【物理】2019届一轮复习人教版微专题05圆周运动中的临界问题学案 9页

微专题05 圆周运动中的临界问题 水平面内的临界问题 水平面内圆周运动的临界极值问题通常有两类，一类是与摩擦力有关的临界问题，一类是与弹力有关的临界问题．‎ ‎ (1)与摩擦力有关的临界极值问题 物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力，如果只是摩擦力提供向心力，则有Fm＝，静摩擦力的方向一定指向圆心；如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连物体，其中一个在水平面上做圆周运动时，存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心．‎ ‎(2)与弹力有关的临界极值问题 压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零；绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力等．‎ ‎　‎ ‎(2014·新课标全国卷Ⅰ)(多选)如图，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为 ‎2l.木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g.若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是(　　)‎ A．b一定比a先开始滑动 B．a、b所受的摩擦力始终相等 C．ω＝ 是b开始滑动的临界角速度 D．当ω＝ 时，a所受摩擦力的大小为kmg 解析：选AC　木块a、b的质量相同，外界对它们做圆周运动提供的最大向心力，即最大静摩擦力fmax＝kmg相同．它们所需的向心力由F向＝mω2r知Fa＜Fb，所以b一定比a 先开始滑动，A项正确；a、b一起绕转轴缓慢地转动时，f＝mω2r，r不同，所受的摩擦力不同，B项错；b开始滑动时有kmg＝mω2·‎2l，其临界角速度为ωb＝ ，选项C正确；当ω＝ 时，a所受摩擦力大小为f＝mω2r＝kmg，选项D错误．‎ 解决此类问题的一般思路 首先要考虑达到临界条件时物体所处的状态，其次分析该状态下物体的受力特点，最后结合圆周运动知识，列出相应的动力学方程综合分析．‎ ‎　‎ ‎(2018·安徽六安模拟)(多选)如图所示，两个可视为质点的、相同的木块A和B放在转盘上，两者用长为L的细绳连接，木块与转盘的最大静摩擦力均为各自重力的K倍，A放在距离转轴L处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴O1O2转动，开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，以下说法正确的是(　　)‎ A．当ω＞ 时，A、B相对于转盘会滑动 B．当ω＞ 时，绳子一定有弹力 C．ω在 ＜ω＜ 范围内增大时，B所受摩擦力变大 D．ω在0＜ω＜ 范围内增大时，A所受摩擦力一直变大 解析：选ABD　当AB所受静摩擦力均达到最大值时，A、B相对转盘将会滑动，Kmg＋Kmg＝mω‎2L＋mω2·‎2L，解得：ω＝ ，A项正确；当B所受静摩擦力达到最大值后，绳子开始有弹力，即：Kmg＝mω2·‎2L，解得：ω＝ ，B项正确；当＜ω＜ 时，随角速度的增大，绳子拉力不断增大，B所受静摩擦力一直保持最大静摩擦力不变，C项错误；0＜ω≤ 时，A所受摩擦力提供向心力，即Ff＝mω‎2L，静摩擦力随角速度增大而增大，当 ＜ω＜ 时，以AB整体为研究对象，FfA＋Kmg＝mω‎2L＋mω2·‎2L，可知A受静摩擦力随角速度的增大而增大，D项正确．‎ ‎1．如图，一水平圆盘绕竖直中心轴以角速度ω做匀速圆周运动，紧贴在一起的M、N两物体(可视为质点)随圆盘做圆周运动，N恰好不下滑，M恰好不滑动，两物体与转轴距离为r，已知M与N间的动摩擦因数为μ1，M与圆盘面间的动摩擦因数为μ2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力．μ1与μ2应满足的关系式为(　　)‎ A．μ1＋μ2＝1　　　　　 B．＝1‎ C．μ1μ2＝1 D．