【物理】2018届一轮复习人教版运动的图象追及和相遇问题学案 14页

第3讲　运动的图象　追及和相遇问题 知|识|梳|理 微知识❶ 直线运动的图象 ‎1．直线运动的x － t图象 ‎(1)物理意义：反映了物体做直线运动的位移随时间变化的规律。‎ ‎(2)斜率的意义：图线上某点切线斜率的大小表示物体速度的大小，斜率正负表示物体速度的方向。‎ ‎2．直线运动的v － t图象 ‎(1)物理意义：反映了做直线运动的物体的速度随时间变化的规律。‎ ‎(2)斜率的意义：图线上某点切线斜率的大小表示物体加速度的大小，斜率正负表示物体加速度的方向。‎ ‎(3)“面积”的意义 ‎①图线与时间轴围成的面积表示相应时间内的位移。‎ ‎②若面积在时间轴的上方，表示位移方向为正方向；若面积在时间轴的下方，表示位移方向为负方向。‎ 微知识❷ 追及和相遇问题 ‎1．追及问题的两类情况 ‎(1)若后者能追上前者，追上时，两者处于同一位置，且后者速度一定不小于前者速度。‎ ‎(2)若后者追不上前者，则当后者速度与前者速度相等时，两者相距最近。‎ ‎2．相遇问题 相向运动的物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体间的距离时即相遇。‎ 基|础|诊|断 一、思维诊断 ‎1．无论是x－t图象还是v－t图象都只能描述直线运动(√)‎ ‎2．x－t图象表示物体的运动轨迹，v－t图象不能表示物体的运动轨迹(×)‎ ‎3．同一坐标系中的两条v－t图线的交点表示两物体相遇 (×)‎ ‎4．两物体同向运动恰好不相碰，则两物体相遇时速度相等(√)‎ ‎5．两个物体在追及过程中，物体之间的距离总是逐渐减小(×)‎ 二、对点微练 ‎1．(x－t图象)(2017·定州模拟)如图所示是A、B两质点从同一地点运动的x－t图象，则下列说法不正确的是(　　)‎ A．A质点以‎20 m/s的速度匀速运动 B．B质点先沿正方向做直线运动，后沿负方向做直线运动 C．B质点最初4 s做加速运动，后4 s做减速运动 D．A、B两质点在4 s末相遇 解析　x－t图象中，图线的斜率表示速度大小，A图象的斜率等于‎20 m/s，则A质点以‎20 m/s的速度匀速运动，故A正确；B质点图象的斜率先正后负，说明B质点先沿正方向做直线运动，后沿负方向做直线运动，故B正确；由图象斜率可知，B质点最初4 s内做减速运动，后4 s做加速运动，故C错误；4 s末两图线相交，说明两个质点同时到达同一位置，即相遇，故D正确。综上所述，应选择C。‎ 答案　C ‎2. (v－t图象)(多选)质点做直线运动的v－t图象如图所示，则　　　(　　)‎ A．在前3 s内质点做变速直线运动 B．在1～3 s内质点做加速度a＝－‎2 m/s2的变速直线运动 C．在2～3 s内质点的运动方向与规定的正方向相反，加速度方向与1～2 s内的加速度方向相同 D．在3 s末时刻质点回到出发点 解析　由题图可知，质点在第1 s内做速度v0＝‎‎2 m ‎/s的匀速直线运动，选项A错误；在1～3 s内质点做匀变速直线运动，加速度a＝＝－‎2 m/s2，加速度的方向与初速度v0的方向相反，故选项B正确；在2～3 s内，速度为负值，说明与规定的正方向相反，但加速度与1～2 s内的完全相同，因为图线的斜率没有发生变化，故选项C正确。