广东省汕头市金山中学2021届高三年级上学期联考数学试题 Word版含答案 15页

汕头市金山中学2021届高三年级上学期联考 数 学 一、选择题（本大题共8小题，共40分）‎ ‎1．已知集合( )‎ ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎2．已知复数z满足，则复数在复平面内对应的点位于( )‎ ‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．将4名学生分别安排甲、乙、丙三个地方参加实践活动，每个地方至少安排一名学生，‎ ‎ 则不同的安排方案共有( )‎ ‎ A．12 B．‎18 ‎ C．24 D．36‎ ‎4．某防疫站对学生进行健康调查，采用分层抽样的方法抽取样本．某中学共有学生2000‎ ‎ 人，抽取了一个容量为200的样本，样本中男生103人，则该中学共有女生( )人．‎ ‎ A．1030人 B．97人 C．950人 D．970人 ‎5．鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首 ‎ 创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上 ‎ 下、左右、前后完全对称，六根完全一样的正四棱柱体分 ‎ 成三组，经90。榫卯起来，若正四棱柱的高为6，底面正方 ‎ 形的边长为l，现将该鲁班锁放进一个球形容器（容器壁的 ‎ 厚度忽略不计），则该球形容器表面积的最小值为( )‎ ‎ A．41 B．‎42‎ C．43 D．44 ‎ ‎6．模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立 ‎ 了某地区新冠肺炎累计确诊病例数，（t）（t的单位：天）的模型：‎ ‎ ,其中K为最大确诊病例数．当时，标志着已初步遏制 ‎ 疫情，则t*约为( )‎ ‎ A．60 B．‎63 ‎ C．66 D．69‎ ‎7．若函数在上的最小值为，则在 ‎ 上的最大值为( )‎ ‎ A．4 B．‎5 ‎ C． D．‎ 15‎ ‎8．已知双曲线E的中心为原点，是E的焦点，过F的直线与E相交于A，B两点，‎ ‎ 且AB的中点为,则E的离心率为( )‎ ‎ A． B． C． D．‎ 二、不定项选择题（本大题共4小题，共20分）‎ ‎9．椭圆的焦距为，则m的值为( )‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎10．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中正确的是( )‎ ‎（注：结余=收入－支出）‎ ‎ A．收入最高值与收入最低值的比是3：l ‎ B．结余最高的月份是7月 ‎ C．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同 ‎ D．前6个月的平均收入为40万元 ‎11．设随机变量的分布列为，则( )‎ ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎12．已知函数（其中.对于不相等的实数，，设 ‎ ，下列说法正确的是（ ）‎ ‎ A．对于任意不相等的实数都有;‎ 15‎ ‎ B．对于任意的及任意不相等的实数，都有；‎ ‎ C．对于任意的，存在不相等的实数，使得；‎ ‎ D．对于任意的，存在不相等的实数，使得.‎ 三、填空题（本大题共4小题，20分）‎ ‎13．在数列中，，则的值为＿＿＿.‎ ‎14．已知二项式，则=＿＿＿＿＿‎ ‎15．正四棱锥S-ABCD底面边长为2，高为l，E是边BC的中点，动点P在四棱锥表面上 ‎ 运动，并且总保持，则动点P的轨迹的周长为＿＿＿＿＿＿‎ ‎16．己知数列的前项和为，且,数列的通项公式为＿＿＿；数列 的前项和为，且，若使恰为中的奇数项，‎ 则所有正整数组成的集合为＿＿＿＿.‎ 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）‎ ‎17．(10分)‎ ‎ 在△ABC中，‎ ‎ (1)求B；‎ ‎ (2)若c=5，＿＿＿＿. 求，从①，②这两个条件中任选一个，补充在上 面问题中并作答.‎ ‎18．(12分)‎ ‎ 已知等差数列满足，等比数列的各项均为正数，且.‎ ‎ (I)求和的通项公式；‎ ‎ (Ⅱ)设为数列的前项和，求满足的最大正整数．