【物理】2019届一轮复习鲁科版第五章功和功率学案 16页

基础课 1 功和功率 知识点一、功 1．定义：如果作用于某物体的恒力大小为 F，该物体沿力的方向运动，经过位 移 s，则 F 与 s 的乘积叫做机械功。 2．做功的两个要素 (1)作用在物体上的力； (2)物体在力的方向上发生的位移。 3．公式：W＝Fscos__α (1)α是力与位移方向之间的夹角，s 为物体对地的位移。 (2)该公式只适用于恒力做功。 4．功的正负 (1)当 0°≤α＜90°时，W＞0，力对物体做正功。 (2)当 90°＜α≤180°时，W＜0，力对物体做负功，或者说物体克服这个力做了功。 (3)当α＝90°时，W＝0，力对物体不做功。 知识点二、功率 1．定义：物体所做的功 W 与完成这些功所用时间 t 的比值。 2．物理意义：描述力对物体做功的快慢。 3．公式 (1)P＝W t ，P 为时间 t 内的平均功率。 (2)P＝Fvcos__α(α为 F 与 v 的夹角) ①v 为平均速度，则 P 为平均功率。 ②v 为瞬时速度，则 P 为瞬时功率。 4．发动机功率：机车发动机的功率 P＝Fv，F 为牵引力，并非机车所受的合力。 [思考判断] (1)只要物体受力的同时又发生了位移，则一定有力对物体做功。( ) (2)一个力对物体做了负功，则说明这个力一定阻碍物体的运动。( ) (3)一个力对物体做负功，说明物体克服该力做功(取负功的绝对值)。( ) (4)作用力做正功时，其反作用力一定做负功。( ) (5)相互垂直的两个力分别对物体做功为 4 J 和 3 J，则这两个力的合力做功为 5 J。 ( ) (6)静摩擦力不可能对物体做功。( ) (7)汽车上坡时换成低挡位，其目的是为了减小速度得到较大的牵引力。( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)× (6)× (7)√ 功的分析与计算 1．判断力是否做功及做正、负功的方法 判断根据 适用情况 (1)根据力和位移的方向的夹角判断： α＜90°力做正功； α＝90°力不做功； α＞90°力做负功。 常用于恒力 做功的判断 (2)根据力和瞬时速度方向的夹角θ判断： θ＜90°，力做正功； θ＝90°，力不做功； θ＞90°，力做负功 常用于质点 做曲线运动 (3)根据功能关系或能量守恒定律判断 常用于变力 做功的判断 2.恒力做功的计算方法：直接用 W＝Fscos α计算 3．合力做功的计算方法 方法一：先求合力 F 合，再用 W 合＝F 合 scos α求功。 方法二：先求各个力做的功 W1、W2、W3…，再应用 W 合＝W1＋W2＋W3＋…求合 力做的功。 1．[正、负功的判断](多选)如图 1 所示，人站在自动扶梯上不动，随扶梯向上匀 速运动，下列说法中正确的是( ) 图 1 A．重力对人做负功 B．摩擦力对人做正功 C．支持力对人做正功 D．合力对人做功为零 解析 人随电梯向上匀速运动时只受重力和竖直向上的支持力，所以重力做负功， 支持力做正功，合力为零所以做功为零，A、C、D 正确。 答案 ACD 2．[直线运动中恒力做功的计算]起重机以 1 m/s2 的加速度将质量为 1 000 kg 的货 物由静止开始匀加速向上提升，g 取 10 m/s2，则在 1 s 内起重机对货物做的功是 ( ) A．500 J B．4 500 J C．5 000 J D．5 500 J 解析 货物的加速度向上， 由牛顿第二定律有：F－mg＝ma， 起重机的拉力 F＝mg＋ma＝11 000 N。 货物的位移是 s＝1 2at2＝0.5 m， 做功为 W＝Fs＝5 500 J，故 D 正确。 答案 D 3．