【物理】2019届一轮复习人教版曲线运动　万有引力与航天学案 121页

第四章 曲线运动　万有引力与航天 ‎[全国卷5年考情分析]‎ 基础考点 常考考点 命题概率 常考角度 匀速圆周运动、角速度、线速度、向心加速度(Ⅰ) ‎ 离心现象(Ⅰ) ‎ 第二宇宙速度和第三宇宙速度(Ⅰ) ‎ 经典时空观和相对论时空观(Ⅰ) ‎ 以上4个考点未曾独立命题 运动的合成与分解(Ⅱ)‎ ‎'16Ⅰ卷T18(6分) ‎ ‎'15Ⅱ卷T16(6分)‎ 综合命题概率40%‎ ‎(1)对运动的合成与分解的考查 ‎(2)对平抛运动规律的考查 ‎(3)对圆周运动中角速度、线速度关系及向心力的考查 ‎(4)平抛运动、圆周运动与功能关系的综合考查 ‎(5)天体质量、密度的计算 ‎(6)卫星运动的各物理量间的比较 ‎(7)卫星的发射与变轨问题 抛体运动(Ⅱ)‎ ‎'17Ⅰ卷T15(6分) ‎ ‎'15Ⅰ卷T18(6分) ‎ ‎'14Ⅱ卷T15(6分)‎ 独立命题概率60%‎ 匀速圆周运动的向心力(Ⅱ)‎ ‎'16Ⅱ卷T16(6分) ‎ ‎'14Ⅰ卷T20(6分) ‎ ‎'13Ⅱ卷T21(6分)‎ 综合命题概率100%‎ 万有引力定律及其应用(Ⅱ)‎ ‎'17‎ Ⅱ卷T19(6分)，Ⅲ卷T14(6分)‎ 独立命题概率100%‎ ‎'16‎ Ⅰ卷T17(6分)‎ ‎'15‎ Ⅰ卷T21(6分)‎ ‎'14‎ Ⅰ卷T19(6分)，Ⅱ卷T18(6分)‎ ‎'13‎ Ⅰ 卷T20(6分), Ⅱ 卷T20(6分)‎ 环绕速度(Ⅱ)‎ ‎'15Ⅱ卷T16(6分) ‎ ‎'13Ⅰ卷T20(6分)‎ 独立命题概率30%‎ 第1节曲线运动__运动的合成与分解 ‎(1)速度发生变化的运动，一定是曲线运动。(×)‎ ‎(2)做曲线运动的物体加速度一定是变化的。(×)‎ ‎(3)做曲线运动的物体速度大小一定发生变化。(×)‎ ‎(4)曲线运动可能是匀变速运动。(√)‎ ‎(5)两个分运动的时间一定与它们的合运动的时间相等。(√)‎ ‎(6)合运动的速度一定比分运动的速度大。(×)‎ ‎(7)只要两个分运动为直线运动，合运动一定是直线运动。(×)‎ ‎(8)分运动的位移、速度、加速度与合运动的位移、速度、加速度间满足平行四边形定则。(√)‎ ‎ ‎ ‎1.物体做直线运动还是做曲线运动是由物体的速度与合外力是否在同一直线上决定的。‎ ‎2．两个分运动的合运动是直线运动还是曲线运动要看两个分运动的合速度与合加速度是否在同一直线上。‎ ‎3．解题中常用到的二级结论：‎ ‎(1)小船过河问题 ‎①船头的方向垂直于水流的方向，则小船过河所用时间最短，t＝。‎ ‎②若船速大于水速，则合速度垂直于河岸时，最短航程s＝d。‎ ‎③若船速小于水速，则合速度不可能垂直于河岸，最短航程s＝d×。‎ ‎(2)用绳或杆连接的两物体，沿绳或杆方向的分速度大小相等。　‎ 突破点(一)　物体做曲线运动的条件与轨迹分析 ‎1．运动轨迹的判断 ‎(1)若物体所受合力方向与速度方向在同一直线上，则物体做直线运动。‎ ‎(2)若物体所受合力方向与速度方向不在同一直线上，则物体做曲线运动。‎ ‎2．合力方向与速率变化的关系 ‎[题点全练]‎ ‎1．关于曲线运动，下列说法中正确的是(　　)‎ A．做曲线运动的物体速度方向必定变化 B．速度变化的运动必定是曲线运动 C．加速度恒定的运动不可能是曲线运动 D．加速度变化的运动必定是曲线运动 解析：选A　做曲线运动的物体速度大小不一定变化，但速度方向必定变化，A正确；速度变化的运动可能是速度方向在变，也可能是速度大小在变，不一定是曲线运动，B错误；加速度恒定的运动可能是匀变速直线运动，也可能是匀变速曲线运动，C错误；加速度变化的运动可能是非匀变速直线运动，也可能是非匀变速曲线运动，D错误。‎ ‎2．(2018·金华联考)春节期间人们放飞孔明灯表达对新年的祝福，如图甲所示，孔明灯在竖直Oy方向做匀加速运动，在水平Ox方向做匀速运动，孔明灯的运动轨迹可能为图乙中的(　　)‎ A．直线OA　　　　　　　　 B．曲线OB C．曲线OC D．曲线OD 解析：选D　孔明灯在竖直Oy方向做匀加速运动，在水平Ox方向做匀速运动，则合外力沿Oy方向，所以合运动的加速度方向沿Oy方向，但合速度方向不沿Oy方向，故孔明灯做曲线运动，结合合力指向轨迹内侧可知轨迹可能为曲线OD，故D正确。‎ ‎3．[多选](2018·南昌一模)一质量为m的质点起初以速度v0做匀速直线运动，在t＝0时开始受到恒力F作用，速度大小先减小后增大，其最小值为v＝0.5v0，由此可判断(　　)‎ A．质点受到恒力F作用后一定做匀变速曲线运动 B．质点受到恒力F作用后可能做圆周运动 C．t＝0时恒力F方向与速度v0方向间的夹角为60°‎ D．恒力F作用时间时质点速度最小 解析：选AD　在t＝0时质点开始受到恒力F作用，加速度不变，做匀变速运动，若做匀变速直线运动，则最小速度为零，所以质点受到恒力F作用后一定做匀变速曲线运动，故A正确；质点在恒力作用下不可能做圆周运动，故B错误；设恒力与初速度之间的夹角是θ，最小速度v1＝v0sin θ＝0.5v0，由题意可知初速度与恒力间的夹角为钝角，所以θ＝150°，故C错误；在沿恒力方向上速度为0时有v0cos 30°－Δt＝0，解得Δt＝，故D正确。‎ 突破点(二)　运动的合成与分解的应用 ‎1．合运动与分运动的关系 等时性 各个分运动与合运动总是同时开始，同时结束，经历时间相等(不同时的运动不能合成)‎ 等效性 各分运动叠加起来与合运动有相同的效果 独立性 一个物体同时参与几个运动，其中的任何一个分运动都会保持其运动性质不变，并不会受其他分运动的干扰。虽然各分运动互相独立，但是合运动的性质和轨迹由它们共同决定 ‎2．运动的合成与分解的运算法则 运动的合成与分解是指描述运动的各物理量，即位移、速度、加速度的合成与分解，由于它们均是矢量，故合成与分解都遵守平行四边形定则。‎ ‎3．合运动的性质和轨迹的判断 ‎(1)若合加速度不变，则为匀变速运动；若合加速度(大小或方向)变化，则为非匀变速运动。‎ ‎(2)若合加速度的方向与合初速度的方向在同一直线上，则为直线运动，否则为曲线运动。‎ ‎[典例]　[多选]在一光滑水平面内建立平面直角坐标系，一物体从t＝0时刻起，由坐标原点O(0,0)开始运动，其沿x轴和y轴方向运动的速度—时间图像如图甲、乙所示，下列说法中正确的是(　　)‎ A．前2 s内物体沿x轴做匀加速直线运动 B．后2 s内物体继续做匀加速直线运动，但加速度沿y轴方向 C．4 s末物体坐标为(4 m,4 m)‎ D．4 s末物体坐标为(6 m,2 m)‎ ‎[思路点拨]‎ ‎(1)判断物体运动性质时要分析物体的加速度特点及加速度与速度方向间的关系。‎ ‎(2)确定物体在某时刻的坐标时，要沿x轴和y轴分别计算物体的位移。‎ ‎[解析]　前2 s内物体在y轴方向速度为0，由题图甲知物体沿x轴方向做匀加速直线运动，A正确；后2 s内物体在x轴方向做匀速运动，在y轴方向做初速度为0的匀加速运动，加速度沿y轴方向，合运动是曲线运动，B错误；4s内物体在x轴方向上的位移是x＝m＝6 m，在y轴方向上的位移为y＝×2×2 m＝2 m，所以4 s末物体坐标为(6 m,2 m)，D正确，C错误。‎ ‎[答案]　AD ‎[集训冲关]‎ ‎1.(2018·太原联考)如图所示，竖直放置的两端封闭的玻璃管中注满清水，内有一个红蜡块能在水中匀速上浮。