高中物理竞赛(运动学) 14页

运动学 一.质点的直线运动运动 1.匀速直线运动 2.匀变速直线运动 3.变速运动: 微元法 问题：如图所示，以恒定的速率v1拉绳子时，物体沿水平面运动的 速率v2是多少？ 设在t（t0）的时间内物体由B点运动到C点，绳子与水平面成 的夹角由增大到+，绳子拉过的长度为s1，物体运动的位移 大小为s2。 因t0，物体可看成匀速运动（必要时可看成匀变速度运动），物体的速度与位移大小成正比， 位移比等于速率比，v平= v即=s/t，s1与s2有什么关系？ 如果取ACD为等腰三角形，则B D=s1，但s1s2cos。 如果取ACD为直角三角形，则s1=s2cos,但DBs1。 普通量和小量；等价、同价和高价 有限量（普通量）和无限量x0的区别. 设有二个小量x1和x2，当 1 2 1  x x   , x1和x2为等价无穷小，可互相代替，当  2 1 x x   普通量, x1 和x2为同价无穷小，当  2 1 x x   （或 0 1 2  x x   ）, x2比x1为更高价无穷小。 在研究一个普通量时,可以忽略小量；在研究一个小量时,可以忽略比它阶数高的小量。 如当0时，AB弧与AB弦为等价，（圆周角）和（弦切角）为同价。 如图OAB为等腰三角形，OAD为直角三角形，OA=OB=OD+BD=OD。 OA AD OA AB OD AD OA AD   ,tan,sin ，即   tansin （等价）。 22sin2cos1 2 2   ，比更高价的无穷小量。 回到问题：因为DD为高价无穷小量，绳子拉过的长度s1=BD=BD，因直角三角形比较方便，常 取直角三角形。（v2=v1/cos） 例：如图所示，物体以v1的速率向左作匀速运动，杆绕O点转动，求 （1）杆与物体接触点P的速率？（v2=v1cos） （2）杆转动的角速度？（=v1sin/OP）。 1. 细杆M绕O轴以角速度为匀速转动,并带动套在杆和固定的AB钢丝上的 小环C滑动,O轴与AB的距离为d，如图所示.试求小环与Ａ点距离为X时， 小环沿钢丝滑动的速度.（答案：  d dx 22  ） 解:设t时刻小环在C位置,经t时间(t足够小),小环移动x,由于 t很小, 所以 也很小,于是小环 的速度 v= x/t,根据图示 关 系,CD=OC,  cos COx  ， 22 dxOC  ,从上面关系得     d dx dxd dxdxOC t OC t xv 22 22 2222 )/(coscoscos    . 2. 用微元法求：自由落体运动，在t1到t2时间内的位移。（答案： 2 1 2 2 2 1 2 1 gtgt  ） 解：把t1到t2的时间分成n等分，每段为t,则 n ttt 12  ,且看成匀速。 则v1=gt1+gt,s1=( gt1+gt)t, v2=gt1+2gt,s2=(gt1+2gt)t, vn=gt1+ngt,sn=(gt1+ngt)t, s=s1+s2+sn= 2 1 2 2 2 12 121 2 1 2 1 2 1 2 )()(2 )1( gtgtttgttgtnntgtngt   . 若v1=gt1,s1=gt1t, v2=gt1+gt,s2=(gt1+gt)t, vn=gt1+（n-1）gt,sn=[gt1+（n-1）gt]t, s=s1+s2+sn= 2 1 2 2 2 12 121 2 1 2 1 2 1 2 )()(2 )1( gtgtttgttgtnntgtngt   也可用图象法求解。 3. 蚂蚁离开巢沿直线爬行,它的速度与到蚁巢中心的距离成反 比,当蚂蚁爬到距巢中心L1=1m的A点处时,速度是v1=2cm/s. 试问蚂蚁从A点爬到距巢中心L2=2m的B点所需的时间为多少 （答案：75s） 解法1:将蚁巢中心定为坐标原点O,OA连线即为x轴正方 向,则坐标x处蚂蚁的速度可表示为 x vLv 11 .将AB连线分成n等份,每等份 n LLx )( 12  .当n 很大时,每小段的运动可看成是匀速运动. 