【物理】2020届一轮复习人教版 圆周运动 学案 16页

第 3 节　圆周运动 考点1?　匀速圆周运动的运动学问题 夯实基础　 1．匀速圆周运动 (1)定义：做圆周运动的物体，若在相等的时间内通过的圆弧长__相等__，就是匀速圆周运动． (2)特点：加速度大小__不变__，方向始终指向__圆心__，是变加速运动． (3)条件：合外力大小__不变__、方向始终与__线速度__方向垂直且指向圆心． 2．描述圆周运动的物理量 常用的有：线速度、角速度、周期、转速、频率、向心加速度等．它们的比较见下表： 定义、意义 公式、单位 线 速 度 1.描述做圆周运动的物体运动__快 慢__的物理量(v) 2．是矢量，方向和半径垂直，和圆 周上__每点切线方向相同__ 1.v＝ Δl Δt＝ 2πr T 2．单位：m/s 角 速 度 1.描述物体绕圆心__运动快慢__的 物理量(ω) 2．是矢量，在中学阶段不研究其方 向 1.ω＝ Δθ Δt ＝__ 2π T __ 2．单位：rad/s 周期和频率 1.周期是物体沿圆周运动__一周__ 的时间(T) 2．频率是物体单位时间转过的__圈 数__(f) 1.T＝ 2πr v ；单位：s 2．f＝ 1 T；单位：Hz 向心加速度 1.描述线速度__方向__变化快慢的 物理量(a) 2．方向__指向圆心__ 1.a＝ v2 r ＝rω2 2．单位：m/s2 公式 相互 1.v＝rω 关系 2．a＝ v2 r ＝rω2＝ωv＝ 4π2r T2 3.对公式 v＝rω和 a＝ v2 r ＝rω2 的理解 (1)v＝rω{r一定时v与ω成正比 ω一定时v与r成正比 v一定时ω与r成反比 (2)a＝ v2 r ＝rω2{v一定时a与r成反比 ω一定时a与r成正比 4．几种常见的传动装置 (1)传动装置的分类 主要有四种：①共轴传动(图甲)；②皮带传动(图乙)；③齿轮传动(图丙)；④摩擦传动(图丁)． (2)传动装置的特点 传动问题包括皮带传动(链条传动、齿轮传动、摩擦传动)和同轴传动两类，其中运动学物理量遵循下 列规律． ①共轴转动的轮子或同一轮子上的各点的角速度大小__相等__． ②皮带传动的两轮，皮带不打滑时，皮带接触处的线速度大小__相等__．链条传动、摩擦传动也一样 ． ③齿轮的齿数与半径成正比，即周长＝齿数×齿间距(大小齿轮的齿间距相等)． ④在齿轮传动中，大、小齿轮的转速跟它们的齿数成__反比__． 考点突破　　 例 1 自行车运动是治疗帕金森病有效、廉价的方法，对提高患者总体健康状况、改善平衡能力和协调 能力，缓解焦虑和抑郁等都有重要作用．图示是某自行车的部分传动装置，其大齿轮、小齿轮、后轮的半 径分别为 R1、R2、R3，A、B、C 分别是三个轮子边缘上的点．当三个轮子在踏板杆的带动下一起转动时， 下列说法中正确的是(　　) A．A、B 两点的角速度大小之比为 1∶1 B．A、C 两点的周期之比为 R1∶R2 C．B、C 两点的向心加速度大小之比为 R22∶R23 D．A、C 两点的向心加速度大小之比为 R22∶(R1R3) 【解析】大齿轮边缘的 A 点和小齿轮边缘上的 B 点线速度的大小相等，根据 v＝ωR 可知 R1ω1＝R2ω2 ，所以 ω1 ω2＝ R2 R1，A 错误；小齿轮边缘的 B 点和后轮边缘的 C 点共轴，所以转动的角速度相等即 ω3＝ω2， 根据 T＝ 2π ω .