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- 2021-06-09 发布
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第二章 函数、导数及其应用
第一节函数及其表示
1．函数与映射的概念
函数
映射
两集合
A，B
设A，B是非空的数集
设A，B是非空的集合
对应
关系
f A→B
如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应
如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应
名称
称f A→B为从集合A到集合B的一个函数
称对应f A→B为从集合A到集合B的一个映射
记法
y＝f(x)，x∈A
对应f A→B是一个映射
2．函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．
(2)函数的三要素 定义域、值域和对应关系．
(3)相等函数 如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
(4)函数的表示法
表示函数的常用方法有 解析法、图象法、列表法．
3．分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然有几部分组成，但它表示的是一个函数．
1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)对于函数f A→B，其值域是集合B.( )
(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．( )
(3)函数是一种特殊的映射．( )
(4)若A＝R，B＝(0，＋∞)，f x→y＝|x|，则对应f可看作从A到B的映射．( )
(5)分段函数是由两个或几个函数组成的．( )
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×
2．函数f(x)＝＋的定义域为( )
A．[0,2) B．(2，＋∞)
C．[0,2)∪(2，＋∞) D．(－∞，2)∪(2，＋∞)
解析 选C 由题意得解得x≥0且x≠2.
3．下列函数中，与函数y＝x＋1是相等函数的是( )
A．y＝()2 B．y＝＋1
C．y＝＋1 D．y＝＋1
解析 选B 对于A，函数y＝()2的定义域为{x|x≥－1}，与函数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；对于B，定义域和对应关系都相同，是相等函数；对于C，函数y＝＋1的定义域为{x|x≠0}，与函数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；对于D，定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数，故选B.
4．下列图形中可以表示为以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的是( )
解析 选C A选项，函数定义域为M，但值域不是N，B选项，函数定义域不是M，值域为N，D选项，集合M中存在x与集合N中的两个y对应，不能构成函数关系．故选C.
5．设函数f(x)＝若f(a)＋f(－1)＝2，则a＝________.
解析 若a≥0，则＋1＝2，得a＝1；
若a<0，则＋1＝2，得a＝－1.
故a＝±1.
答案 ±1
6．已知f＝x2＋5x，则f(x)＝________.
解析 令t＝，则x＝(t≠0)，即f(t)＝＋，
∴f(x)＝(x≠0)．
答案 (x≠0)
[考什么·怎么考]
求函数定义域主要有两种类型，一种是具体函数求定义域，即结合分式、根式及对数式等考查自变量的取值；另一种是抽象函数定义域的求解.常以选择题形式考查，属于基础题.
考法(一) 已知函数解析式求定义域
1．(2018·石家庄模拟)函数y＝ln(2－x)的定义域为( )
A．(0,2) B．[0,2)
C．(0,1] D．[0,2]
解析 选B 由题意知，x≥0且2－x>0，解得0≤x＜2，故其定义域是[0,2)．
2．(2018·济南模拟)函数f(x)＝的定义域为________________．
解析 要使函数f(x)有意义，则(log2x)2－1>0，即log2x>1或log2x<－1，解得x>2或00且a≠1)，y＝sin ，y＝cos 的定义域均为R；
(6)y＝logax(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)；
(7)y＝tan 的定义域为.
函数的解析式是函数的基础知识，高考中重视对待定系数法、换元法、利用函数性质求解析式的考查.题目难度不大，常以选择题、填空题的形式出现.
[典题领悟]
(1)已知f＝x2＋，求函数f(x)的解析式．
(2)已知f＝lg ，求f(x)的解析式．
(3)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的解析式．
(4)已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，求f(x)的解析式．
解 (1)由于f＝x2＋＝2－2，
所以f(x)＝x2－2，x≥2或x≤－2，
故f(x)的解析式是f(x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
(2)令＋1＝t，得x＝，
代入得f(t)＝lg，
又x>0，所以t>1，
故f(x)的解析式是f(x)＝lg，x∈(1，＋∞)．
(3)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx，
又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，
得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，
即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，
所以解得a＝b＝.
所以f(x)＝x2＋x，x∈R.
(4)由f(－x)＋2f(x)＝2x，①
得f(x)＋2f(－x)＝2－x，②
①×2－②，得3f(x)＝2x＋1－2－x.
即f(x)＝.
故f(x)的解析式是f(x)＝.
[解题师说]
1．依题型准确选用4种方法速求函数解析式
题型
方法
步骤
已知函数f(g(x))＝F(x)求解析式
配凑法
将右边的F(x)整理或配凑成关于g(x)的表达式，然后用x将g(x)代换，便得f(x)的解析式．(如典题领悟(1))
已知复合函数f(g(x))＝F(x)求解析式
换元法
令g(x)＝t，从中解出x(用t表示)，代入F(x)进行换元后，得到f(t)，再将t换成x，便得f(x)的解析式．(如典题领悟(2))
已知函数类型(如一次函数，二次函数
待定系数法
)求解析式
先设出含有待定系数的解析式，再利用恒等式的性质，或将已知条件代入，建立方程(组)，通过解方程(组)求出相应的系数．(如典题领悟(3))
求抽象函数解析式(已知函数的抽象关系式求解函数解析式的问题)
解方程组法
已知关于f(x)与f或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)的解析式．(如典题领悟(4))
2．谨防求函数解析式的2种失误
(1)在求函数解析式时，一定要注意自变量的范围，也就是定义域问题．求出解析式后要标注x的取值范围．(如典题领悟第1题、第2题)
(2)利用换元法求解析式时要注意新元的取值范围．
如已知f()＝x＋1，求函数f(x)的解析式，可通过换元的方法得f(x)＝x2＋1，函数f(x)的定义域是[0，＋∞)，而不是(－∞，＋∞)．
[冲关演练]
1．(尝试用换元法解题)
如果f＝，则当x≠0且x≠1时，f(x)等于( )
A. B.
C. D.－1
解析 选B 令＝t，得x＝(t≠0且t≠1)，
∴f(t)＝＝(t≠0且t≠1)，
∴f(x)＝(x≠0且x≠1)．
2．(尝试用待定系数法解题)
如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为( )
A．y＝x3－x2－x B．y＝x3＋x2－3x
C．y＝x3－x D．y＝x3＋x2－2x
解析 选A 设所求函数解析式为f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，
则f′(x)＝3ax2＋2bx＋c(a≠0)，
由题意知解得
∴f(x)＝x3－x2－x.
3．(尝试用配凑法解题)
已知f＝＋，则f(x)＝( )
A．(x＋1)2 B．(x－1)2
C．x2－x＋1 D．x2＋x＋1
解析 选C f＝＋＝2－＋1，
所以f(x)＝x2－x＋1.
4．(尝试用解方程组法解题)
已知f(x)满足2f(x)＋f＝3x，则f(x)＝________.
解析 ∵2f(x)＋f＝3x，①
把①中的x换成，得2f＋f(x)＝.②
联立①②可得
解此方程组可得f(x)＝2x－(x≠0)．
答案 2x－(x≠0)
分段函数作为考查函数知识的最佳载体，一直是高考命题的热点，解题过程中常渗透分类讨论的数学思想，试题常以选择题、填空题的形式出现，难度一般.,常见的命题角度有 ,(1)求值问题；,(2)求参数或自变量的值(或范围).
[题点全练]
角度(一) 求值问题
1．已知函数f(x)＝则f的值为( )
A．－1 B．1
C. D.
解析 选B 依题意得f＝f＋1＝f＋1＋1＝2cos＋2＝2×＋2＝1.
[题型技法] 求分段函数的函数值的方法
求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值；当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值；当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点．
角度(二) 求参数或自变量的值(或范围)
2．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝则满足f(x)＋f>1的x的取值范围是________．
解析 由题意知，可对不等式分x≤0,0讨论．
当x≤0时，原不等式为x＋1＋x＋>1，解得x>－，
∴－1，显然成立．
当x>时，原不等式为2x＋2x－>1，显然成立．
综上可知，所求x的取值范围是.
答案
[题型技法]
求分段函数的参数或自变量的值(或范围)的方法
求某条件下参数或自变量的值(或范围)，先假设所求的值或范围在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值或范围，切记代入检验，看所求的自变量的值或范围是否满足相应各段自变量的取值范围．
[题“根”探求]
看个性
角度(一)是求分段函数的函数值；
角度(二)是在角度(一)的基础上迁移考查分段函数已知函数值或范围求参数或自变量的值或范围
找共性
(1)无论角度(一)还是角度(二)都要根据自变量或参数所在区间来解决问题，搞清参数或自变量所在区间是解决问题的先决条件；
(2)解决分段函数有关问题的关键是“分段归类”，即自变量的取值属于哪一段范围，就用这一段的解析式来解决问题
[冲关演练]
1．已知f(x)＝且f(0)＝2，f(－1)＝3，则f(f(－3))＝( )
A．－2 B．2
C．3 D．－3
解析 选B 由题意得f(0)＝a0＋b＝1＋b＝2，解得b＝1；
f(－1)＝a－1＋b＝a－1＋1＝3，解得a＝.
