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- 2021-06-07 发布
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2018-2019学年河南省信阳市息县一中高二(下)第三次段考数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A={1,2,3,4},B={n|n=log2(3k﹣1),k∈A},则A∩B=( )
A.{3} B.{1} C.{1,3} D.{1,2,3}
2.已知复数z=﹣2i+,则复数z的共轭复数在复平面内对应的点在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.以(a,1)为圆心,且与两条直线2x﹣y+4=0与2x﹣y﹣6=0同时相切的圆的标准方程为( )
A.(x﹣1)2+(y﹣1)2=5 B.(x+1)2+(y+1)2=5 C.(x﹣1)2+y2=5 D.x2+(y﹣1)2=5
4.已知||=,•=﹣,且(﹣)•(+)=﹣15,则向量与的夹角为( )
A. B. C. D.
5.如图是一个由两个半圆锥与一个长方体组合而成的几何体的三视图,则该几何体的体积为( )
A.6+ B.8+ C.4+ D.4+
6.已知函数f(x)的图象是连续不断的,有如下的x,f(x)的对应表:
x
1
2
3
4
5
6
f(x)
136.13
15.552
﹣3.92
10.88
﹣52.488
﹣232.064
则函数f(x)存在零点的区间有( )
A.区间[1,2]和[2,3] B.区间[2,3]和[3,4]
C.区间[3,4]、[4,5]和[5,6] D.区间[2,3]、[3,4]和[4,5]
7.执行如图所示的程序框图,如果输入的P=2,Q=1,则输出的M等于( )
21 / 21
A.37 B.30 C.24 D.19
8.已知α为锐角,若sin2α+cos2α=﹣,则tanα=( )
A.3 B.2 C. D.
9.定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)+f(x)=0,x∈[0,2)时,f(x)=3x﹣1,则f(2015)的值为( )
A.8 B.0 C.2 D.﹣2
10.把函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的图象向左平移个单位长度,所得的曲线的一部分图象如图所示,则ω、φ的值分别是( )
A.1, B.1,﹣ C.2, D.2,﹣
11.已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式可能是( )
A.f(x)=﹣x3 B.f(x)=+x3 C.f(x)=﹣x3 D.f(x)=+x3
12.对函数f(x),在使f(x)≥M成立的所有常数M中,我们把M的最大值叫做函数f(x)的下确界.现已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(1﹣x)=f(1+x),当x∈[0,1]时,f(x)=﹣3x2+2,则f(x)的下确界为( )
A.2 B.1 C.0 D.﹣1
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
21 / 21
13.半径为的球的体积与一个长、宽分别为6、4的长方体的体积相等,则长方体的表面积为 .
14.在△ABC中,边AB的垂直平分线交边AC于D,若C=,BC=8,BD=7,则△ABC的面积为 .
15.6月23日15时前后,江苏盐城市阜宁、射阳等地突遭强冰雹、龙卷风双重灾害袭击,风力达12级.灾害发生后,有甲、乙、丙、丁4个轻型救援队从A,B,C,D四个不同的方向前往灾区.
已知下面四种说法都是正确的.
(1)甲轻型救援队所在方向不是C方向,也不是D方向;
(2)乙轻型救援队所在方向不是A方向,也不是B方向;
(3)丙轻型救援队所在方向不是A方向,也不是B方向;
(4)丁轻型救援队所在方向不是A方向,也不是D方向.
此外还可确定:如果丙所在方向不是D方向,那么甲所在方向就不是A方向.有下列判断:
①甲所在方向是B方向;②乙所在方向是D方向;③丙所在方向是D方向;④丁所在方向是C方向.
其中判断正确的序号是 .
16.函数f(x)=lnx在点P(x0,f(x0))处的切线l与函数g(x)=ex的图象也相切,则满足条件的切点P的个数有 个.
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(12分)已知各项都为正数的等比数列{an}满足a3是3a1与2a2的等差中项,且a1a2=a3.
( I)求数列{an}的通项公式;
( II)设bn=log3an,且Sn为数列{bn}的前n项和,求数列{}的前n项和Tn.
