2021版高考物理一轮复习第4章曲线运动第3节圆周运动学案 15页

1 第 3 节 圆周运动 考点一 圆周运动的运动学问题 对应学生用书 p74 1．匀速圆周运动 (1)定义：做圆周运动的物体，若在相等的时间内通过的圆弧长__相等__，就是匀速圆 周运动． (2)特点：加速度大小__不变__，方向始终指向__圆心__，是变加速运动． (3)条件：合外力大小__不变__、方向始终与__线速度__方向垂直且指向圆心． 2．描述圆周运动的物理量 常用的有：线速度、角速度、周期、转速、频率、向心加速度等．它们的比较见下表： 定义、意义 公式、单位 线 速 度 1.描述做圆周运动的物体运动__快 慢__的物理量(v) 2．是矢量，方向和半径垂直，和圆 周上__每点切线方向相同__ 1.v＝Δl Δt ＝2πr T 2．单位：m/s 角 速 度 1.描述物体绕圆心__运动快慢__的 物理量(ω) 2．是矢量，在中学阶段不研究其方 向 1.ω＝Δθ Δt ＝__2π T __ 2．单位：rad/s 周期和频率 1.周期是物体沿圆周运动__一周__ 的时间(T) 2．频率是物体单位时间转过的__ 圈数__(f) 1.T＝2πr v ；单位：s 2．f＝1 T ；单位：Hz 向心加速度 1.描述线速度__方向__变化快慢的 物理量(a) 2．方向__指向圆心__ 1.a＝v2 r ＝rω2 2．单位：m/s2 公式 相互 关系 1.v＝rω 2．a＝v2 r ＝rω2＝ωv＝4π2r T2 3.对公式 v＝rω和 a＝v2 r ＝rω2 的理解 2 (1)v＝rω r 一定时 v 与ω成正比 ω一定时 v 与 r 成正比 v 一定时ω与 r 成反比 (2)a＝v2 r ＝rω2 v 一定时 a 与 r 成反比 ω一定时 a 与 r 成正比 【理解巩固 1】 如图所示，当正方形薄板绕着过其中心 O 并与板垂直的转动轴转动时， 板上 A、B 两点( ) A．角速度之比ωA∶ωB＝ 2∶1 B．角速度之比ωA∶ωB＝1∶ 2 C．线速度之比 vA∶vB＝ 2∶1 D．线速度之比 vA∶vB＝1∶ 2 [解析] 板上 A、B 两点的角速度相等，角速度之比ωA∶ωB＝1∶1，选项 A、B 错误；线 速度 v＝ωr，线速度之比 vA∶vB＝1∶ 2，选项 C 错误，D 正确． [答案] D 3 对应学生用书 p75 例 1 如图所示为两级皮带传动装置，转动时皮带均不打滑，中间两个轮子 是固定在一起的，轮 1 的半径和轮 2 的半径相同，轮 3 的半径和轮 4 的半径相同，且为轮 1 和轮 2 半径的一半，则轮 1 边缘的 a 点和轮 4 边缘的 c 点相比( ) A．线速度之比为 1∶4 B．角速度之比为 4∶1 C．向心加速度之比为 8∶1 D．向心加速度之比为 1∶8 [解析] 由题意知 2va＝2v3＝v2＝vc，其中 v2、v3 为轮 2 和轮 3 边缘的线速度，所以 va∶ vc＝1∶2，A 错．设轮 4 的半径为 r，则 aa＝v2 a ra ＝ （vc 2 ）2 2r ＝v2 c 8r ＝1 8 ac，即 aa∶ac＝1∶8，C 错， D 对.ωa ωc ＝ va ra vc rc ＝ va 2r 2va r ＝1 4 ，B 错． [答案] D , 几种常见的传动装置 (1)传动装置的分类 主要有四种：①同轴转动(图甲)；②皮带传动(图乙)；③齿轮传动(图丙)；④摩擦传动 (图丁)． 4 (2)传动装置的特点 传动问题包括皮带传动(链条传动、齿轮传动、摩擦传动)和同轴传动两类，其中运动学 物理量遵循下列规律． ①同轴传动的轮子或同一轮子上的各点的角速度大小相等． ②皮带传动的两轮，皮带不打滑时，皮带接触处的线速度大小相等．链条传动、摩擦传 动也一样． ③齿轮的齿数与半径成正比，即周长＝齿数×齿间距(大小齿轮的齿间距相等)． ④在齿轮传动中，大、小齿轮的转速跟它们的齿数成反比．) 考点二 匀速圆周运动的一般动力学问题 对应学生用书 p75 1．匀速圆周运动的向心力 (1)作用效果：向心力产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小． (2)大小：F＝__mv2 r __＝__mω2r__＝m4π2 T2 r＝mωv＝4π2mf2r.