2020版高中物理 第一章 机械振动 2 单摆学案 教科版选修3-4 12页

‎2　单摆 ‎[学习目标]　1.理解单摆模型及其振动的特点.2.理解单摆做简谐运动的条件，知道单摆振动时回复力的来源.3.了解影响单摆周期的因素，会用周期公式计算周期和摆长.‎ 一、单摆的简谐运动 ‎1.单摆：忽略悬挂小球的细线长度的微小变化和质量，且线长比球的直径大得多，这样的装置叫做单摆.单摆是理想化模型.‎ ‎2.单摆的回复力 ‎(1)回复力的提供：摆球的重力沿圆弧切线方向的分力.‎ ‎(2)回复力的大小：在偏角很小时，F＝－x.‎ ‎3.单摆的运动特点 小球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总是指向平衡位置，单摆在偏角很小时的振动是简谐运动.‎ 二、单摆做简谐运动的周期 ‎1.单摆做简谐运动的周期T跟摆长l的二次方根成正比，跟重力加速度g的二次方根成反比，跟振幅、摆球的质量无关.‎ ‎2.单摆的周期公式：T＝2π.‎ ‎[即学即用]‎ ‎1.判断下列说法的正误.‎ ‎(1)单摆运动的回复力是重力和摆线拉力的合力.(　×　)‎ ‎(2)单摆经过平衡位置时受到的合力为零.(　×　)‎ ‎(3)若单摆的振幅变为原来的一半，则周期也将变为原来的一半.(　×　)‎ ‎(4)一个单摆在月球上摆动的周期大于其在地球上摆动的周期.(　√　)‎ ‎2.一个理想的单摆，已知其周期为T.如果由于某种原因重力加速度变为原来的2倍，振幅变为原来的3倍，摆长变为原来的8倍，摆球质量变为原来的2倍，则它的周期变为________.‎ 答案　2T 12‎ 一、单摆及单摆的回复力 ‎[导学探究]　(1)单摆的回复力就是单摆所受的合外力吗？‎ ‎(2)单摆经过平衡位置时，回复力为零，合外力也为零吗？‎ 答案　(1)回复力不是合外力.单摆的运动可看做是变速圆周运动，其重力可分解为沿悬线方向的分力和沿圆弧切线方向的分力，重力沿圆弧切线方向的分力是使摆球沿圆弧振动的回复力.‎ ‎(2)单摆经过平衡位置时，回复力为零，但合外力不为零.‎ ‎[知识深化]　单摆的回复力 ‎(1)单摆受力：如图1所示，受细线拉力和重力作用.‎ 图1‎ ‎(2)向心力来源：细线拉力和重力沿径向的分力的合力.‎ ‎(3)回复力来源：重力沿圆弧切线方向的分力F＝mgsinθ提供了使摆球振动的回复力.‎ ‎(4)回复力的大小：在偏角很小时，摆球的回复力满足F＝－kx，此时摆球的运动可看成是简谐运动.‎ 例1　图2中O点为单摆的固定悬点，现将摆球(可视为质点)拉至A点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动，B点为运动中的最低位置，则在摆动过程中(　　)‎ 图2‎ A.摆球在A点和C点处，速度为零，合力也为零 12‎ B.摆球在A点和C点处，速度为零，回复力也为零 C.摆球在B点处，速度最大，回复力也最大 D.摆球在B点处，速度最大，细线拉力也最大 答案　D 解析　摆球在摆动过程中，最高点A、C处速度为零，回复力最大，合力不为零，在最低点B处，速度最大，回复力为零，细线的拉力最大.‎ 单摆的回复力是重力在切线方向的分力，或者说是摆球所受合外力在切线方向的分力.摆球所受的合外力在摆线方向的分力提供摆球做圆周运动的向心力，所以并不是合外力完全用来提供回复力.因此摆球经过平衡位置时，只是回复力为零，而不是合外力为零(此时合外力提供摆球做圆周运动的向心力).‎ 二、单摆的周期 ‎[导学探究]　单摆的周期公式为T＝2π.‎ ‎(1)单摆的摆长l等于悬线的长度吗？‎ ‎(2)将一个单摆移送到不同的星球表面时，周期会发生变化吗？‎ 答案　(1)不等于.单摆的摆长l等于悬线的长度与摆球的半径之和.‎ ‎(2)可能会.单摆的周期与所在地的重力加速度g有关，不同星球表面的重力加速度可能不同.‎ ‎[知识深化]　单摆的周期 ‎(1)伽利略发现了单摆运动的等时性，惠更斯得出了单摆的周期公式并发明了摆钟.‎ ‎(2)单摆的周期公式：T＝2π.