【物理】2018届一轮复习江苏专用第四章第4讲万有引力与航天学案 21页

第4讲　万有引力与航天 一、开普勒行星运动定律 ‎1．开普勒第一定律：所有的行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上．‎ ‎2．开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积．‎ ‎3．开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等，表达式：＝k.‎ 二、万有引力定律 ‎1．公式：F＝，其中G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，叫引力常量．‎ ‎2．适用条件：只适用于质点间的相互作用．‎ ‎3．理解 ‎(1)两质量分布均匀的球体间的相互作用，也可用本定律来计算，其中r为两球心间的距离．‎ ‎(2)一个质量分布均匀的球体和球外一个质点间的万有引力的计算也适用，其中r为质点到球心间的距离．‎ 深度思考 ‎1．如图1所示的球体不是均匀球体，其中缺少了一规则球形部分，如何求球体剩余部分对质点P的引力？‎ 图1‎ 答案　求球体剩余部分对质点P的引力时，应用“挖补法”，先将挖去的球补上，然后分别 计算出补后的大球和挖去的小球对质点P的引力，最后再求二者之差就是阴影部分对质点P的引力．‎ ‎2．两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大吗？‎ 答案　不是．当两物体无限接近时，不能再视为质点．‎ 三、宇宙速度 ‎1．三个宇宙速度 第一宇宙速度(环绕速度)‎ v1＝7.9 km/s，是人造卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度 第二宇宙速度(脱离速度)‎ v2＝11.2 km/s，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度 第三宇宙速度(逃逸速度)‎ v3＝16.7 km/s，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度 ‎2.第一宇宙速度的理解：人造卫星的最大环绕速度，也是人造卫星的最小发射速度．‎ ‎3．第一宇宙速度的计算方法 ‎(1)由G＝m得v＝ .‎ ‎(2)由mg＝m得v＝.‎ ‎1．判断下列说法是否正确．‎ ‎(1)地面上的物体所受地球引力的大小均由F＝G决定，其方向总是指向地心．(　√　)‎ ‎(2)只有天体之间才存在万有引力．(　×　)‎ ‎(3)只要已知两个物体的质量和两个物体之间的距离，就可以由F＝G计算物体间的万有引力．(　×　)‎ ‎(4)发射速度大于7.9 km/s，小于11.2 km/s时，人造卫星围绕地球做椭圆轨道运动．(　√　)‎ ‎2．关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是(　　)‎ A．开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律 B．开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律 C．开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因 D．开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律 答案　B ‎3．静止在地面上的物体随地球自转做匀速圆周运动．下列说法正确的是(　　)‎ A．物体受到的万有引力和支持力的合力总是指向地心 B．物体做匀速圆周运动的周期与地球自转周期相等 C．物体做匀速圆周运动的加速度等于重力加速度 D．物体对地面压力的方向与万有引力的方向总是相同 答案　B ‎4．