在红蜡块从玻璃管的下端匀速上浮的同时，使玻璃管以速度v水平向右匀速运动。红蜡块由管口上升到顶端，所需时间为t，相对地面通过的路程为L。则下列说法正确的是(　　)‎ A．v增大时，L减小　　　　　 B．v增大时，L增大 C．v增大时，t减小 D．v增大时，t增大 解析：选B　由合运动与分运动的等时性知，红蜡块沿管上升的高度和速度不变，运动时间不变，玻璃管匀速运动的速度越大，则合速度越大，合位移越大，B正确。‎ ‎2.(2018·衡阳联考)如图所示，当汽车静止时，车内乘客看到窗外雨滴沿竖直方向OE匀速运动。现从t＝0时汽车由静止开始做甲、乙两种匀加速启动，甲种状态启动后t1时刻，乘客看到雨滴从B处离开车窗，乙种状态启动后t2时刻，乘客看到雨滴从F处离开车窗，F为AB的中点。则t1∶t2为(　　)‎ A．2∶1　　　　　　　　 B．1∶ C．1∶ D．1∶(－1)‎ 解析：选A　雨滴在竖直方向的分运动为匀速直线运动，其速度大小与水平方向的运动无关，故t1∶t2＝∶＝2∶1，选项A正确。‎ ‎3．[多选](2018·山东实验中学高三段考)一物体在以xOy为直角坐标系的平面上运动，其运动规律为x＝－2t2－4t，y＝3t2＋6t(式中的物理量单位均为国际单位)，关于物体的运动，下列说法正确的是(　　)‎ A．物体在x轴方向上做匀减速直线运动 B．物体在y轴方向上做匀加速直线运动 C．物体运动的轨迹是一条直线 D．物体运动的轨迹是一条曲线 解析：选BC　对应位移时间公式x＝v0t＋at2，x＝－2t2－4t，y＝3t2＋6t，可得初速度：v0x＝－4 m/s，v0y＝6 m/s；‎ 加速度：ax＝－4 m/s2，ay＝6 m/s2；物体在x轴上分运动的初速度和加速度同方向，是匀加速直线运动，故A错误；物体在y轴方向的初速度和加速度同方向，是匀加速直线运动，故B正确；题中分运动的初速度和加速度数值完全相同，故合运动的初速度方向与加速度方向相同，故合运动一定是匀加速直线运动，故C正确，D错误。‎ ‎突破点(三)　小船渡河问题 ‎1．小船渡河问题的分析思路 ‎2．小船渡河的两类问题、三种情景 渡河时间最短 当船头方向垂直于河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin＝ 渡河位移最短 如果v船>v水，当船头方向与上游夹角θ满足v船cos θ＝v水时，合速度垂直于河岸，渡河位移最短，等于河宽d 如果v船t1，v2＝　　　　 B．t2>t1，v2＝ C．t2＝t1，v2 ＝ D．t2＝t1，v2＝ 解析：选C　设河宽为d，船自身的速度为v，与河岸上游的夹角为θ，对垂直河岸的分运动，过河时间t＝，则t1＝t2；对合运动，过河时间t＝＝，解得v2＝，C正确。‎ ‎3．(2018·合肥检测)有一条两岸平直、河水均匀流动，流速恒为v的大河，一条小船渡河，去程时船头指向始终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直，小船在静水中的速度大小为，回程与去程所用时间之比为(　　)‎ A．3∶2　　　　　　　　 B．2∶1‎ C．3∶1 D．2∶1‎ 解析：选B　设河宽为d，则去程所用的时间t1＝＝；返程时的合速度：v′＝ ＝，回程的时间为：t2＝＝；故回程与去程所用时间之比为t2∶t1＝2∶1，选项B正确。‎ 突破点(四)　绳(杆)端速度分解问题 两物体通过绳(杆)相牵连，当两物体都发生运动时，两物体的速度往往不相等，但因绳(杆)的长度是不变的，因此两物体的速度沿绳(杆)方向的分速度是大小相等的。‎ ‎ [典例]　[多选]如图所示，有一个沿水平方向做匀速直线运动的半径为R的半圆柱体，半圆柱面上搁着一个只能沿竖直方向运动的竖直杆，在竖直杆未达到半圆柱体的最高点之前(　　)‎ A．半圆柱体向右匀速运动时，竖直杆向上做匀减速直线运动 B．半圆柱体向右匀速运动时，竖直杆向上做减速直线运动 C．半圆柱体以速度为v向右匀速运动，杆同半圆柱体接触点和柱心的连线与竖直方向的夹角为θ时，竖直杆向上的运动速度为vtan θ D．半圆柱体以速度为v向右匀速运动，杆同半圆柱体接触点和柱心的连线与竖直方向的夹角为θ时，竖直杆向上的运动速度为vsin θ 以杆与半圆柱体接触点为研究对象，沿接触点的弹力方向即半径方向两物体的速度分量相等。半圆柱体可以简化为长度为R的杆OA，O点代表半圆柱体的运动，A点代表杆AB的运动，如图所示。　‎ ‎[解析]　O点向右运动，O点的运动使杆AO绕A点逆时针转动的同时，沿杆OA方向向上推动A点；竖直杆的实际运动(A点的速度)方向竖直向上，使A点绕O点逆时针转动的同时，沿OA方向(弹力方向)与OA杆具有相同的速度。速度分解如图所示，对O点，v1＝vsin θ，对于A点，vAcos θ＝v1，解得vA＝vtan θ，O点(半圆柱体)向右匀速运动时，杆向上运动，θ角减小，tan θ减小，vA减小，但杆不做匀减速运动，A错误，B正确；由vA＝vtan θ可知C正确，D错误。‎ ‎[答案]　BC ‎[内化模型]‎ ‎1．熟记常见模型 ‎2．谨记解题思路 ‎[集训冲关]‎ ‎1.(2018·邯郸检测)如图所示，汽车用跨过定滑轮的轻绳提升物块A。汽车匀速向右运动，在物块A到达滑轮之前，关于物块A，下列说法正确的是(　　)‎ A．将竖直向上做匀速运动 B．将处于超重状态 C．将处于失重状态 D．将竖直向上先加速后减速 解析：选B　设汽车向右运动的速度为v，绳子与水平方向的夹角为α，物块上升的速度为v′，则vcos α＝v′，汽车匀速向右运动，α减小，v′增大，物块向上加速运动，A、D错误；物块加速度向上，处于超重状态，B正确，C错误。‎ ‎2.如图所示，一根长直轻杆AB在墙角沿竖直墙和水平地面滑动。当AB杆和墙的夹角为θ时，杆的A端沿墙下滑的速度大小为v1，B端沿地面滑动的速度大小为v2，则v1、v2的关系是(　　)‎ A．v1＝v2　　　　　　　　 B．v1＝v2cos θ C．v1＝v2tan θ D．v1＝v2sin θ 解析：选C　将A、B两点的速度分解为沿AB方向与垂直于AB方向的分速度，沿AB方向的速度分别为v1∥和v2∥，由于AB不可伸长，两点沿AB方向的速度分量应相同，则有v1∥＝v1cos θ，v2∥＝v2sin θ，由v1∥＝v2∥，得v1＝v2tan θ，选项C正确。‎ ‎3.如图所示，悬线一端固定在天花板上的O点，另一端穿过一张CD光盘的中央小孔后拴着一个橡胶球，橡胶球静止时，竖直悬线刚好挨着水平桌面的边沿。现将CD光盘按在桌面上，并沿桌面边缘以速度v匀速移动，移动过程中，CD光盘中央小孔始终紧挨桌面边线，当悬线与竖直方向的夹角为θ时，小球上升的速度大小为(　　)‎ A．vsin θ B．vcos θ C．vtan θ D. 解析：选A　由题意可知，悬线与光盘交点参与两个运动，一是沿着悬线方向的运动，二是垂直悬线方向的运动，则合运动的速度大小为v，由数学三角函数关系，则有v线＝vsin θ；而悬线速度的大小，即为小球上升的速度大小，故A正确。‎ STS问题——练迁移思维 生活中的运动合成分解问题 ‎(一)骑马射箭 ‎1.[多选]民族运动会上有一骑射项目如图所示，运动员骑在奔跑的马上，弯弓放箭射击侧向的固定目标。假设运动员骑马奔驰的速度为v1，运动员静止时射出的箭速度为v2，跑道离固定目标的最近距离为d。