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- 2021-06-02 发布
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第 章 振动 波动 光 电磁波与
相对论
[全国卷三年考点考情]
说明:(1)简谐运动只限于单摆和弹簧振子;
(2)简谐运动的图象只限于位移-时间图象;
(3)光的干涉限于双缝干涉、薄膜干涉.
第一节 机械振动
(对应学生用书第 238 页)
[教材知识速填]
知识点 1 简谐运动
1.表达式:x=Asin(ωt+φ),其中 A 代表振幅,ω=2πf 表示简谐运动的快慢,(ωt
+φ)代表简谐运动的相位,φ叫做初相.
2.简谐运动的图象:
图象
横轴 表示振动时间
纵轴 表示某时刻质点的位移
物理意义 表示振动质点的位移随时间的变化规律
3. 回复力
(1)定义:使物体返回到平衡位置的力
(2)表达式为 F=-kx.
(3)方向:时刻指向平衡位置.
(4)来源:振动物体所受的沿振动方向的合力.
(5)特点:与位移大小成正比,与位移方向相反.
4.描述简谐运动的物理量
物理量 定义 意义
位移
由平衡位置指向质点所在位置的
有向线段
描述质点振动中某时刻的位置相
对于平衡位置的位移
振幅
振动物体离开平衡位置的最大距
离
描述振动的强弱和能量
周期
振动物体完成一次全振动所需时
间
描述振动的快慢,两者互为倒数:
T=1
f频率
振动物体单位时间内完成全振动
的次数
相位 ωt+φ
描述周期性运动在各个时刻所处
的不同状态
易错判断
(1)简谐运动的平衡位置就是质点所受合力为零的位置.(×)
(2)做简谐运动的质点先后通过同一点,回复力、速度、加速度、位移都
是相同的.(×)
(3)做简谐运动的质点,速度增大时,其加速度一定减小.(√)
知识点 2 受迫振动和共振
1.受迫振动
(1)概念:振动系统在周期性驱动力作用下的振动.
(2)特点:受迫振动的频率等于驱动力的频率,跟系统的固有频率无关.
2.共振
(1)现象:当驱动力的频率等于系统的固有频率时,受迫振动的振幅最大.
(2)条件:驱动力的频率等于固有频率.
(3)特征:共振时振幅最大.
(4)共振曲线(如图 1411 所示)
图 1411
易错判断
(1)物体做受迫振动时,其振动频率与固有频率无关.(√)
(2)物体受迫振动的频率与驱动力的频率无关.(×)
(3)共振是受迫振动的一个特例.(√)
知识点 3 实验:用单摆测定重力加速度
1.实验原理
单摆在偏角很小(小于 5°)时的摆动,可看成简谐运动,其固有周期 T=
2π l
g
,可得 g=4π2l
T2
,通过实验方法测出摆长 l 和周期 T,即可计算得到
当地的重力加速度.
2.实验步骤
(1)组成单摆
实验器材有:带有铁夹的铁架台,中心有孔的小钢球,约 1_m 长的细线.在
细线的一端打一个比小钢球的孔径稍大些的结,将细线穿过小钢球上的小
孔,制成一个单摆;将单摆固定在带铁夹的铁架台上,使小钢球自由下垂.
(2)测摆长
实验器材有:毫米刻度尺和游标卡尺.让摆球处于自由下垂状态时,用刻
度尺量出悬线长 l 线,用游标卡尺测出摆球的直径(2r),则摆长为 l=l 线+
r.
(3)测周期
实验仪器有:秒表.把摆球拉离平衡位置一个小角度(小于 5°),使单摆在
竖直面内摆动,测量其完成全振动 30 次(或 50 次)所用的时间,求出完成
一次全振动所用的平均时间,即为周期 T.
(4)求重力加速度
将 l 和 T 代入 g=4π2l
T2
,求 g 的值;变更摆长 3 次,重新测量每次的摆长
和周期,再取重力加速度的平均值,即得本地的重力加速度.
3.数据处理
(1)平均值法:用 g=g1+g2+g3+g4+g5+g6
6
求出重力加速度.