‎ 15‎ ‎19．(12分)‎ ‎ 我国是全球最大的口罩生产国，在2020年3月份，我国每日口罩产量超一亿只，已基本满足国内人民的需求，但随着疫情在全球范围扩散，境外口罩需求量激增，世界卫生组织公开呼吁扩大口罩产能，常见的口罩有KN90和KN95(分别阻挡不少于90.0%和95.0%的0.055到0.095微米的氯化钠颗粒)两种.某口罩厂两条独立的生产线分别生产KN90和KN95两种口罩，为保证质量对其进行多项检测并评分（满分100分），规定总分大于或等于85分为合格，小于85分为次品.现从流水线上随机抽取这两种口罩各100个进行检测并评分，结果如下：‎ ‎ 总分 ‎ [75,80)‎ ‎ [80,85)‎ ‎ [85,90)‎ ‎ [90,95)‎ ‎ [95,100]‎ ‎ KN90‎ ‎ 6‎ ‎ 14‎ ‎ 42‎ ‎ 31‎ ‎ 7‎ ‎ KN95‎ ‎ 4‎ ‎ 6‎ ‎ 47‎ ‎ 35‎ ‎ 8‎ ‎ (1)试分别估计两种口罩的合格率；‎ ‎ (2)假设生产一个KN90口罩，若质量合格，则盈利3元，若为次品则亏损1元；生产一个KN95口罩，若质量合格，则盈利8元，若为次品则亏损2元，在(1)的前提下，‎ ‎ ①设X为生产一个KN90口罩和生产一个KN95口罩所得利润的和，求随机变量X的分布列和数学期望；‎ ‎ ②求生产4个KN90口罩所得的利润不少于8元的概率．‎ ‎20．(12分)‎ ‎ 如图，四棱锥S -ABCD的底面ABCD是直角梯形，,侧面△SCD为钝角三角形，,平面SCD⊥平面ABCD，点M是棱SA上的动点，‎ ‎ (1)求证：平面MBD⊥平面SCD;‎ ‎ (2)若直线SD与底面ABCD所成的角为，是否存在点M,使得二面角A-余弦值为若存在，确定点M的位置，若不存在，请说明理由．‎ 15‎ ‎21．(12分)‎ ‎ 已知函数 ‎ (1)讨论函数的单调性；‎ ‎ (2)若函数的图象与直线交于A，B两点，记A，B两点的横坐标分别为且，证明：‎ ‎22．(12分)‎ ‎ 已知点，点P是圆上的任意一点，线段的垂直平分线与直线交于点，记动点的轨迹为曲线C．‎ ‎ (I)求曲线C的方程；‎ ‎ (Ⅱ)设是分别过点的两条平行直线，交曲线C于A,B两个不同的点，交曲线C于M,N两个不同的点，求四边形ABNM面积的最大值．‎ 15‎ 数学参考答案 ‎1．C 依题意得，故选C．‎ ‎2．A 复数z满足则所以复数在复平面内对应的点位于为第一象限.‎ ‎3．D 先从4名学生中选择两名组成一个复合元素，然后再将3个元素（包含复合元素）安排到甲、乙，丙三地，不同的安排方案共有种．‎ ‎4．D 中学共有学生2000人，抽取了一个容量为200的样本，抽取比例为，样本中男生103人，样本中女生97人，中学共有女生970人．‎ ‎5．A 由题意，该球形容器的半径的最小值为：，该球形容器的表面积的最小值为 ‎6．C 由题可知所以 ‎,解得 ‎7．D 由于，所以则函数 当时，函数取得最小值为，解得.所以 由于所以当时，函数取得最大值为 15‎ ‎8．B 设双曲线的标准方程为，设，，则有：，两式作差得：，即，‎ ‎，AB的中点为 ‎，即得 故选：B.‎ ‎9．AB 椭圆的焦距为，即依题意得解得或，的值为9或23‎ ‎10．ABC 由图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3：1，故A正确。由图可知，结余最高为7月份，为80-20=60，故B正确。由图可知，1至2月份的收入的变化率为与4至5月份的收入的变化率相同．故C正确。由图可知，前6个月的平均收入为万元，故D错误。‎ ‎11. ABC 由题意可得，所以，故，故A正确;，故正确；，故C正确;，故D不正确．‎ ‎12．AD 对于A，由指数函数的单调性可得在R上递增，即有，则A正确；对于B，由二次函数的单调性可得在递减，在递增，则不恒成立，则B错误；对于C，若，可得，即为，设，则应有，而，当小于0，单调递减，则错误；对于 15‎ 若，可得，即为设，则应有而，对于任意的不恒大于0或小于0，即在定义域上有增有减，则正确．‎ ‎13．11 ‎ 解：数列是公差为2的等差数列．‎ ‎14．-64‎ 解：令，则 ‎…①令,，…②，解得,‎ ‎15．‎ 解：如图所示，取的中点，则,，所以平面平面，而平面所以平面，则动点在四棱锥表面上运动的轨迹为，则动点的轨迹的周长为 ‎16．‎ 解：由题意，当时，，解得，当时，由，可得两式相减，可得，整理，得,数列是以2为首项，2为公比的等比数列，，即 15‎ ‎．