(人教版必修2P48第3题)金星的半径是地球的0.95倍，质量为地球的0.82倍，金星表面的自由落体加速度是多大？金星的第一宇宙速度是多大？‎ 答案　8.9 m/s2　7.3 km/s 解析　根据星体表面忽略自转影响，重力等于万有引力知mg＝ 故＝×()2‎ 金星表面的自由落体加速度 g金＝g地×0.82×()2 m/s2＝8.9 m/s2‎ 由万有引力充当向心力知 ＝得v＝ 所以＝ ＝ ≈0.93‎ v金＝0.93×7.9 km/s≈7.3 km/s.‎ 命题点一　万有引力定律的理解和应用 ‎1．地球表面的重力与万有引力 地面上的物体所受地球的吸引力产生两个效果，其中一个分力提供了物体绕地轴做圆周运动的向心力，另一个分力等于重力．(1)在两极，向心力等于零，重力等于万有引力；(2)除两极外，物体的重力都比万有引力小；(3)在赤道处，物体的万有引力分解为两个分力F向和mg 刚好在一条直线上，则有F＝F向＋mg，所以mg＝F－F向＝－mRω.‎ ‎2．地球表面附近(脱离地面)的重力与万有引力 物体在地球表面附近(脱离地面)时，物体所受的重力等于地球表面处的万有引力，即mg＝，R为地球半径，g为地球表面附近的重力加速度，此处也有GM＝gR2.‎ ‎3．距地面一定高度处的重力与万有引力 物体在距地面一定高度h处时，mg′＝，R为地球半径，g′为该高度处的重力加速度．‎ 例1　(多选)(2016·江苏·7)如图2所示，两质量相等的卫星A、B绕地球做匀速圆周运动，用R、T、Ek、S分别表示卫星的轨道半径、周期、动能、与地心连线在单位时间内扫过的面积．下列关系式正确的有(　　)‎ 图2‎ A．TA>TB B．EkA>EkB C．SA＝SB D.＝ 答案　AD 解析　由＝＝mR和Ek＝mv2可得T＝2π ，Ek＝，因RA>RB，则TA>TB，EkAv1，在B点加速，则v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB.‎ 图5‎ ‎2．加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，经过B点加速度也相同．‎ ‎3．周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律＝k可知T1a，可知TⅠ>TⅡ，故C正确．航天飞机在A点变轨时，主动减小速度，所需要的向心力小于此时的万有引力，做近心运动，从轨道Ⅰ变换到轨道Ⅱ，又Ek＝mv2，故B正确．无论在轨道Ⅰ上还是在轨道Ⅱ上，A点到地球的距离不变，航天飞机受到的万有引力一样，由牛顿第二定律可知向心加速度相同，故D错误.‎ ‎“嫦娥”探月发射过程的“四大步”‎ 一、探测器的发射 典例1　我国已于2013年12月2日凌晨1∶30分使用长征三号乙运载火箭成功发射“嫦娥三号”．火箭加速是通过喷气发动机向后喷气实现的．设运载火箭和“嫦娥三号”的总质量为M，地面附近的重力加速度为g，地球半径为R，万有引力常量为G.‎ ‎(1)用题给物理量表示地球的质量．‎ ‎(2)假设在“嫦娥三号”舱内有一平台，平台上放有测试仪器，仪器对平台的压力可通过监控装置传送到地面．火箭从地面发射后以加速度 竖直向上做匀加速直线运动，升到某一高度时，地面监控器显示“嫦娥三号”舱内测试仪器对平台的压力为发射前压力的，求此时火箭离地面的高度．‎ 答案　见解析 解析　(1)在地面附近，mg＝G，解得：M地＝.‎ ‎(2)设此时火箭离地面的高度为h，选仪器为研究对象，设仪器质量为m0，火箭发射前，仪器对平台的压力F0＝G＝m0g.‎ 在距地面的高度为h时，仪器所受的万有引力为F＝G 设在距离地面的高度为h时，平台对仪器的支持力为F1，根据题述和牛顿第三定律得，F1＝F0‎ 由牛顿第二定律得，F1－F＝m0a，a＝ 联立解得：h＝ 二、地月转移 典例2　(多选)如图9是“嫦娥三号”飞行轨道示意图，在地月转移段，若不计其他星体的影响，关闭发动机后，下列说法正确的是(　　)‎ 图9‎ A．