【物理】2020届一轮复习人教版　运动的图象　追及和相遇问题学案 25页

第3讲　运动的图象　追及和相遇问题 一、直线运动的图象 ‎1．直线运动的x－t图象 ‎(1)物理意义：反映了物体做直线运动的位移随时间变化的规律。‎ ‎(2)斜率的意义：图线上某点切线斜率的大小表示物体此时速度的大小，斜率正负表示物体速度的方向。‎ ‎2．直线运动的v－t图象 ‎(1)物理意义：反映了做直线运动的物体的速度随时间变化的规律。‎ ‎(2)斜率的意义：图线上某点切线斜率的大小表示物体此时加速度的大小，斜率正负表示物体加速度的方向。‎ ‎(3)“面积”的意义 ‎①图线与时间轴围成的面积表示相应时间内的位移。‎ ‎②若面积在时间轴的上方，表示位移方向为正方向；若面积在时间轴的下方，表示位移方向为负方向。‎ 二、追及和相遇问题 ‎1．追及问题的两类情况 ‎(1)若后者能追上前者，追上时，两者处于同一 位置，且后者速度一定不小于前者速度。‎ ‎(2)若后者追不上前者，则当后者速度与前者速度相等时，两者相距最近。‎ ‎2．相遇问题 相向运动的物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体间的距离时即相遇。‎ ‎　 　　　　　　　　　　　‎ ‎(判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”。)‎ ‎1．无论是x－t图象还是v－t图象都只能描述直线运动。(√)‎ ‎2．x－t图象表示物体的运动轨迹，v－t图象不能表示物体的运动轨迹。(×)‎ ‎3．同一坐标系中的两条v－t图线的交点表示两物体相遇。(×)‎ ‎4．两物体同向运动恰好不相碰，则两物体相遇时速度相等。(√)‎ ‎5．两个物体在追及过程中，物体之间的距离总是逐渐减小。(×)‎ ‎1．(x－t图象)甲、乙两车在同一条直道上行驶，它们运动的位移x随时间t 变化的关系如图所示。已知乙车做匀变速直线运动，其图象与t轴相切于10 s处。则下列说法正确的是(　　)‎ A．甲车的初速度为零 B．乙车的初位置在x0＝100 m处 C．乙车的加速度大小为2．5 m/s2‎ D．5 s时两车相遇，此时甲车速度较大 解析　由题图可知甲车做匀速直线运动，速度v甲＝＝ m/s＝5 m/s，A项错误；由题图可知乙车做匀减速直线运动，可看做是反方向的匀加速直线运动，则有x＝at2，当其反向运动5 s时，位移为25 m，代入解得加速度大小a＝2 m/s2，因其共运动了10 s，可得x0＝×2×102 m＝100 m，B项正确，C项错误；t＝5 s时，两车相遇，但甲车速度v甲＝5 m/s，小于乙车速度v乙＝10 m/s，D项错误。‎ 答案　B ‎2．(v－t图象)一物体自t＝0时开始做直线运动，其速度－时间图线如图所示。下列选项正确的是(　　)‎ A．0～2 s内与6～8 s内物体的加速度相同 B．前8 s内的平均速度为4 m/s C．在6～8 s内物体的平均速率为0‎ D．0～8 s内物体离出发点最远为44 m 解析　0～2 s与6～8 s加速度大小分别为4 m/s2、8 m/s2，大小不等、方向不同，A项错误；前8 s的平均速度v＝＝5 m/s，B项错误；6～8 s平均速率v＝＝4 m/s，C项错误；第7 s时离出发点最远，为44 m，D项正确。‎ 答案　D ‎3．(追及和相遇问题)现有A、B两列火车在同一轨道上同向行驶，A车在前，其速度vA＝10 m/s，B车速度vB＝30 m/s。因大雾能见度低，B车在距A车600 m时才发现A车，此时B车立即刹车，但B车要减速1 800 m才能够停止。‎ ‎(1)求B车刹车后减速运动的加速度大小。‎ ‎(2)若B车刹车8 s后，A车以加速度a1＝0．5 m/s2加速前进，问能否避免事故？若能够避免，则两车最近时相距多远？‎ 解析　(1)设B车减速运动的加速度大小为a，‎ 有0－v＝－2ax1，解得a＝0．25 m/s2。‎ ‎(2)设B车减速t时两车的速度相同，有 vB－at＝vA＋a1(t－Δt)，‎ 代入数值解得t＝32 s。‎ 在此过程中B车前进的位移为xB＝vBt－＝832 m。‎ A车前进的位移为xA＝vAΔt＋vA(t－Δt)＋a1(t－Δt)2＝464 m。‎ 因xA＋x>xB，故不会发生撞车事故。‎ 此时Δx＝xA＋x－xB＝232 m。‎ 答案　(1)0．