广东历年高考文科数学试题及答案 51页

‎2007年广东省高考数学(文科)试题及详细解答 一、选择题 ‎1.已知集合,,则=‎ ‎ A．{x|-1≤x＜1} B．{x |x>1} C．{x|-1＜x＜1} D．{x |x≥-1}‎ ‎【解析】,故,选(C).‎ ‎2.若复数(1+bi)(2+i)是纯虚数(i是虚数单位，b是实数)，则b=‎ A．-2 B． C. D．2‎ ‎【解析】,依题意, 选(D).‎ ‎3.若函数f(x)=x3(x∈R)，则函数y=f(-x)在其定义域上是 ‎ A．单调递减的偶函数 B.单调递减的奇函数 ‎ C．单凋递增的偶函数 D．单涮递增的奇函数 ‎【解析】函数单调递减且为奇函数,选(B).‎ ‎4．若向量满足,与的夹角为,则 ‎ A． B． C. D．2‎ ‎【解析】,选(B).‎ ‎5．客车从甲地以‎60km／h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以‎80km／h的速度匀速行驶l小时到达丙地。下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达 丙地所经过的路程s与时间t之间关系的图象中，正确的是 ‎【解析】依题意的关键字眼“以‎80km／h的速度匀速行驶l小时到达丙地”选得答案(C).‎ ‎6.若是互不相同的空间直线，是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是 ‎ ‎ ‎【解析】逐一判除,易得答案(D).‎ ‎7.图l是某县参加2007年高考的学 生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为4，、A：、…、A，。(如A：表示身高(单位：cm)在[150，155)内的学生人数)．图2是统计图l中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180cm(含‎160cm，不含‎180cm)的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是 A.i<9 B.i<‎8 C.i<7 D.i<6‎ ‎【解析】身高在160～180cm(含‎160cm，不含‎180cm)的学生人数为,算法流程图实质上是求和,不难得到答案(B).‎ ‎8.在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是 ‎【解析】随机取出2个小球得到的结果数有种(提倡列举).取出的小球标注的数字之和为3或6的结果为共3种,故所求答案为(A).‎ ‎9．已知简谐运动的图象经过点(0,1),则该简谐运动的最小正周期T 和初相分别为 ‎【解析】依题意,结合可得,易得,故选(A).‎ ‎10.图3是某汽车维修公司的维修点环形分布图公司在年初分配给 A、 B、C、D四个维修点某种配件各50件．在使用前发现需将 A、B、C、D四个维修点的这批配件分别调整为40、45、54、61件,‎ 但调整只能在相邻维修点之间进行．那么要完成上述调整,最少 的调动件次(n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n)为 A．18 B．‎17 C．16 D．15‎ ‎【解析】很多同学根据题意发现n=16可行,判除A,B选项,但对于C,D选项则难以作出选择,事实上,这是一道运筹问题,需要用函数的最值加以解决.设的件数为(规定:当时,则B调整了件给A,下同!),的件数为,的件数为,的件数为,依题意可得,,,,‎ 从而,,,故调动件次,‎ 画出图像(或绝对值的几何意义)可得最小值为16,故选(C).‎ 二、填空题:‎ ‎11．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线关于x轴对称，顶点在原点O，且过点P(2,4)，则该抛物线的方程是 ．‎ ‎【解析】设所求抛物线方程为,依题意,故所求为.‎ ‎12．函数f(x)=xlnx(x>0)的单调递增区间是 ．‎ ‎【解析】由可得,答案:.‎ ‎13．已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n，则其通项an= ；若它的第k项满足5β),是的导数,设 (1)求的值；(2)已知对任意的正整数有,记,求数列的前项和.‎ ‎【解析】(1)求根公式得, …………3分 ‎ (2)………4分 ………5分 ……7分 ‎ ……10分 ‎ ∴数列是首项,公比为2的等比数列………11分 ‎ ∴………………………………………………………14分 ‎21．已知是实数,函数.如果函数在区间[-1,1]上有零点,求的取值范围.‎ ‎【解析】若,则,令,不符题意, 故………2分 ‎ 当在 [-1,1]上有一个零点时,此时或………6分 ‎ 解得或 …………………………………………………………………8分 ‎ 当在[-1,1]上有两个零点时,则………………………………10分 ‎ 解得即………………12分 ‎ 综上,实数的取值范围为. ………………………………14 分 ‎(别解:,题意转化为知求的值域,‎ 令得转化为勾函数问题.)