高中物理人教版必修二第六章第四节万有引力理论的成就导学案 3页

4.万有引力理论的成就 问题导学 一、天体质量和密度的计算[来源:学科网 ZXXK] 活动与探究 1 1．应用万有引力定律求解天体质量的基本思路是什么？[来源:学*科*网 Z*X*X*K] 2．以地球为例，试探究如何求得地球的质量？ 3．能否应 用万有引力定律求解环绕天体的质量？ 迁移与应用 1 已知引力常量 G，地球半径 R，月球和地球之间的距离 r，同步卫星距地面的高度 h， 月球绕地球的运转周期 T1，地球的自转周期 T2，地球表面的重力加速度 g，某同学根据以 上条件，提出一种估算地球质量 M 的方法：同步卫星绕地心做圆周运动，由 GMm h2 ＝m（2π T2 ） 2h，得 M＝4π2h3 GT22 。 （1）请判断上面的结果是否正确，并说明理由，如不正确，请给出正确的解法和结果。 （2）请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法并解得结果。 [来源:学。科。网] 1．计算天体的质量的方法不仅适用于地球，也适用于其他任何星体。注意方法的拓展 应用，明确计算出的是中心天体的质量。 2．天体的质量计算是依据物体绕中心天体做匀速圆周运动，万有引力充当向心力，列 出有关方程求解的，因此解题时首先应明确其轨道半径，再根据其他已知条件列出相应的 方程。涉及方程有： GMm r2 ＝mv2 r ＝mω2r＝4π2mr T2 ＝m（2πf）2r。 3．天体质量的计算 （1）已知天体的表面的重力加速度和半径，根据公式 M＝gR2 G 求解； （2）已知天体 的一颗行星（或卫星）运动的周期 T 和轨道半径 r，利用公式 M＝4π2r3 GT2 求解。 4．天体密度的计算[来源:学科网] （1）已知天体的半径 R，某星体绕该天体运动的轨道半径为 r，其周期为 T，则天体的 密度ρ＝ 3πr3 GT2R3 。 （2）已知天体表面处的重力加速度 g 和天体的半径 R，则ρ＝ 3g 4πRG 。 二、应用万有引力定律解决天体运动问题 活动与探究 2 1．解决天体运动问题的基本思路是什么？ 2．设质量为 m 的天体绕另一质量为 M 的中心天体做半径为 r 的匀速圆 周运动，试推 导出天体运动的线速度、角速度、周期和向心加速度。 迁移与应用 2 如图所示，飞船从轨道 1 变轨至轨道 2。若飞船在两轨道上都做匀速圆周运动，不考虑 质量变化，相对于在轨道1 上，飞船在轨道 2 上的（ ） A．动能大 B．向心加速度大 C．运行周期长 D．角速度小 涉及解决天体运动问题的思维方法是将天体运动建立理想化模型，从而简化天体运动有 关计算。 1．把天体看成理想化的质点模型，天体间的作用力大小 F＝GMm r2 ，r 即两个质点间的 距离，如果是两个匀质球体，则 r 表示两个球体球心间的距离。 2．物体在星球表面所受的重力等于它们的万有引力，GMm R2 ＝mg。（忽略星球自转带来 的影响）[来源:学&科&网] 3．天体的运动看成是理想化的匀速圆周运动，天体做匀速圆周运动所需的向心力由万 有引力提供，涉及的公式有：GMm r2 ＝mv2 r ＝mrω2＝mvω＝mr4π2 T2 或 mg＝mv2 r ＝mrω2＝mvω＝mr4π2 T2 。 答案： 【问题导学】 活动与探究 1：1．答案 ：应用万有引力定律求解天体质量的基本思路是：根据环绕天 体的运动情况，求出其向心加速度，然后根据万有引力充当向心力，进而列方程求解。 2．答案：（1）已知卫星绕地球做匀速圆周运动的半径 r 和运行的周期 T，则由 GMm r2 ＝ mr 4π2 T2 得 M＝4π2r3 GT2 。 （2）已知卫星绕地球做匀速圆周运动的半径 r 和运行的线速度 v，则由 GMm r2 ＝m v2 r 得 M＝rv2 G 。 （3）已知卫星的线速度 v 和运行周期 T，则由 GMm r2 ＝mvω＝mv2π T ＝m v2 r 得 M＝ v3T 2πG 。 （4）已知地球的半径 R 和地球表面的重力加速度 g，则由 mg＝G Mm R2 得 M＝R2g G （黄金 代换）。 3．答案：不能。由 GMm r2 ＝m v2 r 可知，利用此公式只能求出中心天体的质量，而不能求 出环绕天体的质量，因为环绕天体的质量同时出现在方程的两边，已被约掉。 迁移与应用 1：答案：见解析 解析：（1）上面结果是错误的。地球的半径 R 在计算过程中不能忽略。正确的解法 和 结果： G Mm (R＋h)2 ＝m（2π T2 ）2（R＋h）， 得 M＝4π2(R＋h)3 GT22 （2）方法一：对于月球绕地球做圆周运动，由 GMm r2 ＝m（2π T1 ）2r 得 M＝4π2r3 GT21 。 方法二：在地面重力近似等于万有引力， 由 GMm R2 ＝mg 得 M＝gR2 G 。 活动与探究 2：1．答案：天体问题实际上是万有引力定律、牛顿第二定律、匀速圆周 运动规律的综合应用，解决问题的基本思路有两条： 〔思路 1〕利用在中心天体表面或附近万有引力近似等于重力，即 GMm R2 ＝mg0（g0 表示 天体表面的重力加速度）。 注意：在研究卫星的问题中，若已知中心天体表面的重力加速度 g0 时，常运用 GM＝ g0R2 作为桥梁，把“地上”和“天上”联系起来。由于这种代换的作用巨大，此式通常称为 “黄金代换式”。 〔思路 2〕利用万有引力提供向心力。 由此得到一个基本公式 GMm r2 ＝ma，式中 a 表示向心加速度。而向心加速度又有 a＝v2 r 、 a＝ω2r、a＝ωv、a＝4π2r T2 、a＝g 这样几种表达形式，要根据具体问题，把这几种表达式代 入公式讨论相关问题。 2．答案：（1）由 GMm r2 ＝m v2 r 得 v＝ GM r 。 （2）由 GMm r2 ＝mω2r 得ω＝ GM r3 。 （3）由 GMm r2 ＝m（2π T ）2r 得 T＝2π r3 GM 。 （4）由 GMm r2 ＝man 得 an＝GM r2 。 迁移与应用 2：CD 解析：对卫星，万有引力提供向心力 GMm r2 ＝ma＝mv2 r ，得 v＝ GM r ， a＝GM r2 ，可见 r 越大，运行速度 v 越小，动能就越小，加速度 a 越小，周期 T＝2πr v 越大， 角速度ω＝v r 越小，选项 C、D 正确。