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- 2021-06-02 发布
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第11讲 圆周运动
一、匀速圆周运动
1.定义:线速度大小 的圆周运动.
2.性质:向心加速度大小不变,方向 ,是非匀变速曲线运动.
3.条件:合力 ,方向始终与速度方向垂直且指向 .
二、描述匀速圆周运动的基本参量
三、离心运动和近心运动
1.受力特点,如图11-1所示.
图11-1
(1)当F=0时,物体沿切线方向做匀速直线运动;
(2)当F=mrω2时,物体做匀速圆周运动;
(3)当0mrω2时,物体渐渐向圆心靠近,做近心运动.
2.离心运动的本质并不是受到离心力的作用,而是提供的力小于匀速圆周运动需要的向心力.
【辨别明理】
(1)匀速圆周运动是匀变速曲线运动. ( )
(2)匀速圆周运动的加速度恒定. ( )
(3)做匀速圆周运动的物体所受的合外力大小不变. ( )
(4)物体做离心运动是因为受到所谓离心力的作用. ( )
(5)汽车转弯时速度过大就会向外发生侧滑,这是由于汽车轮胎受沿转弯半径向内的静摩擦力不足以提供汽车转弯所需要的向心力. ( )
(6)匀速圆周运动和匀速直线运动中的两个“匀速”的含义相同吗?
(7)匀速圆周运动中哪些物理量是不变的?
考点一 圆周运动的运动学问题
(1)在讨论v、ω、an、r之间的关系时,应运用控制变量法.
(2)传动装置的特点:
①“同轴”角速度相同;
②“同线”线速度大小相等.
图11-2
例1 光盘驱动器读取数据的某种方式可简化为以下模式:在读取内环数据时,以恒定角速度的方式读取,而在读取外环数据时,以恒定线速度的方式读取.如图11-2所示,设内环内边缘半径为R1,内环外边缘半径为R2,外环外边缘半径为R3.A、B、C分别为各边缘上的点,则读取内环上A点时A点的向心加速度大小和读取外环上C点时C点的向心加速度大小之比为( )
A.R12R2R3 B.R22R1R3 C.R2R3R12 D.R1R3R22
变式题 [2018·柳州铁路一中期中] 如图11-3所示,B和C是一组塔轮,即B和C半径不同,但固定在同一转动轴上,其半径之比RB∶RC=3∶2,A轮的半径大小与C轮相同,它与B轮紧靠在一起,当A轮绕过其中心的竖直轴转动时,由于摩擦作用,B轮也随之无滑动地转动起来.a、b、c分别为三轮边缘的点,则a、b、c三点在转动过程中的 ( )
图11-3
A.线速度大小之比为3∶2∶2
B.角速度之比为3∶3∶2
C.转速之比为2∶3∶2
D.向心加速度大小之比为9∶6∶4
考点二 水平面内圆周运动的动力学问题
运动模型
汽车在水平
路面转弯
水平转台
圆锥摆
向心力的
来源图示
运动模型
飞车走壁
火车转弯
飞机水平转弯
向心力的
来源图示
水平面内圆周运动的临界问题通常是静摩擦力提供向心力,静摩擦力随转速的增大而增大,当静摩擦力增大到最大静摩擦力时,物体达到保持圆周运动的最大转速.若转速继续增大,物体将做离心运动.
图11-4
例2 (多选)[2014·全国卷Ⅰ] 如图11-4所示,两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上,a与转轴OO'的距离为l,b与转轴的距离为2l.木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍,重力加速度大小为g.若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动,用ω表示圆盘转动的角速度.下列说法正确的是 ( )
A.b一定比a先开始滑动
B.a、b所受的摩擦力始终相等
C.ω=kg2l是b开始滑动的临界角速度
D.当ω=2kg3l时,a所受摩擦力的大小为kmg
图11-5
变式题1 如图11-5所示,两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)沿半径方向放在水平圆盘上并用细线相连,a与转轴OO'的距离为l,b与转轴的距离为2l.木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍,重力加速度大小为g.若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动至两木块刚好未发生滑动, ω表示圆盘转动的角速度,下列说法正确的是 ( )
A.细线中的张力等于kmg
B.ω=kg2l是细线刚好绷紧时的临界角速度
C.剪断细线后,两木块仍随圆盘一起运动
D.当ω=kg2l时,a所受摩擦力的大小为kmg
变式题2 (多选)如图11-6所示,一根细线下端拴一个金属小球P,细线的上端固定在金属块Q上,Q放在带小孔(小孔光滑)的水平桌面上,小球在某一水平面内做匀速圆周运动(圆锥摆).现使小球改到一个更高一些的水平面上做匀速圆周运动,两次金属块Q都静止在桌面上的同一点,
图11-6
则后一种情况与原来相比较,下面的判断中正确的是 ( )
A.细线所受的拉力变小
B.小球P运动的角速度变大
C.Q受到桌面的静摩擦力变大
D.Q受到桌面的支持力变大
■ 要点总结
圆锥摆、火车转弯、汽车转弯、飞机在空中盘旋、开口向上的光滑圆锥体内小球绕竖直轴线的圆周运动等,都是水平面内圆周运动的典型实例,其受力特点是合力沿水平方向指向轨迹圆心.