18.(12分)某中学为了了解全校学生的上网情况,在全校采用随机抽样的方法抽取了40名学生(其中男女生人数恰好各占一半)进行问卷调查,并进行了统计,按男女分为两组,再将每组学生的月上网次数分为5组:[0,5),[5,10),[10,15),[15,20),[20,25],得到如图所示的频率分布直方图:
21 / 21
( I)写出a的值;
( II)在抽取的40名学生中,从月上网次数不少于20次的学生中随机抽取3人,并用X表示其中男生的人数,求X的分布列和数学期望.
19.(12分)如图,已知等边△ABC中,E,F分别为AB,AC边的中点,N为BC边上一点,且CN=BC,将△AEF沿EF折到△A′EF的位置,使平面A′EF⊥平面EF﹣CB,M为EF中点.
(1)求证:平面A′MN⊥平面A′BF;
(2)求二面角E﹣A′F﹣B的余弦值.
20.(12分)已知f(x)是定义在[﹣1,1]上的奇函数,且f(1)=1,若m,n∈[﹣1,1],m+n≠0时,有>0.
(1)证明:f(x)在[﹣1,1]上是增函数;
(2)解不等式f(x2﹣1)+f(3﹣3x)<0.
21.(12分)已知函数f(x)是(﹣∞,+∞)上的奇函数,且f(x)的图象关于x=1对称,当x∈[0,1]时,f(x)=2x﹣1,
(1)当x∈[1,2]时,求f(x)的解析式;
(2)计算f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2015)的值.
[选修4-1:几何证明选讲]
22.(10分)如图所示,PQ为⊙O的切线,切点为Q,割线PEF过圆心O,且QM=QN.
(Ⅰ)求证:PF•QN=PQ•NF;
(Ⅱ)若QP=QF=,求PF的长.
[选修4-4:坐标系与参数方程]
23.已知圆C在极坐标方程为ρ=4cosθ﹣2sinθ,直线l的参数方程为(t为参数).若直线l与圆C相交于不同的两点P,Q.
21 / 21
(Ⅰ)写出圆C的直角坐标方程,并求圆心的坐标与半径;
(Ⅱ)若弦长|PQ|=4,求直线l的斜率.
[选修4-5:不等式选讲]
24.设f(x)=|x|+|x+10|.
(Ⅰ)求f(x)≤x+15的解集M;
(Ⅱ)当a,b∈M时,求证:5|a+b|≤|ab+25|
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数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2016秋•邯郸月考)已知集合A={1,2,3,4},B={n|n=log2(3k﹣1),k∈A},则A∩B=( )
A.{3} B.{1} C.{1,3} D.{1,2,3}
【考点】交集及其运算.
【专题】集合思想;综合法;集合.
【分析】分别求出满足条件的集合B中的部分元素,求出A∩B即可.
【解答】解:k=1时,n=1,
k=3时,n=3,
∴B={1,3,…},
而A={1,2,3,4},
故A∩B={1,3},
故选:C.
【点评】本题考查了集合的运算,考查对数的运算,是一道基础题.
2.(2016秋•秀屿区校级期中)已知复数z=﹣2i+,则复数z的共轭复数在复平面内对应的点在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【考点】复数的代数表示法及其几何意义.
【专题】转化思想;数系的扩充和复数.
【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出.
【解答】解:复数z=﹣2i+=﹣2i+=﹣2i﹣3i﹣1=﹣1﹣5i,
则复数z的共轭复数=﹣1+5i在复平面内对应的点(﹣1,5)在第二象限.
故选:B.
【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
3.(2016秋•河南月考)以(a,1)为圆心,且与两条直线2x﹣y+4=0与2x﹣y﹣6=0同时相切的圆的标准方程为( )
A.(x﹣1)2+(y﹣1)2=5 B.(x+1)2+(y+1)2=5 C.(x﹣1)2+y2=5 D.x2+(y﹣1)2=5
【考点】圆的标准方程.
【专题】计算题;方程思想;综合法;直线与圆.
【分析】由题意,圆心在直线2x﹣y﹣1=0上,求出圆心与半径,即可得出结论.
【解答】解:由题意,圆心在直线2x﹣y﹣1=0上,
21 / 21
(a,1)代入可得a=1,即圆心为(1,1),半径为r==,
∴圆的标准方程为(x﹣1)2+(y﹣1)2=5,
故选:A.