所以 B 与 C 的周期相等，即 T2＝T3；根据 T＝ 2π ω ，则 A 与 B 的周期之比： T1 T2＝ ω2 ω1＝ R1 R2，所以 A、C 两点的周期之比为 T1 T3＝ R1 R2，B 正确；小齿轮边缘的 B 点和后轮边缘的 C 点共轴，所以转动的角速度相 等，根据 a＝ω2r，可知 B、C 两点的向心速度大小之比为 a2∶a3＝R2∶R3，C 错误；大齿轮边缘的 A 点和 小齿轮边缘上的 B 点线速度的大小相等，根据 a＝ v2 r ，所以 a1∶a2＝R2∶R1.所以 a1 a3＝ a1 R3 R2a2 ＝ R2R2 R1R3＝ R R1R3，D 正 确． 【答案】BD 针对训练　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．如图所示为两级皮带传动装置，转动时皮带均不打滑，中间两个轮子是固定在一起的，轮 1 的半 径和轮 2 的半径相同，轮 3 的半径和轮 4 的半径相同，且为轮 1 和轮 2 半径的一半，则轮 1 边缘的 a 点和 轮 4 边缘的 c 点相比(D) A．线速度之比为 1∶4 B．角速度之比为 4∶1 C．向心加速度之比为 8∶1 D．向心加速度之比为 1∶8 【解析】由题意知 2va＝2v3＝v2＝vc，其中 v2、v3 为轮 2 和轮 3 边缘的线速度，所以 va∶vc＝1∶2，A 错．设轮 4 的半径为 r，则 aa＝ v ra＝ （ vc 2 ）2 2r ＝ v 8r＝ 1 8ac，即 aa∶ac＝1∶8，C 错，D 对. ωa ωc＝ va ra vc rc ＝ va 2r 2va r ＝ 1 4，B 错． 2．如图所示，质量相等的 A、B 两物体随竖直圆筒一起做匀速圆周运动，且与圆筒保持相对静止，下 列说法中正确的是(D) A．线速度 vA>vB B．运动周期 TA>TB C．筒壁对它们的弹力 NA＝NB D．它们受到的摩擦力 fA＝fB 【解析】A 和 B 共轴转动，角速度相等即周期相等，由 v＝rω知，A 转动的半径较小，则 A 的线速度 较小，故 A、B 错误．A 和 B 做圆周运动靠弹力提供向心力，由 N＝mrω2 知，A 的半径小，则 NAmω2r 时，物体将逐渐靠近圆心，做近心运动． 考点突破　　 例 2 如图所示，光滑杆 O′A 的 O′端固定一根劲度系数为 k＝10 N/m，原长为 1 m 的轻弹簧，质量为 m＝1 kg 的小球套在光滑杆上并与弹簧的上端连接，O′O 为过 O 点的竖直轴，杆与水平面间的夹角始终为 θ＝30°，开始杆是静止的，当杆以 O′O 为轴转动时，角速度从零开始缓慢增加，直至弹簧伸长量为 0.5 m，g 取 10 m/s2，下列说法正确的是(　　) A．杆保持静止状态时，弹簧的长度为 0.5 m B．当弹簧恢复原长时，杆转动的角速度为 10 2 rad/s C．当弹簧伸长量为 0.5 m 时，杆转动的角速度为 4 5 3 rad/s D．在此过程中，杆对小球做功为 12.5 J 【解析】当杆静止时，小球受力平衡，根据力的平衡条件可得：mgsin 30°＝kx，代入数据解得：x＝ 0.5 m，所以弹簧的长度为：l1＝l0－x＝0.5 m，故 A 正确；当弹簧恢复原长时，由牛顿第二定律可得：mgtan 30°＝mω21l0cos30°，解得：ω1＝ 2 15 3 rad/s，故 B 错误；当弹簧伸长量为 0.5m 时，小球受力如图示： 水平方向上：F2cos 30°＋Nsin 30°＝mω22(l0＋x)cos 30°，竖直方向上：Ncos 30°＝mg＋F2sin 30°， 弹簧的弹力为：F2＝kx；联立解得：ω2＝ 4 5 3 rad/s，故 C 正确；在此过程中，由动能定理可得：W－mg· 2xsin 30°＝ 1 2m[ω2(l0＋x)cos 30°]2－0，解得：W＝12.5 J，故 D 正确． 