2020届高三物理第二轮专题讲座3-5-1 碰撞与动量守恒 新人教版 18页

碰撞与动量守恒 ‎ 温故自查 ‎1．定义：运动物体的质量和 的乘积叫做动量，通常用p来表示．‎ ‎2．表达式：p＝ .‎ ‎3．单位：由速度单位和质量单位共同确定，即kg·m/s.‎ ‎4．动量是矢量，其方向和 方向相同．‎ 速度 mv 速度 考点精析 ‎1．动量的合成与分解遵从平行四边形定则 动量的变化方向与初、末状态的动量方向不一定相同．求动量变化时，必须规定正方向．动量是状态量，物体的动量与位置或时刻相对应．动量具有相对性，由于动量与速度有关，所以动量具有相对性，一般选地面为参考系．‎ ‎2．动量和动能 ‎(1)动量的表达式为p＝mv，动能的表达式为Ek＝mv2.‎ ‎(2)动量是矢量，动能是标量，大小关系为p2＝2mEk.‎ ‎(3)动量的正(负)表示与规定的正方向相同(反)，动能没有负值.‎ 温故自查 ‎1．内容：相互作用的物体组成的系统 或 ，这个系统的总动量就保持不变，这就是动量守恒定律．‎ ‎2．公式： .‎ ‎3．动量守恒定律适用条件 不受外力 所受外力之和为零时 m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′‎ ‎(1)不受外力或外力的合力为零．不是系统内每个物体所受的合外力为零，更不能认为系统处于平衡状态．‎ ‎(2)近似适用条件：系统内各物体间相互作用的内力远大于它所受到的外力．‎ ‎(3)如果系统在某一方向上所受外力的合力为零，则在这一方向上动量守恒．‎ 考点精析 ‎1．相互作用着的物体组成的物体系统叫做物体系．组成物体系的所有物体的动量的矢量和叫做物体系的总动量．物体系内物体间的相互作用力是内力，系统内的物体与系统外物体间的相互作用力是外力．外力作用可以影响物体系的总动量，系统内物体间的相互作用力虽然可以改变各物体的动量，但不能改变物体系的总动量．‎ ‎2．动量是矢量，动量守恒是指矢量的守恒，变化前的矢量和(公式左)等于变化后的矢量和(公式右)．当上式中两个物体的动量及动量的变化都在一条直线上，那么可假定某一方向的动量为正，相反方向的动量则为负．上式的左、右部分都变成了代数和，上式即是代数式．‎ ‎3．动量守恒定律的不同表达形式及含义 ‎(1)p＝p′(系统相互作用前总动量p等于相互作用后总动量p′)；‎ ‎(2)Δp＝0(系统总动量的增量等于零)；‎ ‎(3)Δp1＝－Δp2(两个物体组成的系统中，各自动量增量大小相等、方向相反)．‎ 其中(1)的形式最常用，具体到实际应用时又有以下常见的三种形式：‎ ‎①m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′(适用于作用前后都运动的两个物体组成的系统)．‎ ‎②0＝m1v1＋m2v2(适用于原来静止的两个物体组成的系统，比如爆炸、反冲等，两者速率及位移大小与各自质量成反比)．‎ ‎③m1v1＋m2v2＝(m1＋m2)v(适用于两物体作用后结合在一起或具有共同速度的情况).‎ 温故自查 设船的质量为M，人的质量为m，开始时人与船均静止，当人从船头向船尾走动时，船会向 方向移动，当人的速度为v2时，船的速度设为v1，则 .‎ 人运动的反 Mv1＋‎ mv2＝0‎ 考点精析 ‎1．原来静止的物体发生相互作用时若所受外力的矢量和为零，则动量守恒．在相互作用过程中，任一时刻两物体的速度大小之比等于其质量的反比；任一段时间内，两个物体通过的对地位移大小之比也等于质量的反比．我们称这种模型为“人船模型”．‎ ‎2．人船模型的适用条件是物体组成的系统动量守恒，且合动量为零．