‎ ‎(3)对周期公式的理解 ‎①单摆的周期公式在单摆偏角很小时成立(偏角小于5°时，由周期公式算出的周期和准确值相差不超过万分之五).‎ ‎②公式中l是摆长，即悬点到摆球球心的距离l＝l线＋r球.‎ ‎③公式中g是单摆所在地的重力加速度，由单摆所在的空间位置决定.‎ ‎④周期T只与l和g有关，与摆球质量m及振幅无关，所以单摆的周期也叫固有周期.‎ 12‎ 例2　如图3所示，单摆的周期为T，则下列说法正确的是(　　)‎ 图3‎ A.把摆球质量增加一倍，其他条件不变，则单摆的周期变短 B.把摆角α变小，其他条件不变，则单摆的周期变短 C.将此摆从地球移到月球上，其他条件不变，则单摆的周期将变长 D.将单摆摆长增加为原来的2倍，其他条件不变，则单摆的周期将变为2T 答案　C 解析　根据单摆的周期公式T＝2π知，周期与摆球的质量和摆角无关，摆长增加为原来的2倍，周期变为原来的倍，故A、B、D错误；月球表面的重力加速度小于地球表面的重力加速度，由周期公式T＝2π知，将此摆从地球移到月球上，单摆的周期将变长，C正确.‎ 例3　如图4所示，三根细线在O点处打结，A、B端固定在同一水平面上相距为l的两点上，使△AOB成直角三角形，∠BAO＝30°，已知OC线长也是l，下端C点系着一个小球(球的大小忽略不计)，下列说法正确的是(以下皆指小角度摆动，重力加速度为g)(　　)‎ 图4‎ A.让小球在纸面内振动，周期T＝2π B.让小球在垂直纸面内振动，周期T＝2π C.让小球在纸面内振动，周期T＝2π D.让小球在垂直纸面内振动，周期T＝2π 答案　A 解析　让小球在纸面内振动，在偏角很小时，单摆做简谐运动，摆长为l，周期T＝2π 12‎ ‎；让小球在垂直纸面内振动，在偏角很小时，单摆做简谐运动，摆长为(l＋l)，周期T′＝2π，A正确，B、C、D错误.‎ 例4　如图5所示，光滑轨道的半径为‎2m，C点为圆心正下方的点，A、B两点与C点相距分别为‎6cm与‎2cm，a、b两小球分别从A、B两点由静止同时放开，则两小球相碰的位置是(　　)‎ 图5‎ A.C点 B.C点右侧 C.C点左侧 D.不能确定 答案　A 解析　由于光滑轨道的半径远远地大于运动的弧长，小球都做简谐运动，类似于单摆.因此周期只与半径有关，与运动的弧长无关，故选项A正确.‎ ‎1.(对单摆回复力的理解)振动的单摆小球通过平衡位置时，关于小球受到的回复力及合力的说法中正确的是(　　)‎ A.回复力为零，合力不为零，方向指向悬点 B.回复力不为零，方向沿轨迹的切线 C.回复力就是合力 D.回复力为零，合力也为零 答案　A 解析　单摆的回复力不是它受到的合力，而是重力沿圆弧切线方向的分力；当摆球运动到平衡位置时，回复力为零，但合力不为零，因为小球还有向心力，方向指向悬点(即指向圆心).‎ ‎2.(单摆的周期公式)一单摆的摆长为‎40cm，摆球在t＝0时刻正从平衡位置向右运动，若g取‎10m/s2，则在1s时摆球的运动情况是(　　)‎ 12‎ A.正向左做减速运动，加速度正在增大 B.正向左做加速运动，加速度正在减小 C.正向右做减速运动，加速度正在增大 D.正向右做加速运动，加速度正在减小 答案　D 解析　由T＝2π，代入数据得T＝1.256s，则1s时，正处于第四个T内，由左侧最大位移向平衡位置运动，即向右做加速运动，加速度减小，D正确.‎ ‎3.(单摆的周期公式)如图6所示，MN为半径较大的光滑圆弧轨道的一部分，把小球A放在MN的圆心处，再把另一小球B放在MN上离最低点C很近的一处，今使两球同时自由释放，则在不计空气阻力时有(　　)‎ 图6‎ A.A球先到达C点 B.B球先到达C点 C.两球同时到达C点 D.无法确定哪一个球先到达C点 答案　A 解析　A球做自由落体运动，到达C点所需时间tA＝，R为圆弧轨道的半径.因为圆弧轨道的半径R很大，B球离最低点C又很近，所以B球可看做沿圆弧做简谐运动，等同于摆长为R的单摆，则运动到最低点C所用的时间是单摆振动周期的，即tB＝＝>tA，所以A球先到达C点.‎ ‎4.