根据速度图象面积表示位移可知，在3 s时刻质点没有回到出发点，选项D错误。‎ 答案　BC ‎3．(追及和相遇问题)如图所示，在光滑的水平地面上， 相距L＝‎10 m的A、B两个小球均以速度v0＝‎10 m/s向右匀速运动，随后两球相继滑上倾角为30°的足够长的光滑斜坡，地面与斜坡平滑连接，取g＝‎10 m/s2。求： ‎ ‎(1)B球刚要滑上斜坡时A、B两球间的距离是多少；‎ ‎(2)A球滑上斜坡后经过多长时间两球相遇。‎ 解析　(1)设A球滑上斜坡后经过时间t1B球再滑上斜坡，则有 t1＝＝1 s A球滑上斜坡后加速度大小a＝gsinθ＝‎5 m/s2，A球向上运动的位移x＝v0t1－at＝‎7.5 m。‎ ‎(2)B球刚要滑上斜坡时A球的速度 v1＝v0－at1＝‎5 m/s，‎ B球滑上斜坡时加速度与A相同，以A为参考系，B相对于A以v＝v0－v1＝‎5 m/s做匀速运动，设再经过时间t2两者相遇，有 t2＝＝1.5 s 则A球滑上斜坡后两球相遇时间 t＝t1＋t2＝2.5 s。‎ 答案　(1)‎7.5 m　(2)2.5 s 核心微讲 ‎1．应用运动图象要注意三点 ‎(1)无论是x－t图象还是v－t图象都只能描述直线运动。‎ ‎(2)x－t图象和v－t图象都不表示物体运动的轨迹。‎ ‎(3)x－t图象和v－t图象的形状由x与t、v与t的函数关系决定。‎ ‎2．应用运动图象解题要“六看”‎ x－t图象 v－t图象 轴 横轴为时间t，纵轴为位移x 横轴为时间t，纵轴为速度v 线 倾斜直线表示匀速直线运动 倾斜直线表示匀变速直线运动 斜率 表示速度 表示加速度 面积 无实际意义 图线和时间轴围成的面积表示位移 纵截距 表示初位置 表示初速度 特殊点 拐点表示从一种运动变为另一种运动，交点表示相遇 拐点表示从一种运动变为另一种运动，交点表示速度相等 题组突破 ‎1－1.图示是一做匀变速直线运动的质点的位置—时间图象(x－t图象)，P(t1，x1)为图线上一点。PQ为过P点的切线，与x轴交于Q(0，x2)。则下列说法正确的是(　　)‎ A．t1时刻，质点的速率为 B．t1时刻，质点的速率为 C．质点的加速度为 D．0～t1时间内，质点的平均速度大小为 解析　根据位移图象的斜率表示速度可知，t1时刻，质点的速率为，选项B正确，选项A错误。由于质点不是做匀加速直线运动，所以质点的加速度不是，选项C错误。0～t1时间内，质点的位移为x1，平均速度大小为，选项D错误。‎ 答案　B ‎1－2.甲、乙两物体从同一位置沿同一直线运动，它们的v－t图象如图所示，下列说法正确的是(　　)‎ A．乙物体先向负方向运动，t1时刻以后反向向正方向运动 B．t2时刻，乙物体追上甲 C．t1时刻，两者相距最远 D．0～t2时间内，乙的速度和加速度都是先减小后增大 解析　乙物体的速度一直都是正值，说明乙物体一直沿正方向运动，选项A错误。根据速度图象面积表示位移可知，t2时刻，甲物体位移大于乙物体，乙物体没有追上甲，选项B错误。t2时刻，在甲后面的乙速度增大到等于甲物体的速度，以后乙物体速度将大于甲物体，此时两者相距最远，选项C错误。0～t2时间内，乙的速度和加速度都是先减小后增大，选项D正确。‎ 答案　D ‎1－3.一物体由静止开始沿直线运动，其加速度随时间变化的规律如图所示。