考点三 竖直面内的圆周运动问题
在仅有重力场的竖直面内的圆周运动是典型的非匀速圆周运动,对于物体在竖直平面内做圆周运动的问题,中学物理只研究物体通过最高点和最低点的情况,高考中涉及圆周运动的知识点大多是临界问题,其中竖直面内的线—球模型、杆—球模型中圆周运动的临界问题出现的频率非常高.下面是竖直面内两个常见模型的比较.
线—球模型
杆—球模型
模型
说明
用线或光滑圆形轨道内侧束缚的小球在竖直面内绕固定点做圆周运动
用杆或环形管内光滑轨道束缚的小球在竖直面内做圆周运动
模型
图示
临界
条件
小球到达最高点时重力刚好提供做圆周运动的向心力,即mg=mv02r,式中的v0是小球通过最高点的临界速度,v0=rg.
①当v=v0时,线对小球的作用力为零;
②当vv0时,小球能在竖直面内做完整的圆周运动,且线上有拉力
在小球通过最高点时存在以下几种情况(其中v0=rg)
①当v=v0时,小球的重力刚好提供做圆周运动的向心力;
②当vv0时,杆对小球有向下的拉力
在最高
点的
FN-v2
图像
取竖直向下为正方向
取竖直向下为正方向
考向一 线—球模型
例3 [2018·天津六校联考] 如图11-7甲所示,质量为m的小球用长为L的不可伸长的轻绳连接后绕固定点O在竖直面内做圆周运动,经过最低点的速度大小为v,此时轻绳的拉力大小为F.F与v2的关系图像如图乙中实线所示,已知重力加速度为g,关于图乙中a、b、c的值,下列判断正确的是( )
图11-7
A.a=6mg B.a=5mg
C.b=2mg D.c=6gL
图11-8
变式题 (多选)如图11-8所示,竖直放置的光滑圆轨道被固定在水平地面上,半径r=0.4 m,最低点处有一小球(半径比r小很多).现给小球一水平向右的初速度v0,要使小球不脱离圆轨道运动,v0应当满足(g取10 m/s2) ( )
A.v0≥0 B.v0≥4 m/s
C.v0≥25 m/s D.v0≤22 m/s
考向二 杆—球模型
图11-9
例4 [2018·黄冈中学模拟] 如图11-9所示,长为l的轻杆一端固定一质量为m的小球,另一端固定在转轴O上,杆可在竖直平面内绕轴O无摩擦转动.已知小球通过最低点Q时的速度大小为v=9gl2,则小球的运动情况为 ( )
A.小球不可能到达圆轨道的最高点P
B.小球能到达圆轨道的最高点P,但在P点不受轻杆对它的作用力
C.小球能到达圆轨道的最高点P,且在P点受到轻杆对它向上的弹力
D.小球能到达圆轨道的最高点P,且在P点受到轻杆对它向下的弹力
变式题 如图11-10所示,小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动,内侧壁半径为R,小球半径为r,重力加速度为g,下列说法正确的是 ( )
图11-10
A.小球通过最高点时的最小速度vmin=g(R+r)
B.小球通过最高点时的最小速度vmin=gR
C.小球在水平线ab以下的管道中运动时,内侧管壁对小球一定无作用力
D.小球在水平线ab以上的管道中运动时,外侧管壁对小球一定有作用力
■ 建模点拨
求解竖直平面内圆周运动问题的思路
(1)定模型:首先判断是线—球模型还是杆—球模型.
(2)确定临界点:v临界=gr,对线—球模型来说是能否通过最高点的临界点,而对杆—球模型来说是FN表现为支持力还是拉力的临界点.
(3)研究状态:通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的运动情况.
(4)受力分析:对物体在最高点或最低点时进行受力分析,根据牛顿第二定律列出方程,F合=F向.
(5)过程分析:应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态联系起来列方程.
考点四 圆周运动与平抛运动的综合问题
例5 如图11-11所示,置于圆形水平转台边缘的小物块随转台加速转动,当转速达到某一数值时,物块恰好滑离转台开始做平抛运动.现测得转台半径R=0.5 m,离水平地面的高度H=0.8 m,物块平抛落地过程水平位移的大小s=0.4 m.设物块所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力,重力加速度g取10 m/s2.求:
(1)物块做平抛运动的初速度大小v0;
(2)物块与转台间的动摩擦因数μ.
图11-11
变式题 如图11-12所示,光滑半圆形轨道处于竖直平面内,半圆形轨道与光滑的水平地面相切于半圆的端点A.一质量为m的小球在水平地面上C点受水平向左的恒力F由静止开始运动,当运动到A点时撤去恒力F,小球沿竖直半圆形轨道运动到轨道最高点B,最后又落在水平地面上的D点(图中未画出).已知A、C间的距离为L,重力加速度为g.