故f(－3)＝－3＋1＝9，
从而f(f(－3))＝f(9)＝log39＝2.
2．设函数f(x)＝若f(a)<1，则实数a的取值范围是( )
A. B．(1，＋∞)
C．(－3,1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
解析 选C 若a<0，则f(a)<1⇔a－7<1⇔a<8，解得a>－3，故－3f(1)的解集是( )
A．(－3,1)∪(3，＋∞) B．(－3,1)∪(2，＋∞)
C．(－1,1)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1,3)
解析 选A 由已知得f(1)＝3，
当x≥0时，由f(x)>f(1)得x2－4x＋6>3，
解得0≤x<1或x>3.
当x<0时，由f(x)>f(1)得x＋6>3，
解得－3f(1)的解集是(－3,1)∪(3，＋∞)．
(一)普通高中适用
A级——基础小题练熟练快
1．下列所给图象是函数图象的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 选B ①中当x＞0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象，②中当x＝x0时，y的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图象．
2．(2018·濮阳检测)函数f(x)＝log2(1－2x)＋的定义域为( )
A. B.
C．(－1,0)∪ D．(－∞，－1)∪
解析 选D 由1－2x＞0，且x＋1≠0，得x＜且x≠－1，所以函数f(x)＝log2(1－2x)＋的定义域为(－∞，－1)∪.
3．已知f＝2x－5，且f(a)＝6，则a等于( )
A. B．－
C. D．－
解析 选A 令t＝x－1，则x＝2t＋2，f(t)＝2(2t＋2)－5＝4t－1，则4a－1＝6，解得a＝.
4．已知f(x)＝则f＋ f的值等于( )
A．－2 B．4
C．2 D．－4
解析 选B 由题意得f＝2×＝，
f＝f＝f＝2×＝，
所以f＋f＝4.
5．若二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，则g(x)的解析式为( )
A．g(x)＝2x2－3x B．g(x)＝3x2－2x
C．g(x)＝3x2＋2x D．g(x)＝－3x2－2x
解析 选B 设g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
∵g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，
∴解得∴g(x)＝3x2－2x.
6．已知函数f(x)＝且f(x0)＝1，则x0＝( )
A．0 B．4
C．0或4 D．1或3
解析 选C 当x0≤1时，由f(x0)＝2x0＝1，得x0＝0(满足x0≤1)；当x0＞1时，由f(x0)＝log3(x0－1)＝1，得x0－1＝3，则x0＝4 (满足x0＞1)，故选C.
7．函数f(x)＝ln(x＋1)＋(x－2)0的定义域为________．
解析 要使函数有意义，需满足解得x＞－1且x≠2，所以该函数的定义域为(－1,2)∪(2，＋∞)．
答案 (－1,2)∪(2，＋∞)
8．设函数f(x)＝则f(f(2))＝________，函数f(x)的值域是________．
解析 ∵f(2)＝，∴f(f(2))＝f＝－－2＝－.
当x>1时，f(x)∈(0,1)，当x≤1时，f(x)∈[－3，＋∞)，
∴f(x)∈[－3，＋∞)．
答案 － [－3，＋∞)
9．(2018·张掖一诊)已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于________．
解析 ∵f(1)＝2＞0，且f(1)＋f(a)＝0，∴f(a)＝－2＜0，故a≤0.依题知a＋1＝－2，解得a＝－3.
答案 －3
10．已知函数f(x)＝若f(f(1))>3a2，则a的取值范围是________．
解析 由题知，f(1)＝2＋1＝3，f(f(1))＝f(3)＝9＋6a，
若f(f(1))>3a2，则9＋6a>3a2，即a2－2a－3<0，
解得－10，得t>1或t<－3，因为t≥－3，所以t>1，即f(t)＝lg的定义域为(1，＋∞)，故函数f(x)的定义域为(1，＋∞)．
答案 (1，＋∞)
6．设函数f(x)＝且f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)在如图所示的直角坐标系中画出f(x)的图象．
解 (1)由f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)，得
解得所以f(x)＝
(2)函数f(x)的图象如图所示．
7.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y(m)与汽车的车速x( m/h)满足下列关系 y＝＋mx＋n(m，n是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y(m)与汽车的车速x(
m/h)的关系图．
(1)求出y关于x的函数解析式；
(2)如果要求刹车距离不超过25.2 m，求行驶的最大速度．
解 (1)由题意及函数图象，得
解得m＝，n＝0，所以y＝＋(x≥0)．
(2)令＋≤25.2，得－72≤x≤70.
∵x≥0，∴0≤x≤70.故行驶的最大速度是70 m/h.
C级——重难题目自主选做
1．(2017·山东高考)设f(x)＝若f(a)＝f(a＋1)，则f＝( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析 选C 当0＜a＜1时，a＋1＞1，f(a)＝，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a，
∵f(a)＝f(a＋1)，∴＝2a，
解得a＝或a＝0(舍去)．
∴f＝f(4)＝2×(4－1)＝6.
当a≥1时，a＋1≥2，
∴f(a)＝2(a－1)，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a，
∴2(a－1)＝2a，无解．
综上，f＝6.
2．已知f是有序数对集合M＝{(x，y)|x∈N*，y∈N*}上的一个映射，正整数数对(x，y)在映射f下的象为实数 ，记作f(x，y)＝ .对于任意的正整数m，n(m＞n)，映射f由下表给出
(x，y)
(n，n)
(m，n)
(n，m)
f(x，y)
n
m－n
m＋n
则f(3,5)＝________，使不等式f(2x，x)≤4成立的x的集合是________．
解析 由题表得f(x，y)＝可知f(3,5)＝5＋3＝8.
∵∀x∈N*，都有2x＞x，∴f(2x，x)＝2x－x，
则f(2x，x)≤4⇔2x－x≤4(x∈N*)⇔2x≤x＋4(x∈N*)，
当x＝1时，2x＝2，x＋4＝5,2x≤x＋4成立；
当x＝2时，2x＝4，x＋4＝6,2x≤x＋4成立；
当x≥3(x∈N*)时，2x＞x＋4.
故满足条件的x的集合是{1,2}．
答案 8 {1,2}
(二)重点高中适用
A级——保分题目巧做快做
1.下列所给图象是函数图象的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 选B ①中当x＞0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象，②中当x＝x0时，y的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图象．
2.(2018·濮阳一高第二次检测)函数f(x)＝log2(1－2x)＋的定义域为( )
A. B.
C．(－1,0)∪ D．(－∞，－1)∪
解析 选D 由1－2x＞0，且x＋1≠0，得x＜且x≠－1，所以函数f(x)＝log2(1－2x)＋的定义域为(－∞，－1)∪.
3．已知f＝2x－5，且f(a)＝6，则a等于( )
A. B．－
C. D．－
解析 选A 令t＝x－1，则x＝2t＋2，f(t)＝2(2t＋2)－5＝4t－1，则4a－1＝6，解得a＝.
4．(2018·石家庄质检)设函数f(x)＝若f＝2，则实数n的值为( )
A．－ B．－
C. D.
解析 选D 因为f＝2×＋n＝＋n，
当＋n＜1，即n＜－时，
f＝2＋n＝2，
解得n＝－，不符合题意；当＋n≥1，即n≥－时，
f＝log2＝2，即＋n＝4，
解得n＝，符合题意，故选D.
5．(2017·山东高考)设f(x)＝若f(a)＝f(a＋1)，则f＝( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析 选C 当0＜a＜1时，a＋1＞1，f(a)＝，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a，∵f(a)＝f(a＋1)，∴＝2a，
解得a＝或a＝0(舍去)．
∴f＝f(4)＝2×(4－1)＝6.
当a≥1时，a＋1≥2，
∴f(a)＝2(a－1)，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a，
∴2(a－1)＝2a，无解．
综上，f＝6.
6.(2018·西安八校联考)已知函数f(x)＝则f(f(4))＝________.
解析 依题意得f(4)＝log4＝－2，
所以f(f(4))＝f(－2)＝2－2＝.