取物体开始运动的方向为正方向，则下列关于物体运动的描述正确的是(　　)‎ A．在1～2 s时间内，物体做减速运动 B．在t＝2 s时物体的速度最大，最大值为‎3 m/s C．在1～3 s时间内，物体做匀变速直线运动 D．在0～4 s时间内，物体先沿正方向运动，后沿负方向运动 解析　在0～2 s时间内物体加速度为正，沿正方向做加速运动，在2～4 s时间内加速度为负，物体沿正方向做减速运动，选项A、D错误；在1～3 s时间内物体做加速度先减小后反向增大的变加速运动，选项C错误；a－t图象与横轴所围面积为速度变化量，t＝2 s时加速度反向，故t＝2 s时物体的速度最大，为‎3 m/s，选项B正确。‎ 答案　B ‎(1)不同的图象，其斜率、“面积”的含义不同，例如在x－t图象中斜率表示速度，在v－t图象中斜率表示加速度。‎ ‎(2)速度图象中，图线斜率为正，物体不一定做加速运动，图线斜率为负，物体也不一定做减速运动。‎ 核心微讲 ‎1．讨论追及、相遇的问题，其实质就是分析讨论两物体在同一时刻能否到达相同的空间位置问题 ‎(1)两个关系：即时间关系和位移关系。‎ ‎(2)一个条件：即两者速度相等，它往往是物体间能追上、追不上或(两者)距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。‎ ‎2．常见的情况 ‎(1)物体A追上物体B：开始时，两个物体相距x0，则A追上B时，必有xA－xB＝x0，且vA≥vB。‎ ‎(2)物体A追赶物体B：开始时，两个物体相距x0，要使两物体恰好不相撞，必有xA－xB＝x0，且vA＝vB。‎ ‎3．解题思路和方法 典例微探 ‎【例】　(2017·济南模拟)汽车A正在公路上以‎20 m/s的速度匀速行驶，因疲劳驾驶司机注意力不集中，当司机发现正前方有一辆静止的轿车B时，两车距离仅有‎75 m。‎ ‎(1)若此时B车立即以‎2 m/s2的加速度启动，通过计算判断：如果A车司机没有刹车，是否会撞上B车，若不相撞，求两车相距最近时的距离；若相撞，求出从A车发现B车开始到撞上B车的时间。‎ ‎(2)若A车司机发现B车，立即刹车(不计反应时间)做匀减速直线运动，加速度大小为‎2 m/s2(两车均视为质点)，为避免碰撞，在A车刹车的同时，B车立即做匀加速直线运动(不计反应时间)，问：B车加速度aB至少多大才能避免事故。(假设两车始终在同一条直线上运动)‎ 解题导思：‎ ‎(1)在(1)问中若B车速度增大到与A车速度相等时，A车还没有追上B车，以后两者还能相撞吗？‎ 答：不能，因为之后B车的速度会大于A车的速度，相同时间内的位移要比A车的大。‎ ‎(2)有同学对追及和相遇问题的解法做了如下的总结：在追及和相遇问题中，以时间为变量列出位移的关系，大部分问题能得到很好的解决。你同意他的说法吗？‎ 答：同意，总结的非常好，多数追及和相遇的问题(不管它们的运动性质如何)，以时间为变量寻找位移的关系，列出等式即能解决问题。‎ 解析　(1)当两车速度相等时，AB两车到达同一个位置，设经过的时间为t 则：vA＝vB 对B车　vB＝at 联立可得：t＝10 s A车的位移xA＝vAt＝‎‎200 m B车的位移xB＝at2＝‎‎100 m 又xB ＋ x0 ＝ ‎175 m < xA ‎ 所以会撞上。