(在 F＝mv2 r 中，v 是运动物 体相对圆心的速度) (3)方向：始终沿半径方向指向__圆心__，时刻在改变，即向心力是一个__变力__． (4)来源：向心力可以由一个力提供，也可能由几个力的合力提供，还可以由一个力的 分力提供． 2．近心运动和离心运动 (1)做圆周运动的物体，如果所受合外力不等于物体做圆周运动所需的向心力，物体将 做近心运动或离心运动． (2)受力特点 ①当 Fn＝mω2r 时，物体做圆周运动． ②当 Fn＝0 时，物体沿切线方向飞出． ③当 Fnmω2r 时，物体将逐渐靠近圆心，做近心运动． 【理解巩固 2】 (多选)如图，物体 m 用不可伸长的细线通过光滑的水平板间的小孔与 砝码 M 相连，且正在做匀速圆周运动，若减少 M 的质量，则物体 m 的轨道半径 r，角速度ω， 线速度 v 的大小变化情况是( ) 5 A．r 不变，v 减小 B．r 增大，ω减小 C．r 增大，v 减小 D．r 减小，ω不变 [解析] 小球在砝码的重力作用下，在光滑水平面上做匀速圆周运动．砝码的重力提供 向心力，当砝码的重量减小，此时向心力大于砝码的重力，从而做离心运动，导致半径变大．当 再次出现砝码的重力与向心力相等时，小球又做匀速圆周运动．由于半径变大从而 M 的势能 增大，而 m 和 M 整个系统机械能守恒，所以 m 的动能要减少，故可确定其 v 变小，故 A 不正 确；由于半径变大，而向心力大小变小，则角速度减小，故 B、C 正确，D 不正确． [答案] BC 对应学生用书 p76 例 2 如图所示，在光滑的圆锥体顶用长为 L 的细线悬挂一质量为 m 的小球， 圆锥体固定在水平面上不动，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为 30°，小球以 速率 v 绕圆锥体轴线做水平圆周运动． (1)当 v1＝ gL 6 时，求细线对小球的拉力大小； (2)当 v2＝ 3gL 2 时，求细线对小球的拉力大小． [审题指导] 先求出小球刚要离开圆锥面时的临界速度，此时支持力为零，根据牛顿第 二定律求出该临界速度．当速度大于临界速度，则物体离开锥面，当速度小于临界速度，物 体还受到支持力，根据牛顿第二定律，物体在竖直方向上的合力为零，水平方向上的合力提 供向心力，求出绳子的拉力． [解析] 小球离开圆锥面的临界条件为圆锥体对小球的支持力 FN＝0，如图甲所示，设此 时小球的线速度为 v0，则 F＝mv2 0 r ＝m v2 0 Lsin 30° ＝mgtan 30° 解得 v0＝ 3gL 6 6 (1)因 v1v0，小球离开圆锥面，对小球受力分析，如图丙所示，有 FT′sin α＝ mv2 2 Lsin α FT′cos α＝mg 解得 FT′＝2mg FT′＝－1 2 mg 舍去 . , 解答圆周运动问题的基本思 路 (1)审清题意，确定研究对象． (2)分析物体的运动情况，即物体的线速度、角速度、周期、轨道平面、圆心、半径等． (3)分析物体的受力情况，画出受力示意图，确定向心力．无论是否为匀速圆周运动， 物体受到沿半径指向圆心的合力一定为其向心力． (4)据牛顿运动定律由向心力的不同表达式列方程． (5)求解并讨论．) 考点三 水平面内的圆周运动 7 对应学生用书 p76 1．火车转弯问题 在平直轨道上匀速行驶的火车，所受合外力为零．在火车转弯时，什么力提供向心力呢？ 若在火车转弯处，让外轨高于内轨，如图所示，转弯时所需向心力由重力和弹力的合力提 供．若轨道水平，转弯时所需向心力应由外轨对车轮的挤压力提供，而这样对车轨会造成损 坏．车速大时，容易出事故． 设车轨间距为 L，两轨高度差为 h，车转弯半径为 R，质量为 M 的火车运行时应当有多 大的速度？ 根据三角形边角关系知 sin θ＝h L ，对火车的受力情况分析得 tan θ＝ F Mg ＝ h L2－h2 . 因为θ角很小，粗略处理时，取 sin θ≈tan θ，故h L ＝ F Mg ，所以向心力 F＝h L Mg，又因 为 F＝Mv2 R ，所以车速 v＝ ghR L . 2．