25 m/s2　(2)能　232 m 考点　1　运动图象的理解和应用 考|点|速|通 ‎1．应用运动图象要注意三点 ‎(1)无论是x－t图象还是v－t图象都只能描述直线运动。‎ ‎(2)x－t图象和v－t图象都不表示物体运动的轨迹。‎ ‎(3)x－t图象和v－t图象的形状由x与t、v与t的函数关系决定。‎ ‎2．应用运动图象解题要“六看”‎ x－t图象 v－t图象 轴 横轴为时间t，纵轴为位移x 横轴为时间t，纵轴为速度v 线 倾斜直线表示匀速直线运动 倾斜直线表示匀变速直线运动 斜率 表示速度 表示加速度 面积 无实际意义 图线和时间轴围成的面积表示位移 纵截距 表示初位置 表示初速度 特殊点 拐点表示从一种运动变为另一种运动，交点表示相遇 拐点表示从一种运动变为另一种运动，交点表示速度相等 典|例|微|探 ‎【例1】　已知某质点的位移－时间图象如图所示，则它的速度－时间图象应是图中的(取原运动方向为正)(　　)‎ ‎　　　　　A　　　 　　　　　　B ‎　　　　　C　　　 　　　　　　D 解析　由位移－时间图象可知，0～2 s内，v1＝＝3 m/s；2～4 s内，v2＝0；4～5 s内，v3＝＝－6 m/s，则图象A正确。‎ 答案　A 用图象来描述两个物理量之间的关系，是物理学中常用的方法，是一种直观且形象的语言和工具。它运用数和形的巧妙结合，恰当地表达各种现象的物理过程和物理规律。运用图象解题的能力可归纳为以下两个方面：‎ ‎1．读图 ‎2．作图和用图 依据物体的状态或物理过程所遵循的物理规律，作出与之对应的示意图或数学函数图象来研究和处理问题。 ‎ 题|组|冲|关 ‎1．(2019·万州二中月考)甲、乙两质点沿同一方向做直线运动，某时刻经过同一地点。若以该时刻作为计时起点，得到两质点的x－t图象如图所示。图象中的OC与AB平行，CB与OA平行。则下列说法中正确的是(　　)‎ A．t1～t2时间内甲和乙的距离越来越远 B．0～t2时间内甲的速度和乙的速度始终不相等 C．0～t3时间内甲和乙的位移相等 D．0～t3时间内甲的平均速度大于乙的平均速度 解析　图象的纵坐标表示质点所在的位置；由图可以知道t1到t2时间内两质点的距离始终不变，A项错误；图象的斜率表示质点的速度，由图可以知道，t1～t2时间内甲的速度和乙的速度相等，B项错误；根据位移等于x的变化量，由图可以知道，0～t3时间内甲和乙的位移相等，所以C项正确；0～t3时间内，甲和乙的位移相等，所用时间相等，则两质点平均速度相等，D项错误。‎ 答案　C 下列图象均能正确反映物体在直线上的运动，在t＝2 s 内物体位移最大的是(　　)‎ A　　　　　　　　　B C　　　　　　　　　D 解析　A项中，当t＝2 s时，x＝0，这表示物体在t＝2 s内位移为0，其实物体做的是一次往返运动；v－t图象与坐标轴所围图形的“面积”大小表示位移大小，当图象位于时间轴上方时表示位移方向为正，当位于下方时表示位移方向为负；B项中的“图形”只位于横轴上方，这表示物体在t＝2 s内位移方向为正，大小等于图形的“面积”，而C、D两项中的“图形”由两部分组成，它们分别在横轴上下两侧，且两部分图形的“面积”大小相等，这表示物体在t＝2 s内位移均为0。B项符合题意。‎ 答案　B ‎ ‎2．一物体做直线运动，其加速度随时间变化的a－t图象如图所示。下列v－t图象中，可能正确描述此物体运动的是(　　)‎ A　　　　　　　　　　B C　　　　　　　　　　D 解析　由题图可知，在0～时间内a＝a0>0，在～T时间内a＝0，在T～2T时间内a＝－a0。在0～时间内物体做匀加速运动，在～T时间内物体做匀速运动，在T～2T时间内物体做匀减速运动，且匀减速运动图线斜率的绝对值与匀加速运动图线斜率的绝对值相等，D项正确。‎ 答案　D ‎3．以从塔顶由静止释放小球A的时刻为计时零点，t0时刻又在与小球A等高的位置处，由静止释放小球B。若两小球都只受重力作用，设小球B下落时间为t，在两小球落地前，两小球间的高度差为Δx，则－t0图线为(　　)‎ ‎　 　　　　　　A　　　 　 　　　B ‎　 　　　　　　C　　　 　　　　D 解析　A、B两球释放后都做自由落体运动，B球释放时，t0时刻小球A的速度为gt0，小球B的速度为0，根据匀变速直线运动规律，两小球下落的高度分别为hA＝(gt0)t＋gt2和hB＝gt2，则Δx＝hA－hB＝gt0t，即＝gt0，B项正确。