河北省邢台市高中物理 第十一章 机械振动 11.4 单 摆 11页

‎11.4 单 摆 ‎ ‎[目标定位] 1.理解单摆模型和单摆做简谐运动的条件，知道单摆振动时回复力的来源.2.了解影响单摆周期的因素，掌握单摆的周期公式.3.掌握用单摆测定重力加速度的原理和方法．‎ 一、单摆的回复力 ‎[问题设计]‎ 一阵风吹过，大厅里的吊灯，微微摆动起来，久久不停……(模型如图1)，试着用所学知识证明吊灯的往复运动是简谐运动．‎ 图1‎ ‎[要点提炼]‎ ‎1．单摆 ‎(1)如果细线的 与小球相比可以忽略，线长又比球的 大得多，这样的装置叫做单摆．单摆是实际摆的 模型．‎ ‎(2)单摆的平衡位置：摆球 时所在的位置．‎ ‎2．单摆的回复力 ‎(1)回复力的提供：摆球的重力沿 方向的分力(沿半径方向的合力提供向心力)．‎ ‎(2)回复力的大小：在偏角很小时，F＝－x.‎ ‎3．单摆的运动特点 在偏角很小时做简谐运动，其振动图象遵循 函数规律．‎ 二、单摆的周期 ‎[问题设计]‎ 如图2所示，两个单摆同时释放，我们可以观察到振动的周期不同．影响周期的因素可能有单摆的振幅、质量、摆长，采用什么方法确定周期与这些量的关系？‎ 图2‎ ‎[要点提炼]‎ ‎1．伽利略发现了单摆运动的 ， 得出了单摆的周期公式并发明了摆钟．‎ ‎2．单摆的周期 ‎(1)单摆的周期T＝2π，只与摆长l及单摆所在处的重力加速度有关，与振幅及摆球的质量无关(填“有关”或“无关”)．单摆的周期叫固有周期．‎ ‎(2)单摆的周期公式在单摆偏角 时成立(偏角为5°时，由周期公式算出的周期和精确值相差0.01%)．‎ ‎(3)单摆周期公式中的g应为单摆所在处的重力加速度，l应为单摆的摆长．摆长是指从 到摆球重心的长度，l＝l′＋，l′为摆线长，d为摆球直径．‎ ‎3．计算单摆的周期有两种方法，一是依据T＝2π，二是根据T＝.第一种方法利用了单摆的周期公式，计算的关键是正确确定摆长．第二种方法利用了粗测周期的一种方法，周期的大小虽然不取决于t和N，但利用该种方法计算周期，会受到时间t和振动次数N测量的准确性的影响．‎ 三、实验：用单摆测定重力加速度 ‎1．原理：由T＝2π得g＝.所以，只要测出单摆的 和 ，就可计算出当地的重力加速度．‎ ‎2．器材：铁架台及铁夹，金属小球(有孔)、停表、细线(‎1 m左右)、刻度尺、 ．‎ ‎3．实验步骤 ‎(1)让细线穿过球上的小孔，在细线的穿出端打一个稍大一些的线结，制成一个单摆．‎ ‎(2)将铁夹固定在铁架台上端，铁架台放在实验桌边，使铁夹伸出桌面之外，然后把单摆上端固定在铁夹上，使摆球自由下垂．在单摆平衡位置处做上标记．‎ ‎(3)用刻度尺量出悬线长l′(准确到mm)，用游标卡尺测出摆球的直径d(准确到mm)，然后计算出悬点到球心的距离l＝l′＋即为摆长．‎ ‎(4)把此单摆从平衡位置拉开一个角度，并使这个角度不大于5°，再释放小球．当摆球摆动稳定以后，经过最低位置时，用停表开始计时，测量单摆全振动30次(或50次)的时间，求出 ，即单摆的振动周期．‎ ‎(5)改变摆长，反复测量几次，将数据填入表格．‎ ‎4．数据处理 方法一：将每次测出的周期T及测得的摆长l代入公式g＝，求出重力加速度的值，然后求g的平均值．‎ 方法二：先通过简单的数据分析，对周期T与摆长l的定量关系做出猜测，例如可能是T∝l、T∝l2、T∝、T∝……然后按照猜测来确定纵坐标轴和横坐标轴，例如可以用纵坐标表示T，横坐标表示l2，作出T－l2图象，看T－l2图象是否为直线，从而确定T与l2的关系，再尝试根据图象求出g.‎ ‎5．注意事项 ‎(1)选择材料时应选择细而不易伸长的线，比如用单根尼龙丝、丝线等，长度一般不应短于‎1 m，小球应选用密度较大的金属球，直径应较小，最好不超过‎2 cm.‎ ‎(2)摆动时控制摆线偏离竖直方向的角度应 ．‎ ‎(3)摆球摆动时，要使之保持在同一 ，不要形成圆锥摆．