“嫦娥三号”飞行速度一定越来越小 B．“嫦娥三号”的动能可能增大 C．“嫦娥三号”的动能和引力势能之和一定不变 D．“嫦娥三号”的动能和引力势能之和可能增大 答案　AC 解析　在地月转移段“嫦娥三号”所受地球和月球的引力之和指向地球，关闭发动机后，“‎ 嫦娥三号”向月球飞行，要克服引力做功，动能一定减小，速度一定减小，选项A正确，B错误．关闭发动机后，只有万有引力做功，“嫦娥三号”的动能和引力势能之和一定不变，选项C正确，D错误．‎ 三、绕月飞行 典例3　(多选)典例2的题图是“嫦娥三号”飞行轨道示意图．假设“嫦娥三号”运行经过P点第一次通过近月制动使“嫦娥三号”在距离月面高度为100 km的圆轨道Ⅰ上运动，再次经过P点时第二次通过近月制动使“嫦娥三号”在距离月面近地点为Q、高度为15 km，远地点为P、高度为100 km的椭圆轨道Ⅱ上运动，下列说法正确的是(　　)‎ A．“嫦娥三号”在距离月面高度为100 km的圆轨道Ⅰ上运动时速度大小可能变化 B．“嫦娥三号”在距离月面高度100 km的圆轨道Ⅰ上运动的周期一定大于在椭圆轨道Ⅱ上运动的周期 C．“嫦娥三号”在椭圆轨道Ⅱ上运动经过Q点时的加速度一定大于经过P点时的加速度 D．“嫦娥三号”在椭圆轨道Ⅱ上运动经过Q点时的速度可能小于经过P点时的速度 答案　BC 解析　“嫦娥三号”在距离月面高度为100 km的圆轨道上运动是匀速圆周运动，速度大小不变，选项A错误．由于圆轨道的轨道半径大于椭圆轨道半长轴，根据开普勒定律，“嫦娥三号”在距离月面高度100 km的圆轨道Ⅰ上运动的周期一定大于在椭圆轨道Ⅱ上运动的周期，选项B正确．由于在Q点“嫦娥三号”所受万有引力大，所以“嫦娥三号”在椭圆轨道Ⅱ上运动经过Q点时的加速度一定大于经过P点时的加速度，选项C正确．“嫦娥三号”在椭圆轨道上运动的引力势能和动能之和保持不变，Q点的引力势能小于P点的引力势能，所以“嫦娥三号”在椭圆轨道Ⅱ上运动到Q点的动能较大，速度较大，所以“嫦娥三号”在椭圆轨道Ⅱ上运动经过Q点时的速度一定大于经过P点时的速度，选项D错误．‎ 四、探测器着陆 典例4　“嫦娥三号”探测器着陆是从15 km的高度开始的，由着陆器和“玉兔”号月球车组成的“嫦娥三号”月球探测器总重约3.8 t．主减速段开启的反推力发动机最大推力为7 500 N，不考虑月球和其他天体的影响，月球表面附近重力加速度约为1.6 m/s2，“嫦娥三号”探测器在1 s内(　　)‎ A．速度增加约2 m/s B．速度减小约2 m/s C．速度增加约0.37 m/s D．速度减小约0.37 m/s 答案　B 解析　根据题述，不考虑月球和其他天体的影响，也就是不考虑重力，由牛顿第二定律，－F＝ma，解得a≈－2 m/s2，根据加速度的意义可知“嫦娥三号”探测器在1 s内速度减小约2 m/s，选项B正确．‎ 题组1　万有引力定律的理解与应用 ‎1．关于行星运动定律和万有引力定律的建立过程，下列说法正确的是(　　)‎ A．第谷通过整理大量的天文观测数据得到行星运动规律 B．开普勒指出，地球绕太阳运动是因为受到来自太阳的引力 C．牛顿通过比较月球公转的向心加速度和地球赤道上物体随地球自转的向心加速度，对万有引力定律进行了“月地检验”‎ D．卡文迪许在实验室里通过几个铅球之间万有引力的测量，得出了引力常量的数值 答案　D ‎2．一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v.假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N.已知引力常量为G，则这颗行星的质量为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　设卫星的质量为m′‎ 由万有引力提供向心力，得G＝m′①‎ m′＝m′g②‎ 由已知条件：m的重力为N得 N＝mg③‎ 由③得g＝，代入②得：R＝ 代入①得M＝，故A、C、D错误，B项正确．