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- 2021-05-25 发布
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第2讲 动量守恒定律及其应用
考点一 动量守恒定律的理解及应用
动量是否守恒的判断
【典例1】如图所示,A、B两物体的质量之比为mA∶mB=1∶2,它们原来静止在平板车C上,A、B两物体间有一根被压缩了的水平轻质弹簧,A、B两物体与平板车上表面间的动摩擦因数相同,水平地面光滑。当弹簧突然释放后,A、B两物体被弹开(A、B两物体始终不滑出平板车),则有 ( )
A.A、B系统动量守恒
B.A、B、C及弹簧整个系统机械能守恒
C.小车C先向左运动后向右运动
D.小车C一直向右运动直到静止
【解析】选D。A、B两物体和弹簧、小车C组成的系统所受合外力为零,所以系统的动量守恒。在弹簧释放的过程中,因mA∶mB=1∶2,由摩擦力公式Ff=μFN=μmg知,A、B两物体所受的摩擦力大小不等,所以A、B两物体组成的系统合外力不为零,A、B两物体组成的系统动量不守恒,A物体对小车向左的滑动摩擦力小于B对小车向右的滑动摩擦力,在A、B两物体相对小车停止运动之前,小车所受的合外力向右,会向右运动,因存在摩擦力做负功,最终整个系统将静止,则系统的机械能减为零,不守恒,故A、B、C错误,D正确。
【多维训练】(多选)(2019·宣城模拟)如图所示,小车在光滑水平面上向左匀速运动,水平轻质弹簧左端固定在A点,物体与固定在A点的细线相连,弹簧处于压缩状态(物体与弹簧未连接),某时刻细线断了,物体沿车滑动到B端粘在B端的油泥上,取小车、物体和弹簧为一个系统,下列说法正确的是
( )
A.若物体滑动中不受摩擦力,则该系统全过程机械能守恒
B.若物体滑动中有摩擦力,则该系统全过程动量守恒
18
C.不论物体滑动中有没有摩擦,小车的最终速度与断线前相同
D.不论物体滑动中有没有摩擦,系统损失的机械能相同
【解析】选B、C、D。物体与油泥粘合的过程,发生非弹簧碰撞,系统机械能有损失,故A错误;整个系统在水平方向不受外力,竖直方向上合外力为零,则系统动量一直守恒,故B正确;取系统的初速度方向为正方向,根据动量守恒定律可知,物体在沿车滑动到B端粘在B端的油泥上后系统共同的速度与初速度是相同的,故C正确;由C的分析可知,当物体与B端油泥粘在一起时,系统的速度与初速度相等,所以系统的末动能与初动能是相等的,系统损失的机械能等于弹簧的弹性势能,与物体滑动中有没有摩擦无关,故D正确。
某一方向上的动量守恒问题
【典例2】(2019·六安模拟)如图所示将一光滑的半圆槽置于光滑水平面上,槽的左侧有一固定在水平面上的物块。今让一小球自左侧槽口A的正上方从静止开始落下,与圆弧槽相切自A点进入槽内,则以下结论中正确的是 ( )
A.小球在半圆槽内运动的全过程中,只有重力对它做功
B.小球在半圆槽内运动的全过程中,小球与半圆槽在水平方向动量守恒
C.小球自半圆槽的最低点B向C点运动的过程中,小球与半圆槽在水平方向动量守恒
D.小球离开C点以后,将做竖直上抛运动
【通型通法】
1.题型特征:水平方向上满足动量守恒。
2.思维导引:
【解析】选C。当小球在槽内由A运动到B的过程中,左侧物块对槽有作用力,小球与槽组成的系统水平方向上的动量不守恒,故B错误;当小球由B运动到C的过程中,因小球对槽有斜向右下方的压力,槽做加速运动,动能增加,小球机械能减少,槽对小球的支持力对小球做了负功,故A错误;小球从B到C的过程中,系统水平方向合外力为零,