【答案】ACD 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 针对训练　 4．(多选)质量为 m 的小球由轻绳 a、b 分别系于一轻质木架上的 A 和 C 点，绳长分别为 la、lb 如图所 示，当轻杆绕轴 BC 以角速度 ω 匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，绳 a 在竖直方向，绳 b 在 水平方向，当小球运动到图示位置时，绳 b 烧断的同时轻杆停止转动，则(BC) A．小球仍在水平面内做匀速圆周运动 B．在绳 b 被烧断瞬间，a 绳中张力突然增大 C．若角速度 ω 较小，小球在垂直于平面 ABC 的竖直平面内摆动 D．绳 b 未被烧断时，绳 a 的拉力大于 mg，绳 b 的拉力为 mω2lb 【解析】根据题意，在绳 b 被烧断之前，小球绕 BC 轴做匀速圆周运动，竖直方向上受力平衡，绳 a 的拉力等于 mg，选项 D 错误；绳 b 被烧断的同时轻杆停止转动，此时小球具有垂直平面 ABC 向外的速度， 小球将在垂直于平面 ABC 的平面内运动，若 ω 较大，则在该平面内做圆周运动，若 ω 较小，则在该平面 内来回摆动，故 C 正确，A 错误；绳 b 烧断瞬间，绳 a 的拉力与重力的合力提供向心力，所以拉力大于物 体的重力，绳 a 中的张力突然变大了，B 正确． 5．(多选)一水平放置的木板上放有砝码，砝码与木板间的摩擦因数为 μ，如果让木板在竖直平面内 做半径为 R 的匀速圆周运动，假如运动中木板始终保持水平，砝码始终没有离开木板，且砝码与木板间的 最大静摩擦力等于滑动摩擦力，那么下列说法正确的是(AC) A．在通过轨道最高点时砝码处于失重状态 B．在经过轨道最低点时砝码所需静摩擦力最大 C．匀速圆周运动的速度不大于 μgR D．在通过轨道最低点时砝码处于失重状态 【解析】在通过轨道最高点时，向心加速度竖直向下，是失重，故 A 正确；木板和砝码在竖直平面内 做匀速圆周运动，则所受合外力提供向心力，砝码受到重力 G，木板支持力 FN 和静摩擦力 Ff，由于重力 G 和支持力 FN 在竖直方向上，因此只有当砝码所需向心力在水平方向上时静摩擦力有最大值，此位置是当木 板和砝码运动到与圆心在同一水平面上时的位置，最大静摩擦力必须大于或等于砝码所需的向心力，即 μFN≥m v2 R ，如图：此时在竖直方向上 FN＝mg，故 v≤ μgR，故 B 错误，C 正确；在最低点，向心加速度 竖直向上，是超重，故 D 错误． 6．