高中物理第八章气体1气体的等温变化学案新人教版选修3-31 6页

1 气体的等温变化 1．气体的状态参量 用来描述气体状态的体积、压强、温度三个物理量叫气体的状态参量。 (1)体积：气体的体积是指气体分子所充满容器的容积，即气体所能到达的空间。 单位：米 3(m3)，1 m3＝103 dm3(L)＝106 cm3(mL)。 (2)温度：表示物体的冷热程度。从分子动理论来看，标志着物体内部分子无规则热运 动的剧烈程度。 单位：开尔文(K)，热力学温度与摄氏温度的关系：T＝t＋273.15 K。 (3)压强：气体的压强是气体分子频繁地碰撞器壁而产生的。 单位：帕斯卡(Pa)，一个大气压约为 1.01×105 Pa。 一定质量的气体，它的体积、压强、温度的变化是相互联系的，对于一定质量的气体来 说，这三个量不变，我们就说气体处于一定的状态中；如果三个量中有两个改变或三个都发 生改变，我们就说气体状态发生了变化。 【例 1】 分析自行车车胎漏气过程中的状态参量的变化。 解析：以车胎中原有气体为研究对象，漏气过程是胎内气体等温情况下的膨胀过程，随 其体积的增大，单位时间内撞击内胎的分子数减少，压强减小。 答案：自行车车胎漏气过程中压强减小，体积增大。 题后反思：气体只有一个状态参量发生变化是不可能的。 2．玻意耳定律 (1)内容：一定质量的某种气体，在温度不变的情况下，压强 p 与体积 V 成反比，即 pV ＝常量，或 p1V1＝p2V2。其中 p1、V1 和 p2、V2 分别表示气体在 1、2 两个不同状态下的压强和 体积。 (2)研究对象：一定质量的气体，且这一部分气体保持温度不变。 (3)适用条件：①压强不太大(与大气压相比)，温度不太低(与室温相比)。②被研究的 气体质量不变，温度不变。 (4)数学表达式：p1 p2 ＝V2 V1 ，或 p1V1＝p2V2，或 pV＝C(常量)。 辨误区：玻意耳定律的理解 ①玻意耳定律 p1V1＝p2V2 是个实验定律，阐述的是在温度 不变的情况下，一定质量的气体的变化规律，其中 p1、V1 和 p2、V2 分别表示气体在 1、2 两 个不同状态下的压强和体积。 ②此定律中的常量 C 不是一个普适常量，它与气体所处的温度高低有关，温度越高，常 量 C 越大。 ③由于经常使用 p1V1＝p2V2 或p1 p2 ＝V2 V1 这两种形式，故对单位要求使用统一单位即可。 【例 2】 一气象探测气球，在充有压强为 1×105 Pa (即 76.0 cmHg)、温度为 27.0 ℃ 的氦气时，体积为 3.50 m3。在上升至海拔 6.50 km 高空的过程中，气球内氦气压强逐渐减 到 4.7×104 Pa(36.0 cmHg)，气球内部因启动持续加热过程而维持其温度不变。求此时氦气 的体积(忽略气体的质量变化)。 解析：气球在升空过程中，气球内部因启动持续加热过程而维持其温度不变，对于内部 气体而言是一定质量的气体发生等温变化，符合玻意耳定律的条件，可以用玻意耳定律解决。 在气球上升至海拔 6.50 km 高空的过程中，气球内氦气经历一等温过程。 根据玻意耳定律有 p1V1＝p2V2① 上式中 p1＝76.0 cmHg，V1＝3.50 m3，p2＝36.0 cmHg，V2 是在此等温过程末氦气的体积。 由①式得 V2＝7.39 m3。② 答案：7.39 m3 3.气体等温变化的 pV 图象 在 pV 坐标系上，每一个点表示气体的一个状态，一定质量的气体在温度不变时，其压 强随体积的变化而变化的规律，在 pV 直角坐标系上，是一条被称为等温线的曲线(如图甲所 示)。 若将横坐标改为1 V ，则在 p 1 V 直角坐标系中，表示等温变化的图线变为通过坐标原点的斜 直线(如图乙所示)。 (1)在 pV 图中，等温线是以两坐标轴为渐近线的一簇双曲线(反比例函数)，每一条双曲 线表示一个等温变化过程，由定质量理想气体状态方程 pV＝C(常量)可知：过等温线上任意 一点作两坐标轴的平行线围成的“矩形面积”，表示该状态下的 pV 值，“面积”越大，pV 值就越大，对应的 T 值也越大，在图甲所示中，T2＞T1。 (2)定质量气体的等温变化过程，也可以用 p 1 V 图象来表示，如图乙所示。 等温线是通过原点的直线，由于气体的体积不能无穷大，所以靠近原点附近处应用虚线 表示，该直线的斜率 k＝p/1 V ＝pV∝T，即斜率越大，气体做等温变化的温度越高。 【例 3】 如图所示，A、B 是一定质量的理想气体在两条等温线上的两个状态点，这两 点与坐标原点 O 和对应坐标轴上的 VA、VB 坐标所围成的三角形面积分别为 SA、SB，对应温度 分别为 TA 和 TB，则( ) A．SA＞SB TA＞TB B．SA＝SB TA＜TB C．SA＜SB TA＜TB D．SA＞SB TA＜TB 解析：由图象可知：三角形的面积等于 p 与 V 乘积的1 2 ， 所以 SA＝1 2 pAVA SB＝1 2 pBVB 在 A 点所在的等温线中，其上各点的 pV 乘积相同，因为 p 与 V 成反比，所以 pAVA＜pBVB， 故 SA＜SB。又因为离原点越远，温度越高，所以 TA＜TB。 答案：C 4．汞柱移动问题的解法 当被封闭气体的状态发生变化时，将引起与之关联的汞柱、活塞发生移动，是否移动以 及如何移动的问题可以通过假设推理法来解决。 (1)假设推理法：根据题设条件，假设发生某种特殊的物理现象或物理过程，运用相应 的物理规律及有关知识进行严谨的推理，得出正确的答案。巧用假设推理法可以化繁为简， 化难为易，快捷解题。 (2)极限法：极限法是将物理过程推向极限情况进行分析，很容易得出结论。下题中就 可以认为水银槽足够深，将玻璃管全部插入进行分析。 (3)温度不变情况下的液柱移动问题的特点是：在保持温度不变的情况下改变其他题设 条件，从而引起封闭气体的液柱的移动(或液面的升降，或气体体积的增减)。解决这类问题 通常假设液柱不移动或液面不升降，或气柱体积不变，然后从此假设出发，运用玻意耳定律 等有关知识进行推论，求得正确解答。也可用极限法分析推理。 【例 4】一端封闭的玻璃管倒插入水银槽中，管竖直放置时，管内水银面比管外高 h， 上端空气柱长为 L，如图所示。若将玻璃管向下压一小段距离，则下列说法正确的是( ) A．h 增大，L 减小 B．h 增大，L 不变 C．h 不变，L 减小 D．h 减小，L 减小 解析：公式法：本题的研究对象为封闭气体，可认为空气柱的温度不变。设初始状态空 气柱的体积为 V1，压强为 p1；末状态空气柱的体积为 V2，压强为 p2。由玻意耳定律可得 p1V1 ＝p2V2，即(p0－ρgh)LS＝(p0－ρgh′)L′S。可以看出，若 h′＜h，则 L′＜L；反之若 h′ ＞h，则 L′＞L，而水银面上方的玻璃管总长度减小，所以 h 和 L 都减小。 极限法：设想把管压到试管顶端与水银面齐平，则管中水银面必然比管外水银面低，由 此可知，开始时把玻璃管向下压，高度差 h 必然减小，管中气体压强 p＝p0－ρgh，压强增 大，根据玻意耳定律可知，体积减小，即 L 减小。 假设法：将玻璃管向下压一小段距离，假设管中空气柱长度 L 不变，则 h 减小，空气柱 压强 p＝p0－ρgh 随之增大。根据玻意耳定律知，体积应减小，L 减小。或者假设 h 不变， 由于玻璃管下压，所以 L 变小，再根据玻意耳定律可知，气体压强应增大，由于空气柱压强 p＝p0－ρgh，所以 h 应当减小。 答案：D 5．压强的计算方法 (1)对于密封在某个容器内的气体来说，各部分的压强是处处相等的，如果是在大气中， 要根据地球表面大气压强的情况考虑气体的压强数值，通常都取大气压强为“标准大气压 (用 atm 表示)”。 1 atm＝1.013×105 Pa。