(单摆的周期公式)有一单摆，其摆长l＝‎1.02m，摆球的质量m＝‎0.10kg，已知单摆做简谐运动，单摆30次全振动所用的时间t＝60.8s，试求：‎ ‎(1)当地的重力加速度约为多大？‎ ‎(2)如果将这个单摆改为秒摆(周期为2s)，摆长应怎样改变？改变约为多少？‎ 答案　(1)‎9.79m/s2　(2)缩短‎0.027m 12‎ 解析　(1)当单摆做简谐运动时，其周期公式T＝2π，由此可得g＝.因为T＝＝ s≈2.027 s，所以g＝＝ m/s2≈‎9.79 m/s2.‎ ‎(2)秒摆的周期是2 s，设其摆长为l0，由于在同一地点重力加速度是不变的，根据单摆的振动规律有＝，故有：l0＝＝ m≈‎0.993 m.‎ 其摆长要缩短Δl＝l－l0＝‎1.02 m－‎0.993 m＝‎0.027 m.‎ 一、选择题 考点一　单摆及单摆的回复力 ‎1.(多选)单摆是为研究振动而抽象出的理想化模型，其理想化条件是(　　)‎ A.摆线质量不计 B.摆线不可伸缩 C.摆球的直径比摆线长度小得多 D.只要是单摆的运动就是一种简谐运动 答案　ABC 解析　单摆由摆线和摆球组成，摆线只计长度不计质量，摆球只计质量不计大小，且摆线不可伸缩.只有在摆角很小(θ≤5°)的情况下才能视单摆运动为简谐运动.故正确答案为A、B、C.‎ ‎2.关于单摆，下列说法中正确的是(　　)‎ A.摆球运动的回复力是它受到的合力 B.摆球在运动过程中经过轨迹上的同一点，加速度是不变的 C.摆球在运动过程中加速度的方向始终指向平衡位置 D.摆球经过平衡位置时，加速度为零 答案　B 解析　摆球的回复力为重力沿轨迹切线方向的分力，A错误；摆球经过最低点时，回复力为0，但合力提供向心力，C、D错误；由简谐运动特点知B正确.‎ ‎3.(多选)关于单摆的运动，下列说法中正确的是(　　)‎ A.单摆的回复力是摆线的拉力与重力的合力 12‎ B.单摆的回复力是重力沿摆球运动轨迹切向的分力 C.摆球做匀速圆周运动 D.单摆做简谐运动的条件是最大偏角很小，如小于5°‎ 答案　BD 解析　单摆的回复力是重力沿摆球运动轨迹切向的分力，千万不要误认为是摆球所受的合外力，所以A错误，B正确；单摆在摆动过程中速度大小是变化的，不是匀速圆周运动，C错误；在摆角很小时，单摆近似做简谐运动，D正确.‎ ‎4.单摆在振动过程中，当摆球的重力势能增大时，摆球的(　　)‎ A.位移一定减小 B.回复力一定减小 C.速度一定减小 D.加速度一定减小 答案　C 解析　当摆球的重力势能增大时，摆球的位移增大，回复力、加速度增大，速度减小，故C正确.‎ 考点二　单摆的周期公式 ‎5.(多选)某单摆由‎1m长的摆线连接一个直径为‎2cm的铁球组成，关于单摆周期的下列说法正确的是(　　)‎ A.用等大的铜球替代铁球，单摆的周期不变 B.用大球替代小球，单摆的周期不变 C.摆角从5°改为3°，单摆的周期会变小 D.将单摆从赤道移到北极，单摆的周期会变小 答案　AD 解析　用等大的铜球替代铁球，摆长不变，由单摆周期公式T＝2π可知，单摆的周期不变，故A正确；用大球替代小球，单摆摆长变长，单摆的周期变大，故B错误；在小摆角情况下，单摆做简谐运动的周期与摆角无关，摆角从5°改为3°时，单摆周期不变，故C错误；将单摆从赤道移到北极，重力加速度g变大，单摆周期变小，故D正确.‎ ‎6.如图1所示为演示简谐振动的沙摆，已知摆长为l，沙筒的质量为m，沙子的质量为M，沙子逐渐下漏的过程中，摆的周期(　　)‎ 12‎ 图1‎ A.不变 B.先变大后变小 C.先变小后变大 D.逐渐变大 答案　B 解析　在沙摆摆动、沙子逐渐下漏的过程中，沙摆的重心逐渐下降，即摆长逐渐变大，当沙子流到一定程度后，摆的重心又重新上移，即摆长变小，由周期公式可知，沙摆的周期先变大后变小，故选B.‎ ‎7.做简谐运动的单摆，其摆长不变，若摆球的质量增加为原来的倍，摆球经过平衡位置的速度减为原来的，则单摆振动的(　　)‎ A.周期不变，振幅不变 B.周期不变，振幅变小 C.周期改变，振幅不变 D.