2021版高考物理一轮复习第4章曲线运动第4节万有引力与天体运动学案 18页

1 第 4 节 万有引力与天体运动 考点一 开普勒定律与万有引力定律 对应学生用书 p79 1．开普勒行星运动定律 定律 内容 图示 开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是 __椭圆__，太阳处在椭圆的一个 焦点上 开普勒第二定律(面积定律) 对任意一个行星来说，它与太阳 的连线在相等的时间内扫过相等 的__面积__ 开普勒第三定律(周期定律) 所有行星的轨道的__半长轴__的 三次方跟它的公转__周期__的二 次方的比值都相等，即a3 T2＝k 2.万有引力定律 (1)内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与物体__质量的乘积__成正 比，与它们之间__距离的平方__成反比． (2)公式：__F＝Gm1m2 r2 __，式中 G 为__引力常量__， G＝__6.67×10－11N·m2/kg2__． (3)适用条件：万有引力定律适用于两质点间万有引力大小的计算． 【理解巩固 1】 判断下列说法的正误． (1)所有行星绕太阳运行的轨道都是椭圆．( ) (2)行星在椭圆轨道上运行速率是变化的，离太阳越远，运行速率越大．( ) (3)只有天体之间才存在万有引力．( ) (4)只要知道两个物体的质量和两个物体之间的距离，就可以由 F＝G m1m2 r2 计算物体间的 万有引力．( ) (5)地面上的物体所受地球的引力方向一定指向地心．( ) (6)两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大．( ) (7)牛顿总结了前人的科研成果，在此基础上，经过研究得出了万有引力定律．( ) (8)牛顿利用扭秤实验装置比较准确地测出了引力常量．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)√ (6)× (7)√ (8)× 2 对应学生用书 p79 开普勒定律 例 1 (多选)如图所示，近地人造卫星和月球绕地球的运行轨道可视为圆．设卫 星、月球绕地球运行周期分别为 T 卫、T 月，地球自转周期为 T 地，则( ) A．T 卫＜T 月 B．T 卫＞T 月 C．T 卫＜T 地 D．T 卫＝T 地 [解析] 因 r 月＞r 同＞r 卫，由开普勒第三定律r3 T2＝k 可知，T 月＞T 同＞T 卫，又同步卫星的 周期 T 同＝T 地，故有 T 月＞T 地＞T 卫，选项 A、C 正确． [答案] AC 万有引力定律 例 2 关于万有引力定律的适用范围，下列说法中正确的是( ) A．只适用于天体，不适用于地面物体 B．只适用于球形物体，不适用于其他形状的物体 C．适用于自然界中任意两个物体之间 D．由万有引力定律可知，如果将一个物体放在地球的球心上，地球对它的万有引力是 无穷大 [解析] 万有引力定律既适用于天体，也适用于地面物体；故 A 错误；万有引力定律适 用于其他形状的物体；故 B 错误；万有引力定律适用于宇宙万物任意两个物体之间；故 C 正确；把地球分成无限份(可视为质点)，各部分对物体的引力适用公式条件，由对称性可得 地球对物体的万有引力为零；故 D 错误． [答案] C 考点二 万有引力与重力的关系 对应学生用书 p80 1．万有引力与重力的关系 3 (1)在赤道处：GMm R2 ＝mg1＋mω2R. (2)在两极处：GMm R2 ＝mg2. (3)在一般位置：万有引力 G Mm R2 等于重力 mg 与向心力 F 向的矢量和． 越靠近南、北两极，g 值越大．由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引 力近似等于重力，即 GMm R2 ＝mg. 2．星体表面及上空的重力加速度 (1)在地球表面附近的重力加速度 g(不考虑地球自转)：mg＝GMm R2 ，得 g＝GM R2 . (2)在地球上空距离地心 r＝R＋h 处的重力加速度 g′：mg′＝G Mm （R＋h）2，得 g′＝ GM （R＋h）2， 所以 g g′ ＝（R＋h）2 R2 . 【理解巩固 2】 已知地球两极的重力加速度大小为 g0，赤道上的重力加速度大小为 g. 若将地球视为质量均匀分布、半径为 R 的球体，地球同步卫星的轨道半径为( ) A．R g0 g0－g 1 3 B．