【点评】本题考查圆的方程,考查学生的计算能力,比较基础.
4.(2016秋•邯郸月考)已知||=,•=﹣,且(﹣)•(+)=﹣15,则向量与的夹角为( )
A. B. C. D.
【考点】平面向量数量积的运算.
【专题】转化思想;综合法;平面向量及应用.
【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义,求得向量与的夹角的余弦值,可得向量与的夹角.
【解答】解:设向量与的夹角为θ,∵||=,•=•||•cosθ=﹣ ①,
∵(﹣)•(+)=﹣=10﹣=﹣15,∴||=5.
再把||=5代入①求得cosθ=﹣,∴θ=,
故选:C.
【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义,属于基础题.
5.(2016秋•河南月考)如图是一个由两个半圆锥与一个长方体组合而成的几何体的三视图,则该几何体的体积为( )
A.6+ B.8+ C.4+ D.4+
【考点】由三视图求面积、体积.
【专题】数形结合;数形结合法;空间位置关系与距离.
21 / 21
【分析】几何体为两个半圆锥与一个四棱柱的组合体,求出各部分的体积再相加即可.
【解答】解:由三视图可知几何体为两个半圆锥与一个长方体的组合体.
半圆锥的底面半径r=1,高为2,长方体的棱长为1,2,2,
∴几何体的体积V=×2+1×2×2=+4.
故选C.
【点评】本题考查了常见几何体的三视图及体积计算,属于中档题.
6.(2016春•潍坊期末)已知函数f(x)的图象是连续不断的,有如下的x,f(x)的对应表:
x
1
2
3
4
5
6
f(x)
136.13
15.552
﹣3.92
10.88
﹣52.488
﹣232.064
则函数f(x)存在零点的区间有( )
A.区间[1,2]和[2,3] B.区间[2,3]和[3,4]
C.区间[3,4]、[4,5]和[5,6] D.区间[2,3]、[3,4]和[4,5]
【考点】二分法的定义.
【专题】综合题;方程思想;综合法;函数的性质及应用.
【分析】利用根的存在性定理:f(x)的图象在区间[a,b]上连续,且f(a)•f(b)<0,则f(x)在(a,b)上有根.结合题中的表求出函数f(x)存在零点的区间.
【解答】解:据根的存在性定理知:
f(x)的图象在区间[a,b]上连续,且f(a)•f(b)<0,则f(x)在(a,b)上有根.
∵f(x)的图象是连续不断的,
∴由表知,f(2)•f(3)<0,f(4)•f(3)<0,f(4)•f(5)<0,
∴函数f(x)存在零点的区间为[2,3]、[3,4]和[4,5],
故选:D.
【点评】本题考查利用根的存在性定理判断函数的零点所在的区间,考查学生运用二分法的定义解题的能力,属于基础题.
7.(2016秋•河南月考)执行如图所示的程序框图,如果输入的P=2,Q=1,则输出的M等于( )
A.37 B.30 C.24 D.19
【考点】程序框图.
【专题】计算题;图表型;试验法;算法和程序框图.
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是利用循环计算并输出变量M的值,模拟程序的运行,对程序运行过程中各变量的值进行分析,不难得到输出结果.
【解答】解:模拟程序的运行,可得:
P=2,Q=1
M=10,N=1
21 / 21
M=12,N=1
不满足条件M≤N,执行循环体,P=3,Q=2,M=15,N=2
不满足条件M≤N,执行循环体,P=4,Q=3,M=19,N=6
不满足条件M≤N,执行循环体,P=5,Q=4,M=24,N=24
满足条件M≤N,推出循环,输出M的值为24.
故选:C.
【点评】本题考查了循环结构的程序框图的应用,考查了学生的视图能力以及观察、推理的能力,属于基础题.
8.(2016秋•邯郸月考)已知α为锐角,若sin2α+cos2α=﹣,则tanα=( )
A.3 B.2 C. D.
【考点】三角函数的化简求值.
【专题】计算题;转化思想;三角函数的求值.
【分析】利用同角三角函数基本关系式化简已知条件为正切函数的形式,然后求解即可.
【解答】解:α为锐角,tanα>0,
若sin2α+cos2α=﹣,
可得,
即:=,
可得2tan2α﹣5tanα﹣3=0,
解得tanα=3,tan(舍去).