答案
7.函数f(x)＝的定义域为________．
解析 要使原函数有意义，则
解得0＜x＜2，且x≠1.
所以函数f(x)＝的定义域为(0,1)∪(1,2)．
答案 (0,1)∪(1,2)
8.已知函数f(x)＝若f(f(1))>3a2，则a的取值范围是________．
解析 由题知，f(1)＝2＋1＝3，f(f(1))＝f(3)＝9＋6a，
若f(f(1))>3a2，则9＋6a>3a2，即a2－2a－3<0，
解得－1时，y＝2×4×1.8＋3(5x－4)＋3(3x－4)＝24x－9.6，
所以y＝
(2)由于y＝f(x)在各段区间上均单调递增，
当x∈时，y≤f＜26.4；
当x∈时，y≤f＜26.4；
当x∈时，令24x－9.6＝26.4，
解得x＝1.5.
所以甲户用水量为5x＝7.5吨，
所交水费为y甲＝4×1.80＋3.5×3.00＝17.70(元)；
乙户用水量为3x＝4.5吨，
所交水费y乙＝4×1.80＋0.5×3.00＝8.70(元)．
6.已知x为实数，用[x]表示不超过x的最大整数，例如[1.2]＝1，[－1.2]＝－2，[1]＝1.对于函数f(x)，若存在m∈R且m∉ ，使得f(m)＝f([m])，则称函数f(x)是Ω函数．
(1)判断函数f(x)＝x2－x，g(x)＝sin πx是否是Ω函数(只需写出结论)；
(2)已知f(x)＝x＋，请写出a的一个值，使得f(x)为Ω函数，并给出证明．
解 (1)f(x)＝x2－x是Ω函数，g(x)＝sin πx不是Ω函数．
(2)法一 取 ＝1，a＝∈(1,2)，则令[m]＝1，m＝＝，此时f＝f＝f(1)，
所以f(x)是Ω函数．
证明 设 ∈N*，取a∈( 2， 2＋ )，令[m]＝ ，m＝，则一定有m－[m]＝－ ＝∈(0,1)，且f(m)＝f([m])，所以f(x)是Ω函数．
法二 取 ＝1，a＝∈(0,1)，则令[m]＝－1，m＝－，此时f＝f＝f(－1)，
所以f(x)是Ω函数．
证明 设 ∈N*，取a∈( 2－ ， 2)，令[m]＝－ ，m＝－，则一定有m－[m]＝－－(－ )＝∈(0,1)，且f(m)＝f([m])，所以f(x)是Ω函数．
第二节函数的单调性与最值
1．函数的单调性
(1)增函数、减函数
增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图象
描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．
2．函数的最值
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；
②存在x0∈I，使得f(x0)＝M
①对于任意x∈I，都有f(x)≥M；
②存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论
M为函数y＝f(x)的最大值
M为函数y＝f(x)的最小值
1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( )
(2)具有相同单调性的函数的和、差、积、商函数还具有相同的单调性．( )
(3)若定义在R上的函数f(x)有f(－1)0时，f(x)＝3－x为减函数；
当x∈时，f(x)＝x2－3x为减函数，
当x∈时，f(x)＝x2－3x为增函数；
当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－为增函数；
当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－|x|为减函数．
3．函数f(x)＝|x－2|x的单调减区间是( )
A．[1,2] B．[－1,0]
C．[0,2] D．[2，＋∞)
解析 选A 由于f(x)＝|x－2|x＝结合图象(图略)可知函数的单调减区间是[1,2]．
4．若函数y＝x2－2ax＋1在(－∞，2]上是减函数，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－2] B．[－2，＋∞)
C．[2，＋∞) D．(－∞，2]
解析 选C 函数y＝x2－2ax＋1图象的对称轴方程为x＝a，要使该函数在(－∞，2]上是减函数，则需满足a≥2.
5．设定义在[－1,7]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的增区间为________．
解析 由图可知函数的增区间为[－1,1]和[5,7]．
答案 [－1,1]和[5,7]
6．函数f(x)＝在[－2,0]上的最大值与最小值之差为________．
解析 易知f(x)在[－2,0]上是减函数，
∴f(x)max－f(x)min＝f(－2)－f(0)＝－－(－2)＝.
答案
确定函数的单调性是函数单调性问题的基础，是高考的必考内容，多以选择题、填空题的形式出现，但有时也出现在解答题的某一问中，属于低档题目.
[典题领悟]
1．试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1,1)上的单调性．
解 法一 设－10，x1－1<0，x2－1<0，
故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
函数f(x)在(－1,1)上单调递减；
当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；
当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1,1)上单调递增．
2．求函数f(x)＝－x2＋2|x|＋1的单调区间．
解 易知f(x)＝
＝
画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．
[解题师说]
1．掌握确定函数单调性(区间)的3种常用方法
(1)定义法 一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论．其关键是作差变形，为了便于判断差的符号，通常将差变成因式连乘(除)或平方和的形式，再结合变量的范围、假定的两个自变量的大小关系及不等式的性质进行判断．(如典题领悟第1题)
(2)图象法 如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的直观性确定它的单调性．(如典题领悟第2题)
(3)导数法 利用导数取值的正负确定函数的单调性．(如典题领悟第1题)
2．熟记函数单调性的4个常用结论
(1)若f(x)，g(x)均是区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数；
(2)若 >0，则 f(x)与f(x)单调性相同；若 <0，则 f(x)与f(x)单调性相反；
(3)函数y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反；
(4)函数y＝f(x)(f(x)≥0)在公共定义域内与y＝的单调性相同．
3．谨防3种失误
(1)单调区间是定义域的子集，故求单调区间应以“定义域优先”为原则．(如冲关演练第1题)
(2)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示．
(3)图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．
[冲关演练]
1．(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是( )
A．(－∞，－2) B．(－∞，1) C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)
解析 选D 由x2－2x－8＞0，得x＞4或x＜－2.因此，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函数y＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(4，＋∞)．
2．下列函数中，满足“∀x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0”的是( )
A．f(x)＝2x B．f(x)＝|x－1|
C．f(x)＝－x D．f(x)＝ln(x＋1)
解析 选C 由(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0可知，f(x)在(0，＋∞)上是减函数，A、D选项中，f(x)为增函数；B中，f(x)＝|x－1|在(0，＋∞)上不单调，对于f(x)＝－x，因为y＝与y＝－x在(0，＋∞)上单调递减，因此f(x)在(0，＋∞)上是减函数．
3．已知函数y＝，那么( )
A．函数的单调递减区间为(－∞，1)和(1，＋∞)
B．函数的单调递减区间为(－∞，1)∪(1，＋∞)
C．函数的单调递增区间为(－∞，1)和(1，＋∞)
D．函数的单调递增区间为(－∞，1)∪(1，＋∞)
解析 选A 函数y＝可看作是由y＝向右平移1个单位长度得到的，∵y＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，∴y＝在(－∞，1)和(1，＋∞)上单调递减，∴函数y＝的单调递减区间为(－∞，1)和(1，＋∞)，故选A.
4．判断函数f(x)＝x＋(a>0)在(0，＋∞)上的单调性．
解 设x1，x2是任意两个正数，且x10，即f(x1)>f(x2)，
所以函数f(x)在(0， ]上是减函数；
当≤x1a，x1－x2<0，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)0)在(0， ]上是减函数，在[，＋∞)上是增函数．
[考什么·怎么考]
函数的值域(最值)是高考的重要内容之一，函数、方程、不等式，还有立体几何、解析几何等很多问题都需要转化为函数的值域(最值)问题.高考中选择题、填空题、解答题都有考查.
方法(一) 性质法求函数的值域(最值)
1．函数y＝的值域为________．
解析 由y＝，可得x2＝.
由x2≥0，知≥0，解得－1≤y<1，
故所求函数的值域为[－1,1)．
答案 [－1,1)
2．若函数f(x)＝－＋b(a>0)在上的值域为，则a＝________，b
＝________.
解析 ∵f(x)＝－＋b(a>0)在上是增函数，
∴f(x)min＝f＝，f(x)max＝f(2)＝2.
即解得a＝1，b＝.