要想命中目标且射出的箭在空中飞行时间最短，则(　　)‎ A．运动员放箭处离目标的距离为 B．运动员放箭处离目标的距离为 C．箭射到固定目标的最短时间为 D．箭射到固定目标的最短时间为 ‎[思维转换提示]　箭相对地面的速度(指向目标)是箭射出的速度v2(箭相对于马)与马前进速度v1的合速度，而且为保证箭在空中飞行时间最短，v2必须垂直于v1。‎ 解析：选BC　要想以箭在空中飞行的时间最短的情况下击中目标，v2必须垂直于v1，并且v1、v2的合速度方向指向目标，如图所示，故箭射到目标的最短时间为，C对，D错；运动员放箭处离目标的距离为，又x＝v1t＝v1·，故＝ ＝，A错，B对。‎ ‎(二)下雨打伞 ‎2．雨滴在空中以4 m/s的速度竖直下落，人打伞以3 m/s的速度向西急行，如果希望雨滴垂直打向伞的截面而少淋雨，伞柄应指向什么方向？‎ ‎[思维转换提示]　雨滴相对于人的速度是雨滴下落的速度与地相对于人的速度(以3 m/s的速度向东)的合速度，伞柄的指向与合速度方向正对。‎ 解析：雨滴相对于人的速度方向即为伞柄的指向。雨滴相对人有向东3 m/s的速度v1，有竖直向下的速度v2＝4 m/s，如图所示，雨滴对人的合速度v＝＝5 m/s。‎ tan α＝＝，即α＝37°。‎ 答案：向西倾斜，与竖直方向成37°角 ‎(三)转台投篮 ‎3．趣味投篮比赛中，运动员站在一个旋转较快的大平台边缘上，相对平台静止，向平台圆心处的球筐内投篮球。则下图各俯视图中篮球可能被投入球筐(图中箭头指向表示投篮方向)的是(　　)‎ ‎[思维转换提示]　篮球的实际速度是运动员投篮球的速度与运动员所在位置平台转动速度的合速度。‎ 解析：选C　当沿圆周切线方向的速度和出手速度的合速度沿球筐方向，篮球就会被投入球筐。故C正确，A、B、D错误。‎ ‎(四)风中骑车 ‎4．某人骑自行车以4 m/s的速度向正东方向行驶，天气预报报告当时是正北风，风速为4 m/s，那么，骑车人感觉到的风向和风速为(　　)‎ A．西北风　风速为4 m/s B．西北风　风速为4 m/s C．东北风　风速为4 m/s D．东北风　风速为4 m/s ‎[思维转换提示]　风相对骑车人的速度是风相对于地的速度与地相对于自行车的速度的合速度。‎ 解析：选D　以骑车人为参考系，人向正东方向骑行，感觉风向正西，风速大小为v1＝4 m/s，当时有正北风，风速为v2＝4 m/s，如图所示，可求得人感觉到的风向为东北风，风速v＝4 m/s，D正确。‎ ‎(一)普通高中适用作业 ‎[A级——基础小题练熟练快]‎ ‎★1．(2018·重庆月考)关于两个运动的合成，下列说法正确的是(　　)‎ A．两个直线运动的合运动一定也是直线运动 B．方向不共线的两个匀速直线运动的合运动一定也是匀速直线运动 C．小船渡河的运动中，小船的对地速度一定大于水流速度 D．小船渡河的运动中，水流速度越大，小船渡河所需时间越短 解析：‎ 选B　两个直线运动可以合成为直线运动(匀速直线＋匀速直线)，也可以合成为曲线运动(匀变速直线＋匀速直线)，故选项A错误；两个分运动为匀速直线运动，没有分加速度，合运动就没有加速度，则合运动一定是匀速直线运动，则选项B正确；小船对地的速度是合速度，其大小可以大于水速(分速度)、等于水速、或小于水速，故选项C错误；渡河时间由小船垂直河岸方向的速度决定，由运动的独立性知与水速的大小无关，选项D错误。‎ ‎★2.[多选]一质点在xOy平面内的运动轨迹如图所示，下列判断正确的是(　　)‎ A．质点沿x轴方向可能做匀速运动 B．质点沿y轴方向可能做变速运动 C．若质点沿y轴方向始终匀速运动，则沿x轴方向可能先加速后减速 D．若质点沿y轴方向始终匀速运动，则沿x轴方向可能先减速后加速 解析：选BD　质点做曲线运动，合力大致指向轨迹凹侧，即加速度大致指向轨迹凹侧，由题图可知加速度方向指向弧内，不可能沿y轴方向，x轴方向有加速度分量，所以沿x轴方向上，质点不可能做匀速运动，y轴方向可能有加速度分量，故质点沿y轴方向可能做变速运动，A错误，B正确；质点在x轴方向先沿正方向运动，后沿负方向运动，最终在x轴方向上的位移为零，所以质点沿x轴方向不能一直加速，也不能先加速后减速，只能先减速后反向加速，C错误，D正确。‎ ‎3．在一个光滑水平面内建立平面直角坐标系xOy，质量为1 kg 的物体原来静止在坐标原点O(0,0)，t＝0时受到如图所示随时间变化的外力作用，图甲中Fx表示沿x轴方向的外力，图乙中Fy表示沿y轴方向的外力，下列描述正确的是(　　)‎ A．0～4 s内物体的运动轨迹是一条直线 B．0～4 s内物体的运动轨迹是一条抛物线 C．前2 s内物体做匀加速直线运动，后2 s内物体做匀加速曲线运动 D．前2 s内物体做匀加速直线运动，后2 s内物体做匀速圆周运动 解析：选C　0～2 s内物体沿x轴方向做初速度为零的匀加速直线运动，2 s时受沿y轴方向的恒力作用，与速度方向垂直，故2～4 s内物体做类平抛运动，C项正确。‎ ‎★4．(2018·石家庄质检)一小船过河时，船头与上游河岸夹角为α，其航线恰好垂直于河岸，已知小船在静水中的速度为v，现水流速度稍有增大，为保持航线不变，且能准时到达河对岸，下列措施中可行的是(　　)‎ A．减小α角，减小船速v B．减小α角，增大船速v C．增大α角，增大船速v D．增大α角，减小船速v 解析：选B　由题意可知，小船相对水的速度为v，其航线恰好垂直于河岸，如图所示，当水流速度v1稍有增大，为保持航线不变，且准时到达对岸，则船速变化如图v′所示，可知B正确。‎ ‎★5.如图所示，开始时A、B间的细绳呈水平状态，现由计算机控制物体A的运动，使其恰好以速度v沿竖直杆匀速下滑，经细绳通过定滑轮拉动物体B在水平面上运动，则下列v t图像中，最接近物体B的运动情况的是(　　)‎ 解析：选A　将与物体A相连的绳端速度v分解为沿绳伸长方向的速度v1和垂直于绳方向的速度v2，则物体B的速度vB＝v1＝vsin θ，在t＝0时刻θ＝0°， vB＝0，C项错误；之后随θ增大，sin θ增大，B的速度增大，但开始时θ变化快，速度增加得快，图线的斜率大，随θ增大，速度增加得慢，若绳和杆足够长，则物体B的速度趋近于A的速度，只有A项正确。‎ ‎[B级——中档题目练通抓牢]‎ ‎6.(2018·洛阳模拟)在杂技表演中，猴子沿竖直杆向上做初速度为零、加速度为a的匀加速运动，同时人顶着直杆以速度v0水平匀速移动，经过时间t，猴子沿杆向上移动的高度为h，人顶杆沿水平地面移动的距离为s，如图所示。关于猴子的运动情况，下列说法中正确的是(　　)‎ A．相对地面的运动轨迹为直线 B．相对地面做变加速曲线运动 C．t时刻猴子对地速度的大小为v0＋at D．t时间内猴子对地的位移大小为 解析：选D　猴子竖直向上做匀加速直线运动，水平向右做匀速直线运动，其合运动是匀变速曲线运动，A、B错误；t时刻猴子对地速度的大小为v＝，C错误；t时间内猴子对地的位移是指合位移，其大小为，D正确。‎ ‎7.[多选](2018·德阳一诊)甲、乙两船在同一河流中同时开始渡河，河水流速为v0，船在静水中的速率均为v，甲、乙两船船头均与河岸成θ角，如图所示，已知甲船恰能垂直到达河正对岸的A点，乙船到达河对岸的B点，A、B之间的距离为L，则下列判断正确的是(　　)‎ A．乙船先到达对岸 B．若仅是河水流速v0增大，则两船的渡河时间都不变 C．不论河水流速v0如何改变，只要适当改变θ角，甲船总能到达正对岸的A点 D．