【物理】2018届一轮复习人教版第4章第4讲万有引力定律及其应用学案 13页

第4讲　万有引力定律及其应用 知识点一　开普勒行星运动定律 ‎1.开普勒第一定律(轨道定律)‎ 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个　　　　上.‎ ‎2.开普勒第二定律(面积定律)‎ 对每一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过的　　　　相等.‎ ‎3.开普勒第三定律(周期定律)‎ 所有行星的轨道的　　　　的三次方跟它的　　　　的二次方的比值都相等.‎ 答案：1.焦点　2.面积　3.半长轴　公转周期 知识点二　万有引力定律 ‎1.内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的　　　　成正比，与它们之间距离r的　　　　成反比.‎ ‎2.公式：F＝G，其中G＝　　　　N·m2/kg2，叫万有引力常量.‎ ‎3.适用条件 公式适用于　　　　间的相互作用.当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点；r为两物体间的距离.‎ 答案：1.乘积　二次方　2.6.67×10－11　3.质点 知识点三　经典时空观和相对论时空观 ‎1.经典时空观 ‎(1)物体的质量不随速度的变化而变化.‎ ‎(2)同一过程的位移和对应的时间在所有参考系中测量结果　　　　.‎ ‎(3)适用条件：宏观物体、　　　　运动.‎ ‎2.相对论时空观 同一过程的位移和对应时间在不同参考系中测量结果　　　　.‎ 答案：1.相同　低速　2.不同 ‎(1)所有行星绕太阳运行的轨道都是椭圆.(　　)‎ ‎(2)行星在椭圆轨道上运行速率是变化的，离太阳越近，运行速率越小.(　　)‎ ‎(3)德国天文学家开普勒在天文观测的基础上提出了行星运动的三条定律.(　　)‎ ‎(4)只要知道两个物体的质量和两个物体之间的距离，就可以由F＝G 计算物体间的万有引力.(　　)‎ ‎(5)地面上的物体所受地球的引力方向指向地心.(　　)‎ ‎(6)两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大.(　　)‎ 答案：(1)√　(2) 　(3)√　(4) 　(5)√　(6)  考点　开普勒行星运动定律的理解和应用 ‎1.行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理，若按椭圆轨道处理，则利用其半长轴进行计算.‎ ‎2.开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动.‎ ‎3.开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同.‎ 考向1　对开普勒定律的理解 ‎[典例1]　火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知(　　)‎ A.太阳位于木星运行轨道的中心 B.火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等 C.火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方 D.相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积 ‎[解析]　由开普勒第一定律(轨道定律)可知，太阳位于木星运行轨道的一个焦点上，A错误.火星和木星绕太阳运行的轨道不同，运行速度的大小不可能始终相等，B错误.根据开普勒第三定律(周期定律)可知，所有行星轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的平方的比值是一个常数，C正确.对于某一个行星来说，其与太阳连线在相同的时间内扫过的面积相等，不同行星在相同的时间内扫过的面积不相等，D错误.‎ ‎[答案]　C 考向2　开普勒定律的应用 ‎[典例2]　(2016·新课标全国卷Ⅰ)利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯.目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍.假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为(　　)‎ A.1 h　 　B.4 h　 　C.8 h　 　D.16 h ‎[解题指导]　画出由三颗同步卫星实现赤道上任意两点保持通讯的示意图，由几何关系计算轨道半径，根据开普勒第三定律计算周期.‎ ‎[解析]　设地球半径为R ‎，画出仅用三颗地球同步卫星使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯时同步卫星的最小轨道半径示意图，如图所示.