R g g0－g 1 3 C．R g0＋g g0 1 3 D．R g0＋g g 1 3 [解析] 设地球质量为 M，地球赤道上物体的质量为 m，地球同步卫星的轨道半径为 h， 地球的自转周期为 T，则地球两极的物体受到引力等于其重力，即为 GMm R2 ＝mg0，而赤道上物 体受到引力与支持力差值提供向心力，即为 GMm R2 －mg＝m4π2 T2 R，同步卫星所受万有引力等于 向心力 GMm r2 ＝m4π2 T2 r，故地球同步卫星轨道半径为 r＝R g0 g0－g 1 3，故 A 正确． [答案] A 4 对应学生用书 p80 不考虑“自转”情况下万有引力 与重力的关系 例 3 在浩瀚的宇宙中某恒星的质量是地球质量的 p 倍，该恒星的半径是地球半 径的 q 倍，那么该恒星表面的重力加速度与地球表面的重力加速度大小之比为________，恒 星与地球的密度之比为________． [解析] (1)设天体表面某物体的质量为 m，恒星的质量为 M1、半径为 R1、体积为 V1、密 度为ρ1、地球的质量为 M2、半径为 R2、体积为 V2、密度为ρ2， GM1m R2 1 ＝mg1 ① GM2m R2 2 ＝mg2 ② 两式相比得：g1 g2 ＝M1R2 2 M2R2 1 ＝p q2 ρ＝M V ③ V＝4 3 πR3 ④ ρ1 ρ2 ＝ M1 V1 M2 V2 ⑤ 联立化简得：ρ1 ρ2 ＝p q3 [答案] g1 g2 ＝p q2 ρ1 ρ2 ＝p q3 考虑“自转”情况下万有引力 与重力的关系 例 4 假设地球是质量分布均匀的球体，半径为 R.已知某物体静止在两极时与静 止在赤道上时对地面的压力差为ΔF，则地球的自转周期为( ) A．T＝2π R mΔF B．T＝2π mΔF R C．T＝2π RΔF m D．T＝2π mR ΔF [解析] 在赤道上：GMm R2 ＝mg1＋m4π2 T2 R ① 5 在两极：GMm R2 ＝mg2 ② 静止的物体有 mg1＝F1 ③ mg2＝F2 ④ F2－F1＝ΔF ⑤ 联立①②③④⑤得 T＝2π mR ΔF . [答案] D , 1.不考虑地球自转时，地球 表面上的重力加速度 g＝GM R2 . 2．地球赤道上的物体随地球自转的向心力由万有引力与支持力的合力提供，而地球表 面附近做匀速圆周运动的卫星由万有引力提供向心力．) 考点三 人造卫星运行参量的分析与计算 对应学生用书 p80 1．人造卫星 (1)卫星的轨道 ①赤道轨道：卫星的轨道在__赤道__平面内，同步卫星就是其中的一种． ②极地轨道：卫星的轨道过南、北两极，即在__垂直于__赤道的平面内，如极地气象卫 星． ③其他轨道：除以上两种轨道外的卫星轨道． 所有卫星的轨道平面一定通过地球的__球心__． (2)向心力 所有卫星都是由万有引力提供向心力做圆周运动，即：F 万＝GMm r2 ＝mv2 r ＝mω2r＝m4π2 T2 r. 2．地球的同步卫星 6 相对于地面静止且与地球自转具有相同周期的卫星叫地球同步卫星．同步卫星有以下 “七个一定”的特点： (1)轨道平面一定：轨道平面与__赤道平面__共面． (2)周期一定：与地球自转周期__相同__，即 T＝__24__ h. (3)角速度一定：与地球自转的角速度__相同__． (4)高度一定：由 G Mm （R＋h）2＝m 4π2（R＋h） T2 得地球同步卫星离地面的高度 h＝ 3 GMT2 4π2 －R≈3.6×107 m. (5)速率一定：v＝ GM R＋h ≈3.1×103 m/s. (6)向心加速度一定：由 G Mm （R＋h）2＝man 得 an＝ GM （R＋h）2＝gh＝0.23 m/s2，即同步卫 星的向心加速度等于轨道处的重力加速度． (7)绕行方向一定：运行方向与地球自转方向一致． 【理解巩固 3】 如图所示，在轨飞行两年多的“天宫二号”太空实验室目前状态稳定， 已于 2019 年 7 月受控离轨．天宫二号绕地飞行一圈时间约为 90 min，而地球同步卫星绕地 球一圈时间为 24 h，根据此两个数据不能求出的是( ) A．天宫二号与地球同步卫星的角速度之比 B．天宫二号与地球同步卫星的离地高度之比 C．天宫二号与地球同步卫星的线速度之比 D．天宫二号与地球同步卫星的向心加速度之比 [解析] 由题可知二者的周期关系，由 GmM r2 ＝m4π2 T2 r 得：T＝2πr r GM ，所以由题可以 求出二者的轨道半径关系．