若仅是河水流速v0增大，则两船到达对岸时，两船之间的距离仍然为L 解析：选BD　将小船的运动分解为平行于河岸和垂直于河岸两个方向，抓住分运动和合运动具有等时性，知甲、乙两船到达对岸的时间相等，渡河的时间t＝，故A错误；若仅是河水流速v0增大，则渡河的时间仍为t＝，两船的渡河时间都不变，故B正确；只有甲船速度大于水流速度时，甲船才可能到达河的正对岸A点，故C错误；若仅是河水流速v0增大，则两船到达对岸时间不变，根据速度的分解，船在沿岸方向的分速度仍不变，两船之间的相对速度不变，则两船之间的距离仍然为L，故D正确。‎ ‎8.(2018·泉州模拟)如图所示，一质点受一恒定合外力F作用从y轴上的A点平行于x轴射出，经过一段时间到达x轴上的B点，在B点时其速度垂直于x轴指向y轴负方向，质点从A到B的过程，下列判断正确的是(　　)‎ A．合外力F可能指向y轴负方向 B．该质点的运动为匀变速运动 C．该质点的速度大小可能保持不变 D．该质点的速度一直在减小 解析：选B　物体受到一恒力，从A到B，根据曲线运动条件，则有合外力的方向在x轴负方向与y轴负方向之间，不可能沿y轴负方向，否则B点的速度不可能垂直x轴，故A错误；由于受到一恒力，因此做匀变速曲线运动，故B正确；因受到一恒力，因此不可能做匀速圆周运动，所以速度大小一定变化，故C错误；根据力与速度的夹角，可知，速度先减小后增大，故D错误。‎ ‎9．如图所示，在竖直平面内的xOy坐标系中，Oy竖直向上，Ox水平。设平面内存在沿x轴正方向的恒定风力。一小球从坐标原点沿Oy方向竖直向上抛出，初速度为v0＝4 m/s，不计空气阻力，到达最高点的位置如图中M点所示，(坐标格为正方形，g取10 m/s2)求：‎ ‎(1)小球在M点的速度v1；‎ ‎(2)在图中定性画出小球的运动轨迹并标出小球落回x轴时的位置N；‎ ‎(3)小球到达N点的速度v2的大小。‎ 解析：(1)设正方形的边长为s0。‎ 小球竖直方向做竖直上抛运动，v0＝gt1,2s0＝t1‎ 水平方向做匀加速直线运动，3s0＝t1‎ 解得v1＝6 m/s。‎ ‎(2)由竖直方向运动的对称性可知，小球再经过t1到达x轴，水平方向做初速度为零的匀加速直线运动，所以回到x轴时落到x＝12处，位置N的坐标为(12,0)，运动轨迹及N如图。‎ ‎(3)到N点时竖直分速度大小为v0＝4 m/s，‎ 水平分速度vx＝a水平tN＝2v1＝12 m/s，‎ 故v2＝＝4 m/s。‎ 答案：(1)6 m/s　(2)见解析图　(3)4 m/s ‎10．河宽60 m，水流速度v1＝6 m/s，小船在静水中的速度v2＝3 m/s，求：‎ ‎(1)小船渡河的最短时间；‎ ‎(2)小船渡河的最短航程。‎ 解析：(1)当小船垂直河岸航行时，渡河时间最短，‎ tmin＝＝ s＝20 s。 ‎ ‎(2)因为船速小于水速，所以小船一定向下游漂移。如图所示，以v1矢量末端为圆心，以v2矢量的大小为半径画弧，从v1矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向时航程最短。‎ 由图可知，最短航程为 x短＝＝d＝×60 m＝120 m。‎ 答案：(1)20 s　(2)120 m ‎[C级——难度题目自主选做]‎ ‎★‎ ‎11.如图所示，甲、乙两船在同一条水流匀速的河流中同时开始渡河，M、N分别是甲、乙两船的出发点，两船头与河岸均成α角，甲船船头恰好对准N点的正对岸P点，经过一段时间乙船恰好到达P点，如果划船速度大小相同，且两船相遇不影响各自的航行，下列判断正确的是(　　)‎ A．甲船也能到达M点正对岸 B．甲船渡河时间一定短 C．两船相遇在NP直线上的某点(非P点)‎ D．渡河过程中两船不会相遇 解析：选C　乙船垂直河岸到达正对岸，说明水流方向向右；甲船参与了两个分运动，沿着船头指向的匀速运动，随着水流方向的匀速运动，故不可能到达M点正对岸，故A错误；小船过河的速度为船本身的速度垂直河岸方向的分速度vy＝vsin α，小船过河的时间t＝＝，故甲、乙两船到达对岸的时间相同，故B错误；以流动的水为参考系，两船相遇点在速度方向延长线的交点上；又由于乙船实际上沿着NP方向运动，故相遇点在NP直线上的某点(非P点)，故C正确，D错误。‎ ‎12.[多选]如图所示，用一根长杆和两个定滑轮的组合装置来提升重物M，长杆的一端放在地上通过铰链连接形成转轴，其端点恰好处于左侧滑轮正下方O点处，在杆的中点C处拴一细绳，通过两个滑轮后挂上重物M。C点与O点距离为L，现在杆的另一端用力使其逆时针匀速转动，由竖直位置以角速度ω缓慢转至水平(转过了90°角)，此过程中下列说法正确的是(　　)‎ A．重物M做匀速直线运动 B．重物M做匀变速直线运动 C．重物M的最大速度是ωL D．重物M的速度先增大后减小 解析：选CD　与杆垂直的速度v是C点的实际速度，vT是细绳的速度，即重物M的速度。设vT与v的夹角是θ，则vT＝vcos θ，开始时θ减小，则vT增大；当杆与细绳垂直(θ＝0)时，重物M的速度最大，为vmax＝ωL，然后再减小，C、D正确。‎ ‎(二)重点高中适用作业 ‎[A级——保分题目巧做快做]‎ ‎1．在一个光滑水平面内建立平面直角坐标系xOy，质量为1 kg 的物体原来静止在坐标原点O(0,0)，t＝0时受到如图所示随时间变化的外力作用，图甲中Fx表示沿x轴方向的外力，图乙中Fy表示沿y轴方向的外力，下列描述正确的是(　　)‎ A．0～4 s内物体的运动轨迹是一条直线 B．0～4 s内物体的运动轨迹是一条抛物线 C．前2 s内物体做匀加速直线运动，后2 s内物体做匀加速曲线运动 D．前2 s内物体做匀加速直线运动，后2 s内物体做匀速圆周运动 解析：选C　0～2 s内物体沿x轴方向做初速度为零的匀加速直线运动，2 s时受沿y轴方向的恒力作用，与速度方向垂直，故2～4 s内物体做类平抛运动，C项正确。‎ ‎2.(2018·洛阳模拟)在杂技表演中，猴子沿竖直杆向上做初速度为零、加速度为a的匀加速运动，同时人顶着直杆以速度v0水平匀速移动，经过时间t，猴子沿杆向上移动的高度为h，人顶杆沿水平地面移动的距离为s，如图所示。关于猴子的运动情况，下列说法中正确的是(　　)‎ A．相对地面的运动轨迹为直线 B．相对地面做变加速曲线运动 C．t时刻猴子对地速度的大小为v0＋at D．t时间内猴子对地的位移大小为 解析：选D　猴子竖直向上做匀加速直线运动，水平向右做匀速直线运动，其合运动是匀变速曲线运动，A、B错误；t时刻猴子对地速度的大小为v＝，C错误；t时间内猴子对地的位移是指合位移，其大小为，D正确。‎ ‎3.[多选](2018·德阳一诊)甲、乙两船在同一河流中同时开始渡河，河水流速为v0，船在静水中的速率均为v，甲、乙两船船头均与河岸成θ角，如图所示，已知甲船恰能垂直到达河正对岸的A点，乙船到达河对岸的B点，A、B之间的距离为L，则下列判断正确的是(　　)‎ A．乙船先到达对岸 B．若仅是河水流速v0增大，则两船的渡河时间都不变 C．不论河水流速v0如何改变，只要适当改变θ角，甲船总能到达正对岸的A点 D．若仅是河水流速v0增大，则两船到达对岸时，两船之间的距离仍然为L 解析：选BD　将小船的运动分解为平行于河岸和垂直于河岸两个方向，抓住分运动和合运动具有等时性，知甲、乙两船到达对岸的时间相等，渡河的时间t＝，故A错误；若仅是河水流速v0增大，则渡河的时间仍为t＝，两船的渡河时间都不变，故B正确；只有甲船速度大于水流速度时，甲船才可能到达河的正对岸A点，故C错误；若仅是河水流速v ‎0增大，则两船到达对岸时间不变，根据速度的分解，船在沿岸方向的分速度仍不变，两船之间的相对速度不变，则两船之间的距离仍然为L，故D正确。