两物体在其内力相互作用下，各物体动量虽然在变化，但总动量仍为零．由0＝Mv1－mv2知 ，由于每时每刻动量总等于零，所以速度比总等于质量的反比，从而得出在其相互作用的过程中位移比也等于质量的反比，即： 也可写成Mx1＝mx2.‎ ‎3．解决这种问题的前提条件是要两物体的初动量为零，画出两物体的运动示意图有利于发现各物理量之间的关系．还要注意各物体的位移是相对于地面的位移.‎ 温故自查 在动量守恒中，等式两边的动量都是相对于同一个参考系而言的，如果在所研究的问题中物体速度的参考系不一样，必须先统一 才可正确求解．‎ 参考系 考点精析 模型：物体A(质量为mA)和B(质量为mB)以速度v0一起匀速运动，某时刻，物体A将物体B以相对自己的速度u向后弹出，物体A的速度变为v.‎ 规律：必须要理解的是，当物体B被扔出时，A的速度已经发生了变化，因此B的相对速度u的参考系是扔出物体B后的A，此时A的速度为v，则速度u是相对v的速度，而不是相对v0的速度．‎ 以物体A的速度v的方向为正方向，则物体B被扔出时相对地的速度为：v′＝v＋u.该式为代数式，如果u的方向是相对A向后的，则u的值应为负．‎ 这样根据动量守恒，有：(mA＋mB)v0＝mAv＋mB(v＋u)‎ 温故自查 动态过程分析问题与一般动量守恒问题不同，它要求对不同的物理过程要做认真具体的分析，切忌不分析 ，用头脑中已有的模型代替新问题而乱套公式．‎ 过程 考点精析 分析动态过程的具体方法：‎ ‎(1)找出运动过程的分界点，将一个复杂过程分解为几个简单过程．‎ ‎(2)对每一段运动过程进行分析，注意分析物体间的相互作用和物体的运动状态．‎ ‎(3)由运动状态变化及物体间相互作用，确定其动量问题.‎ 实验目的 验证碰撞中的动量守恒．‎ 实验原理 如下图所示，质量为m1、m2的两小球在水平方向上发生正碰，水平方向合外力为零，动量守恒：m1v1＝m1v1′＋m2v2′，本实验在误差允许范围内验证上式成立．两小球碰撞后均作平抛运动，下落高度相同时，在落地前运动时间相同，用水平射程间接表示小球平抛的初速度：m1OP＝m1OM＋m2O′N.‎ 实验器材 斜槽，大小相等质量不同的小钢球两个，重锤线一条，白纸，复写纸，天平一台，刻度尺，游标卡尺，圆规，三角板．‎ 实验步骤 ‎1．用天平测两球的质量m1、m2.‎ ‎2．用游标卡尺测两球的直径．‎ ‎3．将斜槽固定在桌边，调整斜槽底座，使斜槽末端的切线水平．‎ ‎4．将被碰球放在斜槽前边的小支柱上，调节小支柱高度，使两球碰撞时一样高，且碰撞后的速度方向都在同一直线上．‎ ‎5．在地上铺一张白纸，白纸上铺放复写纸．‎ ‎6．用重锤线确定斜槽末端在白纸上的垂直投影．‎ ‎7．不放被碰球，让入射球从斜槽上某一高度滚下，重复10次，找出落地点的平均位置P.‎ ‎8．把被碰小球支在小柱上，让入射小球从同一高度滚下，使它们发生正碰．重复实验10次，找出入射小球与被碰球落地点的平均位置M、N.‎ ‎9．测量入射小球碰撞前后的水平距离OP、OM，被碰小球的水平距离O′N.‎ ‎10．比较m1OP与m1OM＋m2O′N 是否相等，如果在误差允许的范围内相等，就验证了动量守恒定律．‎ 注意事项 ‎1．入射球和被碰球m1>m2，r1＝r2.‎ ‎2．斜槽末端切线水平，小支柱与槽口的距离等于小球直径．‎ ‎3．调节支柱高度，使两球正碰时球心等高．‎ ‎4．入射球每次必须从斜槽上同一高度处由静止滑下．‎ ‎5．实验过程中，实验桌、斜槽、记录白纸的位置要始终保持不变．‎ ‎6．小球落地的地面应平坦、坚硬，使着地点清晰．‎ ‎7．落点位置确定：围绕10次落点画一个最小的圆把有效落点围在里面，圆心即所求．