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- 2021-05-25 发布
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天体运动中的“四大难点”突破
突破1 近地卫星、赤道上物体及同步卫星的运行问题
[考点解读]
赤道上的物体、近地卫星、同步卫星之间的关系比较
比较内容
赤道上物体
近地卫星
同步卫星
向心力来源
万有引力的分力
万有引力
向心力方向
指向地心
重力与万有
引力的关系
重力略小于万有引力
重力等于万有引力
线速度
v1＝ω1R
v2＝
v3＝ω3(R＋h)＝
v1＜v3vc，a、c的角速度相等，v＝ωr，由于ra＜rc，得va＜vc，选项C正确；b、c的向心加速度满足a＝，由于rb＜rc，得ab＞ac，a、c的角速度相等，a＝ωr2，由于ra＜rc，得aa＜ac，选项D错误．]
卫星运行问题的解题技巧
1．近地卫星，同步卫星满足＝；赤道上物体所需的向心力由地球对物体的万有引力和地面支持力的合力提供，合力不等于万有引力．
2．卫星的an、v、ω、T是相互联系的，其中一个量发生变化，其他各量也随之发生变化；an、v、ω、T均与卫星的质量无关，只由轨道半径r和中心天体质量共同决定．
[题组巩固]
1.四颗地球卫星a、b、c、d的排列位置如图所示，其中a是静止在地球赤道上还未发射的卫星，b是近地轨道卫星，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，四颗卫星相比较( )
A．a的向心加速度最大
B．相同时间内b转过的弧长最长
C．c相对于b静止
D．d的运行周期可能是23 h
解析：B [同步卫星的周期与地球的自转周期相同，角速度相同，则知a与c的角速度相同，根据a＝rω2知，c的向心加速度比a的向心加速度大，故选项A错误；由G＝m，得v＝ ，b、c、d中卫星的半径越大，线速度越小，所以b、c、d中b的线速度最大，因a在地球赤道上且与c角速度相同，故c比a的线速度大，在相同时间内b转过的弧长最长，故选项B正确；b是近地轨道卫星，c是地球同步卫星，c相对于地面静止，
近地轨道卫星相对于地面运动，所以c相对于b运动，故选项C错误；由开普勒第三定律＝k知，b、c、d中卫星的半径越大，周期越大，所以d的运行周期大于c的周期24 h，故选项D错误．]
2．(2019·浙江模拟)已知地球半径为R，静置于赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a；地球同步卫星做匀速圆周运动的轨道半径为r，向心加速度大小为a0，引力常量为G，以下结论正确的是( )
A．地球质量M＝
B．地球质量M＝
C．向心加速度之比＝
D．向心加速度之比＝
解析：A [A项，地球的同步卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，则有G＝ma0，解得地球质量M＝，故选A项正确．B项，地球赤道上的物体随地球自转时有G－mg＝ma，得M＝，故B错误；C、D项，地球同步卫星与物体的角速度相等．根据a＝rω2，得＝，故C、D项错误．]
突破2 卫星的变轨问题
[考点解读]
1．卫星发射及变轨过程概述
人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道，如图所示．
(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上．
(2)在A点点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ.
(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ.
2．三个运行物理量的大小比较
(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点速率分别为vA、vB.在A点加速，则vA＞v1，在B点加速，则v3＞vB，又因v1＞v3，故有vA＞v1＞v3＞vB.
(2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，经过B点加速度也相同．
(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律＝k可知T1＜T2＜T3.