圆锥摆 圆锥摆是运动轨迹在水平面内的一种典型的匀速圆周运动，此类模型的特点是： (1)运动特点：物体做匀速圆周运动，轨迹和圆心在水平面内； (2)受力特点：物体所受的重力与弹力(拉力或支持力)的合力充当向心力，合力的方向 是水平指向圆心的，F＝mgtan α. (3) 周 期 特 点 ： mgtan α ＝ mω2htan α ， 知 ω ＝ g h ， 又 T ＝ 2π ω ＝ 2π h g ＝ 2π Lcos α g ，L 为圆锥摆的摆长．摆长不同的圆锥摆，只要圆锥高度相同，周期就相同． 【理解巩固 3】 如图所示的圆锥摆，摆线与竖直方向的夹角为θ，悬点 O 到圆轨道平 面的高度为 h，下列说法正确的是( ) A．摆球质量越大，则 h 越大 B．角速度ω越大，则摆角θ也越大 C．角速度ω越大，则 h 也越大 D．摆球周期与质量有关 8 [解析] 由圆周运动规律有 mgtan θ＝mω2 r，则 gr h ＝ω2 r 可得 h＝ g ω2，与质量无关， A 错误；由圆周运动规律有 mgtan θ＝mω2r，r＝lsin θ，则有ω＝ g lcos θ ，则角速 度ω越大，则摆角θ也越大，B 正确；由 A 知，h＝ g ω2，则角速度ω越大，则 h 越小；C 错 误；由 T＝2π ω ＝2π lcos θ g 知，摆球周期与质量无关，D 错误． [答案] B 对应学生用书 p77 火车转弯问题 例 3 (多选)火车轨道在转弯处外轨高于内轨，其高度差由转弯半径与火车速度 确定．若在某转弯处规定行驶的速度为 v，则下列说法中正确的是( ) A．当火车以 v 的速度通过此弯路时，火车所受重力与轨道面支持力的合力提供向心力 B．当火车以 v 的速度通过此弯路时，火车所受重力、轨道面支持力和外轨对轮缘弹力 的合力提供向心力 C．当火车速度大于 v 时，轮缘挤压外轨 D．当火车速度小于 v 时，轮缘挤压外轨 [解析] 火车转弯时，为了保护铁轨，应避免车轮边缘与铁轨间的摩擦，故火车受到重 力和支持力的合力完全提供向心力，有 F＝mgtan θ＝mv2 R ，解得 v＝ gRtan θ，故 A 正确，B 错误；若实际转弯速度大于 v， 有离心趋势，与外侧铁轨挤压，反之，挤压内侧铁轨，故 C 正确，D 错误；故选 AC. [答案] AC 圆锥摆问题 例 4 (多选)如图所示，两根长度相同的细线分别系有两个完全相同的小球，细 线的上端都系于 O 点．设法让两个小球均在水平面上做匀速圆周运动．已知 L1 跟竖直方向 的夹角为 60°，L2 跟竖直方向的夹角为 30°，下列说法正确的是( ) 9 A．细线 L1 和细线 L2 所受的拉力大小之比为 3∶1 B．小球 m1 和 m2 的角速度大小之比为 3∶1 C．小球 m1 和 m2 的向心力大小之比为 3∶1 D．小球 m1 和 m2 的线速度大小之比为 3 3∶1 [解析] 由 mg＝F1cos 60°可得 F1＝2mg，由 mg＝F2cos 30°可得 F2＝2 3 3 mg，则细线 L1 和细线 L2 所受的拉力大小之比为 3∶1，选项 A 正确；由 mgtan θ＝mω2Lsin θ，可得小 球的角速度ω＝ g Lcos θ ，则 m1 和 m2 的角速度大小之比为 4 3∶1，选项 B 错误；小球 m1 和 m2 的向心力大小之比为 mgtan 60°∶mgtan 30°＝3∶1，选项 C 正确；由 mgtan θ＝ m v2 Lsin θ ，可得小球 m1 和 m2 的线速度大小之比为v1 v2 ＝ sin θ1tan θ1 sin θ2tan θ2 ＝ 3 3∶1，选项 D 错误． [答案] AC 水平转盘上的圆周运动问题 例 5 有一种餐桌，其中心是一个可以匀速转动的、半径为 R 的圆盘，如图所示．圆 盘与餐桌在同一水平面内且两者之间的间隙可忽略不计，放置在圆盘边缘的小物块(可视为 质点)与圆盘间的动摩擦因数是其与餐桌间动摩擦因数的两倍，设最大静摩擦力等于滑动摩 擦力．现缓慢增大圆盘的转速，直到小物块恰好从圆盘边缘滑出，结果小物块恰好滑到餐桌 的边缘，则餐桌的半径为( ) A．1.5R B．2R C. 2R D. 3R [审题指导] 小物块刚要滑动时，最大静摩擦力提供向心力，滑动后物体在餐桌上做匀 减速运动，利用几何关系解题即可． [解析] 为使物体不从圆盘上滑出，向心力不能大于最大静摩擦力，故μ1mg≥mω2R，解 得ω≤ μ1g R ，物体从圆盘上滑出时的速度为 v1＝ωmR；物体滑到餐桌边缘速度减小到 0 时，恰好不滑落到地面，根据匀变速直线运动规律 2μ2gx1＝v2 1，可得滑过的位移：x1＝ v2 1 2μ2g ， 又μ1＝2μ2，∴x1＝R，故餐桌最小半径：R1＝ x2 1＋R2＝ 2R.