每小段对应的速度为 1 11 1 L vLv  ， xL vLv  1 11 2 ， xnL vLvn )1(1 11  。 ])3()2()([ 1111 1121   xLxLxLLvL x v x v x v xt n 得 7522 ))(( 2 )(]2 )1([ 11 2 1 2 2 11 211221 11 1 11  vL LL vL LLLLLLn vL xnxLvL xn  s 解法2：各种图象的意义？因蚂蚁在任一位置时的速度 xLvv 1 11 , 即 xLvv 11 11  ，1/v-x的图象如图所示。 蚂蚁运动的时间t为如图梯形的面积，t= 11 2 1 2 2 12 11 2 1 22 ))(1( Lv LLLLLv L v   =75s. 二.运动的合成与分解 1.相对运动 4. 某汽艇以恒定的速率沿着河逆流航行,在某一地点丢失一个救生圈,经过t时间才发现丢失, 汽 艇 立 即 调 头 航 行 , 并 在 丢 失 点 下 游 s 距 离 处 追 上 救 生 圈 , 则 水 流 的 速 度 大 小 为 . （答案：s/2t） 以地为参照物,水速为v1,船速为v2,船调头后追上救生圈的时间为t, 对船(v2+v1)t=(v2-v1)+v1(t+t)t，得t=t,所以v1=s/2t. 或以水为参照物,则救生圈静止,t=t,所以v1=s/2t 5. 在空间某点,向三维空间的各个方向以大小相同的速度v0射出很多的小球,问(1)这些小球在 空间下落时会不会相碰?(2)经t时间这些小球中离得最远的二个小球间的距离是多少? （答案：不会相碰；2v0t） 解(1)选取在小球射出的同时开始点作自由下落作参照系,则小球都以v0的速度作匀速 直线运动,小球始终在以抛出点为圆心的球面上,所以小球不会相碰.(2)这些小球中离得最 远的二个小球间的距离等于球面的直径,即d=2v0t. 6. 一只气球以10m/s的速度匀速上升,某时刻在气球正下方距气球为10m的地方有一个石子以v0 的初速度竖直上抛(取g=10m/s2),石子要击中气球,则v0应满足什么条件? （答案： )21(100 v m/s） 解法1:设气球的速度为v,开始相距为h,当石子与气球的速度相等时追上,石子要击中气 球,否则石子不能击中气球, 速度相等时所用的时间t=(v0-v)/a---(1), 则好击中时的位移关系为v0t- 2 1 gt22=vt+h---(2) 解得石子的初速度至少 )21(1020  ghvv m/s. 解法2:以气球为参照物,则初速度v1=v0-v,未速度v2=0,所以(v0-v)2=2gh, 解得石子的初速度至少 )21(1020  ghvv m/s. 2.物体系的相关速度：杆、绳上各点在同一时刻具有相同的沿杆、绳的分速度（即两质点间的距 离的改变只取决于沿它们连线方向分运动，而它们相对方们位改变只取决于垂直连线方向的分运 动）。 求下列各图中v1和v2的关系. 答案依次是：A:v1=v2cos;B:v1=v2cos;C:v1cos=v2cos;D:v2=vtan; 7. 如图所示，AB杆的A端以匀速v沿水平地面向右运动，在运 动时杆恒与一半圆周相切，半圆周的半径为R，当杆与水平 线的交角为时，求此时： （1）杆上与半圆周相切点C的速度大小。 （2）杆转动的角速度。 （3）杆上AC中点的速度大小。 （4）杆与半圆周相切的切点的速度大小。 [答案：（1） cosv ；（2）  sintanR v ；（3）； 4 sincos 2 2  v ；（4）  sintanv ] 解：把A的速度分解成沿杆的速度 cos1 vv  ，和垂直杆方向速度 sin2 vv  。 （1）沿同一杆的速度相等，所以杆上与半圆周相切点C的速度大小 cos1 vvvC  。 （2）A点对C点的转动速度为 sin2 vv  ， 所以杆转动的角速度为   sintancot sinsin R v R v AC v  。 （3） 4 sincos)2( 2 2222 1   vvvv AC （4）在相同时间内，杆转过的角度与切点转过的角度相同，所以切点转动的角速度也 为  sintanR v ， 杆与半圆周相切的切点的速度大小  sintanvRvC  。 8. 如图所示，杆 OA 长为 R ，可绕过 O 点的水平轴在竖直平面内转动，其端 点 A 系着一跨过定滑轮 B 、 C 的不可伸长的轻绳，绳的另一端系一物块 M ，滑轮的半径可忽略， B 在 O 的正上方， OB 之间的距离为 H 。某一 时刻，当绳的 BA 段与 OB 之间的夹角为 时，杆的角速度为 ，求此时 物块 M 的速率 Mv 。 解： Av R ， Av 沿绳 BA 的分量 cosM Av v  由正弦定理知 sin sinOAB H R   由图看出 2OAB     由以上各式得 sinMv H  3.运动的合成与分解: 在船渡河中， 水地船水船地 vvv   。推广 乙丙甲乙甲丙 vvv   9. 当骑自行车的人向正东方向以5m/s的速度行驶时,感觉风从正北方向吹来,当骑自行车的人 的速度增加到10m/s时,感觉风从正东北方向吹来.求风对地的速度及的方向. （答案： 25 m/s，方向正东南） V风对地=V风对人+V人对地，得V风对地= 25 m/s，方向正东南 10. 如图所示,质点P1以v1的速度由A向B作匀速直线运动,同时质点P2以v2 的速度由B向C作匀速直线运动,AB=L,ABC=,且为锐角,试确定何时 刻t,P1、P2的间距d最短,为多少? （答案：   cos2 )cos( 21 2 2 2 1 21 vvvv vvLt   ；   cos2 sin 21 2 2 2 1 2 vvvv Lvd   ） 解:以A为参照物,vBA=vB地+v地A。B相对A的运动方向和速度的大小 如图所示. 则B相对A的速度为 cos2 21 2 2 2 1 vvvvv  有正弦定理  sinsin 2 v v ， v vv  cossin1cos 212  当B运动到D时(AD垂直AB)P1、P2的间距d最短,   cos2 sinsin 21 2 2 2 1 2 vvvv LvLd   . 所需的时间     cos2 )cos( cos cos 21 2 2 2 1 21 21 vvvv vvL v v vvL v Lt     . 11. 一半径为R的半圆柱体沿水平方向向右以速率为v做匀速运动.在半 圆柱体上搁置一根竖直杆,杆与半圆柱体接触为点P，此杆只能沿竖 直方向运动,如图所示.求当OP与柱心的连线与竖直方向的夹角为时,竖直杆运动的速度和 加速度. （答案：vtan； 3 2 cosR va  ） 解:(1)取半圆柱体作为参照系.在此参照 系中P点做圆周运动,v杆柱的方向沿着圆上P点 的 切 线 方 向 ,v 杆 地 的 方 向 竖 直 向 上 , 因 为 柱地杆柱杆地 vvv   , 矢量图如图a所示.得v杆地=vtan。 也可用微元法求. (2)有 柱地杆柱杆地 aaa   , 因a柱地=0,所以a杆地=a杆柱, 而a杆地的方向竖直向下,又a杆柱可分解成切线方向at和法线方向an,矢量图如图b所示, 2 22 cosR v R v an  杆柱 ,所以得到  3 2 coscos R vaa n 杆地 . 问 题 ： 若 圆 柱 体 的 加 速 度 为 a ， 则 a 杆 地 = ？ 柱地柱地杆柱杆地 aaaaaa tn   ，   tan cos 2 22 ntn a，a R v R v a  杆柱 ，a杆地的方向仍在竖直方向上。 三．抛体运动 1.竖直上抛运动:v=v0-gt,s=v0t-gt2/2. 如初速 v0=20m/s 竖直向上抛出,取 g=10m/s2.求经 t=3s 物体的位移. 可用分段解,也可用 s=v0t-gt2/2 直接求解(15m,方向向下) 12. 在地面上的同一点分别以v1和v2的初速度先后竖直向上抛出两个可视作质点的小球,第二个 小球抛出后经过t时间与第一个小球相遇,改变两球抛出的时间间隔,便可改变t的值,已 知v1