由图中几何关系可得，同步卫星的最小轨道半径r＝2R.设地球自转周期的最小值为T，则由开普勒第三定律可得，＝，解得T≈4 h，选项B正确.‎ ‎[答案]　B 涉及椭圆轨道运动周期的问题，在中学物理中，常用开普勒第三定律求解.但该定律只能用在同一中心天体的两星体之间，如绕太阳运行的两行星之间或绕地球运行的两卫星之间，而对于一颗行星和一颗卫星比较时不能用开普勒第三定律，开普勒第三定律不仅适用于天体沿椭圆轨道运动，也适用于天体沿圆轨道运动.‎ 考点　万有引力的计算及应用 ‎1.万有引力定律适用于计算质点间的引力，具体有以下三种情况：‎ ‎(1)两物体间的距离远远大于物体本身的线度，两物体可视为质点，例如行星绕太阳的旋转.‎ ‎(2)两个均匀的球体间，其距离为两球心的距离.‎ ‎(3)一个均匀的球体与一个形状、大小均可忽略不计的物体即质点之间，其距离为质点到球心的距离.‎ ‎2.重力与万有引力的关系 重力是因地面附近的物体受到地球的万有引力而产生的；万有引力是物体随地球自转所需向心力和重力的合力.‎ ‎(1)在地面上，忽略地球自转时，认为物体的向心力为零，各位置均有mg≈.‎ ‎(2)若考虑地球自转，在赤道上的物体有－FN＝F向，其中FN大小等于mg，对处于南北两极的物体则有＝mg.‎ ‎(3)在地球上空某一高度h处有＝mg ‎′，可知随着高度的增加，重力逐渐减小，重力加速度也逐渐减小.‎ 考向1　万有引力的计算 ‎[典例3]　(多选)如图所示，三颗质量均为m的地球同步卫星等间隔分布在半径为r的圆轨道上，设地球质量为M，半径为R.下列说法正确的是(　　)‎ A.地球对一颗卫星的引力大小为 B.一颗卫星对地球的引力大小为 C.两颗卫星之间的引力大小为 D.三颗卫星对地球引力的合力大小为 ‎[解析]　地球与卫星之间的距离应为地心与卫星之间的距离，选项A错误，B正确；两颗相邻卫星与地球球心的连线互成120°角，间距为r，代入数据得，两颗卫星之间的引力大小为，选项C正确；三颗卫星对地球引力的合力为零，选项D错误.‎ ‎[答案]　BC 考向2　万有引力与重力的关系 ‎[典例4]　假设地球可视为质量均匀分布的球体.已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G.地球的密度为(　　)‎ A. B. C. D. ‎[解析]　在地球两极处，G＝mg0，在赤道处，G－mg＝mR，故R＝，则ρ＝＝＝＝，B正确.‎ ‎[答案]　B 考向3　万有引力的应用 ‎[典例5]　假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体.一矿井深度为d ‎.已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零.矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为(　　)‎ A.1－ B.1＋ ‎ C.2 D.2‎ ‎[解题指导]　解答本题时应从以下两点进行分析：‎ ‎(1)地球表面重力加速度的计算方法：mg＝G.‎ ‎(2)质量分布均匀的球体(模型)可以看成无数个球壳(模型)的组合.球体内部某一点的重力加速度，可以等效为以球心到该点为半径的球体表面的重力加速度.‎ ‎[解析]　在地球表面，由万有引力定律有G＝mg，其中M＝πR3ρ；在矿井底部，由万有引力定律有G＝mg0，其中M0＝πRρ，R＝R0＋d，联立解得＝1－，A正确.‎ ‎[答案]　A ‎1.g＝G和g′＝G不仅适用于地球，也适用于其他星球.‎ ‎2.在赤道上随地球自转的物体所受的万有引力F引分解的两个分力F向和mg刚好在一条直线上，则有F引＝F向＋mg.‎ ‎3.地球卫星的重力和万有引力 地球卫星的重力和万有引力是同一个力，且万有引力全部用来提供向心力，故地球卫星处于完全失重状态.‎ 考点　天体质量和密度的计算 ‎1.自力更生法 利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.‎ ‎(1)由G＝mg得天体质量M＝.‎ ‎(2)天体密度ρ＝＝＝.‎ ‎(3)Gm＝gR2称为黄金代换公式.‎ ‎2.借助外援法 测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r和周期T.‎ ‎(1)由G＝m得天体的质量M＝.‎ ‎(2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝.‎ ‎(3)若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度.‎ ‎[典例6]　(2017·广东珠海模拟)某火星探测实验室进行电子计算机模拟实验，结果为探测器在靠近火星表面轨道做圆周运动的周期是T，探测器着陆过程中，第一次接触火星表面后，以v0的初速度竖直反弹上升，经t时间再次返回火星表面，设这一过程只受火星的重力作用，且重力近似不变.已知引力常量为G，试求：‎ ‎(1)火星的密度；‎ ‎(2)火星的半径.