(2)图象法:由单摆的周期公式 T=2π l
g
可得 l= g
4π2T2,因此以摆长 l 为
纵轴,以 T2 为横轴作出的 lT2 图象是一条过原点的直线,如图 1412 所
示,求出斜率 k,即可求出 g 值.g=4π2k,k= l
T2
= Δl
ΔT2.
图 1412
易错判断
(1)单摆在任何情况下的运动都是简谐运动.(×)
(2)对单摆模型,细线的质量及伸缩均不计.(√)
(3)单摆摆球的重力提供回复力.(×)
(对应学生用书第 240 页)
简谐运动模型及规律
1.简谐运动的两种模型
模
型
弹簧振子 单摆
示
意
图
特
点
(1)忽略摩擦力,弹簧对小球
的弹力提供回复力
(2)弹簧的质量可忽略
(1)细线的质量、伸缩均可忽略
(2)摆角θ很小
(3)重力的切向分力提供回复力
公
式
回复力
F=-kx
(1)回复力
F=-mg
l x
(2)周期
T=2π l
g
2. 简谐运动的五个特征
(1)动力学特征:F=-kx,“-”表示回复力的方向与位移方向相反,k
是比例系数,不一定是弹簧的劲度系数.
(2)运动学特征:简谐运动的加速度与物体偏离平衡位置的位移成正比而
方向相反,为变加速运动,远离平衡位置时,x、F、a、Ep 均增大,v、
Ek 均减小,靠近平衡位置时则相反.
(3)周期性特征:相隔 T 或 nT 的两个时刻振子处于同一位置且振动状态相
同.
(4)对称性特征:
①相隔T
2
或2n+1T
2 (n 为正整数)的两个时刻,振子位置关于平衡位置对称,
位移、速度、加速度大小相等,方向相反.
②如图 1413 所示,振子经过关于平衡位置 O 对称的两点 P、P′(OP=
OP′)时,速度的大小、动能、势能相等,相对于平衡位置的位移大小相
等.
图 1413
③振子由 P 到 O 所用时间等于由 O 到 P′所用时间,即 tPO=tOP′
④振子往复过程中通过同一段路程(如 OP 段)所用时间相等,即 tOP=tPO.
(5)能量特征:振幅越大,能量越大,运动过程中,系统动能与势能相互
转化,系统的机械能守恒.
[题组通关]
1.某质点做简谐运动,其位移随时间变化的关系式为 x=Asinπ
4t,则关于该质点,
下列说法正确的是( )
A.振动的周期为 8 s
B.第 1 s 末与第 3 s 末的位移相同
C.第 1 s 末与第 3 s 末的速度相同
D.第 3 s 末至第 5 s 末的位移方向都相同
E.第 3 s 末至第 5 s 末的速度方向都相同
ABE [由关系式可知ω=π
4
rad/s,
2π
ω
=8s,A 对;将 t=1s 和 t=3s 代入关
系式中求得两时刻位移相同,B 对;可
以作出质点的振动图象,得第 1 s 末和第 3 s 末的速度方向不同,C 错;
得第 3 s 末至第 4 s 末质点的位移方向与第 4 s 末至第 5 s 末质点的位移
方向相反,而速度的方向相同,D 错,E 对.]
2.下列说法正确的是( )
A.在同一地点,单摆做简谐振动的周期的平方与其摆长成正比
B.弹簧振子做简谐振动时,振动系统的势能与动能之和保持不变
C.在同一地点,当摆长不变时,摆球质量越大,单摆做简谐振动的周期
越小
D.系统做稳定的受迫振动时,系统振动的频率等于周期性驱动力的频率
E.已知弹簧振子初始时刻的位置及其振动周期,就可知振子在任意时刻
运动速度的方向
ABD [根据单摆周期公式 T=2π L
g
可以知道,在同一地点,重力加速
度 g 为定值,故周期的平方与其摆长成正比,故选项 A 正确;弹簧振子
做简谐振动时,只有动能和势能参与转化,根据机械能守恒条件可以知道,
振动系统的势能与动能之和保持不变,故选项 B 正确;根据单摆周期公
式 T=2π L
g
可以知道,单摆的周期与质量无关,故选项 C 错误;当系统
做稳定的受迫振动时,系统振动的频率等于周期性驱动力的频率,故选项
D 正确;若弹簧振子初始时刻的位置在平衡位置,知道周期后,可以确定
任意时刻运动速度的方向,若弹簧振子初始时刻的位置不在平衡位置,则
无法确定,故选项 E 错误.]