‎ ‎2008年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷） 数学（文科）B 参考公式：锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高．‎ 如果事件互斥，那么．‎ 一、选择题：‎ ‎1．第二十九届夏季奥林匹克运动会将于‎2008年8月8日在北京举行．若集合{参加北京奥运会比赛的运动员}，集合{参加北京奥运会比赛的男运动员}，集合{参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知，复数（是虚数单位），则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎3．已知平面向量，，且，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4．记等差数列的前项和为，若，，则该数列的公差（ ）‎ A．2 B．‎3 ‎ C．6 D．7‎ ‎5．已知函数，，则是（ ）‎ A．最小正周期为的奇函数 B． 最小正周期为的奇函数 C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的偶函数 ‎6．经过圆的圆心，且与直线垂直的直线方程是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎7．将正三棱柱截去三个角（如图1所示，分别是三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）‎ E F D I A H G B C E F D A B C 侧视 图1‎ 图2‎ B E A．‎ B E B．‎ B E C．‎ B E D．‎ ‎8．命题“若函数，在其定义域内是减函数，则”的逆否命题（ ）‎ A．若，则函数（，）在其定义域内不是减函数 B．若，则函数（，）在其定义域内不是减函数 C．若，则函数（，）在其定义域内是减函数 D．若，则函数（，）在其定义域内是减函数 ‎9．设，若函数，有大于零的极值点，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．设，若，则下列不等式中正确的是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ 二、填空题：（一）必做题（11~13题）‎ 图3‎ ‎0.040‎ ‎0.035‎ ‎0.030‎ ‎0.025‎ ‎0.020‎ ‎0.015‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0‎ ‎45‎ ‎55‎ ‎65‎ ‎75‎ ‎85‎ ‎95‎ 产品数量 频率／组距 ‎11．为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为[45，55），[55，65），[65，75），[75，85），[85，95），由此得到频率分布直方图如图3，则这20名工人中一天生产该产品数量在[55，75）的人数是 ．‎ ‎12．若变量满足则的最大值是 ‎ ‎13．阅读图4的程序框图，若输入，，则输出 ， ．‎ ‎（注：框图中的赋值符号“”也可以写成“”或“”）‎ 开始 n整除a?‎ 是 输入 结束 输出 图4‎ 否 ‎（二）选做题（14～15题，考生只能从中选择一题）‎ ‎14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线的极坐标方程分别为，，则曲线与交点的极坐标为 ．‎ ‎15．（几何证明选讲选做题）已知是圆的切线，切点为，．是圆的直径，与圆交于点，，则圆的半径 ．‎ 三、解答题：‎ ‎ 16．已知函数，的最大值是1，其图像经过点．‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）已知，且，，求的值．‎ ‎17．某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为层，则每平方米的平均建筑费用为（单位：元）．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？‎ ‎（注：平均综合费用平均建筑费用平均购地费用，平均购地费用）‎ ‎18．C P A B 图5‎ D 如图5所示，四棱锥的底面是半径为的圆的内接四边形，其中是圆的直径，，，．‎ ‎（1）求线段的长；‎ ‎（2）若，求三棱锥的体积．‎ ‎19．某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：‎ 初一年级 初二年级 初三年级 女生 ‎373‎ 男生 ‎377‎ ‎370‎ 已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？‎ ‎（3）已知，，求初三年级中女生比男生多的概率．‎ ‎20．设，椭圆方程为，抛物线方程为．如图6所示，过点作轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为，已知抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点．