‎ ‎[解析]　(1)设火星的半径为R，火星的质量为M，探测器的质量为m，探测器绕火星表面飞行时，有G＝mR，①‎ 可得火星的质量M＝，②‎ 则根据密度的定义有ρ＝＝＝.‎ ‎(2)探测器在火星表面的万有引力近似等于重力，有 G＝mg′，③‎ 根据题意有探测器在火星表面反弹后做竖直上抛运动，根据竖直上抛运动落回抛出点的时间t＝得火星表面的重力加速度g′＝，④‎ 将②④代入③得R＝.‎ ‎[答案]　(1)　(2) ‎[变式1]　(多选)如图所示，飞行器P绕某星球做匀速圆周运动，星球相对飞行器的张角为θ，下列说法正确的是(　　)‎ A.轨道半径越大，周期越长 B.轨道半径越大，速度越大 C.若测得周期和张角，可得到星球的平均密度 D.若测得周期和轨道半径，可得到星球的平均密度 答案：AC　解析：设星球质量为M，半径为R，飞行器绕星球运动的半径为r，周期为T.由G＝mr知T＝2π，r越大，T越大，选项A正确；由G＝m知v＝，r越大，v越小，选项B错误；由G＝mr 和ρ＝得ρ＝，又＝sin ，所以ρ＝，所以选项C正确，D错误.‎ ‎1.利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，并非环绕天体的质量.‎ ‎2.区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近的卫星才有r≈R；计算天体密度时，V＝πR3中的R只能是中心天体的半径.‎ 考点　宇宙中双星及多星模型 ‎1.双星模型 ‎(1)两颗行星做匀速圆周运动所需的向心力是由它们之间的万有引力提供的，故两行星做匀速圆周运动的向心力大小相等.‎ ‎(2)两颗行星均绕它们连线上的一点做匀速圆周运动，因此它们的运行周期和角速度是相等的.‎ ‎(3)两颗行星做匀速圆周运动的半径r1和r2与两行星间距L的大小关系：r1＋r2＝L.‎ ‎2.三星模型 甲 ‎(1)如图甲所示，三颗质量相等的行星，一颗行星位于中心位置不动，另外两颗行星围绕它做圆周运动.这三颗行星始终位于同一直线上，中心行星受力平衡.运转的行星由其余两颗行星的引力提供向心力：＋＝ma向.‎ 两行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等.‎ ‎(2)如图乙所示，三颗行星位于一正三角形的顶点处，都绕三角形的中心做圆周运动.每颗行星运行所需向心力都由其余两颗行星对其万有引力的合力来提供.‎ 三颗行星转动的方向相同，周期、角速度相等.‎ 乙 考向1　双星模型的计算 ‎[典例7]　2012年7月，一个国际研究小组借助于智利的甚大望远镜，观测到了一组双星系统，它们绕两者连线上的某点O做匀速圆周运动，如图所示.此双星系统中体积较小成员能“吸食”另一颗体积较大星体表面物质，达到质量转移的目的，假设在演变的过程中两者球心之间的距离保持不变，则在最初演变的过程中(　　)‎ A.它们做圆周运动的万有引力保持不变 B.它们做圆周运动的角速度不断变大 C.体积较大星体圆周运动轨迹半径变大，线速度也变大 D.体积较大星体圆周运动轨迹半径变大，线速度变小 ‎[解析]　对双星M1、M2，设距离为L，圆周运动半径分别为r1、r2，它们做圆周运动的万有引力为F＝G，距离L不变，M1与M2之和不变，其乘积大小变化，则它们的万有引力发生变化，A错；依题意双星系统绕两者连线上某点O做匀速圆周运动，周期和角速度相同，由万有引力定律及牛顿第二定律：G＝M1ω2r1，G＝M2ω2r2，r1＋r2＝L，可解得：M1＋M2＝，M1r1＝M2r2，由此可知ω不变，质量比等于圆周运动半径的反比，故体积较大的星体因质量减小，其轨道半径将增大，线速度也增大，B、D错，C对.‎ ‎[答案]　C 考向2　三星模型的计算 ‎[典例8]　(多选)宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图所示，三颗质量均为m的星位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为R ‎，忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，万有引力常量为G，则(　　)‎ A.每颗星做圆周运动的线速度为 B.每颗星做圆周运动的角速度为 C.每颗星做圆周运动的周期为2π D.每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关 ‎[解析]　每颗星受到的合力为F＝‎2Gsin 60°＝G，轨道半径为r＝R，由向心力公式F＝ma＝m＝mω2r＝m，解得a＝，v＝，ω＝，T＝2π，显然加速度a与m有关，故A、B、C正确.‎ ‎[答案]　ABC ‎[变式2]　(多选)美国科学家通过射电望远镜观察到宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统：三颗星位于同一直线上，两颗环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行.