[典例赏析]
[典例2] (多选)2019年1月3日，中国的“嫦娥四号”探测器如期的成功登上月球背面．如下图是“嫦娥四号”飞行轨道示意图．假设“嫦娥四号”运行经过P点第一次通过近月制动使“嫦娥四号”在距离月面高度为100 km的圆轨道Ⅰ上运动，再次经过P点时第二次通过近月制动使“嫦娥四号”在距离月面近地点为Q、高度为15 km，远地点为P、高度为100 km的椭圆轨道Ⅱ上运动，下列说法正确的是( )
A．“嫦娥四号”在距离月面高度为100 km的圆轨道Ⅰ上运动时速度大小可能变化
B．“嫦娥四号”在距离月面高度100 km的圆轨道Ⅰ上运动的周期一定大于在椭圆轨道Ⅱ上运动的周期
C．“嫦娥四号”在椭圆轨道Ⅱ上运动经过Q点时的加速度一定大于经过P点时的加速度
D．“嫦娥四号”在椭圆轨道Ⅱ上运动经过Q点时的速率可能小于经过P点时的速率
[审题指导] (1)根据开普勒第三定律，比较半径和半长轴的大小就能比较圆轨道的周期和椭圆轨道的周期大小．
(2)由a＝就能比较椭圆轨道不同地点的加速度．
[解析] BC [“嫦娥四号”在距离月面高度为100 km的圆轨道上运动是匀速圆周运动，速度大小不变，选项A错误；由于圆轨道的轨道半径大于椭圆轨道半长轴，根据开普勒定律，“嫦娥四号”在距离月面高度100 km的圆轨道Ⅰ上运动的周期一定大于在椭圆轨道Ⅱ上运动的周期，选项B正确；由于在Q点“嫦娥四号”离月球近，所受万有引力大，所以“嫦娥四号”在椭圆轨道Ⅱ上运动经过Q点时的加速度一定大于经过P点时的加速度，选项C正确；“嫦娥四号”在椭圆轨道上由远月点P向近月点Q运动时，万有引力做正功，速率增大，所以“嫦娥四号”在椭圆轨道Ⅱ上运动经过Q点时的速率一定大于经过P点时的速率，选项D错误．]
卫星变轨的实质
两类变轨
离心运动
近心运动
变轨起因
卫星速度突然增大
卫星速度突然减小
万有引力与
向心力的关系
G＜m
G＞m
轨迹变化
由圆变为外切椭圆，或由椭圆变为外切圆
由圆变为内切椭圆，或由椭圆变为内切圆
速度和加速度
变化
两个轨道切点的加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度
[题组巩固]
1．(2019·河北衡水中学调研)(多选)小行星绕恒星运动的同时，恒星均匀地向四周辐射能量，质量缓慢减小，可认为小行星在绕恒星运动一周的过程中近似做圆周运动，则经过足够长的时间后，小行星运动的( )
A．半径变大 B．速率变大
C．加速度变小 D．周期变小
解析：AC [恒星均匀地向四周辐射能量，质量缓慢减小，二者之间万有引力减小，小行星做离心运动，即半径增大，故A正确；根据G＝ma＝m＝mr，得a＝，v＝，T＝，因为r增大，M减小，则a减小，v减小，T增大，故C正确，B、D错误．]
2．(2019·宁夏罗平中学模拟)(多选)如图所示，发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火将卫星送入椭圆轨道2，然后再次点火，将卫星送入同步轨道3.轨道1、2相切于Q点，2、3相切于P点，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，下列说法中正确的是( )
A．卫星在轨道3上的速率小于在轨道1上的速率
B．卫星在轨道3上的角速度大于在轨道1上的角速度
C．卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过Q点时的加速度
D．卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度
解析：AD [由万有引力提供向心力得：v＝，则半径大的速率小，则A正确；由万有引力提供向心力得：ω＝，则半径大的角速度小，则B错误；在同一点P或者Q所受的地球的引力相等，则加速度相等，则C错误，D正确．]
