t＝1时，umax＝，‎ 即S2≤，∴00，b>0)的离心率e＝，过点A(0，－b)和点B(a,0)的直线与原点的距离为.‎ ‎(1)求双曲线方程；‎ ‎(2)直线y＝kx＋m(k≠0)与该双曲线交于不同两点C、D，且C、D两点都在以A为圆心的同一个圆上，求m的取值范围．‎ ‎[解析]　(1)∵e＝，∴＝，‎ 直线AB方程为：－＝1，即bx－ay－ab＝0，‎ ‎∴＝，∴ab＝，‎ 又c2＝a2＋b2，∴a＝，b＝1，‎ ‎∴双曲线方程为：－y2＝1.‎ ‎(2)联立消去y可得(1－3k2)x2－6kmx－3m2－3＝0，‎ 由1－3k2≠0及Δ＝36k2m2－4(1－3k2)(－3m2－3)>0，‎ 得m2＋1>3k2，且3k2≠1，‎ 设C(x1，y1)，D(x2，y2)，CD中点E(x0，y0)，‎ ‎∴x1＋x2＝，∴x0＝，y0＝，‎ 由题意知AE垂直平分CD，‎ ‎∴kAE·k＝－1，即·k＝－1，∴3k2＝4m＋1，‎ 代入m2＋1>3k2得m2＋1>4m＋1，∴m<0或m>4，‎ 这时3k2≠1，又∵4m＋1＝k2>0，∴m>－，‎ ‎∴m的取值范围是(－，0)∪(4，＋∞)．‎ ‎21．(本小题满分12分)(文)(2013·全国大纲理，21)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为3，直线y＝2与C的两个交点间的距离为 ‎ ‎(1)求a、b；‎ ‎(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A、B两点，且|AF1|＝|BF1|，证明：|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列．‎ ‎[解析]　(1)由题设知＝3，即＝9，故b2＝8a2.‎ 所以C的方程为8x2－y2＝8a2.‎ 将y＝2代入上式，求得x＝±.‎ 由题设知，2＝，解得a2＝1.‎ 所以a＝1，b＝2.‎ ‎(2)由(1)知，F1(－3,0)，F2(3,0)，C的方程为 ‎8x2－y2＝8　　　　①‎ 由题意可设l的方程为y＝k(x－3)，|k|<2，代入①并化简得，‎ ‎(k2－8)x2－6k2x＋9k2＋8＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1≤－1，x2≥1，x1＋x2＝，x1·x2＝.‎ 于是|AF1|＝＝＝－(3x1＋1)，‎ ‎|BF1|＝＝＝3x2＋1.‎ 由|AF1|＝|BF1|得，－(3x1＋1)＝3x2＋1，‎ 即x1＋x2＝－，故＝－，‎ 解得k2＝，从而x1·x2＝－.‎ 由于|AF2|＝＝＝1－3x1，‎ ‎|BF2|＝＝＝3x2－1.‎ 故|AB|＝|AF2|－|BF2|＝2－3(x1＋x2)＝4，‎ ‎|AF2|·|BF2|＝3(x1＋x2)－9x1x2－1＝16.‎ 因而|AF2|·|BF2|＝|AB|2，所以|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列．‎ ‎(理)已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.‎ ‎(1)求动点P的轨迹C的方程；‎ ‎(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1、l2，设l1与轨迹C相交于点A、B，l2与轨迹C相交于点D、E，求·的最小值．‎ ‎[解析]　‎ ‎(1)设动点P的坐标为(x，y)，由题意有 －|x|＝1.‎ 化简得y2＝2x＋2|x|.‎ 当x≥0时，y2＝4x；‎ 当x<0时，y＝0.‎ 所以，动点P的轨迹C的方程为y2＝4x(x≥0)和y＝0(x<0)．‎ ‎(2)由题意知，直线l1的斜率存在且不为0，设为k，则l1的方程为y＝k(x－1)．‎ 由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1、x2是上述方程的两个实根，于是x1＋x2＝2＋，x1x2＝1.‎ 因为l1⊥l2，所以l2的斜率为－.