‎ ‎4.(2018·泉州模拟)如图所示，一质点受一恒定合外力F作用从y轴上的A点平行于x轴射出，经过一段时间到达x轴上的B点，在B点时其速度垂直于x轴指向y轴负方向，质点从A到B的过程，下列判断正确的是(　　)‎ A．合外力F可能指向y轴负方向 B．该质点的运动为匀变速运动 C．该质点的速度大小可能保持不变 D．该质点的速度一直在减小 解析：选B　物体受到一恒力，从A到B，根据曲线运动条件，则有合外力的方向在x轴负方向与y轴负方向之间，不可能沿y轴负方向，否则B点的速度不可能垂直x轴，故A错误；由于受到一恒力，因此做匀变速曲线运动，故B正确；因受到一恒力，因此不可能做匀速圆周运动，所以速度大小一定变化，故C错误；根据力与速度的夹角，可知，速度先减小后增大，故D错误。‎ ‎★5.(2018·合肥模拟)如图所示，船从A点开出后沿直线AB到达对岸，若AB与河岸成37°角，水流速度为4 m/s，则船从A点开出的最小速度为(　　)‎ A．2 m/s　　　　　　 B．2.4 m/s C．3 m/s D．3.5 m/s 解析：选B　设水流速度为v1，船在静水中的速度为v2，船沿AB方向航行时，运动的分解如图所示，当v2与AB垂直时，v2最小，v2min＝v1sin 37°＝2.4 m/s，选项B正确。‎ ‎★6.[多选]如图所示，人在岸上拉船，已知船的质量为m，水的阻力恒为f，当轻绳与水平面的夹角为θ时，船的速度为v，此时人的拉力大小为F，则(　　)‎ A．人拉绳行走的速度为vcos θ B．人拉绳行走的速度为 C．船的加速度为 D．船的加速度为 解析：‎ 选AC　船的速度产生了两个效果：一是滑轮与船间的绳缩短，二是绳绕滑轮顺时针转动，因此将船的速度进行分解，如图所示，人拉绳行走的速度v人＝vcos θ，A对、B错；绳对船的拉力等于人拉绳的力，即绳的拉力大小为F，与水平方向成θ角，因此Fcos θ－f＝ma，得a＝，C对、D错。‎ ‎7.[多选]如图所示，用一根长杆和两个定滑轮的组合装置来提升重物M，长杆的一端放在地上通过铰链连接形成转轴，其端点恰好处于左侧滑轮正下方O点处，在杆的中点C处拴一细绳，通过两个滑轮后挂上重物M。C点与O点距离为L，现在杆的另一端用力使其逆时针匀速转动，由竖直位置以角速度ω缓慢转至水平(转过了90°角)，此过程中下列说法正确的是(　　)‎ A．重物M做匀速直线运动 B．重物M做匀变速直线运动 C．重物M的最大速度是ωL D．重物M的速度先增大后减小 解析：选CD　与杆垂直的速度v是C点的实际速度，vT是细绳的速度，即重物M的速度。设vT与v的夹角是θ，则vT＝vcos θ，开始时θ减小，则vT增大；当杆与细绳垂直(θ＝0)时，重物M的速度最大，为vmax＝ωL，然后再减小，C、D正确。‎ ‎8．如图所示，在竖直平面内的xOy坐标系中，Oy竖直向上，Ox水平。设平面内存在沿x轴正方向的恒定风力。一小球从坐标原点沿Oy方向竖直向上抛出，初速度为v0＝4 m/s，不计空气阻力，到达最高点的位置如图中M点所示，(坐标格为正方形，g取10 m/s2)求：‎ ‎(1)小球在M点的速度v1；‎ ‎(2)在图中定性画出小球的运动轨迹并标出小球落回x轴时的位置N；‎ ‎(3)小球到达N点的速度v2的大小。‎ 解析：(1)设正方形的边长为s0。‎ 小球竖直方向做竖直上抛运动，v0＝gt1,2s0＝t1‎ 水平方向做匀加速直线运动，3s0＝t1‎ 解得v1＝6 m/s。‎ ‎(2)由竖直方向运动的对称性可知，小球再经过t1到达x轴，水平方向做初速度为零的匀加速直线运动，所以回到x轴时落到x＝12处，位置N的坐标为(12,0)，运动轨迹及N如图。‎ ‎(3)到N点时竖直分速度大小为v0＝4 m/s，‎ 水平分速度vx＝a水平tN＝2v1＝12 m/s，‎ 故v2＝＝4 m/s。‎ 答案：(1)6 m/s　(2)见解析图　(3)4 m/s ‎9．河宽60 m，水流速度v1＝6 m/s，小船在静水中的速度v2＝3 m/s，求：‎ ‎(1)小船渡河的最短时间；‎ ‎(2)小船渡河的最短航程。‎ 解析：(1)当小船垂直河岸航行时，渡河时间最短，‎ tmin＝＝ s＝20 s。 ‎ ‎(2)因为船速小于水速，所以小船一定向下游漂移。如图所示，以v1矢量末端为圆心，以v2矢量的大小为半径画弧，从v1矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向时航程最短。‎ 由图可知，最短航程为 x短＝＝d＝×60 m＝120 m。‎ 答案：(1)20 s　(2)120 m ‎[B级——拔高题目稳做准做]‎ ‎★10.如图所示，甲、乙两同学从河中O点出发，分别沿直线游到A点和B点后，立即沿原路线返回到O点，OA、OB分别与水流方向平行和垂直，且＝。若水流速度不变，两人在静水中游速相等，则他们所用时间 t甲、t乙的大小关系为 (　　)‎ A．t甲t乙 D．无法确定 解析：选C　设水速为v0，人在静水中的速度为v，＝＝x。对甲，O→A阶段人对地的速度为(v＋v0)，所用时间t1＝；A→O阶段人对地的速度为(v－v0)，所用时间t2＝。所以甲所用时间t甲＝t1＋t2＝＋＝。对乙，O→B阶段和B→O阶段的实际速度v′为v和v0的合成，如图所示。由几何关系得，实际速度v′＝，故乙所用时间t乙＝＝。＝>1，即t甲>t乙，故C正确。‎ ‎★11.(2018·石家庄检测)一轻杆两端分别固定质量为mA和mB的两个小球A和B(可视为质点)。将其放在一个光滑球形容器中从位置1开始下滑，如图所示，当轻杆到达位置2时球A与球形容器球心等高，其速度大小为v1，已知此时轻杆与水平方向成θ＝30°角，B球的速度大小为v2，则(　　)‎ A．v2＝v1　　　　　　　　 B．v2＝2v1‎ C．v2＝v1 D．v2＝v1‎ 解析：选C　球A与球形容器球心等高，速度v1方向竖直向下，速度分解如图所示，有v11＝v1sin 30°＝v1，球B此时速度方向与杆成α＝60°角，因此v21＝v2cos 60°＝v2，沿杆方向两球速度相等，即v21＝v11，解得v2＝v1，C项正确。‎ ‎★12.(2018·广州检测)如图所示，物体a、b、c分别穿在竖直固定的直杆上，且物体a、b、c由轻质不可伸长的细线通过两定滑轮相连。某时刻物体a有向下的速度v0，吊住物体c的两根细线与竖直方向的夹角分别为α和β，则物体b的速度大小为(　　)‎ A.v0 B.v0‎ C.v0 D．以上均错 解析：选A　研究左侧细线，把物体c的速度vc沿细线和垂直细线分解为v0和v1，可得vc＝、竖直向上；再研究右侧细线，把物体c的速度vc沿细线和垂直细线分解为vb和v2，vc＝，联立这两式解得vb＝v0。‎ ‎★13.如图所示，一根长为L的轻杆OA，O端用铰链固定，轻杆靠在一个高为h的物块上，某时刻杆与水平方向的夹角为θ，物块向右运动的速度为v，则此时A点速度为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选C　如图所示，根据运动的合成与分解可知，接触点B的实际运动为合运动，可将B点运动的速度vB＝v沿垂直于杆和沿杆的方向分解成v2和v1，其中v2＝vBsin θ＝vsin θ为B点做圆周运动的线速度，v1＝vBcos θ为B 点沿杆运动的速度。