故选:A.
【点评】本题考查三角函数化简求值,同角三角函数基本关系式的应用,考查计算能力.
9.(2016秋•周口月考)定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)+f(x)=0,x∈[0,2)时,f(x)=3x﹣1,则f(2015)的值为( )
A.8 B.0 C.2 D.﹣2
【考点】函数的周期性.
【专题】方程思想;转化思想;函数的性质及应用.
【分析】函数f(x)满足f(x+2)+f(x)=0,可得:f(x+4)=﹣f(x+2)=f(x),f(2015)=f(3)=﹣f(1),即可得出.
【解答】解:∵函数f(x)满足f(x+2)+f(x)=0,
∴f(x+4)=﹣f(x+2)=f(x),
∴f(2015)=f(503×4+3)=f(3)=﹣f(1),
∵x∈[0,2)时,f(x)=3x﹣1,
∴f(1)=3﹣1=2.
21 / 21
则f(2015)=﹣2.
故选:D.
【点评】本题考查了函数的周期性、函数求值,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
10.(2013•弋江区校级一模)把函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的图象向左平移个单位长度,所得的曲线的一部分图象如图所示,则ω、φ的值分别是( )
A.1, B.1,﹣ C.2, D.2,﹣
【考点】由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式.
【专题】计算题.
【分析】先把函数的图象依题意向左平移,获得新的函数的解析式,然后利用图象可知函数的周期,进而利用周期公式求得ω;把x=π代入函数解析式,化简整理求得φ的值.
【解答】解:y=sin(ωx+φ),
y1=sin[ω(x+)+φ],
∴T==×4,ω=2,
当x=π时,2(π+)+φ=2kπ+π,k∈Z,φ=2kπ﹣,k∈Z,|φ|<,
∴φ=﹣.
故选D
【点评】本题主要考查了由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式.考查了学生数形结合思想的运用和对三角函数解析式的理解.
11.(2015•厦门模拟)已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式可能是( )
21 / 21
A.f(x)=﹣x3 B.f(x)=+x3 C.f(x)=﹣x3 D.f(x)=+x3
【考点】函数的图象.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】本题是选择题,可采用排除法,根据函数的定义域可排除选项C再根据特殊值排除B,D,即可得到所求
【解答】解:由图象可知,函数的定义域为x≠a,a>0,故排除C,
当x→+∞时,y→0,故排除B,当x→﹣∞时,y→+∞,故排除B,
当x=1时,对于选项A.f(1)=0,对于选项D,f(1)=﹣2,故排除D.
故选:A.
【点评】本题主要考查了识图能力,数形结合的思想,属于基础题
12.(2016秋•息县校级月考)对函数f(x),在使f(x)≥M成立的所有常数M中,我们把M的最大值叫做函数f(x)的下确界.现已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(1﹣x)=f(1+x),当x∈[0,1]时,f(x)=﹣3x2+2,则f(x)的下确界为( )
A.2 B.1 C.0 D.﹣1
【考点】抽象函数及其应用;函数的最值及其几何意义.
【专题】数形结合;函数的性质及应用.
【分析】由题意可得f(x)关于x=0,x=1对称;从而作出函数f(x)的图象,从而由定义确定下确界即可.
【解答】解:由题意知,f(x)关于x=0,x=1对称;
故函数f(x)的周期为2,
又∵当x∈[0,1]时,f(x)=﹣3x2+2,
∴当x∈[﹣1,1]时,f(x)=﹣3x2+2;
故作出函数f(x)在R上的部分图象如下,
故易得下确界为f(1)=﹣1,
故选D.
【点评】本题考查了函数性质的判断与应用,同时考查了数形结合的思想应用及学生对新定义的接受能力,属于中档题.
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.(2016秋•邯郸月考)半径为的球的体积与一个长、宽分别为6、4的长方体的体积相等,则长方体的表面积为 88 .
【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积.
【专题】计算题;转化思想;空间位置关系与距离.
21 / 21
【分析】由题意,长、宽分别为6、4的长方体的体积与球的体积相等,求出长方体的高,再求长方体的表面积.
【解答】解:由题意,长、宽分别为6、4的长方体的体积与球的体积相等,球的半径为.