‎ 设D(x3，y3)，E(x4，y4)，则同理可得 x3＋x4＝2＋4k2，x3x4＝1.‎ 故·＝(＋)·(＋)‎ ‎＝·＋·＋·＋· ‎＝||·||＋||·||‎ ‎＝(x1＋1)(x2＋1)＋(x3＋1)(x4＋1)‎ ‎＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＋x3x4＋(x3＋x4)＋1‎ ‎＝1＋(2＋)＋1＋1＋(2＋4k2)＋1‎ ‎＝8＋4(k2＋)≥8＋4×2＝16.‎ 当且仅当k2＝，即k＝±1时，·取最小值16.‎ ‎22．(本小题满分14分)(文)(2013·德阳市二诊)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)经过点(1，e)，其中e为椭圆的离心率．F1、F2是椭圆的两焦点，M为椭圆短轴端点且△MF1F2为等腰直角三角形．‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)设不经过原点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，第一象限内的点P(1，m)在椭圆上，直线OP平分线段AB，求：当△PAB的面积取得最大值时直线l的方程．‎ ‎[解析]　(1)∵椭圆＋＝1经过(1，e)，‎ ‎∴＋＝1，‎ 又e＝，∴＋＝1，解之得b2＝1，‎ ‎∴椭圆方程为＋y2＝1.‎ 又△MF1F2为等腰直角三角形，‎ ‎∴b＝c＝1，a＝，‎ 故椭圆方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)由(1)可知椭圆的方程为＋y2＝1，‎ 故P(1，)，‎ 由题意，当直线l垂直于x轴时显然不合题意．‎ 设不经过原点的直线l的方程y＝kx＋t(t≠0)交椭圆C于A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 由消去y得(1＋2k2)x2＋4ktx＋2t2－2＝0，‎ Δ＝(4kt)2－4(1＋2k2)·(2t2－2)＝16k2－8t2＋8>0，‎ ‎∴x1＋x2＝－，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2t＝，‎ x1x2＝，‎ 直线OP方程为y＝x且OP平分线段AB，‎ ‎∴＝×，解得k＝－.‎ ‎∴|AB|＝· ‎＝，‎ 又∵点P到直线l的距离d＝＝h，‎ ‎∴S△PAB＝|AB|h＝.‎ 设f(t)＝(－t)2(4－2t2)‎ ‎＝－2t4＋4t3－8t＋8，‎ 由直线l与椭圆C相交于A、B两点可得－b ‎>0)的左、右焦点，M，N分别为其短轴的两个端点，且四边形MF1NF2的周长为4，设过F1的直线l与E相交于A，B两点，且|AB|＝.‎ ‎(1)求|AF2|·|BF2|的最大值；‎ ‎(2)若直线l的倾斜角为45°，求△ABF2的面积．‎ ‎[解析]　(1)因为四边形MF1NF2为菱形，又其周长为4，故a＝1.‎ 由椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4a＝4，‎ 又因为|AB|＝，所以|AF2|＋|BF2|＝，‎ 所以|AF2|·|BF2|≤()2＝，‎ 当且仅当|AF2|＝|BF2|＝时，等号成立．‎ ‎(此时AB⊥x轴，故可得A点坐标为(－，)，代入椭圆E的方程x2＋＝1，‎ 得b＝<1，即当且仅当b＝时|AF2|＝|BF2|＝)，‎ 所以|AF2|·|BF2|的最大值为.‎ ‎(2)因为直线l的倾斜角为45°，所以可设l的方程为y＝x＋c，其中c＝，‎ 由(1)知椭圆E的方程为x2＋＝1.‎ 所以，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B两点坐标满足方程组 化简得(1＋b2)x2＋2cx＋1－2b2＝0，‎ 则x1＋x2＝，x1x2＝，‎ 因为直线l的斜率为1，所以|AB|＝|x1－x2|，‎ 即＝|x1－x2|，所以＝(x1＋x2)2－4x1x2，‎ ＝－，得b2＝，b＝，‎ 所以c＝，l的方程为：y＝x＋，‎ F2到l的距离d＝1，‎ 所以S△ABC＝|AB|×1＝××1＝.