[曲线运动中恒力做功的计算]如图 2 所示，质量为 m 的小球用长为 L 的轻绳 悬挂于 O 点，用水平恒力 F 拉着小球从最低点运动到使轻绳与竖直方向成θ角的 位置，求此过程中，各力对小球做的总功为( ) 图 2 A．FLsin θ B．mgL(1－cos θ) C．FLsin θ－mgL(1－cos θ) D．FLsin θ－mgLcos θ 解析 如图，小球在 F 方向的位移为 CB，方向与 F 同向，则 WF＝F·CB＝F·Lsin θ 小球在重力方向的位移为 AC，方向与重力反向，则 WG＝mg·AC·cos 180°＝－mg·L(1－cos θ) 绳的拉力 T 时刻与运动方向垂直，则 WT＝0 故 W 总＝WF＋WG＋WT＝FLsin θ－mgL(1－cos θ) 所以选项 C 正确。 答案 C 方法技巧 2．计算功的大小的两点技巧 (1)在求功时，要区分是求某个力的功还是合力的功，是求恒力的功还是变力的 功。 (2)恒力做功与物体的实际路径无关，等于力与物体在力方向上的位移的乘积， 或等于位移与在位移方向上的力的乘积。 功率的理解与计算 1．平均功率的计算方法 (1)利用P － ＝W t 。 (2)利用P － ＝Fv － cos α，其中v － 为物体运动的平均速度。 2．瞬时功率的计算方法 (1)利用公式 P＝Fvcos α，其中 v 为 t 时刻的瞬时速度。 (2)利用公式 P＝FvF，其中 vF 为物体的速度 v 在力 F 方向上的分速度。 (3)利用公式 P＝Fvv，其中 Fv 为物体受到的外力 F 在速度 v 方向上的分力。 1．[平均功率和瞬时功率的计算]如图 3 所示，质量为 m＝2 kg 的木块在倾角θ＝ 37°的斜面上由静止开始下滑，木块与斜面间的动摩擦因数为μ＝0.5，已知：sin 37° ＝0.6，cos 37°＝0.8，g 取 10 m/s2，则前 2 s 内重力的平均功率和 2 s 末的瞬时功 率分别为( ) 图 3 A．48 W 24 W B．24 W 48 W C．24 W 12 W D．12 W 24 W 解析 木块所受的合外力 F 合＝mgsin θ－μmgcos θ ＝mg(sin θ－μcos θ)＝2×10×(0.6－0.5×0.8) N＝4 N 木块的加速度 a＝F 合 m ＝4 2 m/s2＝2 m/s2 前 2 s 内木块的位移 s＝1 2at2＝1 2 ×2×22 m＝4 m 所以，重力在前 2 s 内做的功为 W＝mgssin θ＝2×10×0.6×4 J＝48 J。 重力在前 2 s 内的平均功率为 P － ＝W t ＝48 2 W＝24 W。 木块在 2 s 末的速度 v＝at＝2×2 m/s＝4 m/s 2 s 末重力的瞬时功率 P＝mgsin θ·v＝2×10×0.6×4 W＝48 W。 故选项 B 正确。 答案 B 2．[功、功率与图象的综合]一滑块在水平地面上沿直线滑行，t＝0 时其速度为 1 m/s，从此刻开始在滑块运动方向上再施加一水平作用力 F，力 F 和滑动的速度 v 随时间 t 的变化规律分别如图 4 甲、乙所示，则以下说法正确的是( ) 图 4 A．第 1 s 内，F 对滑块做的功为 3 J B．第 2 s 内，F 对滑块做功的平均功率为 4 W C．第 3 s 末，F 对滑块做功的瞬时功率为 1 W D．前 3 s 内，F 对滑块做的总功为零 解析 由题图可知，第 1 s 内，滑块位移为 1 m，F 对滑块做的功为 2 J，A 错误； 第 2 s 内，滑块位移为 1.5 m，F 做的功为 4.5 J，平均功率为 4.5 W，B 错误；第 3 s 内，滑块的位移为 1.5 m，F 对滑块做的功为 1.5 J，第 3 s 末，F 对滑块做功 的瞬时功率 P＝Fv＝1 W，C 正确；前 3 s 内，F 对滑块做的总功为 8 J，D 错误。 