卫星的角速度为ω＝2π T ＝ GM r3 ，由二者的轨道半径关系即可 求出天宫二号与地球同步卫星的角速度之比，故 A 不符合题意；由 T＝2πr r GM ，则可以 求出二者的轨道半径的关系，但由于地球的半径未知，所以不能求出二者距离地面的高度的 比值，故 B 符合题意；由万有引力提供向心力，得：GmM r2 ＝mv2 r ，解得：v＝ GM r ，由二者的 轨道半径关系即可求出天宫二号与地球同步卫星的线速度之比，故 C 不符合题意；向心加速 度：a＝GM r2 ，由二者的轨道半径关系即可求出天宫二号与地球同步卫星的加速度之比，故 D 不符合题意；本题选择不能求出的，故选 B. [答案] B 7 对应学生用书 p81 人造卫星运行线速度、角速度、 周期及向心加速度大小的计算 例 5 2019 年 1 月，我国在西昌卫星发射中心成功发射了“中星 2D”卫星．“中 星 2D”是我国最新研制的通信广播卫星，可为全国提供广播电视及宽带多媒体等传输任 务．“中星 2D”的质量为 m、运行轨道距离地面高度为 h.已知地球的质量为 M、半径为 R， 引力常量为 G，根据以上信息可知“中星 2D”在轨运行时( ) A．速度的大小为 Gm R＋h B．角速度大小为 GM （R＋h）2 C．加速度大小为 GM （R＋h）2 D．周期为 2πR R GM [解析] “中星 2D”在轨运行时，由万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：GMm r2 ＝ mv2 r ＝mω2r＝ma＝m4π2 T2 r，根据题意有 r＝R＋h. v＝ GM R＋h ，A 错误； ω＝ GM （R＋h）3，B 错误； a＝ GM （R＋h）2，C 正确； T＝2π(R＋h) R＋h GM ，D 错误． [答案] C 近地卫星、同步卫星和赤道上 物体的运行问题 例 6 如图所示，a 是静止在地球赤道地面上的一个物体，b 是与赤道共面的某近 地卫星，c、d 均为地球的卫星，其中 d 是地球的同步卫星，以下关于 a、b、c、d 四者的线 速度、角速度、周期，以及向心加速度的大小关系正确的是( ) 8 A．va>vb>vc>vd B．ωa>ωb>ωc>ωd C．Tbab>ac>ad [审题指导] 赤道上物体 a 与同步卫星 d 的周期相同，以同步卫星 d 为“桥梁”进行比 较． [解析] 对于 b、c、d 三个卫星来说，万有引力提供其做圆周运动的向心力根据上题的 结论“高轨低速长周期”可知：vb>vc>vd，ωb>ωc>ωd，anb>anc>and，Tbωc>ωd＝ωa，Tbra，得 and>ana，得 ab>ac>ad>aa，D 错误．v ＝ωr，ωa＝ωd＝ω，rd>ra，得 vd>va，得 vb>vc>vd>va，A 错误． [答案] C , 1.比较同一个中心天体外 围若干绕行天体之间的线速度、角速度、向心加速度以及周期的大小可以记住口诀：“高轨 低速长周期”．即当绕行天体的轨道半径增大时其线速度、角速度、向心加速度减小，绕行 周期变大． 2．比较中心天体表面的建筑物与绕行天体各参数的大小时，不能直接进行比较，要借 助同步卫星的“桥梁”作用，即建筑物与同步卫星具有共同大小的角速度与周期．) 9 考点四 中心天体质量和密度的计算 对应学生用书 p81 1．基本方法 把天体(或人造卫星)的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由__万有引力__提供． 2．解决天体圆周运动问题的两条思路 (1)在地球表面的物体所受重力和地球对该物体的万有引力差别很小，在一般讨论和计 算时，可以认为 GMm R2 ＝mg，则有__GM＝gR2__． (2)天体做圆周运动的向心力由天体间的万有引力来提供，公式为 GMm r2 ＝mv2 r ＝mrω2＝ m 2π T 2 r＝m(2πf)2r. 3．天体质量 M、密度ρ的估算 测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径 r 和周期 T，由 GMm r2 ＝m 2π T 2 r 得 M＝4π2r3 GT2 ， ρ＝M V ＝ M 4 3 πR3 0 ＝__3πr3 GT2R3 0 __(R0 为中心天体的半径)． 当卫星沿中心天体__表面__绕天体运动时，r＝R0，则ρ＝__3π GT2 __． 【理解巩固 4】 某人造地球卫星沿圆轨道运行，轨道半径 r＝6.8×103 km，周期 T＝ 5.6×103 s，已知万有引力常量 G＝6.67×10－11 N·m2/kg2.