‎ ‎（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；‎ ‎（2）设分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点，使得为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．‎ A y x O B G F F1‎ 图6‎ ‎21．设数列满足，，．数列满足，是非零整数，且对任意的正整数和自然数，都有．‎ ‎（1）求数列和的通项公式；‎ ‎（2）记，求数列的前项和．‎ ‎2008年普通高考广东卷数学（文科）（B卷）参考答案 一、选择题：C C B B D C A A A D 二、填空题：11．13 12．70 13．12，3 14．， 15．‎ 三、解答题 ‎16．解：（1）依题意知 ‎，又；‎ ‎，即 因此；‎ ‎（2），，且 ‎，‎ ‎；‎ ‎17．解：设楼房每平方米的平均综合费为元，则 令得 当时，；当时，‎ 因此当时，取最小值 答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层．‎ ‎18．解：（1）是圆的直径 ‎，又，‎ ‎，；‎ ‎（2）在中，‎ ‎，又 底面 三棱锥的体积为 ‎19．解：（1），‎ ‎（2）初三年级人数为，‎ 现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为：‎ 名 ‎（3）设初三年级女生比男生多的事件为，初三年级女生男生数记为；‎ 由（2）知，且，‎ 基本事件空间包含的基本事件有： ，，，，共11个 事件包含的基本事件有：，，，，共5个．‎ ‎．‎ ‎20．解：（1）由得 当时，，点的坐标为 ‎，‎ 过点的切线方程为，即，‎ 令得，点的坐标为；‎ 由椭圆方程得点的坐标为， ，即，‎ 因此所求的椭圆方程及抛物线方程分别为和．‎ ‎（2）过作轴的垂线与抛物线只有一个交点，‎ 以为直角的只有一个，‎ 同理以为直角的只有一个；‎ 若以为直角，设点的坐标为，则坐标分别为 由得，‎ 关于的一元二次方程有一解，有二解，即以为直角的有二个；‎ 因此抛物线上共存在4个点使为直角三角形．‎ ‎21．解：（1）由得（）‎ 又，‎ 数列是首项为1公比为的等比数列，‎ ‎，‎ 由得，由得，‎ 同理可得当为偶数时，；当为奇数时，；‎ 因此 ‎（2）‎ ‎．‎ 当为奇数时，‎ ‎．‎ 当为偶数时，‎ ‎．‎ 令，………………………①‎ ‎①得：………………②‎ ‎①②得：‎ ‎，‎ ‎．‎ 因此 ‎2009年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 数学(文科）‎ 参考公式：锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高．‎ 一、选择题：‎ ‎ 1.已知全集U=R，则正确表示集合M= {－1，0，1} 和N= { x |x+x=0} 关系的韦恩（Venn）图是 ‎2.下列n的取值中，使=1(i是虚数单位）的是 A. n=2 B. n=‎3 C. n=4 D. n=5‎ ‎3.已知平面向量a= ，b=， 则向量 ‎ A平行于轴 B.平行于第一、三象限的角平分线 C.平行于轴 D.平行于第二、四象限的角平分线 ‎4.若函数是函数的反函数，且，则 A． B． C． D．2 ‎ ‎5.已知等比数列的公比为正数，且·=2，=1，则=‎ A. B. C. D.2 ‎ ‎6.给定下列四个命题：‎ ‎①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；‎ ‎②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；‎ ‎③垂直于同一直线的两条直线相互平行；‎ ‎④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. ‎ 其中，为真命题的是 A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④ ‎ ‎7.已知中，的对边分别为a,b,c若a=c=且，则b= ‎ A.2 B．4＋ C．4— D．‎ ‎8.函数的单调递增区间是 ‎ A. B.(0,3) C.(1,4) D. ‎ ‎9．函数是 ‎ A．最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的偶函数 C. 最小正周期为的奇函数 D. 最小正周期为的偶函数 ‎10．广州2010年亚运会火炬传递在A、B、C、D、E五个城市之间进行，各城市之间的路线距离（单位：百公里）见下表.若以A为起点，E为终点，每个城市经过且只经过一次，那么火炬传递的最短路线距离是 A. B‎.21 C.22 D.23‎ 二、填空题：（一）必做题（11－13题）‎ ‎11.某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如下表所示：‎ 队员i ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 三分球个数 图1是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框应填 ，输出的s= ‎ ‎(注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“：=”)‎ ‎ 图1‎ ‎12．