‎ 一、选择题 ‎1．(文)(2012·浙江台州调研)“a＝2”是“直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1”的(　　)‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎[答案]　C ‎[解析]　若a＝2，则直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1，反之也成立，即“a＝2”是“直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1”的充要条件，故应选C.‎ ‎(理)若直线l1：x－ay＋1＝0与直线l2：(a＋4)x＋(2a－1)y－5＝0互相垂直，则直线l1的倾斜角为(　　)‎ A．45° B．135°‎ C．60° D．45°或135°‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　∵l1⊥l2，∴1×(a＋4)－a(2a－1)＝0，‎ ‎∴a＝－1或2，‎ ‎∴l1的方程为x＋y＋1＝0或3x－3y＋5＝0，‎ ‎∴l1的倾斜角为135°或45°.‎ ‎2．(文)已知圆O的方程是x2＋y2－8x－2y＋10＝0，则过点M(3,0)的最短弦所在的直线方程是(　　)‎ A．x＋y－3＝0 B．x－y－3＝0‎ C．2x－y－6＝0 D．2x＋y－6＝0‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　圆O的方程是x2＋y2－8x－2y＋10＝0，即(x－4)2＋(y－1)2＝7，‎ 圆心O(4,1)，设过点M(3,0)的最短弦所在的直线为l，∵kOM＝1，∴kl＝－1，‎ ‎∴l的方程为：y＝－1·(x－3)，即x＋y－3＝0.‎ ‎(理)(2012·北京海淀期末)已知动圆C经过点F(0,1)并且与直线y＝－1相切，若直线3x－4y＋20＝0与圆C有公共点，则圆C的面积(　　)‎ A．有最大值为π B．有最小值为π C．有最大值为4π D．有最小值为4π ‎[答案]　D ‎[解析]　如图所示，由圆C经过点F(0,1)，并且与直线y＝－1相切，可得点C的轨迹为抛物线x2＝4y，显然以抛物线x2＝4y上任一点为圆心可作出任意大的圆与直线3x－4y＋20＝0相交，且此圆可无限大，即圆C的面积不存在最大值，设圆C与3x－4y＋20＝0相切于点A，其圆心为(x0，y0)，则由AC＝PC可得d＝＝y0＋1(点C在直线3x－4y＋20＝0的右方)，即＝x＋1，解得x0＝－2或x0＝(舍去)，当x0＝－2时，圆心C面积为(－2,1)，此时圆C的半径为2，即可得圆C的面积的最小值为4π，故应选D.‎ ‎3．(2013·山东文，11)抛物线C1：y＝x2(p>0)的焦点与双曲线C2：－y2＝1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎[答案]　D ‎[解析]　抛物线焦点A(0，)，双曲线右焦点为B(2,0)，双曲线渐近线方程为y＝±x，直线AB方程为px＋4y－2p＝0，由得M点横坐标为xM＝，‎ 又y′＝x，∴xM＝，‎ 即＝，即＝＋p，‎ 又p>0，平方可解得p＝.‎ ‎4．(文)以双曲线－＝1的离心率为半径，右焦点为圆心的圆与双曲线的一条渐近线相切，则m的值为(　　)‎ A. B. C．1 D. ‎[答案]　D ‎[解析]　以双曲线－＝1的离心率为半径，右焦点为圆心的圆与双曲线的一条渐近线相切，‎ ‎∴＝，解得m＝，故选D.‎ ‎(理)(2012·山东文，11)已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为(　　)‎ A．x2＝y B．x2＝y C．x2＝8y D．x2＝16y ‎[答案]　D ‎[解析]　本题考查双曲线离心率、抛物线方程等．