3.如图 1414 所示,轻弹簧上端固定,下端连接一小物块,物块沿竖直方向做
简谐运动.以竖直向上为正方向,物块简谐运动的表达式为 y=0.1sin 2.5πt
(m).t=0 时刻,一小球从距物块 h 高处自由落下;t=0.6 s 时,小球恰好与
物块处于同一高度.重力加速度的大小 g 取 10 m/s2.以下判断正确的是( )
图 1414
A.h=1.7 m
B.简谐运动的周期是 0.8 s
C.0.6 s 内物块运动的路程是 0.2 m
D.t=0.4 s 时,物块与小球运动方向相反
E.t=0.4 s 时,物块与小球运动方向相同
ABE [由物块简谐运动的表达式知,ω=2.5π,T=2π
ω
= 2π
2.5π s=0.8 s,选
项 B 正确;t=0.6 s 时,y=-0.1 m,对小球:h+|y|=1
2gt2,解得 h=1.7 m,
选项 A 正确;物块 0.6 s 内路程为 0.3 m,t=0.4 s 时,物块经过平衡位置
向下运动,与小球运动方向相同.故选项 C、D 错误.E 正确.]
如图所示,光滑圆弧槽半径为 R,A 为圆弧的最低点,圆弧的最高点到 A
的距离远小于 R.两个可视为质点的小球 B 和 C 都由静止开始释放,要使
B、C 两球在点 A 相遇,问点 B 到点 A 的距离 H 应满足什么条件?
[解析] 由题意知 C 球做简谐运动,B 球做自由落体运动,C、B 两球相
遇必在点 A.C 球从静止开始释放至到达点 A 经历的时间为
tC=T
4(2n-1)=π2n-1
2
R
g(n=1,2,3,…)
B 球落到点 A 的时间 tB= 2H
g
因为相遇时 tB=tC
所以 H=2n-12π2R
8 (n=1,2,3,…).
[答案] H=2n-12π2R
8 (n=1,2,3,…)
[反思总结] 分析简谐运动中各物理量的变化情况的技巧
1以位移为桥梁,位移增大时,振动质点的回复力、加速度、势能均增
大,速度、动能均减小;反之,则产生相反的变化.各矢量均在其值为零
时改变方向.
2位移相同时,回复力、加速度、动能、势能可以确定,但速度可能有
两个方向,由于周期性,运动时间也不确定.
3做简谐运动的物体经过平衡位置时,回复力一定为零,但所受合外力
不一定为零.
简谐运动的图象及应用
1.对简谐运动图象的认识
(1)简谐运动的图象是一条正弦或余弦曲线,如图 1415 所示.
甲 乙
图 1415
(2)图象反映的是位移随时间的变化规律,随时间的增加而延伸,图象不
代表质点运动的轨迹.
2.图象信息
(1)由图象可以得出质点振动的振幅、周期和频率.
(2)可以确定某时刻质点离开平衡位置的位移.
(3)可以确定某时刻质点回复力、加速度的方向.
(4)确定某时刻质点速度的方向.
(5)比较不同时刻回复力、加速度的大小.
(6)比较不同时刻质点的动能、势能的大小.