答案 1
[方法点拨]
(1)先进行转化与分离，再利用函数的性质(如x2≥0，ex>0等)求解即可．
(2)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，那么f(x)在区间端点处取最值；如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减，那么ymax＝f(b)；如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增，那么ymin＝f(b)，从而得出值域．
方法(二) 数形结合法求函数的值域(最值)
3．函数y＝|x＋1|＋|x－2|的值域为________．
解析
函数y＝
作出函数的图象如图所示．
根据图象可知，函数y＝|x＋1|＋|x－2|的值域为[3，＋∞)．
答案 [3，＋∞)
4．设函数f(x)＝的图象过点(1,1)，函数g(x)是二次函数，若函数f(g(x))的值域是[0，＋∞)，则函数g(x)的值域是________．
解析 因为函数f(x)＝的图象过点(1,1)，所以m＋1＝1，解得m＝0，所以f(x)＝画出函数y＝f(x)的大致图象如图所示，观察图象可知，
当纵坐标在[0，＋∞)上时，横坐标在(－∞，－1]∪[0，＋∞)上变化．
而f(x)的值域为[－1，＋∞)，f(g(x))的值域为[0，＋∞)，因为g(x)是二次函数，
所以g(x)的值域是[0，＋∞)．
答案 [0，＋∞)
[方法点拨]
先作出函数的图象，再观察其最高点或最低点，求出值域或最值．
方法(三) 换元法求函数的值域(最值)
5．函数y＝x＋的最大值为________．
解析 由1－x2≥0，可得－1≤x≤1.
可令x＝cos θ，θ∈[0，π]，
则y＝cos θ＋sin θ＝sin，θ∈，
所以－1≤y≤，故原函数的最大值为.
答案 []
6．已知函数f(x)的值域为，则函数g(x)＝f(x)＋的值域为________．
解析 ∵≤f(x)≤，
∴≤≤.
令t＝，
则f(x)＝(1－t2)，
令y＝g(x)，则y＝(1－t2)＋t，
即y＝－(t－1)2＋1.
∴当t＝时，y有最小值；
当t＝时，y有最大值.
∴g(x)的值域为.
答案
[方法点拨]
对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求值域或最值；换元法求值域时，一定要注意新元的范围对值域的影响．
方法(四) 分离常数法求函数的值域(最值)
7．函数y＝的值域为________．
解析 y＝＝＝3＋，
因为≠0，所以3＋≠3，
所以函数y＝的值域为{y|y∈R且y≠3}．
答案 {y|y∈R且y≠3}
8．当－3≤x≤－1时，函数y＝的最小值为________．
解析 由y＝，可得y＝－.
∵－3≤x≤－1，∴≤－≤，
∴≤y≤3
∴所求函数的最小值为
答案
[方法点拨]
通过配凑函数解析式的分子，把函数分离成常数和分式的形式，而此式的分式，只有分母中含有变量，进而可利用函数性质确定其值域．
[怎样快解·准解]
求函数值域（最值）的类型及其方法
(1)若所给函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域；当函数解析式中出现偶次方幂、绝对值等时，可利用函数的性质(如x2≥0，|x|≥0，≥0，ex>0等)确定函数的值域或最值．
(2)若函数解析式的几何意义较明显(如距离、斜率等)或函数图象易作出，可用数形结合法求函数的值域或最值．
(3)形如求y＝＋(cx＋d)(ac≠0)的函数的值域或最值，常用代数换元法、三角换元法结合题目条件将原函数转化为熟悉的函数，再利用函数的相关性质求解．
(4)形如求y＝(ac≠0)的函数的值域或最值常用分离常数法求解．
另外，基本不等式法、导数法求函数值域或最值也是常用方法，在后面章节中有重点讲述．
函数单调性的应用常以基本初等函数为载体，考查学生数形结合思想、转化与化归思想的应用，综合分析问题的能力.在高考中常以选择题、填空题出现，难度中等.
常见的命题角度有
(1)比较函数值的大小；
(2)解函数不等式；
(3)利用单调性求参数的取值范围(或值).
[题点全练]
角度(一) 比较函数值的大小
1．(2018·哈尔滨联考)已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(e)，则a，b，c的大小关系为( )
A．c>a>b B．c>b>a
C．a>c>b D．b>a>c
解析 选D 因为f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f＝f.由x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)<0恒成立，知f(x)在(1，＋∞)上单调递减．
∵1<2<f>f(e)，
∴b>a>c.
[题型技法] 比较函数值大小的解题思路
比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．
角度(二) 解函数不等式
2．定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上递增，且f＝0，则不等式f(logx)>0的解集为________．
解析 ∵y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且y＝f(x)在(0，＋∞)上递增．
∴y＝f(x)在(－∞，0)上也是增函数，
又f＝0，知f＝－f＝0.
故原不等式f(logx)>0可化为
f(logx)>f或f或－f(h(x))的形式，再根据函数的单调性去掉“f”，得到一般的不等式g(x)>h(x)(或g(x)0，且a≠1.
又函数f(x)在R上单调，而二次函数y＝ax2－x－的图象开口向上，
所以函数f(x)在R上单调递减，
故有即
所以a∈.
[题型技法] 利用单调性求参数的范围(或值)的方法
(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；
(2)需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．
[题“根”探求]
看个性
角度(一)是函数值大小的比较，转化为在同一单调区间内的自变量的大小比较；
角度(二)是角度(一)的拓展，是把函数不等式问题转化为两函数值大小比较问题；
角度(三)是在角度(一)和角度(二)基础上的更深一步的拓展，根据函数单调性把问题转化为单调区间关系的比较
找共性
对于求解此类有关函数单调性应用的题目，其通用的方法是利用转化思想解题，其思维流程是
[冲关演练]
1．已知函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，若f(a2－a)>f(a＋3)，则实数a的取值范围为________．
解析 由已知可得解得－33，所以实数a的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)．
答案 (－3，－1)∪(3，＋∞)
2．已知函数f(x)＝x|2x－a|(a>0)在区间[2,4]上单调递减，则实数a的值是________．
解析 f(x)＝x|2x－a|＝(a>0)，
作出函数图象(图略)可得该函数的递减区间是，所以解得a＝8.
答案 8
(一)普通高中适用
A级——基础小题练熟练快
1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )
A．y＝ln(x＋2) B．y＝－
C．y＝x D．y＝x＋
解析 选A 函数y＝ln(x＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数．
2．如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析 选D 当a＝0时，f(x)＝2x－3在定义域R上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；
当a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为x＝－，
因为f(x)在(－∞，4)上单调递增，
所以a<0，且－≥4，解得－≤a<0.
综上，实数a的取值范围是.
3．已知函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x－1)＜f的x的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析 选D 因为函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f(2x－1)＜f.
所以0≤2x－1＜，解得≤x＜.
4．函数y＝|x|(1－x)在区间A上是增函数，那么区间A是( )
A．(－∞，0) B.
C．[0，＋∞) D.
解析 选B y＝|x|(1－x)
＝
＝
＝
画出函数的大致图象如图所示．
由图易知原函数在上单调递增．
5．设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是( )
A．f(π)＞f(－3)＞f(－2)
B．f(π)＞f(－2)＞f(－3)
C．f(π)＜f(－3)＜f(－2)
D．f(π)＜f(－2)＜f(－3)
解析 选A 因为f(x)是偶函数，
所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2)．
又因为函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，
所以f(π)＞f(3)＞f(2)，
即f(π)＞f(－3)＞f(－2)．
6．已知函数f(x)＝log2x＋，若x1∈(1,2)，x2∈(2，＋∞)，则( )
A．f(x1)<0，f(x2)<0 B．f(x1)<0，f(x2)>0
C．f(x1)>0，f(x2)<0 D．f(x1)>0，f(x2)>0
解析 选B ∵函数f(x)＝log2x＋在(1，＋∞)上为增函数，且f(2)＝0，∴当x1∈(1,2)时，f(x1)f(2)＝0，即f(x1)<0，f(x2)>0.
7．函数f(x)＝的最大值为________．
解析 当x≥1时，函数f(x)＝为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x<1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2.
答案 2
8．已知函数f(x)＝，则该函数的单调递增区间为________．
解析 设t＝x2－2x－3，由t≥0，即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t＝x2－2x－3的图象的对称轴为x＝1，所以函数t在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)的单调递增区间为[3，＋∞)．
答案 [3，＋∞)
9．若函数f(x)＝在区间[2，a]上的最大值与最小值的和为，则a＝________.
解析 由f(x)＝的图象知，f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数，∵[2，a]⊆(0，＋∞)，
∴f(x)＝在[2，a]上也是减函数，
∴f(x)max＝f(2)＝，f(x)min＝f(a)＝，
∴＋＝，∴a＝4.
答案 4
10．给定函数 ①y＝x；②y＝log(x＋1)；③y＝|x－1|；④y＝2x＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是________．
解析 ①y＝x在(0,1)上递增；②因为t＝x＋1在(0,1)上递增，且0＜＜1，故y＝log(x＋1)在(0,1)上递减；③结合函数图象可知y＝|x－1|在(0,1)上递减；④因为u＝x＋1在(0,1)上递增，且2＞1，故y＝2x＋1在(0,1)上递增，故在区间(0,1)上单调递减的函数序号是②③.