‎ 命题规律　根据动量、冲量的定义和动量定理的理解及应用，确定物体的动量、动量变化、冲量的大小．‎ ‎[考例1]　如图所示，PQS是固定于竖直平面内的光滑的圆周轨道，圆心O在S的正上方．在O和P两点处各有一质量为m的小物块a和b，从同一时刻开始，a自由下落，b沿圆弧下滑．以下说法正确的是 (　　)‎ A．a、b在S点的动量相等 B．a、b在S点的动量不相等 C．a、b落至S点重力的冲量相等 D．a、b落至S点合外力的冲量大小相等 ‎[解析]　由机械能守恒定律知，a、b落至S点时速率相等，动量的大小相等．由于动量是矢量，a物块在S点的动量为mv，方向竖直向下，b物块为mv，方向水平向左，故a、b物块在S点的动量不相等，故A项错，B项正确．两物块在O点和P点同一时刻下落时，a做自由落体运动，下落的加速度为g，b沿圆弧做圆周运动，在竖直方向上的平均加速度小于g，故a物块下落的时间比b下落的时间短，则a物块重力的冲量小于b物块重力的冲量，故C项错．由动量定理知，合外力的冲量等于动量的改变量．a、b物块动量的改变量为mv，大小相等、方向不同，故D 项正确．‎ ‎[答案]　BD 一个质点在运动过程中受到的合外力始终不为零，则 ‎(　　)‎ A．A质点的动能一定发生改变 B．质点的动量不可能保持不变 C．质点的加速度方向一定变化 D．质点的运动方向可能不变 ‎[解析]　质点所受到的合外力始终不为零，但力方向未知，由W＝Fscosα，如α＝90°，则合外力不做功，物体动能可能不变，A错误；物体在外力作用下做变速运动，物体的动量等于质量和速度的乘积，一定发生变化，B项正确；物体加速度方向始终与合外力的方向相同，合外力方向不一定变化，则加速度方向也不一定变化，C项错误；当合外力方向与物体的速度方向始终在一条直线上，则物体运动方向可能不变，D项正确．‎ ‎[答案]　BD 命题规律　根据动量守恒的条件，判断系统动量是否守恒．‎ ‎[考例2]　如下图所示，A、B两物体的质量mA>mB，中间用一段细绳相连并有一被压缩的弹簧，放在平板小车C上后，A、B、C均处于静止状态．若地面光滑，则在细绳被剪断后，A、B从C上未滑离之前，A、B在C上向相反方向滑动过程中 (　　)‎ A．若A、B与C之间的摩擦力大小相同，则A、B组成的系统动量守恒，A、B、C组成的系统动量也守恒 B．若A、B与C之间的摩擦力大小不相同，则A、B组成的系统动量不守恒，A、B、C组成的系统动量也不守恒 C．若A、B和C之间的摩擦力大小不相同，则A、B组成的系统动量不守恒，但A、B、C组成的系统动量守恒 D．以上说法均不对 ‎[解析]　当A、B两物体组成一个系统时，弹簧弹力为内力，而A、B和C之间的摩擦力是外力，当A、B与C之间的摩擦力等大反向时，A、B所组成的系统所受合外力为零，动量守恒；当A、B与C之间的摩擦力大小不相等时，A、B组成的系统所受合外力不为零，动量不守恒．而对于A、B、C组成的系统，由于弹簧的弹力、A和B与C之间的摩擦力均是内力，不管A、B与C之间的摩擦力大小是否相等，A、B、C组成的系统所受合外力均为零，动量守恒，所以A、C选项正确，B、D选项错误．‎ ‎[答案]　AC ‎[总结评述]　(1)动量守恒的条件是系统不受外力或所受合外力为零，因此在判断系统动量是否守恒时一定要分清内力和外力；(2)在同一物理过程中，系统的动量是否守恒，与系统的选取密切相关，因此，在运用动量守恒定律解题时，一定要明确在哪一过程中哪些物体组成的系统动量是守恒的．‎ 如图所示，弹簧的一端固定在竖直墙上，质量为m 的光滑弧形槽静止在光滑水平面上，底部与水平面平滑连接，一个质量也为m的小球从槽高h处开始自由下滑(　　)‎ A．