近似计算时可认为 1 atm＝1.0×105 Pa，这时气体中各点的压 强也是处处相等的，只有极少的情况下会考虑到由于离地面高度的增加而导致的气体压强减 小。 (2)对于被液体封闭在某个容器中的气体来说，气体的压强要通过与液体交界面处某点 液体的压强来确定，这时要注意考虑液体本身由于重力而产生的压强 p＝ρgh 及液体传递的 压强(帕斯卡原理)。 (3)对于被活塞封闭在容器中的气体来说，一般要取活塞为研究对象，进行受力分析， 而把气体压强对活塞的压力作为所受外力中的一个，通过计算确定出气体的压强。 (4)对于处在加速运动的容器中的气体，无论是被活塞还是液体密封，都要把活塞或液 柱作为研究对象，进行受力分析，把气体压强对活塞或液柱的压力作为所受外力中的一个， 利用牛顿运动定律通过计算确定出气体的压强。 (5)U 形管内被封闭气体的压强，根据连通器原理，U 形管内同种连通的液体同一深度处 压强相等，选取合适的液片(一般取气体与液体交界或与交界处等高的液片)进行分析，列式 解得所求压强。 点技巧：压强的作用 压强是联系力学和热学的桥梁，因此分析有关气体的问题时，压强的求解非常关键。 6．利用玻意耳定律解题的一般步骤 (1)确定研究对象，即被封闭的质量一定的某种气体。 (2)分析状态变化过程，明确初、末状态，确认在状态变化过程中气体的质量和温度保 持不变。 (3)分别找出初、末两状态的压强和体积。 (4)根据玻意耳定律列方程求解。 (5)分析所求结果是否合理。 【例 5－1】 试求甲、乙、丙中各封闭气体的压强 p1、p2、p3、p4。(已知大气压为 p0， 液体的密度为ρ，其他已知条件已标于图上，且均处于静止状态) 解析：由于各液体都处于平衡状态，对于密闭气体的压强，可用平衡条件进行求解。这 类题常以封闭气体的液柱或固体为研究对象，封闭气体的液柱受到内外气体压力和自身重力 相平衡。图甲以液柱为对象，液柱受 3 个力，即液柱的重力 mg、上液面受到密闭气体向下 的压力 p1S、下液面受到大气向上的压力 p0S，其中 S 是液柱的横截面积，m 是液柱的质量(m ＝ρhS)。由平衡条件得 p0S＝p1S＋mg＝p1S＋ρhSg 则 p1＝p0－ρgh。 同理可得乙图 p2＝p0＋ρgh 丙图 p3＝p0＋ρgh1 p4＝p3－ρgh2＝p0－ρg(h2－h1)。 答案：甲图 p1＝p0－ρgh，乙图 p2＝p0＋ρgh， 丙图 p3＝p0＋ρgh1，p4＝p0－ρg(h2－h1)。 【例 5－2】 一圆形汽缸静置于地面上，如图所示。汽缸筒的质量为 M，活塞的质量为 m，活塞的面积为 S，大气压强为 p0。现将活塞缓慢向上提，求汽缸刚离开地面时汽缸内气 体的压强。(忽略汽缸壁与活塞间的摩擦) 解析：题目中的活塞和汽缸均处于平衡状态，以活塞为研究对象，受力分析，由平衡条 件，得 F＋pS＝mg＋p0S。以活塞和汽缸整体为研究对象，受力分析，有 F＝(M＋m)g，由以 上两个方程式，得 pS＋Mg＝p0S，解得 p＝p0－Mg S 。 答案：p0－Mg S 【例 6】 在温度不变的情况下，把一根长为 100 cm、上端封闭的玻璃管竖直插入水银 槽中，插入后管口到槽内水银面的距离是管长的一半。若大气压为 1×105 Pa，求水银进入 管内的长度。 解析：研究玻璃管内被封闭的空气柱 初态：玻璃管未插入水银槽之前，p1＝p0＝1×105 Pa； V1＝LS＝(100 cm)·S 末态：玻璃管插入水银槽后，设管内外水银面高度差为 h， 则 p2＝p0＋h cmHg V2＝[L－(L 2 －h)]S＝(50 cm＋h)S 根据玻意耳定律 p1V1＝p2V2 得 h2＋125h－3 750＝0，解得 h1＝25 cm；h2＝－150 cm(舍去) 所以，水银进入管内的长度为L 2 －h＝(100 2 －25) cm＝25 cm。 