答案 ②③
B级——中档题目练通抓牢
1．若函数f(x)＝x2＋a|x|＋2，x∈R在区间[3，＋∞)和[－2，－1]上均为增函数，则实数a的取值范围是( )
A. B．[－6，－4]
C. D.
解析 选B 由于f(x)为R上的偶函数，因此只需考虑函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性即可．由题意知函数f(x)在[3，＋∞)上为增函数，在[1,2]上为减函数，故－∈[2,3]，即a∈[－6，－4]．
2．已知函数f(x)是R上的增函数，A(0，－3)，B(3,1)是其图象上的两点，那么不等式－3＜f(x＋1)＜1的解集的补集是(全集为R)( )
A．(－1,2)
B．(1,4)
C．(－∞，－1)∪[4，＋∞)
D．(－∞，－1]∪[2，＋∞)
解析 选D 由函数f(x)是R上的增函数，A(0，－3)，B(3,1)是其图象上的两点，知不等式－3＜f(x＋1)＜1即为f(0)＜f(x＋1)＜f(3)，所以0＜x＋1＜3，所以－1＜x＜2，故不等式－3＜f(x＋1)＜1的解集的补集是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．
3．(2018·河南平顶山一模)已知f(x)是定义在(0，＋∞)上的函数．对任意两个不相等的正数x1，x2，都有>0，记a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为( )
A．ax2，
∵>0，
∴x2f(x1)－x1f(x2)>0，
∴＝－>0，
即>，
∴是(0，＋∞)上的增函数．
∵1<30.2<30.5<2,0<0.32<1，log25>2，
∴0.32<30.2f(x)，则实数x的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
C．(－1,2)
D．(－2,1)
解析 选D ∵当x＝0时，两个表达式对应的函数值都为0，∴函数的图象是一条连续的曲线．又∵当x≤0时，函数f(x)＝x3为增函数，当x>0时，f(x)＝ln(x＋1)也是增函数，∴函数f(x)是定义在R上的增函数．因此，不等式f(2－x2)>f(x)等价于2－x2>x，即x2＋x－2<0，解得－21时，f(x)<0.
(1)证明 f(x)为单调递减函数．
(2)若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小值．
解 (1)证明 任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，
则>1，由于当x>1时，f(x)<0，
所以f<0，即f(x1)－f(x2)<0，
因此f(x1)0时，f(x)＝x＋1，则当x<0时，f(x)＝________.
解析 ∵f(x)为奇函数，x>0时，f(x)＝x＋1，
∴当x<0时，－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－(－x＋1)，
即x<0时，f(x)＝－(－x＋1)＝x－1.
答案 x－1
6.设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集为________．
解析 由函数f(x)为奇函数，作出函数在[－5,0)上的图象，由图象知，不等式f(x)<0的解集为(－2,0)∪(2,5]．
答案 (－2,0)∪(2,5]
[考什么·怎么考]
函数的奇偶性问题是高考的热点，主要考查函数奇偶性的判断与函数奇偶性的应用，多以选择、填空题的形式出现，属于中低档题.
考法(一) 函数奇偶性的判断
1．判断下列函数的奇偶性
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝＋；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝
解 (1)由f(x)＝，可知⇒故函数f(x)的定义域为{x|－60时，f(x)＝x2－x，则当x<0时，－x>0，故f(－x)＝x2＋x＝f(x)；当x<0时，f(x)＝x2＋x，则当x>0时，－x<0，故f(－x)＝x2－x＝f(x)，故原函数是偶函数．
法三 f(x)还可以写成f(x)＝x2－|x|(x≠0)，故f(x)为偶函数．
[题型技法] 判定函数奇偶性的2种常用方法
(1)定义法
(2)图象法
考法(二) 函数奇偶性的应用
2．(2018·福建三明模拟)函数y＝f(x)是R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝2x，则当x>0时，f(x)＝( )
A．－2x B．2－x
C．－2－x D．2x
解析 选C 当x>0时，－x<0，∵x<0时，f(x)＝2x，∴当x>0时，f(－x)＝2－x.∵f(x)是R上的奇函数，∴当x>0时，f(x)＝－f(－x)＝－2－x.
3．(2018·合肥八中模拟)若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝________.
解析 ∵f(x)＝xln(x＋)为偶函数，
∴f(－x)＝f(x)，即－xln(－x)＝xln(x＋)，从而ln[()2－x2]＝0，即ln a＝0，故a＝1.
答案 1
4．若关于x的函数f(x)＝(t≠0)的最大值为a，最小值为b，且a＋b＝2，则t＝________.
解析 f(x)＝＝t＋，
设g(x)＝，则g(x)为奇函数，g(x)max＝a－t，g(x)min＝b－t.∵g(x)max＋g(x)min＝0，∴a＋b－2t＝0，即2－2t＝0，解得t＝1.
答案 1
[题型技法] 函数奇偶性的应用
(1)求函数解析式
①将所求解析式自变量的范围转化为已知解析式中自变量的范围；②将转化后的自变量代入已知解析式；③利用函数的奇偶性求出解析式．
(2)求参数值
在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足f(－x)＝－f(x)或偶函数满足f(－x)＝f(x)列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值．特别要注意的是 若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据f(0)＝0列式求解，若不能确定则不可用此法．
[注意] 利用“奇函数在关于原点对称的区间上有最值，则f(x)max＋f(x)min＝0”的性质解决有关最值问题．
[怎样快解·准解]
1．力避失误稳得分
(1)首先必须判断f(x)的定义域是否关于原点对称．若不关于原点对称，则是非奇非偶函数．若关于原点对称，则需定义域内的任意x满足定义．若否定函数的奇偶性只需有一个自变量不满足．(如第1题(1))．
(2)有些函数必须根据定义域化简解析式后才可判断，否则可能无法判断或判断错误，(如第1题(2)，若不化简可能会出现误判)，(如第1题(3)可能会误判为非奇非偶函数)．
(3)判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(－x)与f(x)的关系，只有对各段上的x都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．(如第1题(4))．
2．利用二级结论快得分
(1)对于运算函数有如下结论
奇±奇为奇；偶±偶为偶；奇±偶为非奇非偶；
奇×(÷)奇为偶；奇×(÷)偶为奇；偶×(÷)偶为偶．
(2)若函数f(x)的定义域关于原点对称，则函数f(x
)能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．记偶函数g(x)＝[f(x)＋f(－x)]，奇函数h(x)＝[f(x)－f(－x)]，则f(x)＝g(x)＋h(x)．
(3)复合函数y＝f[g(x)]的奇偶性原理 内偶则偶，两奇为奇．
(4)若奇函数y＝f(x)在x＝0处有意义，则有f(0)＝0；偶函数y＝f(x)必满足f(x)＝f(|x|)．
利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题，在高考中经常出现，虽不及函数的单调性、奇偶性考查频率高，但仍不失为一个重点内容，多以选择题、填空题形式考查，属中低档题.
[典题领悟]
1．若f(x)是定义在R上的周期为4的函数，且在[0,2]上的解析式为f(x)＝则f＝________.
解析 因为f(x)的周期为4，则f＝f＝f＝cos＝cos＝，所以f＝f＝×＝.
答案
2．已知f(x)是定义在R上的函数，且f(x＋2)[1－f(x)]＝1＋f(x)，f(2)＝2 018，则f(2 018)＝________.
解析 显然f(x)≠1，故已知条件可变形为f(x＋2)＝，所以f(x＋4)＝＝＝－，所以f(x＋8)＝－＝f(x)，
则f(x)为周期函数，且8为f(x)的一个周期，
所以f(2 018)＝f(252×8＋2)＝f(2)＝2 018.
答案 2 018
[解题师说]
1．明确解题的2个关键
(1)根据函数的周期性将待求函数值的自变量值转化到分段函数中的定义域范围内，再代入相应解析式求解；
(2)对其函数解析式变形，使得其满足函数周期性的相关定义，进而归纳总结确定对应的周期，为进一步分析与求解打下基础．
2．熟记4种常见抽象函数的周期
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2|a|；
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2|a|；
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2|a|；
(4)若f(x＋a)＝f(x－a)，则T＝2|a|.
[冲关演练]
1．设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1,1)时，f(x)＝则f＝________.
解析 ∵f(x)是定义在R上的周期为2的函数，
且f(x)＝
∴f＝f＝－4×2＋2＝1.