则有:
⇔
解得h=2
长方体的表面积S=2×4×6+2×2×4+2×2×6=88
故答案为88.
【点评】本题考查了球的体积的计算和长方体的体积计算.属于基础题.
14.(2016秋•金安区校级月考)在△ABC中,边AB的垂直平分线交边AC于D,若C=,BC=8,BD=7,则△ABC的面积为 20,或24 .
【考点】三角形中的几何计算.
【专题】数形结合;方程思想;转化思想;解三角形.
【分析】如图所示,△BCD中,设CD=x,由余弦定理可得:,解出x,再利用三角形面积计算公式即可得出.
【解答】解:如图所示,
△BCD中,设CD=x,
由余弦定理可得:,
化为:x2﹣8x+15=0,
解得x=3,或5.
∴AC=10,或12.
∴S△ABC=sinC=20,或24.
故答案为:20,或24.
【点评】本题考查了余弦定理、三角形面积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
21 / 21
15.(2016秋•河南月考)6月23日15时前后,江苏盐城市阜宁、射阳等地突遭强冰雹、龙卷风双重灾害袭击,风力达12级.灾害发生后,有甲、乙、丙、丁4个轻型救援队从A,B,C,D四个不同的方向前往灾区.
已知下面四种说法都是正确的.
(1)甲轻型救援队所在方向不是C方向,也不是D方向;
(2)乙轻型救援队所在方向不是A方向,也不是B方向;
(3)丙轻型救援队所在方向不是A方向,也不是B方向;
(4)丁轻型救援队所在方向不是A方向,也不是D方向.
此外还可确定:如果丙所在方向不是D方向,那么甲所在方向就不是A方向.有下列判断:
①甲所在方向是B方向;②乙所在方向是D方向;③丙所在方向是D方向;④丁所在方向是C方向.
其中判断正确的序号是 ③ .
【考点】进行简单的合情推理.
【专题】整体思想;综合法;推理和证明.
【分析】由(1)可知,甲选A或B,由(2)可知,乙选C或D,由(3)可知:丙选C或D,由(4)可知,丁选C或B,由如果丙所在方向不是D方向,那么甲所在方向就不是A方向可知丙所在的方向是D方向.
【解答】解:由(1)可知,甲选A或B,由(2)可知,乙选C或D,由(3)可知:丙选C或D,由(4)可知,丁选C或B,
由丙所在方向不是D方向,那么甲所在方向就不是A方向,故丙所在的方向是D方向,
故③正确,
故答案为:③.
【点评】本题考查简单的合情推理,考查逻辑推理应用,考查学生的逻辑思考能力,属于基础题.
16.(2016秋•邯郸月考)函数f(x)=lnx在点P(x0,f(x0))处的切线l与函数g(x)=ex的图象也相切,则满足条件的切点P的个数有 2 个.
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.
【专题】综合题;转化思想;演绎法;导数的综合应用.
【分析】先求直线l为函数的图象上一点A(x0,f (x0))处的切线方程,再设直线l与曲线y=g(x)相切于点(x1,),进而可得lnx0=,即可得出结论.
【解答】解:∵f(x)=lnx,
∴f′(x)=,∴x=x0,f′(x0)=,
∴切线l的方程为y﹣lnx0=(x﹣x0),
即y=x+lnx0﹣1,①
21 / 21
设直线l与曲线y=g(x)相切于点(x1,),
∵g'(x)=ex,∴=,∴x1=﹣lnx0.
∴直线l也为y﹣=(x+lnx0)
即y=x++,②
由①②得lnx0=,
如图所示,方程有两解,
故答案为2.
【点评】本题以函数为载体,考查导数知识的运用,考查曲线的切线,同时考查零点存在性定理,综合性比较强.
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(12分)(2016秋•邯郸月考)已知各项都为正数的等比数列{an}满足a3是3a1与2a2的等差中项,且a1a2=a3.
( I)求数列{an}的通项公式;
( II)设bn=log3an,且Sn为数列{bn}的前n项和,求数列{}的前n项和Tn.
21 / 21
【考点】数列的求和;数列递推式.
【专题】综合题;转化思想;转化法;等差数列与等比数列.