在以后的运动过程中，小球和槽的动量始终守恒 B．在下滑过程中小球和槽之间的相互作用力始终不做功 C．被弹簧反弹后，小球和槽都做速率不变的直线运动 D．被弹簧反弹后，小球和槽的机械能守恒，小球能回到槽高h处 ‎[解析]　小球在下滑阶段水平方向合外力为零，故水平方向动量守恒，A错．小球在弧形轨道下滑过程中光滑弧形槽速度增加，动能增加，则它们间作用力做功，B错．由水平方向动量守恒mv槽＝mv球，小球到达槽末端时v槽＝v球，球经弹簧反弹后与v槽大小相等方向相同，故二者始终保持匀速，C对，D错．‎ ‎[答案]　C 命题规律　根据动量守恒、能量守恒观点判断碰撞物体间的质量比、速率大小等．‎ ‎[考例3]　如图所示，甲、乙两小孩各乘一辆冰车在水平冰面上游戏．甲和他的冰车总质量共为30kg，乙和他的冰车总质量也是30kg.游戏时，甲推着一个质量为15kg的箱子和他一起以2m/s的速度滑行，乙以同样大小的速度迎面滑来．为了避免相撞，甲突然将箱子沿冰面推给乙，箱子滑到乙处，乙迅速抓住．若不计冰面摩擦，求甲至少以多大速度(相对地)将箱子推出，才能避免与乙相撞？‎ ‎[解析]　由题意可知，推出后箱子的速度越大，甲、乙相撞的可能性越小．为求推出后箱子的最小速度，其临界条件是乙抓住箱子后的速度与甲推出箱子后的速度大小、方向都相同．据题中所给条件，在整个过程中系统的总动量守恒．同理，甲在推箱子前后，甲与箱子的动量也守恒．设推出后箱子的速度为vx，乙接往箱子后整个系统的速度为v，取甲开始速度的方向为正方向．甲和他的冰车及乙和他的冰车质量为M，箱子质量为m.‎ 对整个系统，整个过程有：‎ ‎(M＋m)v0－Mv0＝(2M＋m)v①‎ 对甲与箱子，推出前后过程有：(M＋m)v0＝Mv＋mvx②‎ 由①可得v＝ m/s，代入②即得：vx＝5.2m/s.‎ ‎[答案]　5.2m/s 总质量为M的列车在平直轨道上以速度v匀速行驶，尾部有一节质量为m 的车厢突然脱钩，机车的牵引力恒定不变，阻力与质量成正比，则脱钩车厢停下时，列车前段的速度多大？‎ ‎[解析]　列车匀速行驶，合外力为零，脱钩后机车的牵引力不变，包括脱钩车厢在内的整段列车阻力不变，合外力仍为零，因而动量守恒，有Mv＝(M－m)v′，故脱钩车厢停下时列车前段的速度v′＝ .‎ 命题规律　根据动量守恒、能量守恒定律、动能定理，求解位移、功、热、速度等物理量．‎ ‎[考例4]　在光滑的水平面上，质量为m1的小球A以速率v0向右运动．在小球A的前方O点有一质量为m2的小球B处于静止状态，如图所示．小球A与小球B发生正碰后小球A、B均向右运动．小球B被在Q点处的墙壁弹回后与小球A在P点相遇，PQ＝1.5PO.假设小球间的碰撞及小球与墙壁之间的碰撞都是弹性的，求两小球质量之比m1/m2.‎ ‎[解析]　设碰撞后小球A和B的速度分别为v1和v2，在碰撞过程中动量守恒，碰撞前后动能相等，则有 m1v0＝m1v1＋m2v2①‎ ‎[答案]　2‎ ‎[总结评述]　本题考查了两小球弹性碰撞的知识，涉及了机械能守恒定律和动量守恒定律的应用，考查了学生的分析和综合能力．‎ ‎(2020·全国卷Ⅰ)质量为M的物块以速度v运动，与质量为m的静止物块发生正碰，碰撞后两者的动量正好相等．两者质量之比M/m可能为 (　　)‎ A．2　　　　B．3　　　　C．4　　　　D．5‎ ‎[解析]　设M碰前的动量为p，碰后的动量为p1，由动量守恒定律得p＝2p1，由能量关系得 由上两式知3m≥M，即 ≤3，故A、B项正确．‎ ‎[答案]　AB 命题规律　主要考查实验原理和数据处理问题 ‎[考例5]　某同学设计了一个用打点计时器做“验证碰撞中的不变量”的实验：在小车A的前端粘有橡皮泥，推动小车A使之做匀速运动，然后与原来静止的小车B相碰并粘合成一体，继续做匀速运动．