突破3 天体运动中的能量问题
[考点解读]
1．卫星(或航天器)在同一圆形轨道上运动时，机械能不变
2．航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大
卫星速率增大(发动机做正功)会做离心运动，轨道半径增大，万有引力做负功，卫星动能减小，由于变轨时遵从能量守恒，稳定在圆轨道上时需满足G＝m，致使卫星在较高轨道上的运行速率小于在较低轨道上的运行速率，但机械能增大；相反，卫星由于速率减小(发动机做负功)会做向心运动，轨道半径减小，万有引力做正功，卫星动能增大，同样原因致使卫星在较低轨道上的运行速率大于在较高轨道上的运行速率，但机械能减小．
[典例赏析]
[典例3] (2019·四川成都一诊)(多选)天舟一号货运飞船于2017年4月27日与天宫二号成功实施自动交会对接．天舟一号发射过程为变轨发射，示意图如图所示，其中1为近地圆轨道，2为椭圆变轨轨道，3为天宫二号所在轨道，P为1、2轨道的交点，以下说法正确的是( )
A．天舟一号在1轨道运行时的动能大于其在3轨道运行时的动能
B．天舟一号在1轨道运行时的机械能大于其在2轨道运行时的机械能
C．天舟一号在2轨道运行时的机械能小于其在3轨道运行时的机械能
D．天舟一号在1轨道运行时经过P点的动能大于其在2轨道运行时经过P点的动能
[审题指导] (1)根据卫星在各轨道上的速度大小，判断动能的大小．
(2)变轨过程，卫星需要加速，加速过程，卫星的机械能要增加．
[解析] AC [万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得G＝m，得v＝，卫星的动能Ek＝mv2＝，天舟一号在1轨道运行时的轨道半径小于其在3轨道运行时的轨
道半径，天舟一号在1轨道运行时的动能大于其在3轨道运行时的动能，故A正确；天舟一号由轨道1变轨到轨道2时要加速，加速过程机械能增加，因此天舟一号在1轨道运行时的机械能小于其在2轨道运行时的机械能，故B错误；天舟一号由轨道2变轨到轨道3时要加速，加速过程机械能增加，因此天舟一号在2轨道运行时的机械能小于其在3轨道运行时的机械能，故C正确；天舟一号由轨道1变轨到轨道2时要加速，天舟一号在1轨道运行时经过P点的动能小于其在2轨道运行时经过P点的动能，故D错误．]
[题组巩固]
1．(2019·湖北黄冈中学限时训练)某卫星在半径为r的轨道1个做圆周运动，动能为Ek，变轨到轨道2上后，动能比在轨道1上减小了ΔE，在轨道2上也做圆周运动，则轨道2的半径为( )
A.r B.r
C.r D.r
解析：A [卫星在轨道1上时，G＝m，因此Ek＝mv＝，同样，在轨道2上，Ek－ΔE＝，因此r2＝r，A正确．]
2．(2019·鄂州模拟)(多选)目前，在地球周围有许多人造地球卫星绕着它运转，其中一些卫星的轨道可近似为圆，且轨道半径逐渐变小．若卫星在轨道半径逐渐变小的过程中，只受到地球引力和稀薄气体阻力的作用，则下列判断正确的是( )
A．卫星的动能逐渐减小
B．由于地球引力做正功，引力势能一定减小
C．由于气体阻力做负功，地球引力做正功，机械能保持不变
D．卫星克服气体阻力做的功小于引力势能的减小量
解析：BD [当卫星的半径减小时，由v＝可知，其动能增大；由于引力做正功，故引力势能一定减小，选项A错误，B正确．气体阻力做功，使系统的机械能减小，且有WFf＝ΔE，由于动能增加，故引力势能的减小量大于机械能的减小量，选项C错误，D正确．]
突破4 卫星的追及相遇问题
[考点解读]