答案：25 cm 7.分析计算 U 形管内气体的压强 (1)系统处于静止或匀速直线运动状态 ①连通器原理：在连通器中，同一液体(中间液体不间断)的同一水平液面上的压强是相 等的。 ②在考虑与气体接触的液柱所产生的附加压强 p＝ρgh 时，应特别注意 h 是表示液面间 竖直高度，不一定是液柱长度。 ③求由液体封闭的气体压强，应选择最低液面列平衡方程。 ④求由固体封闭气体的压强，应对此固体(如活塞或汽缸)进行受力分析，列出力平衡方 程。 (2)容器加速运动时求封闭气体的压强 ①当容器加速运动时，通常选择与气体相关联的液体柱、固体活塞等作为研究对象，进 行受力分析，画出分析图示。 ②根据牛顿第二定律列出方程。 ③结合相关原理解方程，求出封闭气体的压强。 ④根据实际情况进行讨论，得出结论。 【例 7】如图所示，一端封闭、粗细均匀的 U 形管，其水平部分长为 L，U 形管绕开口 臂的轴线以角速度ω匀速转动，有长为 L 的水银柱封闭一段气柱，若处于 U 形管水平部分的 水银柱的长度为L 2 ，则被封闭气柱的压强为______。(设水银的密度为ρ，大气压强是 p0) 解析：设 U 形管横截面积为 S，被封闭气柱压强为 p，取水平部分水银柱为研究对象， 受力分析如图所示。 由圆周运动知识及牛顿第二定律得：pS＋1 2 ρgLS－p0S＝1 2 ρLSω2·3 4 L，所以 p＝3 8 ρL2ω2 ＋p0－1 2 ρgL。 答案：3 8 ρL2ω2＋p0－1 2 ρgL 点评：本题是一个关于圆周运动过程中求压强的问题，要用匀速圆周运动的向心力计算 公式及圆周运动的半径来确定，大家只要正确选取研究对象并能正确运用规律就能解决问 题。 谈重点：压强计算中对象的选取 若选取的是一个参考液面，则液面自身重力不计；若 选取的是某段液柱或固体，则它们自身的重力也要加以考虑。一般的计算步骤为：选取研究 对象，分析对象的受力情况，建立力的平衡方程，若可消去横截面积，则进一步得到压强平 衡方程。最后解方程得到封闭气体的压强，计算时要注意单位的正确使用。 8．玻意耳定律的综合应用 应用玻意耳定律解题时，要结合力学平衡及牛顿定律来列关系式，特别是动态平衡，要 注意始末状态气体压强的变化情况。具体应用时，选择一定质量的气体为研究对象，写出在 不同状态下的压强关系式。 (1)确定研究对象。温度不变的被封闭的气体(满足质量不变的条件)； (2)用一定的数字或表达式写出气体状态的参量(p1、V1，p2、V2)； (3)根据气体状态变化过程的特点，列出玻意耳定律公式； (4)将各初始条件代入公式中，求解未知量； (5)对结果的物理意义进行讨论。 玻意耳定律通常与力学内容综合考查，相应的物理情景往往与实际生活现象相结合，分 析时要透过生活现象抽象出隐含在生活情景中的物理本质，再根据力学平衡或牛顿第二定律 寻找气体与用来封闭气体的液柱或活塞的关系。 【例 8】 有一段 12 cm 长的水银柱，在均匀玻璃管中封住一定质量的气体，若开口向 上将玻璃管放置在倾角为 30°的光滑斜面上，求在下滑过程中被封气体的压强。(大气压强 p0＝76 cmHg) 解析：对水银柱受力分析如图所示。 由牛顿第二定律得： p0S＋Mgsin θ－pS＝Ma；① 取玻璃管和水银柱组成的系统研究，整体应用牛顿第二定律可得： M 总 gsin θ＝M 总 a，② 由②得：a＝gsin θ。 将 a＝gsin θ代入①得：p＝p0＝76 cmHg。 点评：对于处在做加速运动容器中的气体：无论是被活塞还是液柱密封，都可把活塞或 液柱作为研究对象，进行受力分析，把气体对活塞或液柱的压力作为所受外力中的一个，利 用牛顿运动定律通过计算确定出气体的压强。 点技巧：力热综合问题中的研究对象 在一般情况下可分为两类：一类是热学研究对象，即一定质量的理想气体；另一类是力 学研究对象，如汽缸、活塞或其他系统。