【分析】(Ⅰ)根据等比数列的定义和等差中项即可求出{an}的通项公式,
(Ⅱ)根据对数的性质得到bn=log3an=n,再根据等差数列的前n项公式得到Sn,代入到,裂项求和即可.
【解答】解:(I)设等比数列的公比为q,由题意知q>0,且3a1+2a2=a3,a1a2=a3.
∴
解得a1=q=3,故an=3n,
(Ⅱ)bn=log3an=n,
∴Sn=,
∴=+2=2(﹣)+2,
故数列{}的前n项和为Tn=2[(1﹣)+(﹣)+…+(﹣)]+2n=2(1﹣)+2n=
【点评】本题考查了等差数列的性质和前n项和公式和等比数列的通项公式和裂项求和,属于中档题.
18.(12分)(2016秋•息县校级月考)某中学为了了解全校学生的上网情况,在全校采用随机抽样的方法抽取了40名学生(其中男女生人数恰好各占一半)进行问卷调查,并进行了统计,按男女分为两组,再将每组学生的月上网次数分为5组:[0,5),[5,10),[10,15),[15,20),[20,25],得到如图所示的频率分布直方图:
( I)写出a的值;
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( II)在抽取的40名学生中,从月上网次数不少于20次的学生中随机抽取3人,并用X表示其中男生的人数,求X的分布列和数学期望.
【考点】离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差.
【专题】计算题;转化思想;综合法;概率与统计.
【分析】(I)由频率分布的性质能求出a.
( II)在抽取的女生中,月上网次数不少于20次的学生人数为人,在抽取的男生中,月上网次数不少于20次的学生人数为3人,从而得到X的可能取值为1,2,3,分别求出相应的概率,由此能求出X的分布列和E(X).
【解答】解:(I)由频率分布的性质得:
a==0.05.…(3分)
( II)在抽取的女生中,
月上网次数不少于20次的学生频率为0.02×5=0.1,学生人数为0.1×20=2人,
同理,在抽取的男生中,月上网次数不少于20次的学生人数为(0.03×5)×20=3人.
故X的可能取值为1,2,3.…(6分)
则P(X=1)==,
P(X=2)==,
P(X=3)==,
所以X的分布列为:
X
1
2
3
P
…(11分)
所以E(X)=.…(12分)
【点评】本题考查实数值的求法,考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意排列组合知识的合理运用.
19.(12分)(2016秋•思明区校级期中)如图,已知等边△ABC中,E,F分别为AB,AC边的中点,N为BC边上一点,且CN=BC,将△AEF沿EF折到△A′EF的位置,使平面A′EF⊥平面EF﹣CB,M为EF中点.
(1)求证:平面A′MN⊥平面A′BF;
(2)求二面角E﹣A′F﹣B的余弦值.
21 / 21
【考点】二面角的平面角及求法;平面与平面垂直的判定.
【专题】数形结合;转化思想;空间角.
【分析】(1)如图所示,取BC的中点G,连接MG,则MG⊥EF,利用面面与线面垂直的性质与判定定理可得:MG⊥A′M,又A′M⊥EF,因此可以建立空间直角坐标系.不妨设BC=4.只要证明平面法向量的夹角为直角即可证明平面A′MN⊥平面A′BF.
(2)利用两个平面的法向量的夹角即可得出.
【解答】(1)证明:如图所示,取BC的中点G,连接MG,则MG⊥EF,
∵平面A′EF⊥平面EFCB,平面A′EF∩平面EFCB=EF,
∴MG⊥平面A′EF,∴MG⊥A′M,又A′M⊥EF,
因此可以建立空间直角坐标系.不妨设BC=4.
M(0,0,0),A′(0,0,),N(﹣1,,0),
B(2,,0),F(﹣1,0,0).
=(0,0,),=(﹣1,,0),
=(1,0,),=(3,,0).
设平面A′MN的法向量为=(x,y,z),
则,即,
取=.
同理可得平面A′BF的法向量=.
∵=3﹣3+0=0,∴,
∴平面A′MN⊥平面A′BF.
(2)解:由(1)可得平面A′BF的法向量=.
取平面EA′F的法向量=(0,1,0).