18
满足系统水平方向动量守恒,故C正确;小球离开C点以后,既有竖直向上的分速度,又有水平分速度,小球做斜上抛运动,故D错误。
人船模型问题
【典例3】如图所示,质量m=60 kg的人,站在质量M=300 kg的车的一端,车长L=3 m,相对于地面静止。当车与地面间的摩擦可以忽略不计时,人由车的一端走到另一端的过程中,车将 ( )
A.后退0.5 m B.后退0.6 m
C.后退0.75 m D.一直匀速后退
【解析】选A。人车组成的系统动量守恒,则mv1=Mv2,所以mx1=Mx2,又有x1+x2=L,解得x2=0.5 m。
1.动量守恒定律的五个特性:
矢量性
动量守恒定律的表达式为矢量方程,解题应选取统一的正方向
相对性
各物体的速度必须是相对同一参考系的速度(一般是相对于地面)
同时性
动量是一个瞬时量,表达式中的p1、p2、…必须是系统中各物体在相互作用前同一时刻的动量,p1′、p2′、…必须是系统中各物体在相互作用后同一时刻的动量
系统性
研究的对象是相互作用的两个或多个物体组成的系统
普适性
动量守恒定律不仅适用于低速宏观物体组成的系统,还适用于接近光速运动的微观粒子组成的系统
2.应用动量守恒定律的解题步骤:
(1)明确研究对象,确定系统的组成(系统包括哪几个物体及研究的过程)。
(2)进行受力分析,判断系统动量是否守恒(或某一方向上是否守恒)。
18
(3)规定正方向,确定初、末状态动量。
(4)由动量守恒定律列出方程。
(5)代入数据,求出结果,必要时讨论说明。
3.爆炸现象的三个规律:
动量
守恒
由于爆炸是在极短的时间内完成的,爆炸物体间的相互作用力远远大于受到的外力,所以在爆炸过程中,系统的总动量守恒
动能
增加
在爆炸过程中,由于有其他形式的能量(如化学能)转化为动能,所以爆炸后系统的总动能增加
位置
不变
爆炸的时间极短,因而作用过程中,物体产生的位移很小,一般可忽略不计,可以认为爆炸后仍然从爆炸前的位置以新的动量开始运动
【加固训练】
1.一质量为m的烟花弹获得动能E后,从地面竖直升空。当烟花弹上升的速度为零时,弹中火药爆炸将烟花弹炸为质量相等的两部分,两部分获得的动能之和也为E,且均沿竖直方向运动。爆炸时间极短,重力加速度大小为g,不计空气阻力和火药的质量。求:
(1)烟花弹从地面开始上升到弹中火药爆炸所经过的时间。
(2)爆炸后烟花弹向上运动的部分距地面的最大高度。
【解析】(1)设烟花弹上升的初速度为v0,由题给条件有E=m ①
设烟花弹从地面开始上升到火药爆炸所用的时间为t,由运动学公式有0-v0=
-gt ②
联立①②式得t= ③
(2)设爆炸时烟花弹距地面的高度为h1,由机械能守恒定律有E=mgh1 ④
火药爆炸后,烟花弹上、下两部分均沿竖直方向运动,设炸后瞬间其速度分别为v1和v2。由题给条件和动量守恒定律有m+m=E ⑤
mv1+mv2=0 ⑥
18
由⑥式知,烟花弹两部分的速度方向相反,向上运动部分做竖直上抛运动。设爆炸后烟花弹上部分继续上升的高度为h2,由机械能守恒定律有
m=mgh2 ⑦
联立④⑤⑥⑦式得,烟花弹上部分距地面的最大高度为h=h1+h2= ⑧
答案:(1) (2)
2.(2019·赣州模拟)如图所示,三角形木块A质量为M,置于光滑水平面上,底边长为a,在其顶部有一三角形小木块B质量为m,其底边长为b,若B从顶端由静止滑至底部,则木块后退的距离为 ( )