某单位200名职工的年龄分布情况如图2，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1－200编号，并按编号顺序平均分为40组（1－5号，6－10号…，196－200号）.若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是 。若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取 人. ‎ ‎ 图 2‎ ‎13．以点（2，）为圆心且与直线相切的圆的方程是 .‎ ‎ (二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）‎ ‎14．（坐标系与参数方程选做题）若直线（t为参数）与直线垂直，则常数= .‎ ‎15.(几何证明选讲选做题)如图3，点A、B、C是圆O上的点，且AB=4，，则圆O的面积等于 . ‎ ‎ 图3 ‎ 三、解答题，本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。‎ ‎16.已知向量与互相垂直，其中 ‎（1）求和的值 ‎（2）若，,求的值 ‎17.某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示,墩的上半部分是正四棱锥P－EFGH,下半部分是长方体ABCD－EFGH.图5、图6分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图.‎ ‎（1）请画出该安全标识墩的侧(左)视图 ‎（2）求该安全标识墩的体积 ‎（3）证明:直线BD平面PEG ‎18.随机抽取某中学甲乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图7.‎ ‎(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高;‎ ‎(2)计算甲班的样本方差 ‎(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于‎173cm的同学,求身高为‎176cm的同学被抽中的概率.‎ ‎19.已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在轴上,离心率为,两个焦点分别为和,椭圆G上一点到和的距离之和为12.圆:的圆心为点.‎ ‎(1)求椭圆G的方程 ‎(2)求的面积 ‎(3)问是否存在圆包围椭圆G?请说明理由.‎ ‎20.已知点（1，）是函数且）的图象上一点，等比数列的前n项和为,数列的首项为c，且前n项和满足－=+（n2）.‎ ‎（1）求数列和的通项公式；‎ ‎（2）若数列{前n项和为，问>的最小正整数n是多少?‎ ‎21.已知二次函数的导函数的图像与直线平行,且在=－1处取得最小值m－1(m).设函数 ‎(1)若曲线上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为,求m的值 ‎(2) 如何取值时,函数存在零点,并求出零点.‎ 参考答案 一、‎ ‎1. B 2. C 3. C 4. A 5. B 6. D 7.A 8. D 9．A 10．B 二、‎ ‎11.,‎ ‎12． 37, 20‎ ‎13．‎ ‎14． ‎ ‎15.‎ ‎16. 【解析】（１）,,即 又∵, ∴,即,∴‎ 又　,‎ ‎(2) ∵‎ ‎ , ,即 ‎ 又 , ∴‎ ‎17.【解析】(1)侧视图同正视图,如下图所示.‎ ‎　　　（２）该安全标识墩的体积为：‎ ‎　　　　　　　　‎ ‎　　　（３）如图,连结EG,HF及 BD，EG与HF相交于O,连结PO.‎ ‎ 由正四棱锥的性质可知,平面EFGH , ‎ ‎ 又 平面PEG ‎ 又 平面PEG；‎ ‎18. 【解析】（1）由茎叶图可知：甲班身高集中于之间，而乙班身高集中于 之间。因此乙班平均身高高于甲班;‎ ‎ (2) ‎ ‎ 甲班的样本方差为 ‎ ＝57‎ ‎ （3）设身高为‎176cm的同学被抽中的事件为A；‎ ‎ 从乙班10名同学中抽中两名身高不低于‎173cm的同学有：（181，173） （181，176）‎ ‎ （181，178） （181，179） （179，173） （179，176） （179，178） （178，173）‎ ‎ (178, 176) （176，173）共10个基本事件，而事件A含有4个基本事件；‎ ‎ ；‎ ‎19.【解析】（1）设椭圆G的方程为： （）半焦距为c;‎ ‎ 则 , 解得 , ‎ ‎ 所求椭圆G的方程为：.‎ ‎(2 )点的坐标为 ‎ ‎ ‎（3）若，由可知点（6，0）在圆外，‎ ‎ 若，由可知点（-6，0）在圆外；‎ ‎ 不论K为何值圆都不能包围椭圆G.‎ ‎20.【解析】（1）,‎ ‎ ,,‎ ‎ .‎ 又数列成等比数列， ，所以 ；‎ 又公比，所以 ；‎ ‎ ‎ 又,, ；‎ 数列构成一个首相为1公差为1的等差数列， ， ‎ 当， ；‎ ‎()；‎ ‎（2）‎ ‎ ；‎ ‎ 由得，满足的最小正整数为112.‎ ‎21.