故选 C. [答案] C 10 考点四 竖直面内的圆周运动 对应学生用书 p77 1．解答竖直面内的圆周运动问题，主要运用两个力学观点，抓住一个关键． (1)动力学观点：在最高点和最低点由什么力提供向心力； (2)功能的观点：建立起最高点与最低点的速度关系； (3)抓住一个关键：过最高点的临界条件． 2．竖直面内圆周运动中常见的两种模型 轻绳模型 轻杆模型 常见类型 均是不可受到支撑作用的小 球 均是可以受到支撑作用的小 球 过最高点的临界条件 由 mg＝m v2 临 r 得 v 临＝ gr 由小球能运动即可得 v 临＝0 讨论分析 (1)过最高点时， v≥ gr， FN＋mg＝mv2 r ， 绳、轨道对球产生弹力 FN (2)当 v＜ gr时，不能过最高 点，在到达最高点前小球已经 脱离了圆轨道 (1)当 v＝0 时，FN＝mg，FN 为 支持力，沿半径背离圆心 (2)当 0＜v＜ gr时，mg－FN ＝mv2 r ，FN 背离圆心，随 v 的增 大而减小 (3)当 v＝ gr时，FN＝0 (4)当 v＞ gr时，FN＋mg＝ mv2 r ，FN 指向圆心并随 v 的增大 而增大 在最高点的 FN－v2 图线 取竖直向下为正方向 取竖直向下为正方向 【理解巩固 4】 一轻杆一端固定质量为 m 的小球，以另一端 O 为圆心，使小球在竖直 面内做半径为 R 的圆周运动，如图所示，则下列说法正确的是( ) A．小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零 11 B．小球过最高点的最小速度是 gR C．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大 D．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小 [解析] 轻杆可对小球产生向上的支持力，小球经过最高点的速度可以为零，当小球过 最高点的速度 v＝ gR时，杆所受的弹力等于零，A 正确，B 错误；若 v＜ gR，则杆在最高 点对小球的弹力竖直向上，mg－F＝mv2 R ，随 v 增大，F 减小，若 v＞ gR，则杆在最高点对小 球的弹力竖直向下，mg＋F＝mv2 R ，随 v 增大，F 增大，故 C、D 均错误． [答案] A 12 对应学生用书 p78 轻绳模型 例 6 如图所示，长均为 L 的两根轻绳，一端共同系住质量为 m 的小球，另一端 分别固定在等高的 A、B 两点，A、B 两点间的距离也为 L.重力加速度大小为 g.现使小球在 竖直平面内以 AB 为轴做圆周运动，若小球在最高点速率为 v 时，两根轻绳的拉力恰好均为 零，则小球在最高点速率为 2v 时，每根轻绳的拉力大小为( ) A. 3mg B.4 3 3 mg C．3mg D．2 3mg [解析] 小球在运动过程中，A、B 两点与小球所在位置构成等边三角形，由此可知，小 球圆周运动的半径 R＝L·sin 60°＝ 3 2 L，两绳与小球运动半径方向间的夹角为 30°，由 题意，小球在最高点的速率为 v 时，mg＝mv2 R ，当小球在最高点的速率为 2v 时，应有：F＋ mg＝m（2v）2 R ，可解得：F＝3mg.由 2FTcos 30°＝F，可得两绳的拉力大小均为 FT＝ 3mg，A 项正确． [答案] A 轻杆模型 例 7 (多选)长为 L 的轻杆一端固定质量为 m 的小球，另一端有固定转轴 O.现使 小球绕转轴无摩擦在竖直平面内做圆周运动，P 为圆周轨道的最高点．若小球通过圆周轨道 最低点时的速度大小为 9 2 gL，则以下判断正确的是( ) A．小球到达 P 点时的速度小于 gL B．小球不能到达 P 点 C．小球能到达 P 点，且在 P 点受到轻杆向上的弹力 D．小球能到达 P 点，且在 P 点受到轻杆向下的弹力 [解析] 根据动能定理得，－mg·2L＝1 2 mv2 P－1 2 mv2，又 v＝ 9 2 gL，解得 vP＝ 1 2 gL.小 13 球在最高点的临界速度为零，所以小球能到达最高点，故 B 错误，A 正确．