A. B.
C. D.
【解析】】选C。取向右为正方向,设木块后退的距离为x,B从顶端由静止滑至底部时,B向左运动的距离为a-b-x,则水平方向上A的平均速度大小为,B的平均速度大小为,根据水平方向动量守恒得:M-m=0,解得,x=,故选C。
3.如图所示,质量为M的小车静止在光滑的水平面上,小车AB段是半径为R的四分之一光滑圆弧轨道,BC段是长为L的水平粗糙轨道,两段轨道相切于B点,一质量为m的滑块在小车上从A点静止开始沿AB轨道滑下,然后滑入BC轨道,最后恰好停在C点。已知小车质量M=3m,滑块与轨道BC间的动摩擦因数为μ,重力加速度为g。则 ( )
18
A.全程滑块水平方向相对地面的位移 R+L
B.全程小车相对地面的位移大小s=(R+L)
C.滑块m运动过程中的最大速度vm=
D.μ、L、R 三者之间的关系为R=4μL
【解析】选B。设全程小车相对地面的位移大小为s,则滑块水平方向相对地面的位移 x=R+L-s。取水平向右为正方向,由水平方向动量守恒得m-M=0,即m-M=0,结合M=3m,解得s=(R+L),x=(R+L),故A错误,B正确;滑块刚滑到B点时速度最大,取水平向右为正方向,由动量守恒定律和机械能守恒分别得0=mvm-Mv、mgR=m+Mv2。联立解得 vm=,故C错误;对整个过程,由动量守恒定律得0=(m+M)v′,得v′=0,由能量守恒定律得mgR=μmgL,得 R=μL,故D错误。
考点二 碰撞问题
碰撞的可能性问题
【典例4】(多选)质量分别为mP=1 kg、mQ=2 kg的小球P、Q静止在光滑的水平面上,现给小球P以水平的速度vP0=4 m/s沿直线朝小球Q运动,并发生正碰,分别用vP、vQ表示两小球碰撞结束的速度。则关于vP、vQ的大小可能的是 ( )
A.vP=vQ= m/s
B.vP=-1 m/s,vQ=2.5 m/s
C.vP=1 m/s,vQ=3 m/s
D.vP=-4 m/s,vQ=4 m/s
18
【解析】选A、B。碰撞前总动量为p=mPvP0=4 kg·m/s,碰撞前总动能为Ek=mP=
8 J。如果vP=vQ= m/s,p′=mPvP+mQvQ=4 kg·m/s,Ek′=mP+mQ= J,碰撞过程动量守恒,能量不增加,A正确;如果vP=-1 m/s,vQ=2.5 m/s,p′=mPvP+mQvQ=
4 kg·m/s,Ek′=mP+mQ=6.75 J,能量不增加,碰撞过程动量守恒,B正确;如果vP=1 m/s,vQ=3 m/s,p′=mPvP+mQvQ=7 kg·m/s,碰撞过程动量不守恒,C错误;如果vP=-4 m/s,vQ=4 m/s,p′=mPvP+mQvQ=4 kg·m/s,Ek′=mP+mQ=
24 J,碰撞过程动量守恒,动能增加,D错误。
【多维训练】质量为m、速度为v的A球与质量为3m的静止的B球发生正碰。碰撞可能是弹性的,也可能是非弹性的,因此,碰撞后B球的速度可能有不同的值,碰撞后B球的速度大小可能是 ( )
A.0.6v B.0.4v C.0.2v D.v
【解析】选B。根据动量守恒定律得mv=mv1+3mv2,则当v2=0.6v时,v1=-0.8v,则碰撞后的总动能Ek′=m(-0.8v)2+×3m(0.6v)2=1.72×mv2,大于碰撞前的总动能,违反了能量守恒定律,故A项错误;当v2=0.4v时,v1=-0.2v,则碰撞后的总动能为Ek′=m(-0.2v)2+×3m(0.4v)2=0.52×mv2,小于碰撞前的总动能,故可能发生的是非弹性碰撞,B项正确;当v2=0.2v时,v1=0.4v,则碰撞后的A球的速度大于B球的速度,而两球碰撞,A球不可能穿透B球,故C项错误;当v2=v时,v1=-2v,显然碰撞后的总动能大于碰撞前的总动能,故D项错误。