【解析】（1）设，则；‎ ‎ 又的图像与直线平行 ‎ ‎ 又在取极小值， ，‎ ‎ ， ；‎ ‎ ， 设 ‎ 则 ‎ ；‎ ‎ （2）由，‎ ‎ 得 ‎ ‎ 当时，方程有一解，函数有一零点；‎ ‎ 当时，方程有二解，若，，‎ ‎ 函数有两个零点；若，‎ ‎ ，函数有两个零点；‎ ‎ 当时，方程有一解, , 函数有一零点本资料由《七彩教育网》www.7caiedu.cn 提供！‎ ‎2010年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(文科)‎ 参考公式：锥体的体积公式V=Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高。 ‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．若集合A=｛0，1，2，3｝，B=｛1，2，4｝，则集合AB=‎ A．｛0，1，2，3，4｝ B．｛1，2，3，4｝ C．｛1，2｝ D．｛0｝‎ ‎2．函数，的定义域是 ‎ A．(2，) B．(1,) C．[1，) D．[2，)‎ ‎3．若函数与的定义域均为，则 ‎ A．与均为偶函数 B．为奇函数，为偶函数 ‎ C．与均为奇函数 D．为偶函数，为奇函数 ‎4．已知数列{}为等比数列，是它的前n项和，若，且与的等差中项为，则S5=‎ ‎ A．35 B．‎33 C．31 D．29‎ ‎5．若向量，，满足条件，则=‎ ‎ A．6 B．‎5 C．4 D．3‎ ‎6．若圆心在轴上、半径为的圆位于轴左侧，且与直线相切，则圆的方程是 ‎ ‎ A． B． ‎ ‎ C． D．‎ ‎7．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎8．“>‎0”‎是“>‎0”‎成立的 ‎ A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 ‎ C．非充分非必要条件 D．充要条件 ‎9．如图1，为正三角形，，，则多面体的正视图(也称主视图)是（（D）‎ ‎10．在集合{a，b，c，d}上定义两种运算和如下：状元源 zyy100.com 那么d ‎ A．a B．b C．c D．d 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． ‎ ‎（一）必做题(11～13题)‎ ‎11．某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，‎ ‎ 对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中4位居民的月均用水量分别为，…， (单位：吨)．根据图2所示的程序框图，若，，，，分别为1，，，，则输出的结果s为 1.5 .‎ ‎12．某市居民2005～2009年家庭年平均收入x（单位：万元）与年平均支出Y（单位：万元）的统计资料如下表所示：‎ 年份 ‎2005‎ ‎2006‎ ‎2007‎ ‎2008‎ ‎2009‎ 收入x ‎11.5‎ ‎12.1‎ ‎13‎ ‎13.3‎ ‎15‎ 支出Y ‎6.8‎ ‎8.8‎ ‎9.8‎ ‎10‎ ‎12‎ 根据统计资料，居民家庭年平均收入的中位数是 13 ，家庭年平均收入与年平均支出有 ‎ 正线性相关关系.‎ ‎13．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a=1，b=，A+C=2B，则 sinA= 0.5 .‎ ‎（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）‎ ‎14．（几何证明选讲选做题）如图3，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD=a，CD=，点E，F分别为线段AB，AD的中点，则EF= ‎0.5a .‎ ‎15．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（ρ，）（）中，曲线与的交点的极坐标为 (1,) . w 三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。‎ ‎16．设函数，，，且以为最小正周期．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求的解析式；‎ ‎（3）已知，求的值．‎ ‎17． 某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：‎ ‎（1）由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关？‎ ‎（2）用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应该抽取几名？‎ ‎（3）在上述抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率。‎ ‎18.如图4，是半径为的半圆，为直径，点为的中点，点和点为线段的三等分点，平面外一点满足平面，=. ‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）求点到平面的距离. ‎ ‎19.