‎ ‎3．(多选)我国发射的“嫦娥三号”登月探测器靠近月球后，先在月球表面附近的近似圆轨道上绕月运行；然后经过一系列过程，在离月面4 m高处做一次悬停(可认为是相对于月球静止)；最后关闭发动机，探测器自由下落．已知探测器的质量约为1.3×103 kg，地球质量约为月球的81倍，地球半径约为月球的3.7倍，地球表面的重力加速度大小约为9.8 m/s2.则此探测器(　　)‎ A．在着陆前的瞬间，速度大小约为8.9 m/s B．悬停时受到的反冲作用力约为2×103 N C．从离开近月圆轨道到着陆这段时间内，机械能守恒 D．在近月圆轨道上运行的线速度小于人造卫星在近地圆轨道上运行的线速度 答案　BD 解析　在星球表面有＝mg，所以重力加速度g＝，地球表面g＝＝9.8 m/s2，则月球表面g′＝＝×≈g，则探测器重力G＝mg′＝1 300××9.8 N≈2×103 N，选项B正确；探测器做自由落体运动，末速度v＝≈ m/s≈3.6 m/s，选项A错误；关闭发动机后，仅在月球引力作用下机械能守恒，而离开近月轨道后还有制动悬停，所以机械能不守恒，选项C错误；在近月圆轨道运动时万有引力提供向心力，有＝，所以v＝＝＜ ，即在近月圆轨道上运行的线速度小于人造卫星在近地圆轨道上运行的线速度，选项D正确．‎ 题组2　中心天体质量和密度的估算 ‎4.一卫星绕火星表面附近做匀速圆周运动，其绕行的周期为T.假设宇航员在火星表面以初速度v水平抛出一小球，经过时间t恰好垂直打在倾角α＝30°的斜面体上，如图1所示．已知引力常量为G，则火星的质量为(　　)‎ 图1‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　以M表示火星的质量，r0表示火星的半径，g′表示火星表面附近的重力加速度，火星对卫星的万有引力提供向心力，有G＝m()2r0，在火星表面有G＝m′g′；平抛小球速度的偏转角为60°，tan 60°＝，联立以上各式解得M＝，B正确．‎ ‎5．假设地球可视为质量均匀分布的球体．已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g，地球自转的周期为T，引力常量为G.地球的密度为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　物体在地球的两极时，mg0＝G，物体在赤道上时，mg＋m()2R＝G，又V＝πR3，联立以上三式解得地球的密度ρ＝.故选项B正确，选项A、C、D错误．‎ ‎6．(多选)如图2所示，飞行器P绕某星球做匀速圆周运动，星球相对飞行器的张角为θ，下列说法正确的是(　　)‎ 图2‎ A．轨道半径越大，周期越长 B．轨道半径越大，速度越大 C．若测得周期和张角，可得到星球的平均密度 D．若测得周期和轨道半径，可得到星球的平均密度 答案　AC 解析　设星球质量为M，半径为R，飞行器绕星球转动半径为r，周期为T.由G＝mr知T＝2π，r越大，T越大，选项A正确；由G＝m知v＝ ，r越大，v越小，选项B错误；由G＝mr和ρ＝得ρ＝，又＝sin ，所以ρ＝，所以选项C正确，D错误．‎ ‎7．我国月球探测计划“嫦娥工程”已经启动，科学家对月球的探索会越来越深入．‎ ‎(1)若已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，月球绕地球运动的周期为T，月球绕地球的运动近似看做匀速圆周运动，试求出月球绕地球运动的轨道半径．‎ ‎(2)若宇航员随登月飞船登陆月球后，在月球表面高度为h的某处以速度v0水平抛出一个小球，小球飞出的水平距离为x.已知月球半径为R月，引力常量为G，试求出月球的质量M月．‎ 答案　(1) 　(2) 解析　(1)设地球质量为M，根据万有引力定律及向心力公式得 G＝M月()2r G＝mg 联立解得r＝ ‎(2)设月球表面处的重力加速度为g月，小球飞行时间为t，根据题意得 x＝v0t，h＝g月t2‎ G＝m′g月 联立解得M月＝.