答案 1
2．已知定义在R上的函数满足f(x＋2)＝－，x∈(0,2]时，f(x)＝2x－1.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)的值为________．
解析 ∵f(x＋2)＝－，
∴f(x＋4)＝－＝f(x)，
∴函数y＝f(x)的周期T＝4.
又x∈(0,2]时，f(x)＝2x－1，
∴f(1)＝1，f(2)＝3，f(3)＝－＝－1，f(4)＝－＝－.
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)
＝504[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(504×4＋1)＋f(504×4＋2)
＝504＋1＋3
＝1 348.
答案 1 348
函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主.多以选择题、填空题形式出现.,常见的命题角度有
(1)单调性与奇偶性结合；
(2)周期性与奇偶性结合；
(3)单调性、奇偶性与周期性结合.
[题点全练]
角度(一) 单调性与奇偶性结合
1．(2017·全国卷Ⅰ)函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是( )
A．[－2,2] B．[－1,1]
C．[0,4] D．[1,3]
解析 选D ∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．
∵f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1.
故由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．
又f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，
∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3.
角度(二) 周期性与奇偶性结合
2．(2017·山东高考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.
解析 ∵f(x＋4)＝f(x－2)，
∴f(x＋6)＝f(x)，∴f(x)的周期为6，
∵919＝153×6＋1，∴f(919)＝f(1)．
又f(x)为偶函数，
∴f(919)＝f(1)＝f(－1)＝6.
答案 6
角度(三) 单调性、奇偶性与周期性结合
3．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0,2)上单调递减，则下列结论正确的是( )
A．0f(0)>f(1)，
即f(1)<00时，f(x)＝2x－，则>0的解集为( )
A．(－1,0)∪(0,1) B．(－1,0)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(0,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析 选D ∵当x>0时，函数f(x)单调递增，又f(1)＝0，∴f(x)＝2x－>0的解集为(1，＋∞)．∵f(x)是奇函数，∴是偶函数，则>0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
2．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a满足f(2|a－1|)＞f(－)，则a的取值范围是________．
解析 ∵f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减，f(－)＝f()，
∴f(2|a－1|)＞f()，
∴2|a－1|＜＝2，
∴|a－1|＜，即－＜a－1＜，即＜a＜.
答案
3．设f(x)是定义在R上周期为4的奇函数，若在区间[－2,0)∪(0,2]上，f(x)＝则f(2
017)＝________.
解析 设00时，f(－x)＝－(－x)2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)；当x<0时，f(－x)＝(－x)2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)；当x＝0时，f(0)＝0，也满足f(－x)＝－f(x)．
所以函数f(x)为奇函数．
答案 ②③
10．设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件 ①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x＋2)；③当0≤x<1时，f(x)＝2x－1，则f＋f(1)＋f＋f(2)＋f＝________.
解析 依题意知 函数f(x)为奇函数且周期为2，
则f(1)＋f(－1)＝0，f(－1)＝f(1)，即f(1)＝0.
∴f＋f(1)＋f＋f(2)＋f
＝f＋0＋f＋f(0)＋f
＝f－f＋f(0)＋f
＝f＋f(0)
＝2－1＋20－1
＝－1.
答案 －1
B级——中档题目练通抓牢
1．设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sin ．当0≤x＜π时，f(x)＝0，则f＝( )
A. B.
C．0 D．－
解析 选A ∵f(x＋2π)＝f(x＋π)＋sin(x＋π)＝f(x)＋sin －sin ＝f(x)，∴f(x)的周期T＝2π，又∵当0≤x＜π时，f(x)＝0，∴f＝0，∴f＝f＋sin＝0，∴f＝，∴f＝f＝f＝.
2．已知函数f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是减函数，且在区间[a，b](ag(0)>g(－1)．
答案 f(1)>g(0)>g(－1)
5.已知偶函数y＝f(x)，奇函数y＝g(x)的定义域均为[－4,4]，f(x
)在[－4,0]上，g(x)在[0,4]上的图象如图所示，则不等式<0的解集为________．
解析
因为函数y＝f(x)是偶函数，y＝g(x)是奇函数，它们的定义域均为[－4,4]，结合奇函数和偶函数图象的性质可得两个函数在定义域上完整的图象如图所示．由图可得，当x∈(－2,0)∪(2,4)时，f(x)与g(x)异号，此时f(x)·g(x)<0，即<0.
答案 (－2,0)∪(2,4)
6．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意实数x有f＝－f成立．
(1)证明y＝f(x)是周期函数，并指出其周期；
(2)若f(1)＝2，求f(2)＋f(3)的值．
解 (1)证明 由f＝－f，
且f(－x)＝－f(x)，知f(3＋x)＝f＋＝－f＝－f(－x)＝f(x)，
所以y＝f(x)是周期函数，且T＝3是其一个周期．
(2)因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，
且f(－1)＝－f(1)＝－2，又T＝3是y＝f(x)的一个周期，所以f(2)＋f(3)＝f(－1)＋f(0)＝－2＋0＝－2.
7．已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
解 (1)设x<0，则－x>0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，
结合f(x)的图象(如图所示)知所以1＜a≤3，
故实数a的取值范围是(1,3]．
C级——重难题目自主选做
1．(2018·许昌二模)已知函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m等于( )
A．0 B．2
C．4 D．8
解析 选C f(x)＝＝2＋，
设g(x)＝，则g(－x)＝－g(x)(x∈R)，
∴g(x)为奇函数，∴g(x)max＋g(x)min＝0.
∵M＝f(x)max＝2＋g(x)max，m＝f(x)min＝2＋g(x)min，
∴M＋m＝2＋g(x)max＋2＋g(x)min＝4，故选C.
2．设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－，则使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范围为________．
解析 由已知得函数f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(|x|)，
由f(x)>f(2x－1)，可得f(|x|)>f(|2x－1|)．
当x>0时，f(x)＝ln(1＋x)－，因为y＝ln(1＋x)与y＝－在(0，＋∞)上都单调递增，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
由f(|x|)>f(|2x－1|)，可得|x|>|2x－1|，
两边平方可得x2>(2x－1)2，整理得3x2－4x＋1<0，解得0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，
所以m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，
结合f(x)的图象(如图所示)知所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1,3]．
10.设函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.
(1)求f(π)的值；
(2)当－4≤x≤4时，求函数f(x)的图象与x轴所围成图形的面积．
解 (1)由f(x＋2)＝－f(x)得，
f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)是以4为周期的周期函数，
所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.
(2)由f(x)是奇函数且f(x＋2)＝－f(x)，
得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，
即f(1＋x)＝f(1－x)．
故知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．
又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示．
当－4≤x≤4时，设f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S△OAB＝4×＝4.
B级——拔高题目稳做准做
1.定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，f(x)＝f(x＋4)，且当x∈(－1,0)时，f(x)＝2x＋，则f(log220)＝( )
A．1 B.
C．－1 D．－
解析 选C 因为x∈R，且f(－x)＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，因为f(x)＝f(x
＋4)，所以函数f(x)的周期为4.
所以f(log220)＝f(log220－4)＝f
＝－f＝－f＝－
＝－＝－1，故选C.
2．(2018·许昌二模)已知函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m等于( )
A．0 B．2
C．4 D．8
解析 选C f(x)＝＝2＋，
设g(x)＝，则g(－x)＝－g(x)(x∈R)，
∴g(x)为奇函数，
∴g(x)max＋g(x)min＝0.
∵M＝f(x)max＝2＋g(x)max，m＝f(x)min＝2＋g(x)min，
∴M＋m＝2＋g(x)max＋2＋g(x)min＝4，故选C.
3.定义在实数集R上的函数f(x)满足f(x)＋f(x＋2)＝0，且f(4－x)＝f(x)．现有以下三个命题 ①8是函数f(x)的一个周期；②f(x)的图象关于直线x＝2对称；③f(x)是偶函数．其中正确命题的序号是________．
解析 由f(x)＋f(x＋2)＝0，
得f(x＋2)＝－f(x)，
则f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
即4是f(x)的一个周期，8也是f(x)的一个周期；
由f(4－x)＝f(x)，得f(x)的图象关于直线x＝2对称；
由f(4－x)＝f(x)与f(x＋4)＝f(x)，
得f(－x)＝f(x)，即函数f(x)为偶函数．
答案 ①②③
4．设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－，则使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范围为________．
解析 由已知得函数f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(|x|)，
由f(x)>f(2x－1)，可得f(|x|)>f(|2x－1|)．
当x>0时，f(x)＝ln(1＋x)－，因为y＝ln(1＋x)与y＝－在(0，＋∞)上都单调递增，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
由f(|x|)>f(|2x－1|)，可得|x|>|2x－1|，
两边平方可得x2>(2x－1)2，整理得3x2－4x＋1<0，解得f(－x2)＝－f(x2)，
所以f(x1)＋f(x2)>0.