周期改变，振幅变大 答案　B 解析　由单摆的周期公式T＝2π可知，当摆长l不变时，周期不变，故C、D错误；由能量守恒定律可知mv2＝mgh，其摆动的高度与质量无关，因平衡位置的速度减小，则摆动的最大高度减小，即振幅减小，选项B正确，A错误.‎ ‎8.(多选)惠更斯利用摆的等时性发明了带摆的计时器，叫摆钟.摆钟运行时克服摩擦所需的能量由重力势能提供，运动的速率由钟摆控制.旋转钟摆下端的螺母可以使摆上的圆盘沿摆杆上下移动，如图2所示，下列说法正确的是(　　)‎ 图2‎ A.当摆钟不准时需要调整圆盘位置 12‎ B.摆钟快了应使圆盘沿摆杆上移 C.由冬季变为夏季时应使圆盘沿摆杆上移 D.把摆钟从广州移到北京应使圆盘沿摆杆上移 答案　AC 解析　调整圆盘位置可改变摆长，从而达到调整周期的目的.若摆钟变快，是因为周期变小，应增大摆长，即下移圆盘.由冬季变为夏季，摆杆由于热胀冷缩变长，应上移圆盘.从广州到北京，g值变大，周期变小，应增加摆长，下移圆盘.综上所述，选项A、C正确.‎ ‎9.(多选)图3中两单摆摆长相同，平衡时两摆球刚好接触，现将摆球A在两摆球所在平面内向左拉开一小角度后释放，碰撞后，两摆球分开，各自做简谐运动，以mA、mB分别表示摆球A、B的质量，则(　　)‎ 图3‎ A.如果mA＞mB，下一次碰撞将发生在平衡位置右侧 B.如果mA＜mB，下一次碰撞将发生在平衡位置左侧 C.无论两摆球的质量之比是多少，下一次碰撞都不可能在平衡位置右侧 D.无论两摆球的质量之比是多少，下一次碰撞都不可能在平衡位置左侧 答案　CD 解析　A、B两球碰撞后，B球一定向右摆，A球可能向右摆，也可能向左摆，还可能停下来.由于两单摆摆长相同，因此摆动的周期相同，它们在第一次碰后半个周期回到平衡位置而发生第二次碰撞，C、D正确.‎ ‎10.如图4所示，竖直平面内有一半径为‎1.6m、长为‎10cm的光滑圆弧轨道，小球置于圆弧左端，t＝0时刻起由静止释放，g＝‎10m/s2，t＝2s时小球正在(　　)‎ 图4‎ A.向右加速运动 B.向右减速运动 C.向左加速运动 D.向左减速运动 答案　D 解析　将小球的运动等效成单摆运动，则小球的周期：‎ 12‎ T＝2π＝2πs＝0.8πs≈2.5s.‎ 所以在t＝2s＝T时刻，小球在由最低点向左侧的运动过程中，所以是向左做减速运动.故D正确.‎ 二、非选择题 ‎11.(单摆的周期公式)正在修建的房顶上固定的一根不可伸长的细线垂到三楼窗沿下，某同学应用单摆原理测量窗的上沿到房顶的高度.先将线的下端系上一个小球，发现当小球静止时，细线恰好与窗子上沿接触且保持竖直，他打开窗子，让小球在垂直于墙的竖直平面内摆动，如图5所示，从小球第1次通过图中的B点开始计时，第21次通过B点用时30s；球在最低点B时，球心到窗上沿的距离为‎1m，当地重力加速度g取π‎2m/s2；根据以上数据可得小球运动的周期T＝________s；房顶到窗上沿的高度h＝________m.‎ 图5‎ 答案　3　3‎ 解析　n＝×(21－1)＝10，T＝＝3s，‎ T＝＋＝(2π＋2π)，又l＝‎1m，‎ 解得h＝‎3m.‎ ‎12.(单摆的周期公式)如图6所示，光滑的半球壳半径为R，O点在球心O′的正下方，一小球甲由距O点很近的A点由静止释放，R≫.‎ 图6‎ ‎(1)若另一小球乙从球心O′处自由落下，问两球第一次到达O点的时间比.‎ 12‎ ‎(2)若另一小球丙在O点正上方某处自由落下，为使丙球与甲球在O点相碰，丙球应由多高处自由落下？‎ 答案　(1)π∶4　(2)(n＝1,2,3，…)‎ 解析　(1)小球甲沿圆弧做简谐运动，它第一次到达O点的时间为：t1＝T＝×2π＝.‎ 小球乙做自由落体运动，设到达O点的时间为t2.‎ R＝gt22，所以t2＝，t1∶t2＝π∶4.‎ ‎(2)小球甲从A点由静止释放运动到O点的时间为t＝(2n－1)，n＝1,2,3，…，由O点正上方自由落下的小球丙到达O点的时间也为t时两球才能在O点相碰，所以h＝gt2＝g·(2n－1)2＝(n＝1,2,3，…).‎ 12‎