‎ 题组3　卫星运行参量的比较和计算 ‎8．(多选)2011年中俄联合实施探测火星计划，由中国负责研制的“萤火一号”火星探测器与俄罗斯研制的“福布斯—土壤”火星探测器一起由俄罗斯“天顶”运载火箭发射前往火星．已知火星的质量约为地球质量的，火星的半径约为地球半径的.下列关于火星探测器的说法中正确的是(　　)‎ A．发射速度只要大于第一宇宙速度即可 B．发射速度只有达到第三宇宙速度才可以 C．发射速度应大于第二宇宙速度而小于第三宇宙速度 D．火星探测器环绕火星运行的最大速度为地球第一宇宙速度的 答案　CD 解析　根据三个宇宙速度的意义，可知选项A、B错误，选项C正确；已知M火＝，R火＝，则＝ ∶＝.‎ ‎9．(多选)在星球表面发射探测器，当发射速度为v时，探测器可绕星球表面做匀速圆周运动；当发射速度达到 v时，可摆脱星球引力束缚脱离该星球．已知地球、火星两星球的质量比约为10∶1，半径比约为2∶1，下列说法正确的有(　　)‎ A．探测器的质量越大，脱离星球所需要的发射速度越大 B．探测器在地球表面受到的引力比在火星表面的大 C．探测器分别脱离两星球所需要的发射速度相等 D．探测器脱离星球的过程中，势能逐渐增大 答案　BD 解析　由牛顿第二定律得G＝m，解得v＝ ，所以v＝× ＝ ，所以探测器脱离星球的发射速度与探测器的质量无关，A错误；因为地球与火星质量与半径的比值不同，所以C错误；探测器在地球表面受到的引力F1＝，在火星表面受到的引力为F2＝，所以F1∶F2＝＝5∶2，B正确；探测器脱离星球的过程中，引力做负功，引力势能逐渐增大，D正确．‎ 题组4　卫星变轨问题分析 ‎10．(多选)如图3所示，“嫦娥三号”探测器发射到月球上要经过多次变轨，最终降落到月球表面上，其中轨道Ⅰ为圆形轨道，轨道Ⅱ为椭圆轨道．下列说法正确的是(　　)‎ 图3‎ A．探测器在轨道Ⅰ运行时的加速度小于月球表面的重力加速度 B．探测器在轨道Ⅰ经过P点时的加速度小于在轨道Ⅱ经过P点时的加速度 C．探测器在轨道Ⅰ的运行周期大于在轨道Ⅱ的运行周期 D．探测器在P点由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ必须点火加速 答案　AC 解析　探测器在轨道Ⅰ运行时的万有引力小于在月球表面时的万有引力，根据牛顿第二定律，探测器在轨道Ⅰ运行时的加速度小于月球表面的重力加速度，故A正 确；根据万有引力提供向心力有＝ma，距地心距离相同，则加速度相同，故探测器在轨道Ⅰ经过P点时的加速度等于在轨道Ⅱ经过P点时的加速度，故B错误；轨道Ⅰ的半径大于轨道Ⅱ的半长轴，根据开普勒第三定律，探测器在轨道Ⅰ的运行周期大于在轨道Ⅱ的运行周期，故C正确；探测器在P点由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ必须减速，故D错误．‎ ‎11．(多选)2012年6月18日，神舟九号飞船与天宫一号目标飞行器在离地面343 km的近圆轨道上成功进行了我国首次载人空间交会对接．对接轨道所处的空间存在极其稀薄的大气，下面说法正确的是(　　)‎ A．为实现对接，两者运行速度的大小都应介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间 B．如不加干预，在运行一段时间后，天宫一号的动能可能会增加 C．如不加干预，天宫一号的轨道高度将缓慢降低 D．航天员在天宫一号中处于失重状态，说明航天员不受地球引力作用 答案　BC 解析　地球所有卫星的运行速度都小于第一宇宙速度，故A错误．轨道处的稀薄大气会对天宫一号产生阻力，如不加干预，其轨道会缓慢降低，天宫一号的重力势能一部分转化为动能，故天宫一号的动能可能会增加，B、C正确；航天员受到地球引力作用，此时引力充当向心力，产生向心加速度，航天员处于失重状态，D错误．‎