设杆子在最高点 表现为支持力，则 mg－F＝mv2 P L ，解得 F＝1 2 mg，故杆表现为支持力，小球在 P 点受到轻杆向 上的弹力，故 C 正确，D 错误． [答案] AC 考点五 圆周运动的临界问题 对应学生用书 p78 与摩擦力有关的临界极值问题 例 8 (多选)如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细线相连 的质量相等的两个物体 A 和 B，它们与盘间的动摩擦因数相同，当圆盘转速加快到两物体刚 要发生滑动时，烧断细线，则( ) A．两物体均沿切线方向滑动 B．物体 B 仍随圆盘一起做匀速圆周运动，同时所受摩擦力减小 C．两物体仍随圆盘一起做匀速圆周运动，不会发生滑动 D．物体 B 仍随圆盘一起做匀速圆周运动，物体 A 发生滑动，离圆盘圆心越来越远 [审题指导] 对 AB 两个物体进行受力分析，找出向心力的来源，即可判断 AB 的运动情 况．做向心运动的条件是提供的向心力大于需要的向心力；做离心现象的条件是提供的向心 力小于需要的向心力． [解析] 当圆盘转速加快到两物体刚要发生滑动时，A 物体靠细线的拉力与圆盘的最大 静摩擦力的合力提供向心力做匀速圆周运动，B 靠指向圆心的最大静摩擦力和拉力的合力提 供向心力，所以烧断细线后，A 所受最大静摩擦力不足以提供其做圆周运动所需要的向心力， A 要发生相对滑动，离圆盘圆心越来越远，但是 B 所需要的向心力小于 B 的最大静摩擦力， 所以 B 仍保持相对圆盘静止状态，做匀速圆周运动，且静摩擦力比绳子烧断前减小．故 B、 D 正确，A、C 错误． [答案] BD 与弹力有关的临界极值问题 例 9 (多选)如图所示，处于竖直平面内的光滑细金属圆环半径为 R，质量均为 m 的带孔小球 A、B 穿于环上，两根长为 R 的细绳一端分别系于 A、B 球上，另一端分别系于圆 14 环的最高点和最低点，现让圆环绕竖直直径转动，当角速度缓慢增大到某一值时，连接 B 球的绳子恰好拉直，转动过程中绳不会断，则下列说法正确的是( ) A．连接 B 球的绳子恰好拉直时，转动的角速度为 2g R B．连接 B 球的绳子恰好拉直时，金属圆环对 A 球的作用力为零 C．继续增大转动的角速度，金属环对 B 球的作用力可能为零 D．继续增大转动的角速度，A 球可能会沿金属环向上移动 [审题指导] 球 A、B 均做匀速圆周运动，合力提供向心力，考虑细线拉力为零的临界情 况，根据牛顿第二定律列式分析即可． [解析] 当连接 B 球的绳刚好拉直时，mgtan 60°＝mRω2sin 60°，求得ω＝ 2g R ，A 项正确；连接 B 球的绳子恰好拉直时，A 球与 B 球转速相同，A 球所受合力也为 mgtan 60°， 又小球 A 所受重力为 mg，可判断出 A 球所受绳的拉力为 2mg，A 球不受金属圆环的作用力， B 项正确；继续增大转动的角速度，连接 B 球的绳上会有拉力，要维持 B 球竖直方向所受外 力的合力为零，环对 B 球必定有弹力，C 项错误；当转动的角速度增大，环对 B 球的弹力不 为零，根据竖直方向上 A 球和 B 球所受外力的合力都为零，可知绳对 A 球的拉力增大，绳应 张得更紧，因此 A 球不可能沿环向上移动，D 项错误． [答案] AB , 1.与摩擦力有关的临界极值 问题 物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力． (1)如果只是摩擦力提供向心力，则最大静摩擦力 fm＝mv2 r ，静摩擦力的方向一定指向圆 心． (2)如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其中一个物体存 15 在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大 且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心． 2．与弹力有关的临界极值问题 (1)压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零． (2)绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力等．)