某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素.‎ 如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐? ‎ ‎20.已知函数对任意实数均有，其中常数为负数，且在区间上有表达式.‎ 求，‎ 的值；‎ ‎（2）写出在上的表达式，并讨论函数在上的单调性；‎ ‎（3）求出在上的最小值与最大值，并求出相应的自变量的取值. ‎ ‎21.已知曲线，点是曲线上的点（n=1,2,…）.‎ ‎（1）试写出曲线在点处的切线的方程，并求出与轴的交点的坐标；‎ ‎（2）若原点到的距离与线段的长度之比取得最大值，试求试点的坐标；‎ ‎（3）设与为两个给定的不同的正整数，与是满足（2）中条件的点的坐标，‎ 证明：‎ ‎2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）‎ 参考公式：锥体体积公式V=Sh,其中S为锥体的底面积，h为锥体的高。‎ 线性回归方程中系数计算公式，其中表示样本均值。‎ 样本数据的标准差为。是正整数，则。‎ 一、选择题：‎ ‎1．设复数满足，其中为虚数单位，则= （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知集合为实数，且，为实数，且，则的元素个数为（ ）‎ ‎ A．4 B．3 C．2 D．1 ‎ ‎3．已知向量，若为实数，，则= （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4 ．函数的定义域是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．不等式的解集是（ ）‎ A． BC． D． ‎ ‎6．已知平面直角坐标系上的区域由不等式组给定，若为上的动点，点的坐标为，则的最大值为（ ）‎ ‎ A．3 B．4 C． D． ‎ ‎7．正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有（ ）‎ ‎ A．20 B．15 C．12 D．10 ‎ ‎8．设圆C与圆 外切，与直线相切．则C的圆心轨迹为（ ）‎ A． 抛物线 B． 双曲线 C． 椭圆 D． 圆 ‎9．如图1-3，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别为等边三角形、等腰三角形和菱形，则该几何体体积为（ ）‎ ‎2‎ ‎2‎ 主视图 左视图 俯视图 A． B． C． D． 2‎ ‎10．设是R上的任意实值函数．如下定义两个函数和；对任意,；．则下列等式恒成立的是（ ）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D． ‎ 二、填空题：． ‎ ‎11．已知是递增等比数列，，则此数列的公比 ．‎ ‎12．设函数若，则 ．‎ ‎13．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打时间x（单位：小时）与当于投篮命中率y之间的关系：‎ 时间x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 命中率y ‎0．4‎ ‎0．5‎ ‎0．6‎ ‎0．6‎ ‎0．4‎ 小李这 5天的平均投篮命中率为 ，用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为 ‎ ．‎ ‎14．（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为（0≤q ＜p ）和 ‎（t∈R），它们的交点坐标为 ．‎ F E D C B A ‎15．（几何证明选讲选做题）如图4，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝2，E、F分别为AD、BC上点，且EF＝3，EF∥AB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为 ．‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．‎ ‎16．已知函数，．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）设求的值．‎ ‎17．在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用表示编号为的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：‎ 编号n ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 成绩 ‎70‎ ‎76‎ ‎72‎ ‎70‎ ‎72‎ ‎（1）求第6位同学成绩，及这6位同学成绩的标准差；‎ ‎（2）从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间中的概率．‎ ‎18．如图所示，将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右平移到的分别为的中点，分别为的中点．