‎ 答案　B 考点　2　追及和相遇问题 考|点|速|通 ‎1．讨论追及、相遇的问题，其实质就是分析讨论两物体在同一时刻能否到达相同的空间位置问题 ‎(1)两个关系：即时间关系和位移关系。‎ ‎(2)一个条件：即两者速度相等，它往往是物体间能追上、追不上或(两者)距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。‎ ‎2．常见的情况 ‎(1)物体A追上物体B：开始时，两个物体相距x0，则A追上B时，必有xA－xB＝x0，且vA≥vB。‎ ‎(2)物体A追赶物体B：开始时，两个物体相距x0，要使两物体恰好不相撞，必有xA－xB＝x0，且vA＝vB。‎ 典|例|微|探 ‎【例2】　汽车A正在公路上以20 m/s的速度匀速行驶，因疲劳驾驶司机注意力不集中，当司机发现正前方有一辆静止的轿车B时，两车距离仅有75 m。‎ ‎(1)若此时B车立即以2 m/s2的加速度启动，通过计算判断：如果A车司机没有刹车，是否会撞上B车，若不相撞，求两车相距最近时的距离；若相撞，求出从A车发现B车开始到撞上B车的时间。‎ ‎(2)若A车司机发现B车，立即刹车(不计反应时间)做匀减速直线运动，加速度大小为2 m/s2(两车均视为质点)，为避免碰撞，在A车刹车的同时，B 车立即做匀加速直线运动(不计反应时间)，问：B车加速度aB至少多大才能避免事故？(假设两车始终在同一条直线上运动)‎ 解析　(1)设经过时间t1两车速度相等，则vA＝vB，‎ 对B车　vB＝at1，联立可得t1＝10 s，‎ A车的位移xA＝vAt1＝200 m，‎ B车的位移xB＝at＝100 m，‎ 又xB ＋ x0 ＝ 175 m < xA，‎ 所以会撞上。‎ 设经过时间t2相撞(t20．5 m/s2。‎ 解法二：图象法 在同一个v－t图中画出A车和B车的速度－时间图线，根据图象与时间轴所围的面积表示位移，则两车位移之差等于图中梯形的面积与矩形面积之差，当t＝t0时，梯形与矩形的面积之差最大，为图中阴影部分的面积。根据题意，阴影部分的面积不能超过100 m。即×(20－10)t0＝100 m，‎ 解得t0＝20 s，a＝＝0．5 m/s2，‎ 即a应满足的条件为a>0．5 m/s2。‎ 解法三：相对运动法 以B车为参考系，A车的初速度为v0＝10 m/s，以加速度大小a做匀减速直线运动，行驶x＝100 m后相对B的速度减为0。‎ 所以有0－v＝－2ax，代入数据解得a＝0．5 m/s2，‎ 即两车不相撞的条件是a>0．5 m/s2。‎ ‎(用相对运动法解题时，公式中的各个量都是相对于B的物理量，注意物理量的正负号)‎ 解法四：二次方程根的判别式 若A车追上B车，应有v1t－at2＝v2t＋x0，‎ 代入数据得at2－10t＋100＝0，‎ 两车不相撞则根的判别式 Δ＝b2－4ac＝100－200a<0，解得a>0．5 m/s2。‎ 答案　a>0．5 m/s2‎ 必|刷|好|题 ‎1．一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮起时汽车以3 m/s2的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆电动车以6 m/s的速度匀速驶来，从后面超过汽车。试求：汽车从路口开动后，在追上电动车之前经过多长时间两车相距最远？最远距离是多少？‎ 解析　解法一：公式法 当汽车的速度与电动车的速度相等时，两车之间的距离最大，设经时间t两车之间的距离最大。‎ 则有v汽＝at＝v自，所以t＝＝ s＝2 s，‎ Δxm＝x自－x汽＝v自t－at2＝6×2 m－×3×22 m＝6 m。‎ 解法二：图象法 在同一个v－t图中画出电动车和汽车的速度时间图象，根据图象面积的物理意义，两车位移之差等于图中三角形的面积与矩形面积的差，当t＝t0时矩形与三角形的面积之差最大。‎ v－t图象的斜率表示物体的加速度＝3，所以t0＝2 s，‎ 当t＝2 s时两车的距离最大为图中阴影三角形的面积，‎ Δxm＝×2×6 m＝6 m，‎ 动态分析随着时间的推移，矩形面积(电动车的位移)与三角形面积(汽车的位移)的差的变化规律。