设每个星体的质量均为M，忽略其他星体对它们的引力作用，则(　　)‎ A.环绕星运动的角速度为 B.环绕星运动的角线度为 C.环绕星运动的周期为4π D.环绕星运动的周期为2π 答案：BC　解析：环绕星做匀速圆周运动，其他两星对它的万有引力充当向心力，即G＋G＝M＝Mω2R＝M2R，解得v＝，ω＝，T＝4π，B、C正确，A、D错误.‎ ‎1.双星模型的重要结论 ‎(1)两颗星到轨道圆心的距离r1、r2与星体质量成反比＝.‎ ‎(2)双星的运动周期T＝2π.‎ ‎(3)双星的总质量m1＋m2＝.‎ ‎2.多星问题的解题技巧 ‎(1)挖掘一个隐含条件：在圆周上运动天体的角速度(或周期)相等.‎ ‎(2)重视向心力来源分析：双星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，三星或多星做圆周运动，向心力往往是多个星的万有引力的合力来提供.‎ ‎(3)区别两个长度关系：圆周运动的轨道半径和万有引力中两天体的距离是不同的，不能误认为一样.‎ ‎1.[开普勒定律的应用]地球的公转轨道接近圆，但彗星的运行轨道则是一个非常扁的椭圆.天文学家哈雷曾经在1682年跟踪过一颗彗星，他算出这颗彗星轨道的半长轴等于地球公转轨道半径的18倍，并预言这颗彗星将每隔一定时间就会出现.哈雷的预言得到证实，该彗星被命名为哈雷彗星.哈雷彗星最近出现的时间是1986年，它下次将在哪一年飞近地球(　　)‎ A.2042年 B.2052年 C.2062年 D.2072年 答案：C　解析：根据开普勒第三定律＝k，可得＝，且r慧＝18r地，得T慧＝54T地，又T地＝1年，所以T慧＝54年≈76年，故选C.‎ ‎2.[天体质量的计算]观察“嫦娥三号”在环月轨道上的运动，发现每经过时间t通过的弧长为l，该弧长对应的圆心角为θ(弧度)，如图所示.已知引力常量为G，“嫦娥三号”的环月轨道可近似看成是圆轨道，由此可推导月球的质量为(　　)‎ A.2π B. ‎ C. D. 答案：B　解析：“嫦娥三号”在环月轨道上运动的线速度为v＝，角速度为ω＝；根据线速度和角速度的关系式：v＝ωr，可得其轨道半径r＝＝；“嫦娥三号”做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，＝mωv，解得M＝，故选B.‎ ‎3.[双星模型]双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动.研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化.若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为(　　)‎ A.T B.T ‎ C.T D.T 答案：B　解析：设两双星的质量分别为M1和M2，轨道半径分别为r1和r2.根据万有引力定律及牛顿第二定律可得＝M12r1＝M22r2，解得＝2(r1＋r2)，即＝2①，当两星的总质量变为原来的k倍，它们之间的距离变为原来的n倍时，有＝2②，联立①②两式可得T′＝T，故B项正确.‎ ‎4.[天体质量、密度的计算]若宇航员在月球表面附近自高h处以初速度v0水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为L，已知月球半径为R，引力常量为G，则下列说法正确的是(　　)‎ A.月球表面的重力加速度g月＝ B.月球的质量m月＝ C.月球的第一宇宙速度v＝ D.月球的平均密度ρ＝ 答案：ABC　解析：根据平抛运动规律，有L＝v0t，h＝g月t2，联立解得g月＝，选项A正确；由mg月＝解得m月＝，选项B正确；由mg月＝m解得v＝ ‎，选项C正确；月球的平均密度ρ＝＝，选项D错误.‎ ‎5.[万有引力定律的应用]假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体.一矿井深度为d.已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，地球表面的重力加速度为g.把质量为m的矿石从矿井底部提升至地面处的过程中，克服重力做的功为(　　)‎ A.mgd　　　　　B.mgd C.mgd D.m2gd 答案：A　解析：在地表，mg＝G，g＝G＝πρGR，在井底，g′＝πρG(R－d)，可见g′＝g∝r＝R－d，提升过程克服重力做的功W＝d＝mgd.选A.‎ ‎6.[万有引力定律的应用]如图所示，一个质量为M的匀质实心球，半径为R，如果从球中挖去一个直径为R的小球，放在相距为d＝2.5R的地方，分别求下列两种情况下挖去部分与剩余部分的万有引力大小.(答案必须用分式表示，已知G、M、R)‎ ‎(1)从球的正中心挖去；‎ ‎(2)从球心右侧挖去.‎ 答案：(1)　(2) 解析：半径为R的匀质实心球的密度ρ＝，‎ 挖去的直径为R的球的质量 m＝ρ·π3＝.‎ ‎(1)从球的中心挖去时 F＝G－G＝＝.‎ ‎(2)从球心右侧挖去时 F＝G－G＝－＝.‎