‎ 由双曲线离心率为2知＝4，即b2＝3a2，‎ ‎∴b＝a，∴双曲线的渐近线方程y＝±x，‎ 由抛物线焦点F(0，)到双曲线渐近距离为2知，‎ ＝2，∴p＝8，∴抛物线方程为x2＝16y.‎ ‎5．“－30)，方程表示的曲线为抛物线的一部分．‎ ‎8．抛物线C的顶点为原点，焦点在x轴上，直线x－y＝0与抛物线C交于A、B两点，若P(1,1)为线段AB的中点，则抛物线C的方程为(　　)‎ A．y＝2x2 B．y2＝2x C．x2＝2y D．y2＝－2x ‎[答案]　B ‎[解析]　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线方程为y2＝2px，则，两式相减可得2p＝×(y1＋y2)＝kAB×2＝2，即可得p＝1，∴抛物线C的方程为y2＝2x，故应选B.‎ ‎9．(2012·河南桐柏实验中学期末)半径不等的两定圆O1、O2没有公共点，且圆心不重合，动圆O与定圆O1和定圆O2都内切，则圆心O的轨迹是(　　)‎ A．双曲线的一支 B．椭圆 C．双曲线的一支或椭圆 D．双曲线或椭圆 ‎[答案]　C ‎[解析]　设⊙O1，⊙O2，⊙O的半径分别为r1，r2，R，且r1>r2>0，当⊙O1与⊙O2外离时，由条件知⊙O1与⊙O2都内切于⊙O，∴|OO1|＝R－r1，|OO2|＝R－r2，∴|OO2|－|OO1|＝r1－r2,0r2，∴r1－r2>|O1O2|，∴点O的轨迹为以O1、O2为焦点的椭圆，故选C.‎ ‎10．(文)(2013·吉大附中二模)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点A在双曲线上，且AF2⊥x轴，若＝，则双曲线的离心率等于(　　)‎ A．2　　　　B．3　　　　C.　　　　D. ‎[答案]　A ‎[解析]　设|AF2|＝3x，则|AF1|＝5x，‎ ‎∴|F1F2|＝4x，∴c＝2x，‎ 由双曲线的定义知，2a＝|AF1|－|AF2|＝2x，‎ ‎∴a＝x，∴e＝＝2.‎ ‎(理)(2013·德阳市二诊)已知P点是x2＋y2＝a2＋b2与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)在第一角限内的交点，F1、F2分别是C的左、右焦点，且满足|PF1|＝3|PF2|，则双曲线的离心率e为(　　)‎ A．2 B. C. D. ‎[答案]　C ‎[解析]　设|PF2|＝x，则|PF1|＝3x，‎ ‎∴|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2＝10x2＝4c2，‎ ‎∴c＝x，‎ 由双曲线的定义知，2a＝|PF1|－|PF2|＝2x，‎ ‎∴a＝x，∴e＝＝，故选C.‎ ‎11．(文)过原点O作直线l交椭圆＋＝1(a>b>0)于点A、B，椭圆的右焦点为F2，离心率为e.若以AB为直径的圆过点F2，且sin∠ABF2＝e，则e＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎[答案]　B ‎[解析]　记椭圆的左焦点为F1，依题意得|AB|＝2c，四边形AF1BF2为矩形，sin∠ABF2＝＝＝e，|AF2|＝2ce，|AF1|2＝(2a－|AF2|)2＝(2a－2ce)2，|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，(2a－2ce)2＋(2ce)2＝(2c)2，由此解得e＝，选B.‎ ‎(理)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率是，过椭圆上一点M作直线MA、MB分别交椭圆于A、B两点，且斜率分别为k1、k2，若点A、B关于原点对称，则k1·k2的值为(　　)‎ A. B．－ C. D．－ ‎[答案]　D ‎[解析]　设点M(x，y)，A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，则y2＝b2－，y＝b2－，所以k1·k2＝·＝＝－＝－1＝e2－1＝－，即k1·k2的值为－.