[题组通关]
4.(2018·南通模拟)一列简谐横波沿着 x 轴正方向传播,波中 A、B 两质点在平
衡位置间的距离为 0.5 m,且小于一个波长,如图 1416 甲所示,A、B 两质
点振动图象如图乙所示.由此可知( )
甲 乙
图 1416
A.波中质点在一个周期内通过的路程为 8 cm
B.该机械波的波长为 4 m
C.该机械波的波速为 0.5 m/s
D.t=1.5 s 时,A、B 两质点的位移相同
E.t=1.5 s 时,A、B 两质点的振动速度相同
ACE [根据 A、B 两质点的振动图象可知该波的周期为 4 s,振幅为 2 cm,
波中质点在一个周期内通过的路程为 4 个振幅,为 4×2 cm=8 cm,选项
A 正确;根据 A、B 两质点的振动图象可画出 A、B 两点之间的波形图,A、
B 两点之间的距离为1
4
波长,即1
4λ=0.5 m,该波的波长为λ=2 m,选项 B
错误;该机械波的传播速度为 v=λ
T
=0.5 m/s,选项 C 正确;在 t=1.5 s
时,A 质点的位移为负值,B 质点的位移为正值,两质点位移一定不同,
选项 D 错误;在 t=1.5 s 时,A 质点的振动速度方向沿 y 轴负方向,B 质
点的振动速度方向沿 y 轴负方向,且两质点位移大小相同,故两质点振动
速度相同,选项 E 正确.]
5.(2018·西安交大附中质检)如图 1417 所示为同一地点的两单摆甲、乙的振动
图象,下列说法中正确的是( )
图 1417
A.甲、乙两单摆的摆长相等
B.甲摆的振幅比乙摆大
C.甲摆的机械能比乙摆大
D.在 t=0.5 s 时有正向最大加速度的是乙摆
E.由图象可以求出当地的重力加速度
ABD [由题图看出,两单摆的周期相同,同一地点 g 相同,由单摆的周
期公式 T=2π l
g
得知,甲、乙两单摆的摆长 l 相等,故 A 正确.甲摆的
振幅为 10 cm,乙摆的振幅为 7 cm,则甲摆的振幅比乙摆大,故 B 正确.尽
管甲摆的振幅比乙摆大,两摆的摆长也相等,但由于两摆的质量未知,无
法比较机械能的大小,故 C 错误.在 t=0.5 s 时,甲摆经过平衡位置,振
动的加速度为零,而乙摆的位移为负的最大,则乙摆具有正向最大加速度,
故 D 正确.由单摆的周期公式 T=2π l
g
得 g=4π2l
T2
,由于单摆的摆长不
知道,所以不能求得重力加速度,故 E 错误.]
一个质点做简谐运动的图象如图所示,下列说法正确的是( )
A.质点振动的频率为 4 Hz
B.在 10 s 内质点经过的路程是 20 cm
C.在 10 s 内质点经过的路程是 10 cm
D.在 5 s 末,质点的速度为零,加速度最大
E.t=1.5 s 和 t=4.5 s 两时刻质点的位移大小相等,都是 2 cm
BDE [由图象可知,质点振动的周期为 4 s,故频率为 0.25 Hz,选项 A
错误;在 10 s 内质点振动了 2.5 个周期,经过的路程是 10A=20 cm,选
项 B 正确,C 错误;在 5 s 末,质点处于正向最大位移处,速度为零,加
速度最大,选项 D 正确;由图象可得振动方程是 x=2sin 2π
4 t (cm),将 t
=1.5 s 和 t=4.5 s 代入振动方程得 x= 2 cm,选项 E 正确.]
[反思总结] 简谐运动图象问题的两种分析方法:
1图象—运动结合法
图象上的一个点表示振动中的一个状态位置、振动方向等,图象上的一
段曲线对应振动的一个过程,关键是判断好平衡位置、最大位移及振动方
向.
2直观结论法
简谐运动的图象表示振动质点的位移随时间变化的规律,即位移—时间的
函数关系图象,不是物体的运动轨迹.
受迫振动和共振
1.自由振动、受迫振动和共振的关系比较
振动类
型
自由振动 受迫振动 共振
受力情
况
仅受回复力 受驱动力 受驱动力
振动周
期或频
率
由系统本身性质决定,即固
有周期 T0 或固有频率 f0
由驱动力的周期或频率
决定,即 T=T 驱或 f=f 驱
T 驱 =T0 或 f 驱
=f0
振动能
量
振动物体的机械能不变
由产生驱动力的物体提
供
振动物体获得
的能量最大
常见例
子
弹簧振子或单摆(θ≤5°)
机械工作时底座发生的
振动
共振筛、声音
的共鸣等
2. 对共振的理解
(1)共振曲线
如图 1418 所示,横坐标为驱动力的频率 f,纵坐标为振幅 A.它直观地反
映了驱动力的频率对某固有频率为 f0 的振动系统做受迫振动时振幅的影
响,由图可知,f 与 f0 越接近,振幅 A 越大;当 f=f0 时,振幅 A 最大.