他设计的具体装置如图甲所示，在小车后连接着纸带，电磁打点计时器使用的电源频率为50Hz，长木板垫着小木片以平衡摩擦力．‎ 图甲 ‎(1)若已得到打点纸带如图乙所示，并测得各计数点间距(标在图上)．A为运动起点，则应该选择________段来计算A碰前的速度，应选择________段来计算A和B碰后的共同速度．(以上空格选填“AB”、“BC”、“CD”、“DE”)．‎ 图乙 ‎(2)已测得小车A的质量m1＝0.40kg，小车B的质量m2＝0.20kg，由以上测量结果可得碰前m1v0＝________kg·m/s；碰后(m1＋m2)v共＝________kg·m/s.‎ 由此得出结论________________________________．‎ ‎[解析]　(1)分析纸带上的点迹可以看出，BC段既表示小车做匀速运动，又表示小车具有较大的速度，故BC段能准确地描述小车A碰前的运动情况，应当选择BC段计算小车A碰前的速度，而DE内小车运动稳定，故应选择DE段计算碰后A和B的共同速度．‎ ‎(2)小车A碰撞前的速度 mAv0＝0.40×1.050kg·m/s＝0.420kg·m/s 碰后A和B的共同速度 碰撞后A和B：‎ ‎(m1＋m2)v共＝(0.20＋0.40)×0.695kg·m/s＝0.417k·m/s 结论：在误差许可的范围内，碰撞中mv的矢量和是守恒的．‎ ‎[答案]　(1)BC　DE ‎(2)0.420　0.417　在误差许可的范围内，碰撞中mv的矢量和是守恒的 ‎[总结评述]　因小车是匀速运动，纸带上应取打点均匀的一段来计算速度，算出碰前小车速度v0及碰后A和B的共同速度v共，再验证碰前动量pA＝m1v0与碰后总动量pAB＝(m1＋m2)v共是否相等．‎ 气垫导轨是常用的一种实验仪器，它是利用气泵带孔的导轨与滑块之间形成气垫，使滑块悬浮在导轨上，滑块在导轨上的运动可视为没有摩擦．我们可以用带竖直挡板C和D的气垫导轨以及滑块A和B来探究碰撞中的不变量，实验装置如图所示(弹簧的长度忽略不计)，采用的实验步骤如下：‎ a．用天平分别测出滑块A、B的质量mA、mB.‎ b．调整气垫导轨，使导轨处于水平．‎ c．在A和B间放入一个被压缩的轻弹簧，用电动卡销锁定，静止地放置在气垫导轨上．‎ d．用刻度尺测出A的左端至C板的距离L1.‎ e．按下电钮放开卡销，同时使分别记录滑块A、B运动时间的计时器开始工作．当A、B滑块分别碰撞C、D挡板时停止计时，记下A、B分别到达C、D的运动时间t1和t2.‎ ‎(1)实验中还应测量的物理量是________．‎ ‎(2)利用上述测量的实验数据，得出关系式________成立，即可得出碰撞中守恒的量mv的矢量和，上式中算得的A、B两滑块的动量大小并不完全相等，产生误差的原因是_________________________________________.‎ ‎(3)利用上述实验数据能否测出被压缩弹簧的弹性势能的大小？如能，请写出表达式．‎ ‎[解析]　(1)要测量B的速度必须要先测出B的位移和发生该位移所用时间，故还应测量的物理量为B的右端至D板的距离L2.‎ ‎(2)因为碰撞之前两物体都静止即总动量为零，所以要得出守恒的是mv的矢量和，需得到的关系式mA－mB＝0.给验证带来误差的原因有测量时间、距离等存在误差，由于阻力、气垫导轨不水平等造成误差(只要答对其中两点即可)．‎ ‎(3)根据能量守恒定律，A、B两物体运动的动量来源于静止时压缩弹簧的弹性势能，故根据动能的总和可求弹簧的弹性势能，即 ‎[答案]　见解析