根据这些数据可以求得的物理量 为( ) A．地球的质量 B．地球的平均密度 C．地球表面的重力加速度大小 D．地球对该卫星的万有引力大小 [解析] 根据万有引力提供向心力 GmM r2 ＝m4π2 T2 r，M＝4π2r3 GT2 ；代入数据可得：M＝6×1024 kg， 故 A 正确；由于没有给出地球的半径，所以不能求出地球的密度，故 B 错误；由于没有给出 地球的半径，所以不能根据万有引力定律求出地球表面的重力加速度大小，故 C 错误；由于 没有给出卫星的质量，所以不能根据万有引力定律求出地球对该卫星的万有引力大小．故 D 错误． [答案] A 对应学生用书 p82 中心天体质量的计算 10 例 7 (多选)天文爱好者观测卫星“高景一号”绕地球做匀速圆周运动时，发现 该卫星每经过时间 t 通过的弧长为 l，该弧长对应的圆心角为θ弧度．已知引力常量为 G， 则( ) A．高景一号卫星的质量为 t2 Gθl3 B．高景一号卫星的角速度为θ t C．高景一号卫星的线速度大小为 2πl t D．地球的质量为 l3 Gθt2 [解析] 高景一号卫星的质量不可求，选项 A 错误；由题意知，卫星绕地球做匀速圆周 运动的角速度ω＝θ t ，选项 B 正确；卫星绕地球做匀速圆周运动线速度的大小 v＝l t ，选项 C 错误；由 v＝ωr 得 r＝ l θ ，该卫星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，由 GMm r2 ＝mω2r， 解得地球的质量 M＝ l3 Gθt2，选项 D 正确． [答案] BD 中心天体密度的计算 例 8 我国预计在 2020 年左右发射“嫦娥六号”卫星．以下是某同学就有关月球 的知识设计的两个问题，请你解答： (1)若已知地球半径为 R，地球表面的重力加速度为 g，月球中心与地球中心间距离 r， 且把月球绕地球的运动近似看做是匀速圆周运动，试求出月球绕地球运动的周期为 T； (2)若宇航员随“嫦娥六号”登陆月球后，站在月球表面以初速度 v0 水平抛出一个小球， 小球飞行一段时间 t 后恰好垂直地撞在倾角为θ＝37°的的斜坡上，已知月球半径为 R0， 月球质量分布均匀，引力常量为 G，试求月球的密度．(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8) [解析] (1)设地球的质量为 M，月球的轨道半径为 r，则根据万有引力提供向心力：GMm r2 ＝m4π2r T2 在地球表面有： m′g＝GMm′ R2 由以上两式得 T＝2πr R r g . 11 (2)设月球表面的重力加速度为 g 月，由斜面平抛运动规律得： tan θ＝ v0 g 月 t 解得：g 月＝ v0 ttan θ . 在月球表面有：m′g 月＝GMm′ R2 0 由以上两式得： M 月＝ρ4 3 πR3 0 解得月球的密度ρ＝ v0 GtπR0 . , 注意区别中心天体半径 R 和 卫星轨道半径 r，只有在天体表面附近的卫星才有 r≈R；计算天体密度时，V＝4 3 πR3 中的 R 只能是中心天体的半径．) 考点五 卫星变轨问题 对应学生用书 p82 1．速度：如图所示，设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为 v1、v3，在轨道Ⅱ 上过 A 点和 B 点时速率分别为 vA、vB.在 A 点加速，则 vA>v1，在 B 点加速，则 v3>vB，又因 v1>v3， 12 故有 vA>v1>v3>vB. 2．加速度：因为在 A 点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经 过 A 点，卫星的加速度都相同，同理，经过 B 点加速度也相同． 3．周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为 T1、T2、T3，轨道半径分别为 r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律r3 T2＝k 可知 T1v2>v3 B．v1>v3>v2 C．a1>a2>a3 D．T1a3，在 2 轨 道经过 P 点时的加速度 a2＝a3，选项 C 错误．根据开普勒定律，卫星在 1、2、3 轨道上正常 运行时周期 T1