答案 C 方法技巧 求解功率时应注意的“三个”问题 (1)首先要明确所求功率是平均功率还是瞬时功率； (2)平均功率与一段时间(或过程)相对应，计算时应明确是哪个力在哪段时间(或 过程)内做功的平均功率； (3)瞬时功率计算时应明确是哪个力在哪个时刻(或状态)的功率。 机动车启动问题 1．模型一 以恒定功率启动 (1)动态过程 (2)这一过程的 P－t 图象和 v－t 图象如图所示： 2.模型二 以恒定加速度启动 (1)动态过程 (2)这一过程的 P－t 图象和 v－t 图象如图所示： 1．[P＝Fv 在机车实际运动过程中的应用] (2017·武汉武昌区模拟)如图 5 所示， 为某种型号轿车中用于改变车速的挡位，表中列出了轿车的部分数据，手推变速 杆到达不同挡位可获得不同的运行速度，从“1～5”速度逐挡增大，R 是倒车挡。 则轿车在额定功率下，要以最大动力上坡，变速杆应推至哪一挡？以最大速度运 行时，轿车的牵引力约为多大？( ) 图 5 长/mm×宽/mm×高/mm 4 481/1 746/1 526 mm 净重/kg 1 337 kg 传动系统 前轮驱动 5 挡变速 发动机类型 直列 4 缸 发动机排量(L) 2.0 L 最高时速(km/h) 189 km/h 100 km/h 的加速时间(s) 12 s 额定功率(kW) 108 kW A．“5”挡；8 000 N B．“5”挡；2 000 N C．“1”挡；4 000 N D．“1”挡；2 000 N 解析 若轿车在额定功率下以最大动力上坡，那么要使用“1”挡；以最高速度 v ＝189 km/h＝52.5 m/s 运行时，根据 P＝Fv 得 F＝P v ＝108×103 52.2 N≈2 000 N。选 项 D 正确。 答案 D 2．[机车启动过程中的图象问题](2016·苏锡常镇二模)汽车从静止开始先做匀加 速直线运动，然后做匀速运动。汽车所受阻力恒定，下列汽车功率 P 与时间 t 的关系图象中，能描述上述过程的是( ) 解析 汽车从静止开始匀加速，加速度一定，根据牛顿第二定律有 F－f＝ma， 得出 F＝f＋ma。汽车的功率为 P＝Fv＝(f＋ma)at，P 与 t 成正比例函数，A、D 选项错误；当汽车达到最大功率时，据题意汽车运动状态立刻变为匀速，此时牵 引力瞬间从 f＋ma 变成 f，而速度没有突变，故汽车的功率变小且为恒定值，B 项错误，C 正确。 答案 C 3．[机车启动过程中有关物理量的计算]一列火车总质量 m＝500 t，发动机的额 定功率 P＝6×105 W，在轨道上行驶时，轨道对列车的阻力 f 是车重的 0.01 倍。 (取 g＝10 m/s2) (1)求列车在水平轨道上行驶的最大速度； (2)在水平轨道上，发动机以额定功率 P 工作，求当行驶速度为 v1＝1 m/s 和 v2 ＝10 m/s 时，列车的瞬时加速度 a1、a2 的大小； (3)列车在水平轨道上以 36 km/h 的速度匀速行驶时，求发动机的实际功率 P′； (4)若列车从静止开始，保持 0.5 m/s2 的加速度做匀加速运动，求这一过程维持的 最长时间。 解析 (1)列车以额定功率行驶，当牵引力等于阻力，即 F＝f＝kmg 时，列车的 加速度为零，速度达到最大值 vm，则 vm＝P F ＝P f ＝ P kmg ＝12 m/s。 (2)当 v＜vm 时，列车做加速运动，若 v1＝1 m/s，则 F1＝P v1 ＝6×105 N，根据牛 顿第二定律得 a1＝F1－f m ＝1.1 m/s2 若 v2＝10 m/s，则 F2＝P v2 ＝6×104 N 根据牛顿第二定律得 a2＝F2－f m ＝0.02 m/s2。 (3)当 v＝36 km/h＝10 m/s 时，列车匀速运动，则发动机的实际功率 P′＝fv＝5×105 W。 (4)由牛顿第二定律得 F′＝f＋ma＝3×105 N 在此过程中，速度增大，发动机功率增大，当功率为额定功率时速度为 v′，即 v′ ＝P F′ ＝2 m/s，由 v′＝at 得 t＝v′ a ＝4 s。 答案 (1)12 m/s (2)1.1 m/s2 0.02 m/s2 (3)5×105 W (4)4 s 方法技巧 机车启动问题的求解方法 (1)机车的最大速度 vmax 的求法 机车做匀速运动时速度最大，此时牵引力 F 等于阻力 f，故 vmax＝P F ＝P f 。 (2)匀加速启动时，做匀加速运动的时间 t 的求法 牵引力 F＝ma＋f，匀加速运动的最大速度 vmax′＝ P 额 ma＋f ，时间 t＝vmax′ a 。 (3)瞬时加速度 a 的求法 根据 F＝P v 求出牵引力，则加速度 a＝F－f m 。 变力做功的计算方法 方法 以例说法 应用动 能定理 用力 F 把小球从 A 处缓慢拉到 B 处，F 做功为 WF， 则有：WF－mgl(1－cos θ)＝0，得 WF＝mgl(1－cos θ) 微元法 质量为 m 的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克 服摩擦力做功 Wf＝f·Δs1＋f·Δs2＋f·Δs3＋…＝f(Δs1＋ Δs2＋Δs3＋…)＝f·2πR 平均 力法 弹簧由伸长 x1 被继续拉至伸长 x2 的过程中，克服弹力 做功 W＝kx1＋kx2 2 ·(x2－x1) 图象法 一水平拉力 F0 拉着一物体在水平面上运动的位移为 s0，图线与横轴所围面积表示拉力所做的功，W＝F0s0 【思维训练 1】 (2015·海南单科)如图 6，一半径为 R 的半圆形轨道竖直固定放 置，轨道两端等高，质量为 m 的质点自轨道端点 P 由静止开始滑下，滑到最低 点 Q 时，对轨道的正压力为 2mg，重力加速度大小为 g。质点自 P 滑到 Q 的过 程中，克服摩擦力所做的功为( ) 图 6 A.1 4mgR B.1 3mgR C.1 2mgR D.π 4mgR 解析 在 Q 点质点受到竖直向下的重力和竖直向上的支持力，两力的合力充当 向心力，所以有 N－mg＝mv2 R ，N＝2mg，联立解得 v＝ gR，下滑过程中，根据 动能定理可得 mgR－Wf＝1 2mv2，解得 Wf＝1 2mgR，所以克服摩擦力做功 1 2mgR，C 正确。 答案 C 【思维训练 2】 一物体所受的力 F 随位移 s 变化的图象如图 7 所示，求在这一 过程中，力 F 对物体做的功为( ) 图 7 A．3 J B．6 J C．7 J D．8 J 解析 力 F 对物体做的功等于 s 轴上方梯形“面积”所表示的正功与 s 轴下方三 角形“面积”所表示的负功的代数和。 W1＝1 2 ×(3＋4)×2 J＝7 J W2＝－1 2 ×(5－4)×2 J＝－1 J 所以力 F 对物体做的功为 W＝7 J－1 J＝6 J。 故选项 B 正确。 答案 B 1．(2015·海南单科，3)假设摩托艇受到的阻力的大小正比于它的速率。如果摩 托艇发动机的输出功率变为原来的 2 倍，则摩托艇的最大速率变为原来的( ) A．4 倍 B．2 倍 C. 3倍 D. 2倍 解析 设 f＝kv，当阻力等于牵引力时，速度最大。输出功率变化前，有 P＝Fv ＝fv＝kv·v＝kv2，变化后有 2P＝F′v′＝kv′·v′＝kv′2，联立解得 v′＝ 2v，D 正确。 