则cos===,
由图可知:二面角E﹣A′F﹣B的平面角为锐角,
∴二面角E﹣A′F﹣B的平面角的余弦值为.
21 / 21
【点评】本题考查了利用平面法向量的夹角求出二面角的方法、向量夹角公式、数量积运算性质、空间位置关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
20.(12分)(2016秋•息县校级月考)已知f(x)是定义在[﹣1,1]上的奇函数,且f(1)=1,若m,n∈[﹣1,1],m+n≠0时,有>0.
(1)证明:f(x)在[﹣1,1]上是增函数;
(2)解不等式f(x2﹣1)+f(3﹣3x)<0.
【考点】函数奇偶性的性质;函数单调性的性质.
【专题】计算题;函数的性质及应用.
【分析】(1)任取x1、x2两数使x1、x2∈[﹣1,1],且x1<x2,进而根据函数为奇函数推知f(x1)﹣f(x2)=f(x1)+f(﹣x2),让f(x1)+f(﹣x2)除以x1﹣x2再乘以x1﹣x2配出的形式,进而判断出f(x1)﹣f(x2)与0的关系,进而证明出函数的单调性.
(2)将不等式进行等价转化,利用函数的单调性进行求解.
【解答】(1)证明:任取x1、x2∈[﹣1,1],且x1<x2,则﹣x2∈[﹣1,1].
又f(x)是奇函数,于是f(x1)﹣f(x2)=f(x1)+f(﹣x2)
=•(x1﹣x2).
据已知>0,x1﹣x2<0,
∴f(x1)﹣f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).
∴f(x)在[﹣1,1]上是增函数. 5分
(2)解:∵f(x)是定义在[﹣1,1]上的奇函数,且在[﹣1,1]上是增函数
不等式化为f(x2﹣1)<f(3x﹣3),
∴,解得x∈(1,].
【点评】本题主要考查函数的单调性和奇偶性的综合运用.解题时要注意把未知条件拼凑出已知条件的形式,达到解题的目的.
21.(12分)(2016秋•息县校级月考)已知函数f(x)是(﹣∞,+∞)上的奇函数,且f(x)的图象关于x=1对称,当x∈[0,1]时,f(x)=2x﹣1,
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(1)当x∈[1,2]时,求f(x)的解析式;
(2)计算f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2015)的值.
【考点】函数解析式的求解及常用方法.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】(1)根据函数的对称性,即可求出当x∈[1,2]时的f(x)的解析式;
(2)(根据函数的对称性和函数的奇偶性即可得到f(x)是周期函数,根据函数的周期性先计算f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=0,然后可得f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2015)的值.
【解答】解:(1)∵f(x)的图象关于x=1对称,
∴f(1+x)=f(1﹣x),即f(x)=f(2﹣x)
当x∈[1,2]时,2﹣x∈[0,1],
∵当x∈[0,1]时,f(x)=2x﹣1
∴f(x)=f(2﹣x)=22﹣x﹣1,x∈[1,2].
(2)∵f(x)的图象关于x=1对称,
∴f(1+x)=f(1﹣x),
∵f(x)是R上的奇函数,
∴f(1+x)=f(1﹣x)=﹣f(x﹣1),
即f(2+x)=﹣f(x),
∴f(x+4)=﹣f(x+2)=f(x),
即f(x)是周期为4的周期函数;
∵当x∈[0,1]时,f(x)=2x﹣1
∴f(0)=0,f(1)=2﹣1=1,f(2)=f(0)=0,f(3)=f(﹣1)=﹣f(1)=﹣1,f(4)=f(0)=0,
∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=0,
即f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2015)=504×0=0.
【点评】本题考查的知识点是函数的值,奇函数,函数的周期性,其中根据已知条件求出函数是为4的周期函数,是解答本题的关键.
[选修4-1:几何证明选讲]
22.(10分)(2016秋•河南月考)如图所示,PQ为⊙O的切线,切点为Q,割线PEF过圆心O,且QM=QN.
(Ⅰ)求证:PF•QN=PQ•NF;
(Ⅱ)若QP=QF=,求PF的长.
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【考点】与圆有关的比例线段.
【专题】选作题;转化思想;综合法;推理和证明.