弹性碰撞模型
【典例5】如图,水平面上相距为L=5 m的P、Q两点分别固定一竖直挡板,一质量为M=2 kg的小物块B静止在O点,OP段光滑,OQ段粗糙且长度为d=3 m。一质量为m=1 kg的小物块A以v0=6 m/s的初速度从OP段的某点向右运动,并与B发生弹性碰撞。两物块与OQ
18
段间的动摩擦因数均为μ=0.2,两物块与挡板的碰撞时间极短且均不损失机械能。重力加速度g取10 m/s2,求:
(1)A与B在O点碰后瞬间各自的速度;
(2)两物块各自停止运动时的时间间隔。
【解析】(1)设A、B在O点碰后的速度分别为v1和v2,以向右为正方向。
由动量守恒定律得:mv0=mv1+Mv2
碰撞前后动能相等,则得:m=m+M
解得:v1=-2 m/s,方向向左,v2=4 m/s,方向向右。
(2)碰后,两物块在OQ段减速时加速度大小均为:
a=μg=2 m/s2。
B经过t1时间与Q处挡板相碰,由运动学公式:
v2t1-a=d
得:t1=1 s(t1=3 s舍去)
与挡板碰后,B的速度大小v3=v2-at1=2 m/s,反弹后减速时间t2==1 s
反弹后经过位移s1==1 m,B停止运动。
物块A与P处挡板碰后,以v4=2 m/s的速度滑上O点,经过s2==1 m停止。
所以最终A、B的距离s=d-s1-s2=1 m,
两者不会碰第二次。
在A、B碰后,A运动总时间tA=+=3 s
B运动总时间tB=t1+t2=2 s,
18
则时间间隔ΔtAB=tA-tB=1 s。
答案:(1)2 m/s,方向向左 4 m/s,方向向右
(2)1 s
【多维训练】如图所示,两质量分别为m1和m2的弹性小球A、B叠放在一起,从高度为h处自由落下,h远大于两小球的半径,落地瞬间,B先与地面碰撞,后与A碰撞,所有的碰撞都是弹性碰撞,且都发生在竖直方向、碰撞时间均可忽略不计。已知m2=3m1,则A反弹后能达到的最大高度为 ( )
A.h B.2h
C.3h D.4h
【解析】选D。所有的碰撞都是弹性碰撞,所以不考虑能量损失。设竖直向上为正方向,根据机械能守恒定律和动量守恒定律可得,(m1+m2)gh=(m1+m2)v2,m2v-m1v=m1v1+m2v2,(m1+m2)v2=m1+m2,m1=m1gh1,又m2=3m1,则v1>v2≥0,联立可得h1=4h,选项D正确。
完全非弹性碰撞模型
【典例6】如图所示,质量为m=245 g的物块(可视为质点)放在质量为M=0.5 kg的木板左端,足够长的木板静止在光滑水平面上,物块与木板间的动摩擦因数为μ=0.4。质量为m0=5 g的子弹以速度v0=300 m/s沿水平方向射入物块并留在其中(时间极短),g取10 m/s2。子弹射入后,求:
(1)子弹进入物块后子弹和物块一起向右滑行的最大速度v1。
(2)木板向右滑行的最大速度v2。
18
(3)物块在木板上滑行的时间t。
【通型通法】
1.题型特征:满足动量守恒,机械能不守恒。
2.思维导引:
【解析】(1)子弹进入物块后一起向右滑行的初速度即为物块的最大速度,由动量守恒可得:
m0v0=(m0+m)v1,解得v1=6 m/s。
(2)当子弹、物块、木板三者同速时,木板的速度最大,由动量守恒定律可得:
(m0+m)v1=(m0+m+M)v2,
解得v2=2 m/s。
(3)对物块和子弹组成的整体应用动量定理得:
-μ(m0+m)gt=(m0+m)v2-(m0+m)v1,
解得:t=1 s。
答案:(1)6 m/s (2)2 m/s (3)1 s
【举一反三】在例题的基础上,回答下列问题:
(1)子弹射入物块并留在其中(时间极短),其中的含义是什么?