＝1‎ 解析：选C　以M、N整体作为研究对象，则受力如图1所示，静摩擦力提供向心力，有Ff＝(mN＋mM)ω2r，且Ff＝μ2(mN＋mM)g，以N为研究对象，受力分析如图2所示，M对N的弹力FN提供向心力，有FN＝mNω2r，且Ff′＝μ1FN＝mNg，联立各式得μ1μ2＝1，故C正确．‎ 图1　　　　　　　　　　图2‎ ‎2．(2018·四川资阳一诊)(多选)如图所示，水平转台上有一个质量为m的物块，用长为l的轻质细绳将物块连接在转轴上，细绳与竖直转轴的夹角θ＝30°，此时细绳伸直但无张力，物块与转台间动摩擦因数为μ＝，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，物块随转台由静止开始缓慢加速转动，角速度为ω，重力加速度为g，则(　　)‎ A．当ω＝时，细绳的拉力为0‎ B．当ω＝时，物块与转台间的摩擦力为0‎ C．当ω＝时，细绳的拉力大小为mg D．当ω＝时，细绳的拉力大小为mg 解析：选AC　当转台的角速度比较小时，物块只受重力、支持力和摩擦力，当细绳恰好要产生拉力时μmg＝mωlsin 30°，解得ω1＝ ，随角速度的增大，细绳上的拉力增大，当物块恰好要离开转台时，物块受到重力和细绳的拉力的作用，mgtan 30°＝mωlsin 30°，解得ω2＝，由于ω1＜ ＜ω2，所以当ω＝ 时，物块与转台间的摩擦力不为零，故B错误；由于 ＜w1，所以当ω＝ 时，细绳的拉力为零，故A正确；由于ω1＜ ＜ω2，由牛顿第二定律得f＋Fsin 30°＝m2lsin 30°，因为压力小于mg，所以f＜mg，解得F＞mg，故D错误；当ω＝ ＞ω2时，物块已经离开转台，细绳的拉力与重力的合力提供向心力，则mgtan α＝m2lsin α，解得cos α＝，故F＝＝mg，故C正确．‎ 竖直面内的临界问题 ‎1．竖直面内圆周运动的临界问题——“轻绳和轻杆”模型 ‎(1)“轻绳”模型特点：无支撑(如球与绳连接、沿内轨道的“过山车”等)‎ 均是没有支撑的小球 ‎①小球过最高点的条件是什么？‎ ‎②过最高点时，若v＞，当v增大时，小球受到的弹力FN如何变化？‎ ‎(2)“轻杆”模型的特点：有支撑(如球与杆连接、小球在弯管内运动等)．‎ 均是有支撑的小球 ‎①小球能过最高点的条件是什么？‎ ‎②过最高点时，若0＜v＜时，小球受到的弹力FN的方向如何？随着v的增大FN怎样变化？若v＞又会怎样？‎ ‎2．两类模型对比 轻绳模型 轻杆模型 示意图 均是没有支撑的小球 均是有支撑的小球 过最高 点的临 界条件 由mg＝m 得v临＝ 由小球能运动即可得v临＝0‎ 讨论 分析 ‎(1)过最高点时，v≥，FN＋mg＝m，绳、轨道对球产生弹力 FN ‎(2)不能过最高点v＜，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道 ‎(1)当v＝0时，FN＝mg，FN背离圆心 ‎(2)当0＜v＜时，mg－FN＝m，FN背离圆心并随v的增大而减小 ‎(3)当v＝时，FN＝0‎ ‎(4)当v＞时，mg＋FN＝m，FN指向圆心并随v的增大而增大 在最高 点的 FN 图象 取竖直向下为正方向 取竖直向下为正方向 ‎　(2018·陕西西安一中模拟)(多选)如图甲所示，用一轻质绳拴着一质量为m的小球，在竖直平面内做圆周运动(不计一切阻力)，小球运动到最高点时绳对小球的拉力为T，小球在最高点的速度大小为v，其T－v2图象如图乙所示，则(　　)‎ A．轻质绳长为 B．当地的重力加速度为 C．当v2＝c时，轻质绳的拉力大小为＋a D．只要v2≥b，小球在最低点和最高点时绳的拉力差均为‎6a 解析：选BD　在最高点重力和绳子的拉力的合力充当向心力，所以有T＋mg＝m，即T＝v2－mg，故斜率k＝，纵截距y＝－mg，根据几何知识可得k＝，y＝－a，联立解得g＝，R＝，A错误，B正确；当v2＝c时，代入T＝v2－mg，解得T＝－a，C错误；只要v2≥b，绳子的拉力大于0，根据牛顿第二定律得最高点，T1＋mg＝m，最低点，T2－mg＝m，从最高点到最低点的过程中，根据机械能守恒定律得mv＝mv＋2mgR，联立解得T2－T1＝6mg，即小球在最低点和最高点时绳的拉力差均为‎6a，D正确．‎ 在竖直面内的圆周运动临界问题 ‎　(2017·广东汕头二模)如图甲，小球用不可伸长的轻绳连接后绕固定点O在竖直面内做圆周运动，小球经过最高点时的速度大小为v，此时绳子的拉力大小为T，拉力T与速度v的关系如图乙所示，图象中的数据a和b包括重力加速度g都为已知量，以下说法正确的是(　　)‎ 图甲　　　　　　　　图乙 A．数据a与小球的质量有关 B．