‎ （1） 证明：四点共面；‎ （2） 设为中点，延长到,‎ 使得,证明: ．‎ ‎19．设,讨论函数 的单调性．‎ ‎20．设b>0,数列满足,．‎ （1） 求数列的通项公式；‎ （2） 证明：对于一切正整数,．‎ ‎21．在平面直角坐标系中，直线交轴于点A，设P是上一点，M是线段OP的垂直平分线上一点，且满足．‎ （1） 当点P在上运动时，求点M的轨迹E的方程；‎ （2） 已知．设H是E上动点，求的最小值，并给出此时点H的坐标；‎ （3） 过点且不平行于轴的直线与轨迹E有且只有两个不同的交点，求直线的斜率的取值范围．‎ 参考答案 一 选择题：‎ A C B C D B D A C B 二 填空题 2 -9 0.5 0.53 (1,) 7:5‎ ‎16 (1)‎ ‎(2)‎ ‎17 (1)由题意得：75=‎ S=‎ ‎(2)设5位同学为：A, B,C, D, E 其中A70分，B76分，C72分，D70分，E72分 基本事件：AB, AC,AD,AE, BC,BD,BE,CD,CE, DE ,共10种。‎ 恰好一位同学成绩在区间（68，75）的基本事件为：AB, BC,BD,BE,共4种。‎ 所以：P=‎ ‎18(1)易得：19‎ ‎（ 文科）设,讨论函数 的单调性．‎ ‎20．设b>0,数列满足,．‎ （1） 求数列的通项公式；‎ （2） 证明：对于一切正整数,．‎ 解：，‎ ‎21．在平面直角坐标系中，直线交轴于点A，设P是上一点，M是线段OP的垂直平分线上一点，且满足．‎ （1） 当点P在上运动时，求点M的轨迹E的方程；‎ （2） 已知．设H是E上动点，求的最小值，并给出此时点H的坐标；‎ （3） 过点且不平行于轴的直线与轨迹E有且只有两个不同的交点，求直线的斜率的取值范围．‎ 解：（1）如图1，符合的点M可以在PO的左侧和右侧。‎ 当M在PO左侧时，显然点M是PO垂直平分线与X轴的交点，所以易得M的轨迹方程为：‎ y=0(x<-1) ‎ 当M在PO右侧时，，所以PM//x轴，设M(x,y),则P(-2，y)‎ 因为M在PO的垂直平分线上，所以,‎ 即：（x 综上所述：当点P在上运动时，点M的轨迹E的方程为：‎ y=0(x<-1) 和（x如图：‎ ‎（2）当H在方程y=0(x<-1)运动时，显然 当H在方程（x上运动时，,由图知当P,H,T三点共线时，取得最小值，显然此时，设H(x,-1),因为H在上，得x=,所以H(,-1)‎ 综上所得：（）min=1-(-2)=3。H(,-1)‎ ‎(3)设直线l1:y+1=k(x-1),联立得：‎ 当k=0时，显然只有一个交点，不成立。‎ 当k时，所以当k时，直线l1与轨迹E至少有两个交点。‎ 可见l1与y=0(x<-1) 不能有交点，当直线l1过点C时，k=‎ 由图可知，当直线l1与轨迹E有且仅有两个交点时，k ‎2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科B卷）‎ 一、选择题：‎ ‎ 1．设为虚数单位，则复数 A． B． C． D．‎ ‎2．设集合,，则 A． B． C． D．‎ ‎3．若向量，则 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎4．下列函数为偶函数的是 A． B． C． D．‎ ‎5．已知变量满足约束条件则的最小值为 A． B． C． D ‎6．在中，若，，，则 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎7．某几何体的三视图如图1所示，它的体积为 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎8．在平面直角坐标系中，直线与圆相交 于、两点，则弦的长等于 ‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎9．执行如图2所示的程序框图，若输入的值为6，则输出的值为 ‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎10．对任意两个非零的平面向量，定义．若平面向量满足，‎ 与的夹角，且和都在集合中，则 A． B． C． D． ‎ 二、填空题： （一）必做题（11～13题）‎ ‎11．函数的定义域为________________________．‎ ‎12．若等比数列满足，则_______________．‎ ‎13．由整数组成的一组数据其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据位_______________________．(从小到大排列)‎ ‎（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）‎ ‎14．（坐标系与参数方程选做题）‎ 在平面直角坐标系中中，曲线和曲线的 参数方程分别为（为参数，）和（为参数），则曲线和曲线的交点坐标为 ．‎ ‎15．（几何证明选讲选做题）‎ 如图3，直线PB与圆相切与点B，D是弦AC上的点，，若，则AB= ．‎ 图3‎ O A B C P D ‎·‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．‎ ‎16．已知函数,且．