(2)足够长的木板会使子弹、物块、木板的运动有怎样的结果?
(3)当木板的速度v板=1 m/s时,子弹和物块的速度v物是多大?在此过程中物块相对于木板滑行了多远?
【解析】(1)子弹射入物块并留在其中,说明子弹最终与物块同速。时间极短,说明子弹与物块从相互作用到二者同速的过程中,物块在木板上没来得及移动,而木板此时的速度仍为零。
(2)木板足够长,说明物块最终没有滑出木板,三者最终同速,此时木板速度最大。
(3)由动量守恒定律可得:
(m0+m)v1=Mv板+(m0+m)v物,
可求得v物=4 m/s
由μ(m0+m)g=(m0+m)a,
18
v物=v1-at′可得t′=0.5 s
所以物块相对于木板滑行的距离
d=t′-t′=2.25 m。
答案:(1)(2)见解析
(3)4 m/s 2.25 m
1.碰撞遵循的三条原则:
(1)动量守恒定律。
(2)机械能不增加。
Ek1+Ek2≥Ek1′+Ek2′或+≥+
(3)速度要合理。
①同向碰撞:碰撞前,后面的物体速度大;碰撞后,前面的物体速度大或相等。
②相向碰撞:碰撞后两物体的运动方向不可能都不改变。
2.弹性碰撞讨论:
(1)碰后速度的求解
根据动量守恒和机械能守恒
解得v1′=,
v2′=
(2)分析讨论:
当碰前物体2的速度不为零时,若m1=m2,则v1′=v2,v2′=v1,即两物体交换速度。
18
当碰前物体2的速度为零时,v2=0,则:
v1′=,v2′=,
①m1=m2时,v1′=0,v2′=v1,碰撞后两物体交换速度。
②m1>m2时,v1′>0,v2′>0,碰撞后两物体沿同方向运动。
③m10,碰撞后质量小的物体被反弹回来。
【加固训练】
(2019·湛江模拟)如图所示,水平地面放置A和B两个物块,物块A的质量m1=2 kg,物块B的质量m2=1 kg,物块A、B与地面间的动摩擦因数均为μ=0.5。现对物块A施加一个与水平方向成37°角的外力F,F=10 N,使物块A由静止开始运动,经过12 s物块A刚好运动到物块B处,A物块与B物块碰前瞬间撤掉外力F,物块A与物块B碰撞过程没有能量损失,设碰撞时间很短,A、B两物块均可视为质点,g取10 m/s2,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。求:
(1)计算A与B两物块碰撞前瞬间物块A的速度大小;
(2)若在物块B的正前方放置一个弹性挡板,物块B与挡板碰撞时没有能量损失,要保证A和B两物块能发生第二次碰撞,弹性挡板距离物块B的距离L不得超过多大?