当杆与水平方向夹角为θ时，OB＝，由于B点的线速度为v2＝vsin θ＝OBω，所以ω＝＝，所以A的线速度vA＝Lω＝，选项C正确。‎ 第2节抛体运动 ‎(1)以一定的初速度水平抛出的物体的运动是平抛运动。(×)‎ ‎(2)做平抛运动的物体的速度方向时刻在变化，加速度方向也时刻在变化。(×)‎ ‎(3)做平抛运动的物体初速度越大，水平位移越大。(×)‎ ‎(4)做平抛运动的物体，初速度越大，在空中飞行时间越长。(×)‎ ‎(5)从同一高度平抛的物体，不计空气阻力时，在空中飞行的时间是相同的。( √)‎ ‎(6)无论平抛运动还是斜抛运动，都是匀变速曲线运动。(√)‎ ‎(7)做平抛运动的物体，在任意相等的时间内速度的变化量是相同的。(√)‎ ‎1．做平抛运动的物体，其落地时间完全由下落高度决定，与平抛速度大小无关。‎ ‎2．做平抛运动的物体，其水平位移由平抛初速度和下落高度共同决定。‎ 突破点(一)　平抛运动的规律 ‎1．基本规律 ‎(1)速度关系 ‎(2)位移关系 ‎2．实用结论 ‎(1)速度改变量：物体在任意相等时间内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图甲所示。‎ ‎(2)水平位移中点：因tan α＝2tan β，所以OC＝2BC，即速度的反向延长线通过此时水平位移的中点，如图乙所示。‎ ‎[题点全练]‎ ‎1．(2016·海南高考)在地面上方某点将一小球以一定的初速度沿水平方向抛出，不计空气阻力，则小球在随后的运动中(　　)‎ A．速度和加速度的方向都在不断变化 B．速度与加速度方向之间的夹角一直减小 C．在相等的时间间隔内，速率的改变量相等 D．在相等的时间间隔内，动能的改变量相等 解析：选B　由于物体只受重力作用，做平抛运动，故加速度不变，速度大小和方向时刻在变化，选项A错误；设某时刻速度与竖直方向(即加速度方向)夹角为θ，则tan θ＝＝‎ eq f(v0,gt)，随着时间t变大，tan θ变小，θ变小，故选项B正确；根据加速度定义式a＝＝g，则Δv＝gΔt，即在相等的时间间隔内，速度的改变量相等，但速率的改变量不相等，故选项C错误；根据动能定理，动能的改变量等于重力做的功，即WG＝mgh，对于平抛运动，在竖直方向上，相等时间间隔内的位移不相等，即动能的改变量不相等，故选项D错误。‎ ‎2．(2017·全国卷Ⅰ)发球机从同一高度向正前方依次水平射出两个速度不同的乒乓球(忽略空气的影响)。速度较大的球越过球网，速度较小的球没有越过球网。其原因是(　　)‎ A．速度较小的球下降相同距离所用的时间较多 B．速度较小的球在下降相同距离时在竖直方向上的速度较大 C．速度较大的球通过同一水平距离所用的时间较少 D．速度较大的球在相同时间间隔内下降的距离较大 解析：选C　发球机从同一高度水平射出两个速度不同的乒乓球，根据平抛运动规律，竖直方向上，h＝gt2，可知两球下落相同距离h所用的时间是相同的，选项A错误。由vy2＝2gh可知，两球下落相同距离h时在竖直方向上的速度vy相同，选项B错误。由平抛运动规律，水平方向上，x＝vt，可知速度较大的球通过同一水平距离所用的时间t较少，选项C正确。由于做平抛运动的球在竖直方向的运动为自由落体运动，两球在相同时间间隔内下降的距离相同，选项D错误。‎ ‎3.(2018·抚顺一模)如图所示，离地面高h处有甲、乙两个物体，甲以初速度v0水平射出，同时乙以初速度v0沿倾角为45°的光滑斜面滑下。若甲、乙同时到达地面，则v0的大小是(　　)‎ A.　　　　　　　　　 B. C. D．2 解析：选A　甲做平抛运动，水平方向做匀速运动，竖直方向做自由落体运动，根据h＝gt2，‎ 得：t＝ 　①‎ 根据几何关系可知：x乙＝h　②‎ 乙做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律可知：‎ a＝＝＝g　③‎ 根据位移时间公式可知：‎ x乙＝v0t＋at2　④‎ 由①②③④式得：‎ v0＝，‎ 所以A正确。‎ 突破点(二)　多体平抛问题 ‎[题点全练]‎ ‎1．(2017·江苏高考)如图所示，A、B两小球从相同高度同时水平抛出，经过时间t在空中相遇。若两球的抛出速度都变为原来的2倍，则两球从抛出到相遇经过的时间为(　　)‎ A．t　　　　　　　　　　 B.t C. D. 解析：选C　设两球间的水平距离为L，第一次抛出的速度分别为v1、v2，由于小球抛出后在水平方向上做匀速直线运动，则从抛出到相遇经过的时间t＝，若两球的抛出速度都变为原来的2倍，则从抛出到相遇经过的时间为t′＝＝，C项正确。‎ ‎2.(2018·揭阳检测)如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，|AB|＝2|AD|＝2|AA1|，将可视为质点的小球从顶点A在∠BAD所在范围内(包括边界)分别沿不同方向水平抛出，落点都在A1B1C1D1范围内(包括边界)。不计空气阻力，以A1B1C1D1所在水平面为重力势能参考平面，则小球(　　)‎ A．抛出速度最大时落在B1点 B．抛出速度最小时落在D1点 C．从抛出到落在B1D1线段上任何一点所需的时间都相等 D．落在B1D1中点时的机械能与落在D1点时的机械能相等 解析：选C　由于小球抛出时离地高度相等，故各小球在空中运动的时间相等，则可知水平位移越大，抛出时的速度越大，故落在C1点的小球抛出速度最大，落点靠近A1点的小球速度最小，故A、B错误，C正确；由题图可知，落在B1D1中点和落在D1点的水平位移不同，所以两种情况中对应的水平速度不同，则可知它们在最高点时的机械能不相同，因下落过程机械能守恒，故落地时的机械能也不相同，故D错误。‎ ‎3.[多选]如图所示，A、B两点在同一条竖直线上，A点离地面的高度为2.5h，B点离地面高度为2h。将两个小球分别从A、B两点水平抛出，它们在P点相遇，P点离地面的高度为h。已知重力加速度为g，则(　　 )‎ A．两个小球一定同时抛出 B．两个小球抛出的时间间隔为(－) C．小球A、B抛出的初速度之比＝ D．小球A、B抛出的初速度之比＝ 解析：选BD　平抛运动在竖直方向上做自由落体运动，由H＝gt2，得t＝ ，由于A到P的竖直高度较大，所以从A点抛出的小球运动时间较长，应先抛出，故A错误；由t＝ ，得两个小球抛出的时间间隔为Δt＝tA－tB＝－ ＝(－) ，故B正确；由x＝v0t得v0＝x ，x相等，则小球A、B抛出的初速度之比 ＝ ＝ ＝ ，故C错误，D正确。‎ ‎[题后悟通]‎ 对多体平抛问题的四点提醒 ‎(1)两条平抛运动轨迹的交点是两物体的必经之处，两物体要在此处相遇，必须同时到达此处。即轨迹相交是物体相遇的必要条件。‎ ‎(2)若两物体同时从同一高度抛出，则两物体始终处在同一高度。‎ ‎(3)若两物体同时从不同高度抛出，则两物体高度差始终与抛出点高度差相同。‎ ‎(4)若两物体从同一高度先后抛出，则两物体高度差随时间均匀增大。‎ 突破点(三)　平抛运动问题的5种解法 平抛运动是较为复杂的匀变速曲线运动，求解此类问题的基本方法是：将平抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。