假设为正奇数，则，易知只有当时，适合题意，故所有正整数组成的集合为 ‎17．解：(I)在中，由正弦定理得，得又即 ...............2分 又 ‎ ...........4分 又, ...............5分 ‎(Ⅱ)若选①则在中，由余弦定理, .............7分 可得解得，或（舍去），可得 .......10分 若选②,则, ..........7分 由正弦定理，可得，解得. ..............10分 ‎18．解：(1)设等差数列的公差为，..........2分 解得,所以，..................3分 设等比数列的公比为由得，.....................1分 解得，舍去负值，所以，.....................1分 所以，.....................6分 15‎ ‎(2)当时，当时，，....................7分 ‎，....................8分 ‎, ......................9分 ‎,也适合） .....................11分 显然在时单调递增，, ,所以满足的最大正整数，...................12分 ‎19．解：(1)由题意知生产口罩合格率为，.................1分 生产口罩合格率为，..................2分 ‎(2)①随机变量的所有可能取值为-3，1，7，11，‎ ‎,,‎ ‎………………6分 因此，的分布列如下：‎ ‎ …………………7分 ‎ …………………8分 ‎②设“生产4个口罩所得的利润不少于8元”事件为事件,包括“生产4个口罩全合格”和“生产4个口罩只三个合格”，所以 15‎ ‎(或写为0.8192）……………………11分 所以生产4个口罩所得的利润不少于8元的概率为 ………………………12分 ‎20．解：(1)证明：取中点，连接,‎ 设,‎ 依题意得，四边形为正方形，且有,‎ 所以 ………………………2分 所以， ………………………3分 又平面平面，平面平面平面,‎ 所以平面 ……………………………4分 又平面,所以平面平面……………………………5分 ‎(2)假设存在点，使得二面角余弦值为，过点作的垂线，交延长线于点，连接 15‎ 因为平面平面，平面平面平面所以平面,故为斜线在底面内的射影，为斜线与底面所成的角，即由(1)得，，…………………………6分 所以在中，,,在中，‎ 由余弦定理得所以，从而，（也可利用，求得点坐标）………………………7分 过点作，所以平面．所以两两垂直，以点为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向建立空间直角坐标系，……………………8分 则 设 设平面的法向量得 15‎ 取得， …………………………10分 取平面的法向,所以 ‎ ………………………………11分 解得或又当时，点不在棱上，故所以当点是棱的中点时，二面角余弦值为 …………………………12分 ‎21．解：(1)，……………………………1分 时，在递增，……………………………3分 时，令，解得：，令，解得：,‎ 故在递减，在递增； ……………………………5分 ‎(2)函数的的导数,若，则，还是单调递增，则不满足条件，则由得,由得，‎ 即当时，还是取得极小值同时也是最小值 ‎ ……………………………6分 有两个根，，即，则，即 ……7分 要证，则只需要又，则只需要证明，即证，‎ 令，……………………………9分 则，‎ 15‎ ‎，‎ 即在上单调递减，‎ 即则命题成立. ……………………………12分 ‎22．解：(I)由题意知，所以 ‎ . ………………………2分 所以的轨迹是以点为焦点，6为长轴长的椭圆，‎ 所以，则 所以点的轨迹方程为 . ……………………………5分 ‎(Ⅱ)直线的斜率不为0，设，直线的方程为，‎ 由可得则．…………………………7分 所以 ．…………………………8分 根据椭圆的对称性可知，四边形为平行四边形，原点是对角线的交点，所以四边形的面积等于的面积的4倍. 点到直线的距离 . ……………………………9分 所以的面积 ‎…………………………10分 15‎ 令，则 设，则 因为，所以 所以在上单调递增。‎ 所以当时，取得最小值，其值为9。‎ 所以的面积的最大值为，四边形的面积的最大值为 ………12分 15‎