图 1418
(2)受迫振动中系统能量的转化:
做受迫振动的系统的机械能不守恒,系统与外界时刻进行能量交换.
[题组通关]
6.(2018·杭州模拟)如图 1419 所示为受迫振动的演示装置,在一根张紧的绳子
上悬挂几个摆球,可以用一个单摆(称为“驱动摆”)驱动另外几个单摆,下
列说法正确的是( )
图 1419
A.某个单摆摆动过程中多次通过同一位置时,速度可能不同而加速度一
定相同
B.如果驱动摆的摆长为 L,则其他单摆的振动周期都等于 2π L
g
C.如果驱动摆的摆长为 L,振幅为 A,若某个单摆的摆长大于 L,振幅
也大于 A
D.如果某个单摆的摆长等于驱动摆的摆长,则这个单摆的振幅最大
E.驱动摆只把振动形式传播给其他单摆,不传播能量
ABD [某个单摆摆动过程中多次通过同一位置时,速度大小相等但方向
可能不同,根据 F=-kx 可得,加速度 a=F
m
=-k
mx,故加速度一定相同,
A 正确;如果驱动摆的摆长为 L,根据单摆的周期公式有 T=2π L
g
,而
其他单摆都是受迫振动,故其振动周期都等于驱动摆的周期,B 正确;当
受迫振动的单摆的固有周期等于驱动力的周期时,受迫振动的振幅最大,
故某个单摆的摆长大,振幅不一定也大,C 错误;同一地区,单摆的固有
频率只取决于单摆的摆长,则只有摆长等于驱动摆的摆长时,单摆的振幅
能够达到最大,这种现象称为共振,受迫振动不仅传播运动形式,还传播
能量和信息,D 正确,E 错误.]
7.一个单摆在地面上做受迫振动,其共振曲线(振幅 A 与驱动力频率 f 的关系)
如图 14110 所示,则下列说法错误的是 ( )
图 14110
A.此单摆的固有周期约为 0.5 s
B.此单摆的摆长约为 1 m
C.若摆长增大,单摆的固有频率增大
D.若摆长增大,共振曲线的峰将向右移动
E.若摆长增大,共振曲线的峰将向左移动
ACD [由共振曲线知此单摆的固有频率为 0.5 Hz,固有周期为 2 s;再由
T=2π l
g
,得此单摆的摆长约为 1 m;若摆长增大,单摆的固有周期增
大,固有频率减小,则共振曲线的峰将向左移动,故 B、E 正确,A、C、
D 错误.]
8.如图 14111 所示,一个竖直圆盘转动时,固定在圆盘上的圆柱体带动一个 T
形支架在竖直方向振动,T 形架下面系着一个弹簧和小球组成的系统.圆盘
以不同的周期匀速转动时,测得小球振动的振幅与圆盘转动频率的关系如图
乙所示.当圆盘转动的频率为 0.4 Hz 时,小球振动的周期是________s;当圆
盘停止转动后,小球自由振动时,它的振动频率是________Hz.
甲 乙
图 14111
[解析] 小球做受迫振动,当圆盘转动的频率为 0.4 Hz 时,小球振动的频
率为 0.4 Hz,小球振动的周期为 T=1
f
=2.5 s.由题图乙可知小球的固有频
率为 0.6 Hz,所以当圆盘停止转动后,小球自由振动的频率为 0.6 Hz.
[答案] 2.5 0.6
用单摆测定重力加速度
[母题] 根据单摆周期公式 T=2π l
g
,可以通过实验测量当地的重力加速度.如
图 14112 甲所示,将细线的上端固定在铁架台上,下端系一小钢球,就做
成了单摆.