‎ ‎12．(文)(2013·辽宁文，11)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A、B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|BF|＝8，cos∠ABF＝，则C的离心率为(　　)‎ A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. ‎[答案]　B ‎[解析]　如图，由余弦定理|AF|2＝|BF|2＋|AB|2－2|BF|·|AB|cos∠‎ ABF＝64＋100－160×＝36，即|AF|＝6，‎ 又|OF|2＝|BF|2＋|OB|2－2|OB||BF|cos∠ABF＝64＋25－80×＝25，即|OF|＝5，由椭圆的对称性知：‎ ‎|AF|＋|BF|＝2a＝14，∴a＝7，|OF|＝5＝c，所以e＝，故选B.‎ ‎(理)(2013·北京理，7)直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于(　　)‎ A. B．2‎ C. D. ‎[答案]　C ‎[解析]　依题意，l的方程为y＝1，它与抛物线相交弦的长为4，所求的面积S＝4－2dx＝4－2(|)＝.选C.‎ 二、填空题 ‎13．(2013·天津六校联考)如下图，ABCD 是边长为4的正方形，动点P在以AB为直径的圆弧APB上，则·的取值范围是________．‎ ‎[答案]　[16,32]‎ ‎[解析]　设AB的中点为O，则由条件知＝，‎ ＋＝2，0≤·≤8，·＝0，‎ ‎∴·＝(＋)·(＋)‎ ‎＝·＋·＋·＋· ‎＝·(＋)＋||2‎ ‎＝·2＋16∈[16,32]．‎ ‎14．(文)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)与抛物线y2＝8x有公共焦点，且双曲线上的点到坐标原点的最短距离为1，则该双曲线的离心率为________．‎ ‎[答案]　2‎ ‎[解析]　∵抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，∴双曲线－＝1(a>0，b>0)中c＝2，‎ 又a＝1，∴e＝＝2.‎ ‎(理)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点作一条渐近线的垂线，垂足恰好落在曲线＋＝1上，则双曲线的离心率为________．‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　不妨设双曲线的一个焦点为(c,0)，(c>0)，一条渐近线方程为y＝x，由得垂足的坐标为(，)，把此点坐标代入方程＋＝1，得＋＝1，化简，并由c2＝a2＋b2得a＝b，∴e＝＝.‎ ‎15．(2013·福建理，14)椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，焦距为2c，若直线y＝(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．‎ ‎[答案]　－1‎ ‎[解析]　本题考查了椭圆离心率的求解．‎ 如图，由题意易知F1M⊥F2M且|MF1|＝c，|MF2|＝c，∴2a＝(＋1)c，∴＝＝－1.‎ ‎16．设抛物线x2＝4y的焦点为F，经过点P(1,4)的直线l与抛物线相交于A、B两点，且点P恰为AB的中点，则||＋||＝________.‎ ‎[答案]　10‎ ‎[解析]　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知x1＋x2＝2，且x＝4y1，x＝4y2，两式相减整理得，＝＝，所以直线AB的方程为x－2y＋7＝0，将x＝2y－7代入x2＝4y整理得4y2－32y＋49＝0，所以y1＋y2＝8，又由抛物线定义得||＋||＝y1＋y2＋2＝10.‎ 三、解答题 ‎17．