某星体的两颗卫星之间的距离有最近和最远之分，但它们都处在同一条直线上．由于它们的轨道不是重合的，因此在最近和最远的相遇问题上不能通过位移或弧长相等来处理，而是通过卫星运动的圆心角来衡量，若它们初始位置在同一直线上，实际上内轨道所转过的圆心角与外轨道所转过的圆心角之差为π的整数倍时就是出现最近或最远的时刻．
[典例赏析]
[典例4] 设金星和地球绕太阳中心的运动是公转方向相同且轨道共面的匀速圆周运动，金星在地球轨道的内侧(称为地内行星)．在某些特殊时刻，地球、金星和太阳会出现在一条直线上，这时候从地球上观测，金星像镶嵌在太阳脸上的小黑痣缓慢走过太阳表面．天文学称这种现象为“金星凌日”．如图所示，2012年6月6日天空上演的“金星凌日”吸引了全世界数百万天文爱好者．假设地球公转轨道半径为R，“金星凌日”每隔t0年出现一次，则金星的公转轨道半径为( )
A.R B．R
C．R D．R
[审题指导] (1)审关键词：“金星凌日”每隔t0年出现一次．
(2)思路分析：①金星与地球在t0年转过的角度之差应为2π，列出方程求出T金．
②根据开普勒第三定律求出R金．
[解析] B [由行星运动第三定律知＝k，设金星的轨道半径为Rx，周期为Tx，角速度为ωx，则由＝得Rx＝R.根据题设，应有ωx＞ω0，(ωx－ω0)·t0＝2π，即·t0＝2π，解得Tx＝t0，其中T0＝1年，联立解得Rx＝R，正确选项是B.]
[题组巩固]
1.(2019·黄石二中检测)(多选)2013年4月出现“火星合日”的天象，“火星合日”是指火星、太阳、地球三者之间形成一条直线时，从地球的方位观察，火星位于太阳的正后方，火星被太阳完全遮蔽的现象，如图所示，已知地球、火星绕太阳运行的方向相同，若把火星和地球绕太阳运行的轨道视为圆，火星绕太阳公转周期约等于地球公转周期的2倍，由此可知( )
A．“火星合日”约每1年出现一次
B．“火星合日”约每2年出现一次
C．火星的公转半径约为地球公转半径的倍
D．火星的公转半径约为地球公转半径的8倍
解析：BC [因火星的公转周期为地球公转周期的2倍，故地球绕太阳转一圈时，火星转动了半圈，只有等火星转动一圈时才会再次出现在同一直线上，故约每2年出现一次，选项A错误，B正确；由G＝mR可知，R＝，即半径R与成正比，故火星的公转半径约为地球公转半径的倍，选项C正确，D错误．]
2．(2019·辽宁鞍山一中等六校联考)如图所示，质量相同的三颗卫星a、b、c绕地球做匀速圆周运动，其中b、c在地球的同步轨道上，a距离地球表面的高度为R，此时a、b恰好相距最近．已知地球质量为M、半径为R、地球自转的角速度为ω，万有引力常量为G，则( )
A．发射卫星b时速度要大于11.2 km/s
B．卫星a的机械能大于卫星b的机械能
C．若要卫星c与b实现对接，可让卫星c加速
D．卫星a和b下次相距最近还需经过t＝
解析：D [卫星b绕地球做匀速圆周运动，7.9 km/s是指在地球上发射的物体绕地球飞行做圆周运动所需的最小初始速度，11.2 km/s是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，所以发射卫星b时速度大于7.9 km/s，而小于11.2 km/s，故A错误；卫星从低轨道到高轨道需要克服引力做较多的功，卫星a、b质量相同，所以卫星b的机械能大于卫星a的机械能，故B错误；让卫星c加速，所需的向心力增大，由于万有引力小于所需的向心力，卫星c会做离心运动，离开原轨道，所以不能与b实现对接，故C错误；b、c在地球的同步轨道上，所以卫星b、c和地球具有相同的周期和角速度，由万有引力提供向心力，即＝mω2r，ω＝，a距离地球表面的高度为R，所以卫星a的角速度ωa＝，此时a、b恰好相距最近，到卫星a和b下一次相距最近，(ωa－ω)t＝2π，t＝，故D正确．]
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