‎ 解法三：相对运动法 选电动车为参照物，以汽车相对地面的运动方向为正方向，汽车相对电动车沿反方向做匀减速运动 v0＝－6 m/s，a＝3 m/s2，两车相距最远时vt＝0，‎ 对汽车由公式vt＝v0＋at ‎(由于不涉及位移，所以选用速度公式)t＝＝ s＝2 s，‎ 对汽车由公式v－v＝2ax(由于不涉及“时间”，所以选用速度位移公式)x＝＝ m＝－6 m，‎ 表示汽车相对于电动车是向后运动的，其相对于电动车的位移为向后6 m。‎ 解法四：二次函数极值法 设经过时间t汽车和电动车之间的距离为Δx，‎ 则Δx＝v自t－at2＝6t－t2，‎ 当t＝－＝2 s时，Δxm＝＝6 m。‎ 答案　2 s　6 m ‎2．如图，直线a和曲线b分别是在平行的平直公路上行驶的汽车a和b的速度－时间(v－t)图线，在t1时刻两车刚好在同一位置(并排行驶)，在t1到t3这段时间内，下列说法正确的是(　　)‎ A．在t2时刻，两车相距最远 B．在t3时刻，两车相距最远 C．a车加速度均匀增大 D．b车加速度先增大后减小 解析　在t1～t3时间内，b车速度都小于a车，所以在t3时刻，两车相距最远，B项正确，A项错误；a车做匀加速直线运动，a车加速度不变，C项错误；根据速度－时间图象斜率表示加速度可知，b车加速度一直增大，D项错误。‎ 答案　B ‎1．(2018·全国卷Ⅱ)(多选)甲、乙两汽车在同一条平直公路上同向运动，其速度－时间图象分别如图中甲、乙两条曲线所示。已知两车在t2时刻并排行驶。下列说法正确的是(　　)‎ A．两车在t1时刻也并排行驶 B．在t1时刻甲车在后，乙车在前 C．甲车的加速度大小先增大后减小 D．乙车的加速度大小先减小后增大 解析　v－t图象中图象包围的面积代表运动走过的位移，两车在t2时刻并排行驶，利用逆向思维并借助于面积可知在t1时刻甲车在后，乙车在前，故A项错误，B项正确；图象的斜率表示加速度，所以甲的加速度先减小后增大，乙的加速度也是先减小后增大，故C项错误，D项正确。 ‎ 答案　BD ‎2．(2018·全国卷Ⅲ)(多选)甲乙两车在同一平直公路上同向运动，甲做匀加速直线运动，乙做匀速直线运动。甲乙两车的位置x随时间t的变化如图所示。下列说法正确的是(　　)‎ A．在t1时刻两车速度相等 B．从0到t1时间内，两车走过的路程相等 C．从t1到t2时间内，两车走过的路程相等 D．从t1到t2时间内的某时刻，两车速度相等 解析　根据位移－时间图象的物理意义可知，在t1时刻两车的位置相同，速度不相等，乙车的速度大于甲车的速度，A项错误；从0到t1时间内，乙车走过的路程大于甲车，B项错误；从t1到t2时间内，两车都是从x1位置走到x2位置，两车走过的路程相等，C项正确；根据位移图象的斜率等于速度可知，从t1‎ 到t2时间内的某时刻，两车速度相等，D项正确。‎ 答案　CD ‎3．(2016·全国卷Ⅰ)(多选)甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其v－t 图象如图所示。已知两车在t＝3 s时并排行驶，则(　　)‎ A．在t＝1 s时，甲车在乙车后 B．在t＝0时，甲车在乙车前7．5 m C．两车另一次并排行驶的时刻是t＝2 s D．甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40 m 解析　根据题述，两车在t＝3 s时并排行驶，由图线与横轴所围面积表示位移可知，在t＝1 s时，甲车和乙车并排行驶，A、C两项错误；由图象可知，在t＝1 s时甲车速度为10 m/s，乙车速度为15 m/s,0～1 s时间内，甲车行驶位移为x1＝5 m，乙车行驶位移为x2＝12．5 m，所以在t＝0时，甲车在乙车前7．5 m，B项正确；从t＝1 s到t＝3 s，甲、乙两车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为x＝×(10＋30)×2 m＝40 m，D项正确。‎ 答案　BD ‎　【借鉴高考】　(2016·江苏高考)小球从一定高度处由静止下落，与地面碰撞后回到原高度再次下落，重复上述运动，取小球的落地点为原点建立坐标系，竖直向上为正方向，下列速度v和位置x的关系图象中，能描述该过程的是(　　)‎ A　　　　　　　　　B C　　　　　　　　　D 解析　由题意知小球在下落的过程中速度方向向下，与题中规定的正方向相反，故为负值，C、D两项错误；小球的运动为匀变速运动，根据v2－v＝2ax可知速度与位置的关系式为二次函数，A项正确，B项错误。‎ 答案　A