如图所示，ABC 为竖直平面内的金属半圆环，AC 连线水平，AB 为固定在 A、B 两点间的直金属棒， 在直棒上和圆环的 BC 部分分别套着两个相同的小环 M、N，现让半圆环绕对称轴以角速度 ω 做匀速转动， 半圆环的半径为 R，小圆环的质量均为 m，棒和半圆环均光滑，已知重力加速度为 g，小环可视为质点， 则 M、N 两环做圆周运动的线速度之比为(A) A. g R2ω4－g2 B. g2－R2ω4 g C. g g2－R2ω4 D. R2ω4－g2 g 【解析】M 环受到重力和杆的支持力，在水平面内做匀速圆周运动，合力的方向沿水平方向，所以：Fn ＝mgtan 45°＝mω·vM 所以：vM＝ g ω　① 同理，N 环受到重力和杆的支持力，在水平面内做匀速圆周运动，合力的方向沿水平方向，设 ON 与竖 直方向之间的夹角为 θ，Fn′＝mgtan θ＝mωvN 所以：vN＝ gtan θ ω 　② 又：Fn′＝mω2r　③ r＝Rsin θ　④ 联立②③④得：vN＝ 1 ω· R2ω4－g2　⑤ 所以： vM vN＝ g R2ω4－g2 故选 A. 考点3?　竖直面内的圆周运动问题　【p67】 夯实基础　 1．解答竖直面内的圆周运动问题，主要运用两个力学观点，抓住一个关键． (1)动力学观点：在最高点和最低点由什么力提供向心力； (2)功能的观点：建立起最高点与最低点的速度关系； (3)抓住一个关键：过最高点的临界条件． 2．竖直面内圆周运动中常见的两种模型 轻绳模型 轻杆模型 常见类型 均是不可受到支撑作用的小 球 均是可以受到支撑作用的小 球 过最高点的临界条件 由 mg＝m v r得 v 临＝ gr 由小球能运动即可得 v 临＝0 讨论分析 (1)过最高点时， v≥ gr， FN＋mg＝m v2 r ， 绳、轨道对球产生弹力 FN (2)当 v＜ gr时，不能过最 高点，在到达最高点前小球已 经脱离了圆轨道 (1)当 v＝0 时，FN＝mg，FN 为 支持力，沿半径背离圆心 (2)当 0＜v＜ gr时，mg－FN ＝m v2 r ，FN 背离圆心，随 v 的 增大而减小 (3)当 v＝ gr时，FN＝0 (4)当 v＞ gr时，FN＋mg＝m v2 r ，FN 指向圆心并随 v 的增大 而增大 在最高点的 FN－v2 图线 取竖直向下为正方向 取竖直向下为正方向 考点突破　　 例 3 如图所示，一个凹形桥模拟器固定在水平地面上，其凹形轨道是半径为 0.4 m 的半圆，且在半圆 最低点装有一个压力传感器(图中未画出)．一质量为 0.4kg 的玩具小车经过凹形轨道最低点时，传感器的 示数为 8 N，则此时小车的速度大小为(取 g＝10 m/s2)(　　) A．2 m/s B．4 m/s C．8 m/s D．16 m/s 【解析】小车经过凹形桥的最低点时，受重力和支持力，沿半径方向的合外力提供向心力，由牛顿第 二定律有：FN－mg＝m v2 R ，由牛顿第三定律得 FN′＝FN，而 FN′即为视重为 8 N，联立得瞬时速度 v＝ （FN－mg）R m ＝2 m/s，故选 A. 【答案】A 针对训练　 7．长度为 L＝0.50 m 的轻质细杆 OA，A 端有一质量为 m＝3.0 kg 的小球，如图所示，小球以 O 点为圆 心，在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时，小球的速率是 v＝2.0 m/s，g 取 10 m/s2，则此时 A 对细杆 的作用力多大？方向怎样？ 【解析】小球运动到最高点时受到重力与轻杆的弹力，假设轻杆的弹力方向向上为 FN， 根据合力提供向心力：mg－FN＝m v2 L ，代入数据解得：FN＝6 N，方向竖直向上 根据牛顿第三定律可知此时 A 对细杆的作用力为 6 N，方向竖直向下 考 点 集 训　【p286】 A 组 1．(多选)如图所示，将物块 P 置于沿逆时针方向转动的水平转盘上，并随转盘一起转动(物块与转盘 间无相对滑动)．