甲 乙
图 14112
(1)用游标卡尺测量小钢球直径,示数如图 14112 乙所示,读数为
________mm.
(2)以下是实验过程中的一些做法,其中正确的有________.(填正确选项
序号)
a.摆线要选择细些的、伸缩性小些的,并且尽可能长一些
b.摆球尽量选择质量大些、体积小些的
c.为了使摆的周期大一些,以方便测量,开始时拉开摆球,使摆线相距
平衡位置有较大的角度
d.拉开摆球,使摆线偏离平衡位置不大于 5°,在释放摆球的同时开始计
时,当摆球回到开始位置时停止计时,此时间间隔Δt 即为单摆周期 T
e.拉开摆球,使摆线偏离平衡位置不大于 5°,释放摆球,当摆球振动稳
定后,从平衡位置开始计时,记下摆球做 50 次全振动所用的时间Δt,则
单摆周期 T=Δt
50
[解析](1)按照游标卡尺的读数原则测得小钢球直径为 18 mm+7×0.1 mm
=18.7 mm.
(2)单摆的构成条件:细线质量要小,弹性要小;球要选体积小,密度大
的;偏角不超过 5°;故 a、b 正确,c 错误.为了减小测量误差,要从摆
球摆过平衡位置时计时,且需测量多次全振动所用时间,然后计算出一次
全振动所用的时间,故 d 错误,e 正确.
[答案](1)18.7 (2)abe
[母题迁移]
(2018·盐城模拟)某同学在做利用单摆测重力加速度 g 的实验,他先测得摆
线长为 98.50 cm,用 10 分度的游标卡尺测得小球直径如图 14113 所示,
然后用秒表记录了单摆全振动 50 次所用的时间为 100.0 s,下列有关该实
验的说法正确的是( )
图 14113
A.根据图示可知小球的直径为 2.96 cm
B.记录时间时应从摆球经过最高点时开始计时
C.如果在实验中误将 49 次全振动计为 50 次,测得的 g 值偏小
D.如果在实验中误将小球直径与摆线长之和当成摆长,测得的 g 值偏大
E.摆线上端在振动中出现松动,测得的 g 值偏小
ADE [游标尺第 6 条刻度线与主尺对齐,则读数为 29 mm+6×0.1 mm
=29.6 mm=2.96 cm,A 对.计时应从摆球经过最低点开始,这样便于观
测,B 错.误将 49 次计为 50 次,则测得周期 T 偏小,由周期公式 T=2π L
g
,
可得 g=4π2L
T2
,可知 g 偏大,C 错.误将小球直径与摆线长之和当成摆长,
摆长偏大,g 偏大,D 对.摆线上端松动,则测量的摆长偏小,g 偏小,E
对.]
如图所示,在物理支架的竖直立柱上固定有摆长约 1 m 的单摆.实验时,
由于仅有量程为 20 cm、精度为 1 mm 的钢板刻度尺,于是先使摆球自然
下垂,在竖直立柱上与摆球最下端处于同一水平面的位置做一标记点,测
出单摆的周期 T1;然后保持悬点位置不变,设法将摆长缩短一些,再次
使摆球自然下垂,用同样方法在竖直立柱上做另一标记点,并测出单摆的
周期 T2;最后用钢板刻度尺量出竖直立柱上两标记点之间的距离ΔL.用上
述 测 量 结 果 , 写 出 重 力 加 速 度 的 表 达 式 g =
__________________________________________.
[解析] 设单摆的周期为 T1 时摆长为 L1,周期为 T2 时摆长为 L2.
则 T1=2π L1
g
①
T2=2π L2
g
②
且 L1-L2=ΔL ③
联立①②③式得 g=4π2ΔL
T21-T22
.
[答案] 4π2ΔL
T21-T22
[反思总结] 用单摆测定重力加速度的五点注意
1选择细、轻又不易伸长的线,长度一般在 1 m 左右;小球选用密度较
大的金属球,直径最好不超过 2 cm.
2单摆悬线的上端应夹紧在铁夹中,以免摆动时发生摆线下滑、摆长改
变的现象.
3控制摆线偏离竖直方向不超过 5°.
4摆球振动时,要使之保持在同一个竖直平面内.
5计算单摆的振动次数时,应从摆球通过最低位置时开始计时.以后摆球
每次从同一方向通过最低位置时进行计数,且在数“零”的同时按下秒
表,开始计时计数.