高考对平抛运动的考查往往将平抛运动置于实际情景或物理模型中，而在这些情景中求解平抛运动问题时只会运动分解的基本方法往往找不到解题突破口，这时根据平抛运动特点，结合试题情景和所求解的问题，再佐以假设法、对称法、等效法等，能使问题迎刃而解。‎ 对于一个做平抛运动的物体来说，若知道了某时刻的速度方向，可以从分解速度的角度来研究：tan θ＝＝(θ为t时刻速度与水平方向间夹角)，从而得出初速度v0、时间t、夹角θ之间的关系，进而求解具体问题。　‎ ‎[例1]　(2018·商丘一中押题卷)如图所示，一小球从一半圆轨道左端A点正上方某处开始做平抛运动(小球可视为质点)，飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点。O为半圆轨道圆心，半圆轨道半径为R，OB与水平方向夹角为60°，重力加速度为g，则小球抛出时的初速度为(　　)‎ A. 　　　　　　　 B. C. D. ‎[解析]　飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点，则知速度与水平方向的夹角为30°，则有：vy＝v0tan 30°，‎ 又vy＝gt，则得：v0tan 30°＝gt，t＝①‎ 水平方向上小球做匀速直线运动，则有：‎ R＋Rcos 60°＝v0t②‎ 联立①②解得：v0＝ 。‎ ‎[答案]　B 对于一个做平抛运动的物体来讲，若知道某一时刻物体的位移方向，则可将位移分解到水平方向和竖直方向，然后利用tan α＝(α为t时刻位移与水平方向间夹角)，确定初速度v0、运动时间t和夹角α间的大小关系。　　‎ ‎[例2]　如图所示，两小球a、b从直角三角形斜面的顶端以相同大小的水平速度v0向左、向右水平抛出，分别落在两个斜面上，三角形的两底角分别为30°和60°，则两小球a、b运动时间之比为(　　 )‎ A．1∶　　　　　　　　　　 B．1∶3‎ C.∶1 D．3∶1‎ ‎[解析]　设a、b两球运动的时间分别为ta和tb，则tan 30°＝＝，tan 60°＝＝，两式相除得：＝＝。‎ ‎[答案]　B 对于平抛运动，运动时间由下落高度决定，水平位移由下落高度和初速度决定，所以当下落高度相同时，水平位移与初速度成正比。但有时下落高度不同，水平位移就很难比较，这时可以采用假设法，例如移动水平地面使其下落高度相同，从而作出判断。‎ ‎ [例3]　斜面上有a、b、c、d四个点，如图所示，ab＝bc＝cd，从a点正上方的O点以速度v水平抛出一个小球，它落在斜面上b点，若小球从O点以速度2v水平抛出，不计空气阻力，则它落在斜面上的(　　)‎ A．b与c之间某一点 B．c点 C．c与d之间某一点 D．d点 ‎[解析]　假设斜面是一层很薄的纸，小球落上就可穿透且不损失能量，过b点作水平线交Oa于a′，由于小球从O点以速度v水平抛出时，落在斜面上b点，则小球从O点以速度2v水平抛出，穿透斜面后应落在水平线a′b延长线上的c′点，如图所示，因ab＝bc，则a′b＝bc′，即c′点在c点的正下方，显然，小球轨迹交于斜面上b与c之间。所以，本题答案应选A。‎ ‎[答案]　A 推论Ⅰ：做平抛运动的物体在任一时刻或任一位置时，设其速度方向与水平方向的夹角为α，位移与水平方向的夹角为β，则tan α＝2tan β。‎ 推论Ⅱ：做平抛运动的物体，任意时刻速度方向的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。‎ 推论Ⅲ：物体落回斜面的平抛运动中，物体在不同落点的速度方向与斜面的夹角相等。　‎ ‎[例4]　如图所示，从倾角为θ且足够长的斜面的顶点A，先后将同一小球以不同的初速度水平向右抛出，第一次初速度为v1，小球落到斜面上前一瞬间的速度方向与斜面的夹角为φ1，第二次初速度为v2，小球落在斜面上前一瞬间的速度方向与斜面间的夹角为φ2，若v2>v1，则φ1和φ2的大小关系是(　　)‎ A．φ1>φ2 B．φ1<φ2‎ C．φ1＝φ2 D．无法确定 ‎[解析]　根据平抛运动的推论，做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻或任一位置时，设其速度方向与水平方向的夹角为α，位移与水平方向的夹角为β，则tan α＝2tan β。由上述关系式结合题图中的几何关系可得：tan(φ＋θ)＝2tan θ，此式表明小球的速度方向与斜面间的夹角φ仅与θ有关，而与初速度无关，因此φ1＝φ2，即以不同初速度平抛的物体，落在斜面上各点的速度方向是互相平行的。故C正确。‎ ‎[答案]　C 当物体受到与初速度垂直的恒定的合外力时，其运动规律与平抛运动类似，简称类平抛运动。类平抛运动的求解方法是：将运动分解为初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即合外力方向)的匀加速直线运动，求出等效加速度，再利用求解平抛运动的方法求解相关问题。　‎ ‎ ‎ ‎[例5]　(2018·河北正定中学月考)风洞实验室能产生大小和方向均可改变的风力。如图所示，在风洞实验室中有足够大的光滑水平面，在水平面上建立xOy直角坐标系。质量m＝0.5 kg的小球以初速度v0＝0.40 m/s从O点沿x轴正方向运动，在0～2.0 s内受到一个沿y轴正方向、大小F1＝0.20 N的风力作用；小球运动2.0 s后风力方向变为沿y轴负方向、大小变为F2＝0.10 N(图中未画出)。试求：　‎ ‎(1)2.0 s末小球在y轴方向的速度大小和2.0 s内运动的位移大小；‎ ‎(2)风力F2作用多长时间，小球的速度变为与初速度相同。‎ ‎[解析]　(1)设在0～2.0 s内小球运动的加速度为a1，‎ 则F1＝ma1‎ ‎2．0 s末小球在y轴方向的速度v1＝a1t1‎ 代入数据解得v1＝0.8 m/s 沿x轴方向运动的位移x1＝v0t1‎ 沿y轴方向运动的位移y1＝a1t12‎ ‎2．0 s内运动的位移s1＝ 代入数据解得s1＝0.8 m≈1.1 m。‎ ‎(2)设2.0 s后小球运动的加速度为a2，F2的作用时间为t2时小球的速度变为与初速度相同，则F2＝ma2‎ ‎0＝v1－a2t2‎ 代入数据解得t2＝4.0 s。‎ ‎[答案]　(1)0.8 m/s　1.1 m　(2)4.0 s STS问题——练迁移思维 体育运动中的平抛运动问题 ‎(一)乒乓球的平抛运动问题 ‎1．[多选](2018·大连重点中学联考)在某次乒乓球比赛中，乒乓球先后两次落台后恰好在等高处水平越过球网，过网时的速度方向均垂直于球网，把两次落台的乒乓球看成完全相同的球1和球2，如图所示，不计乒乓球的旋转和空气阻力，乒乓球自起跳到最高点的过程中，下列说法正确的是(　　)‎ A．起跳时，球1的重力功率等于球2的重力功率 B．球1的速度变化率小于球2的速度变化率 C．球1的飞行时间大于球2的飞行时间 D．过网时球1的速度大于球2的速度 解析：选AD　乒乓球起跳后到最高点的过程，其逆过程可看成平抛运动。重力的瞬时功率等于重力乘以竖直方向的速度，两球起跳后能到达的最大高度相同，由v2＝2gh得，起跳时竖直方向分速度大小相等，所以两球起跳时重力功率大小相等，A正确；速度变化率即加速度，两球在空中的加速度都等于重力加速度，所以两球的速度变化率相同，B错误；由h＝gt2可得两球飞行时间相同，C错误；由x＝vt可知，球1的水平位移较大，运动时间相同，则球1的水平速度较大，D正确。