图中 c 方向指向圆心，a 方向与 c 方向垂直．下列说法正确的是(BD) A．若物块 P 所受摩擦力方向为 a 方向，转盘一定是匀速转动 B．若物块 P 所受摩擦力方向为 b 方向，转盘一定是加速转动 C．若物块 P 所受摩擦力方向为 c 方向，转盘一定是加速转动 D．若物块 P 所受摩擦力方向为 d 方向，转盘一定是减速转动 【解析】圆盘匀速转动时，重力和支持力平衡，合外力(摩擦力)提供圆周运动向心力，故摩擦力方向 指向圆心 O 点，即 cO 方向，选项 A 错误；当转盘加速转动时，物块 P 做加速圆周运动，不仅有沿 c 方向 指向圆心的向心力，还有沿 a 方向的切向力，使线速度大小增大，两方向的合力即摩擦力可能沿 b 方向， 故 B 正确，C 错误；当转盘减速转动时，物块 P 做减速圆周运动，不仅有沿 c 方向指向圆心的向心力，还 有沿 a 方向相反方向的切向力，使线速度大小减小，两方向的合力即摩擦力可能沿 d 方向，故 D 正确． 2．如图为某中国运动员在短道速滑比赛中勇夺金牌的精彩瞬间，假定此时他正沿圆弧形弯道匀速滑 行，则他(D) A．所受的合力为零，做匀速运动 B．所受的合力恒定，做匀加速运动 C．所受的合力恒定，做变加速运动 D．所受的合力变化，做变加速运动 3．某同学为感受向心力的大小与哪些因素有关，做了一个小实验：绳的一端拴一小球，手牵着在空 中甩动，使小球在水面内做圆周运动(如图所示)，则下列说法正确的是(B) A．保持绳长不变，增大角速度，绳对手的拉力将不变 B．保持绳长不变，增大角速度，绳对手的拉力将增大 C．保持角速度不变，增大绳长，绳对手的拉力将不变 D．保持角速度不变，增大绳长，绳对手的拉力将减小 4．如图所示，火车以一定的速率在半径一定的轨道上转弯时，内外轨道恰好对火车没有侧向作用力， 不考虑摩擦和其他阻力，如果火车转弯的速率增大时(A) A．外侧轨道将受到挤压 B．内侧轨道将受到挤压 C．为了保证轨道没有侧向作用力，可减小内外轨道高度差 D．轨道对火车的作用力和火车自身重力的合力变小 【解析】火车以某一速度 v 通过某弯道时，内、外轨道均不受侧压力作用，其所受的重力和支持力的 合力提供向心力，如图所示： 由图可以得出：F 合＝mgtan θ，合力等于向心力，当 θ 很小时，有 tan θ＝sin θ＝ h L，可得：v＝ ghR L ，由此可知为了保证轨道没有侧向作用力，可增大内外轨道高度差，故 C 错误；火车转弯的速率增 大时，火车所需要的向心力 Fn＝m v2 R 大于火车所受的重力和轨道对火车作用力的合力，火车有离心趋势， 故其外侧车轮轮缘会与铁轨相互挤压，外轨受到侧压力作用，故 A 正确，B、D 错误． 5．如图所示，一个菱形框架绕着过对角线的竖直轴匀速转动，在两条边上各有一个质量相等的小球 套在上面，整个过程小球相对框架没有发生滑动，A 与 B 到轴的距离相等，则下列说法正确的是(D) A．框架对 A 的弹力方向垂直框架向下 B．框架对 B 的弹力方向可能垂直框架向上 C．A 与框架间可能没有摩擦力 D．