‎ （1） 求的值；‎ （2） 设，，求的值．‎ ‎17．某学校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：‎ ‎，，，，．‎ (1) 求图中a的值 (2) 根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；‎ (1) 若这100名学生语文成绩某些分数段的人数与数学成绩相应分数段的人数 之比如下表所示，求数学成绩在之外的人数．‎ 分数段 x：y ‎1：1‎ ‎2：1‎ ‎3：4‎ ‎4：5‎ ‎18． 如图5所示，在四棱锥P-ABCD中,AB平面PAD,ABCD,PD=AD,E是PB的中点，F是DC上的点且DF=AB,PH为PAD中AD边上的高．‎ （1） 证明：PH平面ABCD；‎ （2） 若PH=1，AD=,FC=1，求三棱锥E-BCF的体积；‎ （3） 证明：EF平面PAB． ‎ ‎19．（本小题满分14分）‎ 设数列的前项和，数列的前项和为，满足．‎ （1） 求的值；‎ （2） 求数列的通项公式．‎ ‎20．在平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为，且点在上．‎ （1） 求椭圆的方程；‎ （2） 设直线与椭圆和抛物线相切，求直线的方程．‎ ‎21． （本小题满分14分）‎ 设，集合，，．‎ (1) 求集合（用区间表示）；‎ (1) 求函数在内的极值点．‎ 参考答案 一、选择题答案：‎ ‎1-5：DAADC 6-10：BCBCD 第10解析：‎ 由定义知： ‎ 因为,取，n取1,即可得答案 ‎ 二、填空题答案：‎ ‎11： （注意，写成集合形式也给分 ‎ ‎12:‎ ‎13: 1 1 3 3‎ ‎14: 参数方程极坐标：‎ ‎15：几何证明选做题：‎ 三、解答题 ‎16：‎ ‎17、解：‎ ‎(1):‎ ‎(2):50-60段语文成绩的人数为：3.5分 ‎60-70段语文成绩的人数为：4分 ‎70-80段语文成绩的人数为：‎ ‎80-90段语文成绩的人数为：‎ ‎90-100段语文成绩的人数为：‎ ‎(3):依题意：‎ ‎50-60段数学成绩的人数=50-60段语文成绩的人数为=5人………………………………9分 ‎60-70段数学成绩的的人数为= 50-60段语文成绩的人数的一半=……10分 ‎70-80段数学成绩的的人数为= ………………………………………11分 ‎80-90段数学成绩的的人数为= ………………………………………12分 ‎90-100段数学成绩的的人数为=……………………13分 ‎18、解：‎ ‎(2):过B点做BG；‎ 连接HB,取HB 中点M，连接EM，则EM是的中位线 即EM为三棱锥底面上的高 ‎=………………………………………………………………………6分 ‎ ………………………………………………………………………………………………………………………8分 ‎（3）：取AB中点N，PA中点Q，连接EN，FN，EQ，DQ ‎19、解：(1):‎ ‎………………………………………………3分 ‎…………………………………………………………5分 ‎（2）‎ ‎① ‎ ‎②…………………………6分 ‎ ①-②得：‎ ‎ ……………… ③………………………7分 在向后类推一次 ‎……… ④…………………………8分 ‎③-④得：‎ ‎…………………………………………9分 ‎…………………………………………………10分 ‎……………………………………………12分 ‎…………13分 ‎………………………………………………14分 ‎20、解：(1):依题意：c=1,…………………………………………………………………………1分 则：,…………………………………………………………………………2分 设椭圆方程为：………………………………………………………………3分 将点坐标代入，解得：…………………………………………………………4分 所以 ‎ 故椭圆方程为：…………………………………………………………………………5分 ‎（2）设所求切线的方程为：……………………………………………6分 消除y ‎………7分 化简得：‎ ‎①………………………………………………………8分 同理：联立直线方程和抛物线的方程得：‎ 消除y得：‎ ‎ ……………………………………………………………………9分 化简得：‎ ‎② …………………………………………………………………………10分 将②代入①解得：‎ 解得：‎ ‎………………………………………………………12分 故切线方程为：…………………………………………14分 ‎20、解：（1）‎ 集合B解集：令 ‎(1):当时，即：，B的解集为：‎ 此时 ‎（2）当 此时，集合B的二次不等式为：‎ ‎，‎ ‎，此时，B的解集为：‎ 故：‎ ‎（3）当即 此时方程的两个根分别为：‎ ‎ ‎ 很明显，‎ 故此时的 综上所述：‎ 当 当时，‎ 当，‎ ‎(2) ‎ 极值点，即导函数的值为0的点。‎ 即 此时方程的两个根为：‎ ‎ ‎ ‎（ⅰ）当 ‎ ‎ 故当 ‎ ‎ 分子做差比较：‎ ‎ 所以 又 分子做差比较法：‎ ‎，‎ 故,故此时时的根取不到，‎ ‎（ⅱ）‎ 当时，，此时，极值点取不到x=1极值点为(,‎ ‎（ⅲ）‎ 当，,极值点为： 和 总上所述：‎ 当 有1个 当，有2个极值点分别为 和