(文)(2012·河北郑口中学模拟)椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点P(，1)，且离心率为，F为椭圆的右焦点，M、N两点在椭圆C上，且＝，定点A(－4，0)．‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)求证：⊥.‎ ‎[解析]　(1)由椭圆离心率为e＝＝，即 ＝，可得＝.‎ 又椭圆C过点P(，1)，∴＋＝1.‎ 解得a2＝6，b2＝2，∴椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，又F(2,0)，‎ ‎∴＝(2－x1，－y1)，＝(x2－2，y2)，‎ ‎∵＝，∴，∴，‎ 由M、N在椭圆上得，＋＝1，＋＝1，两式相减得：(x1＋x2)(x1－x2)＋(y1＋y2)(y1－y2)＝0，‎ ‎∴x1＝x2，∴＝(x2－x1，y2－y1)＝(0，－2y1)，＝(6,0)，∴·＝0，∴⊥.‎ ‎(理)已知F1、F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限内的一点，点B也在椭圆上，且满足＋＝0(O为坐标原点)，·＝0.若椭圆的离心率等于.‎ ‎(1)求直线AB的方程；‎ ‎(2)若△ABF2面积等于4，求椭圆的方程．‎ ‎[解析]　(1)由＋＝0知，直线AB经过原点，‎ 又由·＝0，知AF2⊥F1F2.‎ 因为椭圆的离心率等于，所以＝，b2＝a2，‎ 故椭圆方程可以写为x2＋2y2＝a2.‎ 设点A的坐标为(c，y)，代入方程x2＋2y2＝a2，得y＝a，‎ 所以点A的坐标为(a，a)，‎ 故直线AB的斜率k＝，‎ 因此直线AB的方程为y＝x.‎ ‎(2)连接AF1、BF1，由椭圆的对称性可知 S△ABF2＝S△ABF1＝S△AF1F2，‎ 所以·2c·a＝4，解得a2＝16，b2＝16－8＝8，‎ 故椭圆方程为＋＝1.‎ ‎18．(2013·泗县双语中学模拟)已知方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0.‎ ‎(1)若此方程表示圆，求实数m的取值范围；‎ ‎(2)若(1)中的圆与直线x＋2y－4＝0相交于M、N两点，且坐标原点O在以MN为直径的圆的外部，求实数m的取值范围．‎ ‎[解析]　(1)∵x2＋y2－2x－4y＋m＝0表示圆，‎ ‎∴(－2)2＋(－4)2－4m>0，∴m<5.‎ ‎(2)由消去x得，5y2－16y＋m＋8＝0，‎ 由Δ＝162－20(m＋8)＝96－20m>0得，m<.‎ 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1＋y2＝，y1y2＝，‎ 于是x1x2＝(4－2y1)(4－2y2)＝16－8(y1＋y2)＋4y1y2＝16－8×＋4×＝，‎ ‎∵O在以MN为直径的圆的外部，∴·>0，‎ ‎∴x1x2＋y1y2>0，∴＋>0，∴m>，‎ 综上知，m∈(，)．‎ ‎19．(2013·陕西文，20)已知动点M(x，y)到直线l：x＝4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍．‎ ‎(1)求动点M的轨迹C的方程；‎ ‎(2)过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A、B两点，若A是PB的中点，求直线m的斜率．‎ ‎[解析]　(1)设M到直线l的距离为d，根据题意，d＝2|MN|，由此得|4－x|＝2，‎ 化简得＋＝1，‎ 所以，动点M的轨迹方程为＋＝1.‎ ‎(2)由题意，设直线m的方程为y＝kx＋3，A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ 将y＝kx＋3代入＋＝1中，有(3＋4k2)x2＋24kx＋24＝0，‎ 其中，△＝(24k)2－4×24(3＋4k2)＝96(2k2－3)>0，‎ 由根与系数的关系得，x1＋x2＝－，①‎ x1x2＝.