‎ ‎(4)计算单摆的振动次数时，应从摆球通过 时开始计时，以后摆球从同一方向通过 时计数，要测多次(如30次或50次)全振动的时间，用取平均值的办法求周期．‎ 一、单摆的回复力 例1 下列关于单摆的说法，正确的是( )‎ A．单摆摆球从平衡位置运动到正向最大位移处时的位移为A(A为振幅)，从正向最大位移处运动到平衡位置时的位移为－A B．单摆摆球的回复力等于摆球所受的合外力 C．单摆摆球的回复力是摆球重力沿圆弧切线方向的分力 D．单摆摆球经过平衡位置时加速度为零 二、单摆的周期 例2 如图3所示，一摆长为l的单摆，在悬点的正下方的P处固定一光滑钉子，P与悬点相距l－l′，则这个摆做小幅度摆动时的周期为( )‎ 图3‎ A．2π B．2π C．π(＋) D．2π 例3 如图4所示是两个单摆的振动图象．‎ 图4‎ ‎(1)甲、乙两个摆的摆长之比是多少？‎ ‎(2)以向右的方向作为摆球偏离平衡位置的位移的正方向，从t＝0起，乙第一次到达右方最大位移处时，甲振动到了什么位置？向什么方向运动？‎ 三、用单摆测定重力加速度 例4 在做“用单摆测定重力加速度”的实验时，用摆长L和周期T计算重力加速度的公式是g＝________.若已知摆球直径为‎2.00 cm，让刻度尺的零点对准摆线的悬点，摆线竖直下垂，如图5甲所示，则单摆摆长是________m．若测定了40次全振动的时间如图乙中秒表所示，则秒表读数是________s，单摆摆动周期是________．‎ 图5‎ 为了提高测量精度，需多次改变L值，并测得相应的T值．现将测得的六组数据标示在以L为横坐标、以T2为纵坐标的坐标系上，即图6中用“·”表示的点，则：‎ 图6‎ ‎(1)单摆做简谐运动应满足的条件是________．‎ ‎(2)试根据图中给出的数据点作出T2和L的关系图线，根据图线可求出g＝________m/s2.(结果取两位有效数字)‎ ‎1．(单摆的回复力)单摆振动的回复力是( )‎ A．摆球所受的重力 B．摆球重力在垂直悬线方向上的分力 C．悬线对摆球的拉力 D．摆球所受重力和悬线对摆球拉力的合力 ‎2．(单摆的周期)单摆原来的周期为T，下列哪种情况会使单摆周期发生变化( )‎ A．摆长减为原来的 B．摆球的质量减为原来的 C．振幅减为原来的 D．重力加速度减为原来的 ‎3．(单摆周期公式的应用)已知单摆a完成10次全振动的时间内，单摆b完成6次全振动，两摆长之差为‎1.6 m，则两单摆长la与lb分别为( )‎ A．la＝‎2.5 m，lb＝‎0.9 m B．la＝‎0.9 m，lb＝‎‎2.5 m C．la＝‎2.4 m，lb＝‎4.0 m D．la＝‎4.0 m，lb＝‎‎2.4 m 题组一 单摆及其回复力 ‎1．单摆是为研究振动而抽象出的理想化模型，其理想化条件是( )‎ A．摆线质量不计 B．摆线长度不可伸缩 C．摆球的直径比摆线长度短得多 D．只要是单摆的运动就是一种简谐运动 ‎2．关于单摆，下列说法中正确的是( )‎ A．单摆摆球所受的合力指向平衡位置 B．摆球经过平衡位置时加速度为零 C．摆球运动到平衡位置时，所受回复力等于零 D．摆角很小时，摆球所受合力的大小跟摆球相对平衡位置的位移大小成正比 ‎3．关于单摆的运动，下列说法正确的是( )‎ ‎①单摆的回复力是摆线的拉力与重力的合力 ‎②单摆的回复力是重力沿摆球运动轨迹切向的分力 ‎③单摆的周期与摆球质量无关，与振幅无关，与摆长和当地的重力加速度有关 ‎④单摆做简谐运动的条件是摆角很小(不大于5°)‎ ‎⑤在山脚下走时准确的摆钟移到高山上走时将变快 A．①③④ B．②③④‎ C．③④⑤ D．①④⑤‎ 题组二 单摆周期的理解和应用 ‎4．下列说法正确的是( )‎ A．单摆的等时性是惠更斯首先发现的 B．单摆的等时性是伽利略首先发现的 C．惠更斯首先将单摆的等时性用于计时 D．伽利略首先发现了单摆的等时性，并把它用于计时 答案 BC ‎5．将秒摆(周期为2 s)的周期变为1 s，下列措施可行的是( )‎ A．将摆球的质量减半 B．将振幅减半 C．将摆长减半 D．