所以[f(x1)＋f(x2)](x1＋x2)<0成立．
若x1＋x2>0，则－1≤－x20且a≠1)的图象y＝logax(a>0且a≠1)的图象．
(3)伸缩变换
①y＝f(x)的图象y＝f(ax)的图象；
②y＝f(x)的图象y＝af(x)的图象．
(4)翻转变换
①y＝f(x)的图象y＝|f(x)|的图象；
②y＝f(x)的图象y＝f(|x|)的图象．
1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．( )
(2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称．( )
(3)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．( )
答案 (1)× (2)× (3)√
2．下列图象是函数y＝的图象的是( )
答案 C
3．函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)＝( )
A．ex＋1 B．ex－1
C．e－x＋1 D．e－x－1
解析 选D 与曲线y＝ex关于y轴对称的图象对应的解析式为y＝e－x，将函数y＝e－x的图象向左平移1个单位长度即得y＝f(x)的图象，∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1，故选D.
4.已知函数f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝log f(x)的定义域是________．
解析 当f(x)>0时，函数g(x)＝log f(x)有意义，由函数f(x)的图象知满足f(x)>0时，x∈(2,8]．
答案 (2,8]
5．若关于x的方程|x|＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围是________．
解析 由题意得a＝|x|＋x，令y＝|x|＋x＝其图象如图所示，故要使a＝|x|＋x只有一个解，则a>0.
答案 (0，＋∞)
[考什么·怎么考]
作为函数关系的一种重要表示方法，函数图象的识辨是每年高考的热点内容，题型多为选择题，难度适中，得分较易.
考法(一) 根据函数解析式或图象识辨函数图象
1．函数f(x)＝1＋log2x与g(x)＝x在同一直角坐标系下的图象大致是( )
解析 选B 因为函数g(x)＝x为减函数，且其图象必过点(0,1)，故排除A、D.因为f(x)＝1＋log2x的图象是由y＝log2x的图象上移1个单位长度得到的，所以f(x)为增函数，且图象必过点(1,1)，故可排除C，选B.
2．(2017·全国卷Ⅰ)函数y＝的部分图象大致为( )
解析 选C 令函数f(x)＝，其定义域为{x|x≠2 π， ∈ }，又f(－x)＝＝＝－f(x)，所以f(x)＝为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B；因为f(1)＝＞0，f(π)＝＝0，故排除A、D，选C.
3．已知定义在区间[0,4]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(2－x
)的图象为( )
解析 选D 法一 先作出函数y＝f(x)的图象关于y轴的对称图象，得到y＝f(－x)的图象；
然后将y＝f(－x)的图象向右平移2个单位，得到y＝f(2－x)的图象；
再作y＝f(2－x)的图象关于x轴的对称图象，得到y＝－f(2－x)的图象．故选D.
法二 先作出函数y＝f(x)的图象关于原点的对称图象，得到y＝－f(－x)的图象；然后将y＝－f(－x)的图象向右平移2个单位，得到y＝－f(2－x)的图象．故选D.
[题型技法]
1．知式选图的2种常用方法
方法
特殊点法
函数的性质法
定义
特殊点法就是根据函数解析式的特点，结合函数的性质观察函数图象必过的某个特殊点，从而识别函数图象的一种方法
性质检验法就是根据函数解析式分析函数的相关性质(如定义域、值域、单调性、奇偶性等)排除干扰项，从而确定正确选项的方法
适用范围
适用于由一些函数图象上存在特殊点的基本初等函数经过初步变换得到的函数图象的识别问题
适用于对同一个坐标系中两类不同函数图象的判断或对由两类不同类型的函数组合而成的函数图象的识别
解题思路
①找特殊点，根据已知函数的解析式，找出函数图象所经过的定点坐标．
②
①定位函数，通过已知条件确定函数解析式的类型．
②
看变换，将题设条件所给出的函数解析式通过适当的化简或变形，再与基本初等函数对应比较．
③定选项，顺着图象变换展开，将得到的变换图象与所给选项对照
研究性质，分析所给函数的基本性质，常见的有单调性、奇偶性等．
③排除选项，逐一排除不符合函数的基本性质的选项
2．利用函数图象的变换识图
找出所给函数对应的基本初等函数并作出该函数的图象，然后利用平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换规则得出函数图象．
考法(二) 根据实际背景、图形判断函数图象
4.如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为( )
解析 选B 当x∈时，f(x)＝tan ＋，图象不会是直线段，从而排除A、C.
当x∈时，f＝f＝1＋，f＝2.∵2<1＋，∴f0时f(x)的正负等．
2．函数图象变换问题的3个注意
(1)函数图象中左、右平移变换可记口诀为“左加右减”，但要注意加、减指的是自变量．
(2)注意含绝对值符号的函数的对称性，如y＝f(|x|)与y＝|f(x)|的图象是不同的．
(3)分清条件“f(x＋1)＝f(x－1)”与“f(x＋1)＝f(1－x)”的区别，前者告诉函数的周期为2，后者告诉函数的图象关于直线x＝1对称．
函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性.,常见的命题角度有
(1)研究函数的性质；
(2)研究不等式；
(3)研究方程根(零点)个数.(本章第八节讲)
[题点全练]
角度(一) 研究函数的性质
1．已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是( )
A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)
B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)
C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1,1)
D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)
解析 选C 将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值得f(x)＝
画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x
)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．
[题型技法] 利用函数的图象研究函数的性质
对于已知或解析式易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究
①从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；
②从图象的对称性，分析函数的奇偶性；
③从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．
角度(二) 研究不等式
2．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式<0的解集为( )
A．(－1,0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0,1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(0,1)
解析 选D 因为f(x)为奇函数，所以不等式<0可化为<0，即xf(x)<0，f(x)的大致图象如图所示．所以xf(x)<0的解集为(－1,0)∪(0,1)．
3．若不等式(x－1)20，且a≠1)在x∈(1,2)内恒成立，则实数a的取值范围为( )
A．(1,2] B.
C．(1，) D．(，2)
解析 选A 要使当x∈(1,2)时，不等式(x－1)21时，如图，要使x∈(1,2)时，y＝(x－1)2的图象在y＝logax的图象的下方，只需(2－1)2≤loga2，即loga2≥1，解得10时，只有a≤0时才能满足|f(x)|≥ax，可排除B、C.②当x≤0时，y＝|f(x)|＝|－x2＋2x|＝x2－2x.故由|f(x)|≥ax得x2－2x≥ax.
当x＝0时，不等式为0≥0成立；
当x<0时，不等式等价为x－2≤a.
∵x－2<－2，∴a≥－2.综上可知，a∈[－2,0]．
2．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0,1]时，f(x)＝1－x，则
①2是函数f(x)的周期；②函数f(x)在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；③函数f(x)的最大值是1，最小值是0；④当x∈(3,4)时，f(x)＝x－3.
其中所有正确命题的序号是________．
解析 由已知条件得f(x＋2)＝f(x)，则y＝f(x)是以2为周期的周期函数，①正确；
当－1≤x≤0时，0≤－x≤1，f(x)＝f(－x)＝1＋x，
函数y＝f(x)的部分图象如图所示
由图象知②正确，③不正确；
当30在(－1,3)上的解集为( )
A．(1,3) B．(－1,1)
C．(－1,0)∪(1,3) D．(－1,0)∪(0,1)
解析 选C 作出函数f(x)的图象如图所示．
当x∈(－1,0)时，由xf(x)>0得x∈(－1,0)；
当x∈(0,1)时，由xf(x)>0得x∈∅；
当x∈(1,3)时，由xf(x)>0得x∈(1,3)．
故x∈(－1,0)∪(1,3)．
7．已知函数y＝f(x＋1)的图象过点(3,2)，则函数y＝f(x)的图象一定过点________．
解析 因为函数y＝f(x＋1)的图象过点(3,2)，所以函数y＝f(x)的图象一定过点(4,2)．
答案 (4,2)
★8．如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集为________．
解析
令y＝log2(x＋1)，作出函数y＝log2(x＋1)图象如图．
由
得
∴结合图象知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－12时，－x2＋2<0，log2|x|>0，所以F(x)<0，排除C，故选B.