A、B 所受的合力大小相等 【解析】球在水平面做匀速圆周运动，合外力指向圆心，对 A 进行受力分析可知，A 受重力，当静摩 擦力方向向上时，框架对 A 的弹力方向可能垂直框架向下，也可能垂直框架向上，故 A 错误；球在水平面 做匀速圆周运动，合外力指向圆心，对 B 进行受力分析可知，B 受重力，要使合力水平向右，框架对 B 的 弹力方向一定垂直框架向上，B 说的是可能，故 B 错误；若 A 与框架间没有摩擦力，则 A 只受重力和框架 对 A 的弹力，两个力的合力方向不可能水平向左，指向圆心，故 C 错误；A、B 两球所受的合力提供向心力 ，转动的角速度相等，半径也相等，根据 F＝mω2r，可知，合力大小相等，故 D 正确．故选 D. 6．两根细线上端系在天花板上同一点，下端分别悬挂质量相同的小球在同一水平面内做匀速圆周运 动，相对位置关系如图所示，则两个小球具有的物理量一定相同的是(B) A．向心加速度 B．角速度 C．细线拉力 D．线速度 【解析】对其中一个小球受力分析，如图，受重力，绳子的拉力，由于小球做匀速圆周运动，故合力 提供向心力；将重力与拉力合成，合力指向圆心，由几何关系得细线的拉力为 T＝ mg cos θ，因为外侧球与 竖直方向的夹角大于内侧球与竖直方向的夹角，所以两球受到细线的拉力大小不同，C 错误；合力 F＝mgtan θ，由向心力公式得到，F＝mω2r；设绳子与悬挂点间的高度差为 h，由几何关系得 r＝htan θ；由以上 三式得 ω＝ g h，知角速度相等，B 正确；由于两球的运动半径不同，根据 v＝ωr 和 a＝ω2r 可知线速度 和加速度都不同，A、D 错误． 7．如图所示，在倾角 θ＝30°的光滑斜面上，长为 L 的细线一端固定，另一端连接质量为 m 的小球， 小球在斜面上做圆周运动，A、B 分别是圆周的最高点和最低点，当小球在 A 点的最小速度为 vA 时，它在 B 点对应的速度为 vB，重力加速度为 g，则(D) A．vA＝0，vB＝2 gL B．vA＝ gL，vB＝ 5gL C．vA＝ 2gL 2 ，vB＝ 3 2gL 2 D．vA＝ 2gL 2 ，vB＝ 1 2 10gL 【解析】在 A 点，对小球，临界情况是绳子的拉力为零，小球靠重力沿斜面方向的分力提供向心力， 根据牛顿第二定律得：mgsin θ＝m v L，解得 A 点的最小速度为：vA＝ 2gL 2 ，对 AB 段过程研究，根据动能 定理得：mg·2Lsin θ＝ 1 2mv2B－ 1 2mv2A，解得：vB＝ 1 2 10gL，故 D 正确． 8．如图所示，在光滑水平桌面上有一光滑小孔 O，一根轻绳穿过小孔，一端连接质量为 m＝1 kg 的小 球 A，另一端连接质量为 M＝4 kg 的重物 B，已知 g＝10 m/s2， (1)当 A 球沿半径 r＝0.1m 的圆周做匀速圆周运动，其角速度 ω1 为多大时，B 物体处于将要离开、而 尚未离开地面的临界状态？ (2)当小球 A 的角速度为 ω2＝10 rad/s 时，物体 B 对地面的压力为多大？ 【解析】(1)当 B 对地面恰好无压力时，有：Mg＝FT′， 拉力 FT′提供小球 A 所需向心力，则：FT′＝mrω21 则有：ω1＝ Mg mr＝ 40 1 × 0.1 rad/s＝20 rad/s. (2)对小球 A 来说，小球受到的重力和支持力平衡．因此绳子的拉力提供向心力，则： FT＝mrω2＝1×0.1×102 N＝10 N， 对物体 B 来说，物体受到三个力的作用：重力 Mg、绳子的拉力 FT、地面的支持力 FN，由力的平衡条件 可得： FT＋FN＝Mg，故 FN＝Mg－FT 将 FT＝10 N 代入可得：FN＝(4×10－10) N＝30 N 由牛顿第三定律可知，B 对地面的压力为 30 N，方向竖直向下．