将摆长减为原来的 ‎6.如图1所示，光滑轨道的半径为‎2 m，C点为圆心正下方的点，A、B两点与C点相距分别为‎6 cm与‎2 cm，a、b两小球分别从A、B两点由静止同时释放，则两小球相碰的位置是( )‎ 图1‎ A．C点 B．C点右侧 C．C点左侧 D．不能确定 ‎7．图2为甲、乙两单摆的振动图象，则( )‎ 图2‎ A．若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、乙两单摆的摆长之比为l甲∶l乙＝2∶1‎ B．若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、乙两单摆的摆长之比为l甲∶l乙＝4∶1‎ C．若甲、乙两摆摆长相同，且在不同的星球上摆动，则甲、乙两摆所在星球的重力加速度之比为g甲∶g乙＝4∶1‎ D．若甲、乙两摆摆长相同，且在不同的星球上摆动，则甲、乙两摆所在星球的重力加速度之比为g甲∶g乙＝1∶4‎ ‎8．如图3所示为同一地点的两单摆甲、乙的振动图象，下列说法中正确的是( )‎ 图3‎ A．甲、乙两单摆的摆长相等 B．甲单摆的振幅比乙的大 C．甲单摆的机械能比乙的大 D．在t＝0.5 s时有正向最大加速度的是乙单摆 ‎9．如图4所示为一单摆及其振动图象，由图回答：‎ 图4‎ ‎(1)单摆的振幅为__________，频率为__________，摆长约为________(保留一位有效数字)；图中所示周期内位移x最大的时刻为______．‎ ‎(2)若从E指向G为正方向，α为最大摆角，则图象中A、B、C点分别对应单摆图中的______点．一个周期内加速度为正且减小，并与速度同方向的时间范围是________．势能增加且速度为正的时间范围是__________．‎ 题组三 用单摆测重力加速度 ‎10．某实验小组在利用单摆测定当地重力加速度的实验中：‎ ‎(1)用游标卡尺测定摆球的直径，测量结果如图5所示，则该摆球的直径为________cm.‎ 图5‎ ‎(2)小组成员在实验过程中有如下说法，其中正确的是________．‎ A．把单摆从平衡位置拉开30°的摆角，并在释放摆球的同时开始计时 B．测量摆球通过最低点100次的时间t，则单摆周期为 C．用悬线的长度加摆球的直径作为摆长，代入单摆周期公式计算得到的重力加速度值偏大 D．选择密度较小的摆球，测得的重力加速度值误差较小 ‎11．在“用单摆测定重力加速度”的实验中，由单摆做简谐运动的周期公式得到g＝.只要测出多组单摆的摆长l和运动周期T，作出T2－l图象，就可以求出当地的重力加速度．理论上T2－l图象是一条过坐标原点的直线，某同学根据实验数据作出的图象如图6所示．‎ 图6‎ ‎(1)造成图象不过坐标原点的原因可能是________．‎ ‎(2)由图象求出的重力加速度g＝________m/s2.(取π2＝9.87)‎ ‎12．某同学利用单摆测定当地重力加速度，发现单摆静止时摆球重心在球心的正下方，他仍将从悬点到球心的距离当作摆长l，通过改变摆线的长度，测得6组l和对应的周期T，画出l－T2图线，然后在图线上选取A、B两个点，坐标如图7所示．他采用恰当的数据处理方法，则计算重力加速度的表达式g＝____________，请你判断该同学得到的实验结果与摆球重心就在球心处的情况相比，将__________(填“偏大”“偏小”或“相同”)．‎ 图7‎ ‎13．(1)在用单摆测定重力加速度的实验中，应选用的器材有________．‎ A．‎1 m长的细线 B．‎1 m长的粗线 C．‎10 cm长的细线 D．泡沫塑料小球 E．小铁球 F.秒刻度秒表 G．时钟 H．厘米刻度尺 I．毫米刻度尺 ‎(2)在该实验中，单摆的摆角θ应________，从摆球经过________开始计时，测出n次全振动的时间为t，用毫米刻度尺测出摆线长为L，用游标卡尺测出摆球的直径为d.用上述物理量的符号写出测定重力加速度的一般表达式为g＝________.‎