(1)若轨道半径为R,求小球到达半圆形轨道B点时受到轨道的压力大小FN;
(2)为使小球能运动到轨道最高点B,求轨道半径的最大值Rm;
(3)轨道半径R为多大时,小球在水平地面上的落点D到A点的距离最大?最大距离xm是多少?
图11-12
■ 要点总结
解答圆周运动与平抛运动综合问题时的常用技巧
(1)审题时寻找类似“刚好”“取值范围”“最大(小)”等字眼,看题述过程是否存在临界(极值)问题.
(2)解决临界(极值)问题的一般思路,首先要考虑达到临界条件时物体所处的状态,其次分析该状态下物体的受力特点,最后结合圆周运动知识,列出相应的动力学方程综合分析.
(3)注意圆周运动的周期性,看是否存在多解问题.
(4)要检验结果的合理性,看是否与实际相矛盾.
完成课时作业(十一)
第11讲 圆周运动
【教材知识梳理】
一、1.保持不变 2.时刻变化 3.大小不变 圆心
辨别明理
(1)(×) (2)(×) (3)(√) (4)(×) (5)(√)
(6)两个“匀速”意义不同,匀速圆周运动全称应为匀速率圆周运动,其速度、向心加速度都是变化的.
(7)匀速圆周运动中不变的物理量有:角速度、周期、频率、转速、动能,变化的物理量有:线速度、向心加速度、向心力、动量.
【考点互动探究】
考点一
例1 D [解析] A、B两点角速度相同,由an=ω2r,可知aA∶aB=R1∶R2;B、C两点线速度大小相同,由an=v2r,可知aB∶aC=R3∶R2,故aA∶aC=R1R3∶R22,D正确.
变式题 D [解析] A、B靠摩擦传动,则边缘上a、b两点的线速度大小相等,即va∶vb=1∶1,选项A错误;B、C同轴转动,则边缘上b、c两点的角速度相等,即ωb=ωc,转速之比nbnc=ωbωc=11,选项B、C错误;对a、b两点,由an=v2r得aaab=RbRa=32,对b、c两点,由an=ω2r得abac=RbRc=32,故aa∶ab∶ac=9∶6∶4,选项D正确.
考点二
例2 AC [解析] a与b所受的最大静摩擦力相等,而b需要的向心力较大,所以b先滑动,A正确;在未滑动之前,a、b各自受到的摩擦力等于其向心力,因此b受到的摩擦力大于a受到的摩擦力,B错误;b处于临界状态时,有kmg=mω2·2l,解得ω=kg2l,C正确;ω=2kg3l小于a的临界角速度,a所受摩擦力没有达到最大值,D错误.
变式题1 B [解析] 两木块刚要发生滑动时,有kmg-T=mω2l,kmg+T=2mω2l,联立可得T=13kmg,选项A错误;细线刚好绷紧时,有kmg=2mω2l,解得ω=kg2l,此时细线张力为0,对a,有f=mω2l=12kmg,选项B正确,D错误;剪断细线后,a随圆盘一起转动,但b所受合力减小,将做离心运动,选项C错误.
变式题2
BC [解析] 金属块Q在桌面上保持静止,根据平衡条件知,Q受到桌面的支持力等于其重力,保持不变,故D错误.设细线与竖直方向的夹角为θ,细线的拉力大小为T,桌面下方细线的长度为L,P球做匀速圆周运动时,由重力和细线拉力的合力提供向心力,如图所示,则有T=mgcosθ,Fn=mgtan θ=mω2Lsin θ,得角速度ω= gLcosθ,使小球改到一个更高一些的水平面上做匀速圆周运动时,θ增大,cos θ减小,则细线拉力T增大,角速度增大,A错误,B正确.对Q,由平衡条件知,Q受到桌面的静摩擦力变大,故C正确.
考点三
例3 A [解析] 小球在最低点受重力和绳子的拉力,这两个力的合力提供向心力,由牛顿第二定律得F-mg=mv2L,解得F=mg+mLv2,小球静止(速度为零)时,绳子的拉力等于重力的大小,结合图像可知mg=b,由图像的斜率可得mL=a-bc.由mg=mv'2L可知,小球在最高点的临界速度为v'=gL,由机械能守恒定律得mg×2L+12mv'2=12mv2,解得v=5gL,此时F=mg+mLv2=6mg,可得a=6mg,c=5gL.
变式题 CD [解析] 当v0较大时,小球能够通过最高点,这时小球在最高点处需要满足的条件是mg≤mv2r,根据机械能守恒定律得12mv2+2mgr=12mv02,联立解得v0≥25 m/s,C正确.当v0较小时,小球不能通过最高点,这时对应的临界条件是小球上升到与圆心等高位置处时速度恰好减为零,根据机械能守恒定律得mgr=12mv02,解得v0≤22 m/s,D正确.
例4 C [解析] 小球从最低点Q到最高点P,由机械能守恒定律得12mvP2+2mgl=12mv2,则vP= gl2,因为0
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