②[来源:Zxxk.Com]‎ 又因为A是PB的中点，故x2＝2x1，③‎ 将③代入①，②，得 x1＝－，x＝，可得()2＝，且k2>，‎ 解得k＝－或k＝，所以，直线m的斜率为－或.‎ ‎20．曲线C是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线，已知它的一个焦点F的坐标为(2,0)，一条渐近线的方程为y＝x，过焦点F作直线交曲线C的右支于P、Q两点，R是弦PQ的中点．‎ ‎(1)求曲线C的方程；‎ ‎(2)当点P在曲线C右支上运动时，求点R到y轴距离的最小值．‎ ‎[解析]　(1)设所求双曲线C的方程为－＝1，(a>0，b>0)‎ 由题意得：解得 所以，所求曲线C的方程为x2－＝1.‎ ‎(2)若弦PQ所在直线斜率k存在，则设其方程为y＝k(x－2)‎ 由，‎ 消去y得(3－k2)x2＋4k2x－4k2－3＝0，‎ 设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，‎ 则解得k2>3，‎ 此时点R到y轴的距离|xR|＝||＝＝2＋，‎ 而当弦PQ所在直线的斜率不存在时，点R到y轴的距离为2，‎ 所以，点R到y轴距离的最小值为2.‎ ‎21．(文)(2013·北京西城区模拟)如图，已知椭圆＋＝1的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D，E两点．‎ ‎(1)若点G的横坐标为－，求直线AB的斜率；‎ ‎(2)记△GFD的面积为S1，△OED(O为原点)的面积为S2.试问：是否存在直线AB，使得S1＝S2？说明你的理由．‎ ‎[解析]　(1)依题意，直线AB的斜率存在，设其方程为y＝k(x＋1)．‎ 将其代入＋＝1中消去y整理得，(4k2＋3)x2＋8k2x＋4k2－12＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝.‎ 故点G的横坐标为＝.‎ 依题意得，＝－，‎ 解之得k＝±.[来源:Z§xx§k.Com]‎ ‎(2)假设存在直线AB，使得S1＝S2，显然直线AB不能与x轴，y 轴垂直．‎ 由(1)可得G(，)．‎ ‎∵DG⊥AB，∴×k＝－1，‎ 解得xD＝，∴D(，0)．‎ ‎∵△GFD∽△OED，‎ ‎∴S1＝S2⇔|GD|＝|OD|.‎ ‎∴＝.‎ 整理得8k2＋9＝0.‎ 因为此方程无解，所以不存在直线AB，使得S1＝S2.‎ ‎(理)(2013·吉大附中二模)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴长为2，且与抛物线y2＝4x有共同的一个焦点，椭圆C的左顶点为A ‎，右顶点为B，点P是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AP、BP与直线y＝3分别交于G，H两点．‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)求线段GH的长度的最小值；‎ ‎(3)在线段GH的长度取得最小值时，椭圆C上是否存在一点T，使得△TPA的面积为1，若存在求出点T的坐标，若不存在，说明理由．‎ ‎[解析]　(1)由已知得，抛物线的焦点为(，0)，则 c＝，又b＝1，由a2－b2＝c2，可得a2＝4.‎ 故椭圆C的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)直线AP的斜率k显然存在，且k>0，故可设直线AP的方程为y＝k(x＋2)，从而G(－2,3)．‎ 由得(1＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－4＝0.‎ 设P(x1，y1)，则(－2)x1＝，‎ 所以x1＝，从而y1＝.‎ 即P(，)，‎ 又B(2,0)，则直线PB的斜率为－.‎ 由得 所以H(－12k＋2,3)．‎ 故|GH|＝|－2＋12k－2|＝|＋12k－4|.‎ 又k>0，＋12k≥2＝12.‎ 当且仅当＝12k，即k＝时等号成立．‎ 所以当k＝时，线段GH的长度取最小值8.‎ ‎(3)由(2)可知，当GH的长度取最小值时，k＝.