答案 D 2．(2015·全国卷Ⅱ，17)一汽车在平直公路上行驶。从某时刻开始计时，发动机 的功率 P 随时间 t 的变化如图 8 所示。假定汽车所受阻力的大小 f 恒定不变。下 列描述该汽车的速度 v 随时间 t 变化的图线中，可能正确的是( ) 图 8 解析 当汽车的功率为 P1 时，汽车在运动过程中满足 P1＝F1v，因为 P1 不变，v 逐渐增大，所以牵引力 F1 逐渐减小，由牛顿第二定律得 F1－f＝ma1，f 不变，所 以汽车做加速度减小的加速运动，当 F1＝f 时速度最大，且 vm＝P1 F1 ＝P1 f 。当汽车 的功率突变为 P2 时，汽车的牵引力突增为 F2，汽车继续加速，由 P2＝F2v 可知 F2 减小，又因 F2－f＝ma2，所以加速度逐渐减小，直到 F2＝f 时，速度最大 vm′ ＝P2 f ，以后匀速运动。综合以上分析可知选项 A 正确。 答案 A 3．(2016·天津理综，8)(多选)我国高铁技术处于世界领先水平，和谐号动车组是 由动车和拖车编组而成，提供动力的车厢叫动车，不提供动力的车厢叫拖车。假 设动车组各车厢质量均相等，动车的额定功率都相同，动车组在水平 直轨道上运行过程中阻力与车重成正比，某列动车组由 8 节车厢组成，其中第 1、 5 节车厢为动车，其余为拖车，则该动车组( ) 图 9 A．启动时乘客受到车厢作用力的方向与车运动的方向相反 B．做匀加速运动时，第 5、6 节与第 6、7 节车厢间的作用力之比为 3∶2 C．进站时从关闭发动机到停下来滑行的距离与关闭发动机时的速度成正比 D．与改为 4 节动车带 4 节拖车的动车组最大速度之比为 1∶2 解析 列车启动时，乘客随车厢加速运动，加速度方向与车的运动方向相同，故 乘客受到车厢的作用力方向与车运动方向相同，选项 A 错误；对 6、7、8 节车 厢的整体有 F56＝ 3ma＋3kmg，对 7、8 节车厢的整体有 F67＝2ma＋2kmg，故 5、6 节车厢与 6、7 节车厢间的作用力之比为 F56∶F67＝3∶2，选项 B 正确；关闭发动机后，根据动 能定理得1 2·8mv2＝8kmgs，解得 s＝ v2 2kg ，可见滑行的距离与关闭发动机时速度的 平方成正比，选项 C 错误；8 节车厢有 2 节动车时的最大速度为 vm1＝ 2P 8kmg ；8 节车厢有 4 节动车时最大速度为 vm2＝ 4P 8kmg ，则vm1 vm2 ＝1 2 ，选项 D 正确。 答案 BD 4．(2017·湖南衡阳联考，24)一地铁列车从甲站由静止启动后做直线运动，先匀 加速运动 t1＝10 s 达到速度大小 v＝54 km/h，再匀速运动 t2＝100 s，接着匀减速 运动 t3＝12 s 到达乙站停车。列车在运行过程中所受的阻力大小恒为 f＝1×105 N， 列车在减速过程中发动机停止工作，求： (1)列车匀速运动过程中克服阻力所做的功 W； (2)列车的质量 m； (3)列车在匀加速阶段牵引力的平均功率P － 。 解析 (1)已知 v＝54 km/h＝15 m/s 列车在匀速阶段的位移为：s＝vt2＝1 500 m 列车匀速运动过程中克服阻力所做的功为： W＝fs＝1.5×108 J (2)设列车匀减速阶段的加速度大小为 a′，由牛顿第二定律有：f＝ma′ 又：a′＝v t3 解得 m＝8×104 kg (3)设列车在匀加速阶段的加速度大小为 a，由牛顿第二定律有：F－f＝ma 又：a＝v t1 该阶段牵引力的平均功率为P － ＝Fv 2 解得：P － ＝1.65×106 W。 答案 (1)1.5×108 J (2)8×104 kg (3)1.65×106 W