【解析】(1)设物块A与物块B碰前速度为v1,由牛顿第二定律得:Fcos 37°
-μ(m1g-Fsin 37°)=m1a
解得:a=0.5 m/s2
则速度v1=at=6 m/s
(2)设A、B两物块相碰后A的速度为v1′,B的速度为v2,由动量守恒定律得:
m1v1=m1v1′+m2v2,
由机械能守恒定律得:
m1=m1v1′2+m2
联立解得:v1′=2 m/s、v2=8 m/s
18
对物块A用动能定理得:
-μm1gxA=0-m1v1′2
解得:xA=0.4 m
对物块B用动能定理得:
-μm2gxB=0-m2
解得:xB=6.4 m
物块A和物块B能发生第二次碰撞的条件是
xA+xB>2L,
解得L<3.4 m
即要保证物块A和物块B能发生第二次碰撞,弹性挡板距离物块B的距离L不得超过3.4 m。
答案:(1)6 m/s (2)3.4 m
考点三 用力学三大观点解决综合性问题
“子弹打木块”模型
【典例7】如图所示,一质量m1=0.45 kg的平板小车静止在光滑的水平轨道上。车顶右端放一质量m2=0.5 kg的小物块,小物块可视为质点,小物块与小车上表面之间的动摩擦因数μ=0.5。现有一质量m0=0.05 kg的子弹以v0=100 m/s的水平速度射中小车左端,并留在车中,子弹与车相互作用时间很短。g取10 m/s2,求:
(1)子弹刚刚射入小车时,小车的速度大小v1;
(2)要使小物块不脱离小车,小车的长度至少为多少?
【通型通法】
1.题型特征:完全非弹性碰撞,有能量损失。
2.思维导引:
18
【解析】(1)子弹射入小车的过程中,子弹与小车组成的系统动量守恒,由动量守恒定律得
m0v0=(m0+m1)v1,
解得v1=10 m/s。
(2)子弹、小车、小物块组成的系统动量守恒,设当小物块与车共速时,共同速度为v2,两者相对位移大小为L,由动量守恒定律和动能定理有:
(m0+m1)v1=(m0+m1+m2)v2
μm2gL=(m0+m1)-(m0+m1+m2)
解得L=5 m
故要使小物块不脱离小车,小车的长度至少为5 m。
答案:(1)10 m/s (2)5 m
滑块—木板模型问题
【典例8】如图所示,固定的光滑圆弧面与质量为6 kg的小车C的上表面平滑相接,在圆弧面上有一个质量为2 kg的滑块A,在小车C的左端有一个质量为2 kg的滑块B,滑块A与B均可看作质点。现使滑块A从距小车的上表面高h=
1.25 m处由静止下滑,与B碰撞后瞬间粘合在一起共同运动,最终没有从小车C上滑出。已知滑块A、B与小车C的动摩擦因数均为μ=0.5,小车C与水平地面的摩擦忽略不计,取g=10 m/s2。求:
(1)滑块A与B碰撞后瞬间的共同速度的大小。
(2)小车C上表面的最短长度。
【解析】(1)滑块A下滑过程机械能守恒,由机械能守恒定律得:
mAgh=mA
18
代入数据解得:v1=5 m/s
A、B碰撞过程系统动量守恒,以A的初速度方向为正方向,由动量守恒定律得:
mAv1=(mA+mB)v2
代入数据解得:v2=2.5 m/s
(2)A、B、C三者组成的系统动量守恒,以A的初速度方向为正方向,由动量守恒定律得:
(mA+mB)v2=(mA+mB+mC)v3
代入数据解得:v3=1 m/s
由能量守恒定律得:
μ(mA+mB)gL=(mA+mB)-(mA+mB+mC)代入数据解得:L=0.375 m
答案:(1)2.5 m/s (2)0.375 m
“弹簧类”模型
【典例9】如图所示,A、B、C为三个大小相同的小球,mA=0.5 kg,mB=0.3 kg,mC=0.2 kg,A和B固定在轻弹簧的两端(A和B静止在光滑的水平面上)。小球C以初速度v0=8 m/s向右运动,在极短时间Δt=0.1 s内与A发生碰撞后以速度v=-2 m/s被反弹,求:
(1)C与A碰撞过程中的平均作用力大小F;
(2)碰撞过程中损失的机械能ΔE;
(3)弹簧的最大弹性势能Ep。
【通型通法】
1.题型特征:动量守恒,机械能守恒。
2.思维导引:
【解析】(1)对C由动量定理得:
-FΔt=mCv-mCv0
18
代入数据解得F=20 N。
(2)C与A碰撞过程中动量守恒,由动量守恒定律得mCv0=mAvA+mCv,
解得vA=4 m/s
碰撞过程中损失的机械能
ΔE=mC-mCv2-mA=2 J。
(3)A和B在运动过程中动量守恒,机械能守恒,当弹簧压缩到最短时有共同速度,此时弹性势能最大,设共同速度为v1,有mAvA=(mA+mB)v1
mA=(mA+mB)+Ep
联立解得Ep=1.5 J。
答案:(1)20 N (2)2 J (3)1.5 J
三大观点解决力学综合问题
三大观点所涉及的主要内容是“三个运动定律”——牛顿三大定律,“两个定理”——动能定理和动量定理,“三个守恒定律”——能量守恒定律、机械能守恒定律和动量守恒定律。
1.从研究对象上看:
(1)若多个物体的运动状态不同,则一般不宜对多个物体整体应用牛顿运动定律;
(2)若研究对象为单个物体,则不能用动量观点中的动量守恒定律;
(3)若研究对象为一物体系统,且系统内的物体与物体间有相互作用,一般用“守恒定律”去解决问题,但必须注意研究对象是否满足定律的守恒条件。
2.从研究过程上看:
(1)凡涉及瞬间状态的分析和运动性质的分析,则必须要用动力学观点;
(2)凡涉及复杂的直线或曲线运动问题,一般要用能量观点或动量观点;
(3)凡涉及短暂的相互作用问题优先考虑用动量定理;
(4)凡涉及碰撞、爆炸、反冲等问题,一般应用动量守恒定律。
3.从所涉及的物理量看:
(1)如果涉及加速度的问题,则一般要用牛顿运动定律;
(2)如果涉及运动时间或作用时间的问题,一般优先考虑用动量定理,
18
其次考虑用牛顿运动定律;
(3)如果涉及运动的位移或路程的问题,一般优先考虑用功能关系,其次再考虑用牛顿运动定律;
(4)如果涉及初、末速度的问题,一般优先考虑用功能关系,其次考虑用动量观点,最后再考虑用牛顿运动定律。
【加固训练】
如图所示,一条带有圆轨道的长轨道水平固定,圆轨道竖直,底端分别与两侧的直轨道相切,半径R=0.5 m。物块A以v0=6 m/s的速度滑入圆轨道,滑过最高点Q,再沿圆轨道滑出后,与直轨上P处静止的物块B碰撞,碰后粘在一起运动,P点左侧轨道光滑,右侧轨道呈粗糙段、光滑段交替排列,每段长度都为L=0.1 m。物块与各粗糙段间的动摩擦因数都为μ=0.1,A、B的质量均为m=
1 kg(重力加速度g取10 m/s2;A、B视为质点,碰撞时间极短)。
(1)求A滑过Q点时的速度大小v和受到的弹力大小F;
(2)若碰后AB最终停止在第k个粗糙段上,求k的数值;
(3)求碰后AB滑至第n个(n= m/s
在Q点根据牛顿第二定律和向心力公式,得
mg+F=m
所以A受到的弹力
F=-mg=(-1×10) N=22 N。
(2)A与B碰撞遵守动量守恒定律,设碰撞后的速度为v′,则mv0=2mv′
18
所以v′=v0=3 m/s
从碰撞到AB停止,根据动能定理,得
-2μmgkL=0-·2mv′2
所以k===45。
(3)A、B碰撞后到滑至第n个光滑段根据动能定理,得-2μmgnL=·2m-·2mv′2
解得vn=(n
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