‎ 则直线AP的方程为x－2y＋2＝0，此时P(0,1)，|AP|＝.‎ 若椭圆C上存在点T，使得△TPA的面积等于1，则点T到直线AP的距离等于，‎ 所以T在平行于AP且与AP距离等于的直线l上．‎ 设直线l：y＝x＋t.‎ 则由得x2＋2tx＋2t2－2＝0.‎ Δ＝4t2－8(t2－1)≥0.即t2≤2.‎ 由平行线间的距离公式，得＝，‎ 解得t＝0或t＝2(舍去)．‎ 可求得T(，)或T(－，－)．‎ ‎22．(文)(2013·天津和平区质检)已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，它的一个顶点恰好是抛物线x2＝4y的焦点．‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程；‎ ‎(2)若A、B是椭圆C上关于x轴对称的任意两点，设P ‎(－4,0)，连接PA交椭圆C于另一点E，求证：直线BE与x轴相交于定点M；‎ ‎(3)设O为坐标原点，在(2)的条件下，过点M的直线交椭圆C于S、T两点，求·的取值范围．‎ ‎[解析]　(1)设椭圆C的标准方程为＋＝1(a>b>0)，‎ 抛物线x2＝4y的焦点为(0，)，‎ 依题意，解得.‎ ‎∴椭圆C的标准方程为＋＝1.‎ ‎(2)证明：由题意可知直线PA的斜率存在，设直线PA的方程为y＝k(x＋4)．‎ 由消去y得，‎ ‎(4k2＋3)x2＋32k2x＋64k2－12＝0.①‎ 设点A(x1，y1)，E(x2，y2)，则B(x1，－y1)，‎ 直线BE的方程为y－y2＝(x－x2)．‎ 令y＝0，得x＝x2－.‎ 将y1＝k(x1＋4)，y2＝k(x2＋4)代入上式并整理，‎ 得x＝.②‎ 由①得x1＋x2＝－，x1x2＝，将其代入②，整理得x＝＝－1.‎ ‎∴直线BE与x轴相交于定点M(－1,0)．‎ ‎(3)当过点M的直线ST的斜率存在时，‎ 设直线ST的方程为y＝m(x＋1)，且S(xS，yS)，T(xT，yT)在椭圆C上，‎ 由，得(4m2＋3)x2＋8m2x＋4m2－12＝0，‎ 则Δ＝(8m2)2－4(4m2＋3)(4m2－12)＝144(m2＋1)>0.‎ 故有xS＋xT＝－，xSxT＝，从而 ySyT＝m2(xS＋1)(xT＋1)‎ ‎＝m2[(xS＋xT)＋xSxT＋1]＝－.‎ ‎∴·＝xSxT＋ySyT ‎＝－＝－－.‎ 由m2≥0，得·∈[－4，－)．‎ 当过点M的直线ST的斜率不存在时，‎ 直线ST的方程为x＝－1，S(－1，)，T(－1，－)，此时·＝－，‎ ‎∴·的取值范围是[－4，－]．‎ ‎(理)(2013·江西八校联考)设椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1、F2，下顶点为A，线段OA的中点为B(O为坐标原点)，如图．若抛物线C2：y＝x2－1与y轴的交点为B，且经过F1，F2点．‎ ‎(1)求椭圆C1的方程；‎ ‎(2)设M(0，－)，N为抛物线C2上的一动点，过点N作抛物线C2的切线交椭圆C1于P、Q两点，求△MPQ面积的最大值．‎ ‎[解析]　(1)由题意可知B(0，－1)，则A(0，－2)，故b＝2.‎ 令y＝0得x2－1＝0即x＝±1，则F1(－1,0)，F2(1,0)，故c＝1.‎ 所以a2＝b2＋c2＝5，‎ 于是椭圆C1的方程为：＋＝1.‎ ‎(2)设N(t，t2－1)，由于y′＝2x知直线PQ的方程为：‎ y－(t2－1)＝2t(x－t)．‎ 即y＝2tx－t2－1.‎ 代入椭圆方程整理得：4(1＋5t2)x2－20t(t2＋1)x＋5(t2＋1)2‎ ‎－20＝0，‎ Δ＝400t2(t2＋1)2－80(1＋5t2)[(t2＋1)2－4]‎ ‎＝80(－t4＋18t2＋3)，‎ x1＋x2＝，x1x2＝，‎ 故|PQ|＝|x1－x2|‎ ‎＝· ‎＝.‎ 设点M到直线PQ的距离为d，则 d＝＝.‎ 所以，△MPQ的面积S＝|PQ|·d ‎＝ · ‎＝＝ ‎≤＝.‎ 当t＝±3时取到“＝”，经检验此时Δ>0，满足题意．‎ 综上可知，△MPQ的面积的最大值为.‎