‎ 设经过时间t相撞，有：‎ vAt＝x0＋at2‎ 代入数据解得：‎ t1＝5 s，t2＝15 s(舍去)‎ ‎(2)设B车的加速度为aB，B车运动经过时间t，两车相遇时，两车速度相等，则vA＝v0－aAt，‎ vB＝aBt，且vA＝vB，在时间t内A车的位移 xA＝v0t－aAt2‎ B车的位移xB＝aBt2，‎ 又xB＋x0＝xA，联立可得 aB＝ m/s2＝‎0.67 m/s2‎ 答案　(1)两车会相撞，5 s ‎(2)‎0.67 m/s2‎ 题组微练 ‎2－1.春节放假期间，全国高速公路免费通行，小轿车可以不停车通过收费站，但要求小轿车通过收费站窗口前x0＝‎9 m区间的速度不超过v0＝‎6 m/s。现有甲、乙两小轿车在收费站前平直公路上分别以v甲＝‎20 m/s和v乙＝‎34 m/s的速度匀速行驶，甲车在前，乙车在后，甲车司机发现正前方收费站，开始以大小为a甲＝‎2 m/s2的加速度匀减速刹车。‎ ‎(1)甲车司机需在离收费站窗口至少多远处开始刹车才不违章。‎ ‎(2)若甲车司机经刹车到达离收费站窗口前‎9 m处的速度恰好为‎6 m/s，乙车司机在发现甲车刹车时经t0＝0.5 s的反应时间后开始以大小为a乙＝‎4 m/s2的加速度匀减速刹车，为避免两车相撞，且乙车在收费站窗口前‎9 m区不超速，则在甲车司机开始刹车时，甲、乙两车至少相距多远？‎ 解析　(1)对甲车速度由‎20 m/s减速至‎6 m/s过程中的位移 x1＝＝‎‎91 m x2＝x0＋x1＝‎‎100 m 即甲车司机需在离收费站窗口至少‎100 m处开始刹车。‎ ‎(2)设甲刹车后经时间t，甲、乙两车速度相同，由运动学公式得：‎ v乙－a乙(t－t0)＝v甲－a甲t 解得t＝8 s 相同速度v＝v甲－a甲t＝‎4 m/s<‎6 m/s，即v＝‎6 m/s的共同速度为不相撞的临界条件 乙车从‎34 m/s减速至‎6 m/s的过程中的位移为x3＝v乙t0＋＝‎‎157 m 所以要满足条件甲、乙的距离至少为 x＝x3－x1＝‎66 m。‎ 答案　(1)‎100 m　(2)‎‎66 m ‎2－2.(2017·湖北联考)滑雪度假村某段雪地赛道可等效为长L＝‎36 m，倾角为θ＝37°的斜坡。已知滑道的积雪与不同滑板之间的动摩擦因数不同，现假定甲先滑下时滑板与赛道的动摩擦因数μ1＝0.5，乙后滑下时滑板与赛道的动摩擦因数为μ2＝0.25，g取‎10 m/s2。已知甲和乙均可看做质点，且滑行方向平行，相遇时不会相撞。求：‎ ‎(1)甲从坡顶由静止自由滑下时到达坡底的速度大小；‎ ‎(2)若乙比甲晚出发Δt＝1 s，为追上甲，有人从后面给乙一个瞬时作用使乙获得初速度v0＝‎1 m/s，通过计算分析乙能否在甲到达坡底前追上甲；若能追上求出两者在追上前相距的最远距离，若不能追上求出两者到达坡底的时间差。‎ 解析　(1)对甲的运动，由牛顿运动定律：‎ m1gsinθ－μ‎1m1gcosθ＝m‎1a甲 解得：a甲＝‎2 m/s2。‎ 由‎2a甲L＝v，得：v1＝‎12 m/s。‎ ‎(2)甲到达坡底的时间t甲＝＝6 s。‎ 对乙的运动，由牛顿运动定律：‎ m2gsinθ－μ‎2m2‎gcosθ＝m‎2a乙 解得：a乙＝‎4 m/s2。‎ 设乙到达坡底时间为t乙，‎ 由L＝v0t乙＋a乙t，得t乙＝4 s。‎ t乙＋Δt