数据b与圆周轨道半径有关 C．比值只与小球的质量有关，与圆周轨道半径无关 D．利用数据a、b和g能够求出小球的质量和圆周轨道半径 解析：选D　在最高点对小球受力分析，由牛顿第二定律有T＋mg＝m，可得图线的函数表达式为T＝m－mg，图乙中横轴截距为a，则有0＝m－mg，得g＝，则a＝gR；图线过点(‎2a，b)，则b＝m－mg，可得b＝mg，则＝，A、B、C错．由b＝mg得m＝，由a＝gR得R＝，则D正确．‎ ‎3．(2018·东城区模拟)(多选)长为L的轻杆，一端固定一个小球，另一端固定在光滑的水平轴上，使小球在竖直平面内做圆周运动，关于小球在最高点的速度v，下列说法中正确的是(　　)‎ A．当v的值为时，杆对小球的弹力为零 B．当v由逐渐增大时，杆对小球的拉力逐渐增大 C．当v由逐渐减小时，杆对小球的支持力逐渐减小 D．当v由零逐渐增大时，向心力也逐渐增大 解析：选ABD　在最高点球对杆的作用力为0时，由牛顿第二定律得：mg＝，v＝，A对；当v＞时，轻杆对球有拉力，则F＋mg＝，v增大，F增大，B对；当v＜时，轻杆对球有支持力，则mg－F′＝，v减小，F′增大，C错；由F向＝知，v增大，向心力增大，D对．‎ ‎4．(2018·石家庄质检)(多选)如图所示，长为‎3L的轻杆可绕光滑水平转轴O转动，在杆两端分别固定质量均为m的球A、B，球A距轴O的距离为L.现给系统一定能量，使杆和球在竖直平面内转动．当球B运动到最高点时，水平转轴O对杆的作用力恰好为零，忽略空气阻力，已知重力加速度为g，则球B在最高点时，下列说法正确的是(　　)‎ A．球B的速度为零 B．球B的速度为 C．球A的速度为 D．杆对球B的弹力方向竖直向下 解析：选CD　水平转轴O对杆的作用力为零，这说明A、B对杆的作用力是一对平衡力，由于A所受杆的弹力必竖直向上，故B所受杆的弹力必竖直向下，且两力大小相等，D正确．对A球有F－mg＝mω‎2L，对B球有F＋mg＝mω2·‎2L，由以上两式解得ω＝ ，则A 球的速度vA＝ωL＝，C正确；B球的速度vB＝ω·‎2L＝2，A、B错误．‎ 斜面上圆周运动的临界问题 ‎　(2014·安徽卷)如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴距离‎2.5 m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止．物体与盘面间的动摩擦因数为(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，盘面与水平面的夹角为30°，g取‎10 m/s2.则ω的最大值是(　　)‎ A． rad/s　　　　　 B． rad/s C．1.0 rad/s D．0.5 rad/s 解析：选C　经分析可知，小物体最先相对滑动的位置为最低点，对小物体受力分析得：μmgcos θ－mgsin θ＝mω2r，代入数据得：ω＝1.0 rad/s，选项C正确．‎ ‎　如图所示，一块足够大的光滑平板放置在水平面上，能绕水平固定轴MN调节其与水平面所成的倾角．板上一根长为l＝‎0.60 m的轻细绳，它的一端系住一质量为m的小球P，另一端固定在板上的O点．当平板的倾角固定为α时，先将轻绳平行于水平轴MN拉直，然后给小球一沿着平板并与轻绳垂直的初速度v0＝‎3.0 m/s.若小球能保持在板面内做圆周运动，倾角α的值应在什么范围内？(取重力加速度g＝‎10 m/s2)‎ 解析：小球在倾斜平板上运动时受到绳子拉力、平板弹力、重力．在垂直平板方向上合力为0，重力在沿平板方向的分 量为mgsin α，小球在最高点时，由绳子的拉力和重力沿平板方向的分力的合力提供向心力，有FT＋mgsin α＝m①‎ 研究小球从释放到最高点的过程，根据动能定理有 ‎－mglsin α＝mv－mv②‎ 若恰好能通过最高点，则绳子拉力FT＝0③‎ 联立①②③解得sin α＝，则α＝30°‎ 故α的范围为0°≤α≤30°．‎ 答案：0°≤α≤30°‎ ‎5．如图所示，在倾角为α＝30°的光滑斜面上，有一根长为L＝‎0.8 m的轻杆，一端固定在O点，另一端系一质量为m＝‎0.2 kg的小球，沿斜面做圆周运动，取g＝‎10 m/s2，若要小球能通过最高点A，则小球在最低点B的最小速度是(　　)‎ A．‎4 m/s B．‎2 m/s C．‎2 m/s D．‎2 m/s 解析：选A　小球受轻杆控制，在A点的最小速度为零，由2mgLsin α＝mvB2可得vB＝‎4 m/s，A正确．‎