‎ ‎(二)足球的平抛运动问题 ‎2.(2015·浙江高考)如图所示为足球球门，球门宽为L。一个球员在球门中心正前方距离球门s处高高跃起，将足球顶入球门的左下方死角(图中P点)。球员顶球点的高度为h。足球做平抛运动(足球可看成质点，忽略空气阻力)，则(　　)‎ A．足球位移的大小x＝ B．足球初速度的大小v0＝ C．足球末速度的大小v＝ D．足球初速度的方向与球门线夹角的正切值tan θ＝ 解析：选B　根据几何关系可知，足球做平抛运动的竖直高度为h，水平位移为x水平＝ ，则足球位移的大小为：x＝ ＝ ，选项A错误；由h＝gt2，x水平＝v0t，可得足球的初速度为v0＝ ，选项B正确；对足球应用动能定理：mgh＝mv2－mv02，可得足球末速度v＝ ＝ ，选项C错误；初速度方向与球门线夹角的正切值为tan θ＝，选项D错误。‎ ‎(三)网球的平抛运动问题 ‎3.(2018·沈阳模拟)一位网球运动员以拍击球，使网球沿水平方向飞出，第一只球落在自己一方场地的B点，弹跳起来后，刚好擦网而过，落在对方场地的A点处，如图所示，第二只球直接擦网而过，也落在A点处，设球与地面的碰撞过程没有能量损失，且运动过程不计空气阻力，则两只球飞过球网C处时水平速度之比为(　　)‎ A．1∶1　　　B．1∶3　　　C．3∶1　　　D．1∶9‎ 解析：选B　由平抛运动的规律可知，两球分别被击出至各自第一次落地的时间是相等的。由于球与地面的碰撞没有能量损失，设第一只球自击出到落到A点时间为t1，第二只球自击出到落到A点时间为t2，则t1＝3t2。‎ 由于两球在水平方向均为匀速运动，水平位移大小相等，设它们从O点出发时的初速度分别为v1、v2，‎ 由x＝v0t得：v2＝3v1，‎ 所以有＝，所以两只球飞过球网C处时水平速度之比为1∶3，故B正确。‎ ‎(四)排球的平抛运动问题 ‎4.(2018·盘锦模拟)如图所示是排球场的场地示意图，设排球场的总长为L，前场区的长度为，网高为h，在排球比赛中，对运动员的弹跳水平要求很高。如果运动员的弹跳水平不高，运动员的击球点的高度小于某个临界值H ‎，那么无论水平击球的速度多大，排球不是触网就是越界。设某一次运动员站在前场区和后场区的交界处，正对网前竖直跳起垂直网将排球水平击出，关于该种情况下临界值H的大小，下列关系式正确的是(　　)‎ A．H＝h　　　　　　 B．H＝ C．H＝h D．H＝h 解析：选C　将排球水平击出后排球做平抛运动，排球刚好触网到达底线时，有：‎ H－h＝gt12，H＝gt22‎ ＝v0t1，＋＝v0t2‎ 联立解得H＝h 故C正确。‎ ‎ 在解决体育运动中的平抛运动问题时，既要考虑研究平抛运动的思路和方法，又要考虑所涉及的体育运动设施的特点，如乒乓球、排球、网球等都有中间网及边界问题，要求球既能过网，又不出边界；足球的球门有固定的高度和宽度。‎ ‎(一)普通高中适用作业 ‎[A级——基础小题练熟练快]‎ ‎★1.(2016·江苏高考)有A、B两小球，B的质量为A的两倍。现将它们以相同速率沿同一方向抛出，不计空气阻力。图中①为A的运动轨迹，则B的运动轨迹是(　　)‎ A．①　　　　　　　　　　 B．②‎ C．③ D．④‎ 解析：选A　不计空气阻力的情况下，两球沿同一方向以相同速率抛出，其运动轨迹是相同的，选项A正确。‎ ‎★2.如图所示，一质点做平抛运动先后经过A、B两点，到达A点时速度方向与竖直方向的夹角为60°，到达B点时速度方向与水平方向的夹角为45°。质点运动到A点与质点运动到B的时间之比是(　　)‎ A. B. C. D．条件不够，无法求出 解析：选B　设初速度大小为v0，将A、B两点的速度分解，在A点：tan(90°－60°)＝＝，‎ 在B点：tan 45°＝＝，‎ 由以上两式可求得：＝＝，故选项B正确。‎ ‎★3.(2018·呼伦贝尔一模)如图所示，在同一平台上的O点水平抛出的三个物体，分别落到a、b、c三点，则三个物体运动的初速度va、vb、vc和运动的时间ta、tb、tc的关系分别是(　　)‎ A．va>vb>vc　ta>tb>tc　　 B．vatb>tc D．va>vb>vc　tahb>hc，根据h＝gt2，知ta>tb>tc，根据xaF3　　　　　　　 B．a1＝a2＝g>a3‎ C．v1＝v2＝v>v3 D．ω1＝ω3<ω2‎ 解析：选D　根据题意，研究对象三者质量相等，轨道半径r1＝r2T2，再根据ω＝，有ω1＝ω3<ω2，故D正确。‎ ‎★13.(2018·德阳一诊)2016年10月17日发射的“神舟十一号”飞船于10月19日与“天宫二号”顺利实现了对接。在对接过程中，“神舟十一号”与“天宫二号”的相对速度非常小，可以认为具有相同速率。它们的运动可以看作是绕地球的匀速圆周运动，设“神舟十一号”的质量为m，对接处距离地球表面高度为h，地球的半径为r，地球表面处的重力加速度为g，不考虑地球自转的影响，“神舟十一号”在对接时，下列结果正确的是(　　)‎ A．对地球的引力大小为mg B．向心加速度为g C．周期为 D．动能为 解析：选C　“神舟十一号”在对接处的重力加速度小于地球表面的重力加速度，对地球的引力小于mg，故A错误；在地球表面重力等于万有引力，有G＝mg，‎ 解得：GM＝gr2①‎ 对接时，万有引力提供向心力，有G＝ma②‎ 联立①②式得：a＝g，故B错误；‎ 根据万有引力提供向心力，有G＝m(r＋h)③‎ 联立①③得T＝，故C正确；‎ 根据万有引力提供向心力，G＝m④‎ 动能Ek＝mv2＝＝，故D错误。‎ ‎★14.(2018·鹰潭一模)我国首颗量子科学实验卫星于2016年8月16日1点40分成功发射。量子卫星成功运行后，我国将在世界上首次实现卫星和地面之间的量子通信，构建天地一体化的量子保密通信与科学实验体系。假设量子卫星轨道在赤道平面，如图所示。已知量子卫星的轨道半径是地球半径的m倍，同步卫星的轨道半径是地球半径的n倍，图中P点是地球赤道上一点，由此可知(　　)‎ A．同步卫星与量子卫星的运行周期之比为 B．同步卫星与P点的速度之比为 C．量子卫星与同步卫星的速度之比为 D．量子卫星与P点的速度之比为 解析：选D　由开普勒第三定律得＝，又由题意知r量＝mR，r同＝nR，所以＝ ＝ ＝ ，故A错误；P为地球赤道上一点，P点角速度等于同步卫星的角速度，根据v＝ωr，所以有＝＝＝，故B错误；根据G＝m，得v＝，所以＝ ＝ ＝，故C错误；综合B、C，有v同＝nvP，＝ ， 得＝ ，故D正确。‎ ‎★15．(2018·河北定州中学模底)双星系统中两个星球A、B的质量都是m，相距L，它们正围绕两者连线上某一点做匀速圆周运动。实际观测该系统的周期T要小于按照力学理论计算出的周期理论值T0，且＝k(k＜1)，于是有人猜测这可能是受到了一颗未发现的星球C的影响，并认为C位于A、B的连线正中间，相对A、B静止，则A、B组成的双星系统周期理论值T0及C的质量分别为(　　)‎ A．2π ，m　　　　 B．2π ，m C．2π ，m D．2π ，m 解析：选D　由题意知，A、B的运动周期相同，设轨道半径分别为r1、r2，对A有，＝m2r1，对B有，＝m2r2，且r1＋r2＝L，解得T0＝2π ；有C存在时，设C的质量为M，A、B与C之间的距离r1′＝r2′＝，则＋＝m2r1′，＋‎ ＝m2r2′，解得T＝2π ，＝ ＝k，得M＝m。故D正确。‎