【分析】(I)已知条件PQ为圆O的切线,联系切线的性质、弦切角定理,利用三角形相似,可得结论;
(II)求出∠PQF=120°,利用余弦定理求PF的长.
【解答】(I)证明:因为PQ为圆O的切线,所以∠PFQ=∠PQE.…(1分)
又因为QM=QN,所以∠QNM=∠QMN,…(2分)
所以∠PNF=∠PMQ,…(3分)
所以△PNF∽△PMQ,…(4分)
所以,即PF•QN=PQ•NF;…
(II)解:因为QP=QF=,所以∠PFQ=∠QPF.…(6分)
又∠PFQ+∠QPF+∠PQE+∠EQF=180°,∠EQF=90°,…(7分)
所以∠PFQ=∠QPF=30°,∠PQF=120°,…(8分)
由余弦定理,得PF==3.…(10分)
【点评】本题考查圆周角定理、弦切角定理、余弦定理、圆的性质,以及考查逻辑四维能力、推理理论能力、转化能力、运算求解能力.
[选修4-4:坐标系与参数方程]
23.(2016秋•河南月考)已知圆C在极坐标方程为ρ=4cosθ﹣2sinθ,直线l的参数方程为(t为参数).若直线l与圆C相交于不同的两点P,Q.
(Ⅰ)写出圆C的直角坐标方程,并求圆心的坐标与半径;
(Ⅱ)若弦长|PQ|=4,求直线l的斜率.
【考点】参数方程化成普通方程;坐标系的作用.
【专题】对应思想;综合法;坐标系和参数方程.
【分析】(Ⅰ)根据ρ2=x2+y2,ρcosθ=x,ρsinθ=y,求出C的直角坐标方程,通过配方求出圆心和半径即可;
(Ⅱ)求出直线过定点M(5,0),设出直线方程,根据|PQ|=4,求出直线方程即可.
【解答】解:( I)由ρ=4cosθ﹣2sinθ,
得ρ2=4ρcosθ﹣2ρsinθ,
将ρ2=x2+y2,ρcosθ=x,ρsinθ=y,
代入可得x2+y2﹣4x+2y=0,
配方,得(x﹣2)2+(y+1)2=5,
所以圆心为(2,﹣1),半径为.
( II)由直线L的参数方程知直线过定点M(5,0),
则由题意,知直线l的斜率一定存在,
因此不妨设直线l的方程为l的方程为y=k(x﹣5),
因为|PQ|=4,所以5﹣=4,
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解得k=0或k=.
【点评】本题考查了极坐标方程转化为直角坐标方程,考查求直线方程问题,是一道中档题.
[选修4-5:不等式选讲]
24.(2016秋•正阳县校级月考)设f(x)=|x|+|x+10|.
(Ⅰ)求f(x)≤x+15的解集M;
(Ⅱ)当a,b∈M时,求证:5|a+b|≤|ab+25|
【考点】绝对值不等式的解法.
【专题】分类讨论;转化思想;分类法;不等式的解法及应用.
【分析】( I)把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组,求出每个不等式组的解集,再取并集,即得所求.
(Ⅱ)当a,b∈M时,等价转化不等式5|a+b|≤|ab+25|为(a2﹣25)•(25﹣b2)≤0,结合题意可得(a2﹣25)•(25﹣b2)≤0成立,从而得出结论.
【解答】解:( I)由f(x)=|x|+|x+10|≤x+15得:
①,或 ②,或 ③.
解①求得x∈∅,解②求得﹣5≤x≤0,解③求得5≥x>0,
故原不等式的解集为M={x|﹣5≤x≤5 }.
( II)当a,b∈M时,﹣5≤a≤5,﹣5≤b≤5,不等式 5|a+b||≤|ab+25|,
等价于25(a+b)2≤(ab+25)2,即25(a2+b2+2ab)≤a2•b2+50ab+625,
即25a2+25b2﹣a2•b2﹣625≤0,等价于(a2﹣25)•(25﹣b2)≤0.
而由﹣5≤a≤5,﹣5≤b≤5,可得a2≤25,b2≤25,∴a2﹣25≤0,25﹣b2≥0,∴(a2﹣25)•(25﹣b2)≤成立,
故要证的不等式 5|a+b|≤|ab+25|成立.
【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法,用分析法证明不等式,属于中档题.
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