★4.(2018·福建厦门双十中学期中)已知函数f(x)＝x2＋ex－(x<0)与g(x)＝x2＋ln(x＋a)的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围是( )
A. B．(－∞， )
C. D．( ，＋∞)
解析 选B 原命题等价于在x<0时，f(x)与g(－x)的图象有交点，即方程ex－－ln(－x＋a)＝0在(－∞，0)上有解，令m(x)＝ex－－ln(－x＋a)，显然m(x)在(－∞，0)上为增函数．当a>0时，只需m(0)＝e0－－ln a>0，解得00，即m(x)＝0在(－∞，a)上有解．综上，实数a的取值范围是(－∞，)．
★5.如图所示，动点P在正方体ABCDA1B1C1D1的体对角线BD1上．过点P作垂直于平面BB1D1D的直线，与正方体的表面相交于M，N两点．设BP＝x，MN＝y，则函数y＝f(x)的图象大致是( )
解析 选B 设正方体的棱长为1，显然，当P移动到体对角线BD1的中点E时，函数y
＝MN＝AC＝取得唯一的最大值，所以排除A、C；当P在BE上时，分别过M，N，P作底面的垂线，垂足分别为M1，N1，P1，则y＝MN＝M1N1＝2BP1＝2xcos∠D1BD＝x，是一次函数，所以排除D.故选B.
6．已知函数y＝f(x＋1)的图象过点(3,2)，则函数y＝f(x)的图象关于x轴的对称图形一定过点________．
解析 因为函数y＝f(x＋1)的图象过点(3,2)，所以函数y＝f(x)的图象一定过点(4,2)，所以函数y＝f(x)的图象关于x轴的对称图形一定过点(4，－2)．
答案 (4，－2)
7.如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f(x)的解析式为________．
解析 当－1≤x≤0时，设解析式为f(x)＝ x＋b( ≠0)，
则得
∴当－1≤x≤0时，f(x)＝x＋1.
当x＞0时，设解析式为f(x)＝a(x－2)2－1(a≠0)，
∵图象过点(4,0)，
∴0＝a(4－2)2－1，∴a＝.
故函数f(x)的解析式为
f(x)＝
答案 f(x)＝
8．设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析 如图，作出函数f(x)＝|x＋a|与g(x)＝x－1的图象，观察图象可知 当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范围是[－1，＋∞)．
答案 [－1，＋∞)
9．已知函数f(x)＝|x|(x－a)，a＞0.
(1)作出函数f(x)的图象；
(2)写出函数f(x)的单调区间；
(3)当x∈[0,1]时，由图象写出f(x)的最小值．
解 (1)f(x)＝其图象如图所示．
(2)由图知，f(x)的单调递增区间是(－∞，0)，；单调递减区间是.
(3)由图象知，当＞1，即a＞2时，
f(x)min＝f(1)＝1－a；
当0＜≤1，即0＜a≤2时，f(x)min＝f＝－.
综上，f(x)min＝
10．已知函数f(x)的图象与函数h(x)＝x＋＋2的图象关于点A(0,1)对称．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若g(x)＝f(x)＋，且g(x)在区间(0,2]上为减函数，求实数a的取值范围．
解 (1)设f(x)图象上任一点P(x，y)，则点P关于(0,1)点的对称点P′(－x,2－y)在h(x)的图象上，
即2－y＝－x－＋2，
∴y＝f(x)＝x＋(x≠0)．
(2)g(x)＝f(x)＋＝x＋，
∴g′(x)＝1－.
∵g(x)在(0,2]上为减函数，
∴1－≤0在(0,2]上恒成立，
即a＋1≥x2在(0,2]上恒成立，
∴a＋1≥4，即a≥3，
故实数a的取值范围是[3，＋∞)．
B级——拔高题目稳做准做
★1.已知函数y＝f(x)的周期为2，当x∈[－1,1]时，f(x)＝x2，那么函数y＝f(x)的图象与函数y＝|lg |的图象的交点共有( )
A．10个 B．9个
C．8个 D．7个
解析 选A 由函数y＝f(x)的周期为2，又当x∈[－1,1]时，f(x)＝x2，g(x)＝|lg |，在同一坐标系中分别作出这两个函数的图象如图所示，可知交点共有10个．
2．已知函数f(x)＝则对任意x1，x2∈R，若0＜|x1|＜|x2|，下列不等式成立的是( )
A．f(x1)＋f(x2)＜0 B．f(x1)＋f(x2)＞0
C．f(x1)－f(x2)＞0 D．f(x1)－f(x2)＜0
解析 选D 函数f(x)的图象如图(实线部分)所示，且f(－x)＝f(x)，
从而函数f(x)是偶函数且在[0，＋∞)上是增函数．
又0＜|x1|＜|x2|，所以f(x2)＞f(x1)，即f(x1)－f(x2)＜0.
★3.函数f(x)是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图所示，那么不等式<0的解集为________．
解析 在上y＝cos >0，
在上y＝cos <0.
由f(x)的图象知在上<0，
因为f(x)为偶函数，y＝cos 也是偶函数，
所以y＝为偶函数，
所以<0的解集为∪.
答案 ∪
4．已知函数f(x)＝g(x)＝|x－ |＋|x－1|，若对任意的x1，x2∈R，都有f(x1)≤g(x2)成立，则实数 的取值范围为________．
解析
对任意的x1，x2∈R，都有f(x1)≤g(x2)成立，即f(x)max≤g(x)min.
观察f(x)＝的图象可知，当x＝时，函数f(x)max＝.
因为g(x)＝|x－ |＋|x－1|≥|x－ －(x－1)|＝| －1|，
所以g(x)min＝| －1|，
所以| －1|≥，
解得 ≤或 ≥.
故实数 的取值范围是∪.
答案 ∪
5．若关于x的不等式4ax－1<3x－4(a>0，且a≠1)对于任意的x>2恒成立，求a的取值范围．
解 不等式4ax－1<3x－4等价于ax－11时，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图(1)所示，由图知不满足条件；
当00在R上恒成立，求m的取值范围．
解 (1)令F(x)＝|f(x)－2|＝|2x－2|，
G(x)＝m，画出F(x)的图象如图所示．
由图象可知，当m＝0或m≥2时，函数F(x)与G(x)的图象只有一个交点，原方程有一个解；
当00)，H(t)＝t2＋t，
因为H(t)＝2－在区间(0，＋∞)上是增函数，
所以H(t)>H(0)＝0.
因此要使t2＋t>m在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m≤0，即所求m的取值范围为(－∞，0]．
A组
1．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝ex B．y＝cos
C．y＝|x|＋1 D．y＝
解析 选C 显然选项A、D中的函数均是非奇非偶函数，选项B中的函数是偶函数但在(0，＋∞)上不是单调递增函数，选项C正确．
2．已知定义域为[a－4,2a－2]的奇函数f(x)＝2 018x3－sin ＋b＋2，则f(a)＋f(b)的值为( )
A．0 B．1
C．2 D．不能确定
解析 选A ∵奇函数的定义域关于原点对称，
则a－4＋2a－2＝0，
∴a＝2，又f(x)为奇函数，故b＋2＝0，
∴b＝－2，∴f(a)＋f(b)＝f(－2)＋f(2)＝0.
3．函数f(x)＝的图象大致是( )
解析 选D 由f(－x)＝－f(x)可得f(x)是奇函数，图象关于原点对称，排除A、C，而x∈(0,1)时，ln |x|<0，f(x)<0，排除B，故选D.
4．对于偶函数F(x)，当x∈[0,2)时，F(x)＝ex＋x，当x∈[2，＋∞)时，F(x
)的图象与函数y＝ex＋1的图象关于直线y＝x对称，则F(－1)＋F(e＋1)＝( )
A．e B．2e
C．e＋ln(e＋1) D．e＋2
解析 选D ∵F(x)为偶函数，
∴F(－1)＝F(1)＝e＋1.
∵e＋1>2且当x∈[2，＋∞)时，
F(x)的图象与函数y＝ex＋1的图象关于y＝x对称，
∴e＋1＝ex＋1，∴x＝1，∴F(e＋1)＝1，
∴F(－1)＋F(e＋1)＝e＋2.
5．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且当－1≤x<0时，f(x)＝log2(－3x＋1)，则f(2 017)＝( )
A．－1 B．－2
C．1 D．2
解析 选B ∵奇函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，
又f(1＋x)＝f(1－x)，
即f(2－x)＝f(x)，∴f(2－x)＝－f(－x)，
∴f(4＋x)＝f(x)，
又∵2 017＝504×4＋1，
∴f(2 017)＝f(1)＝－f(－1)＝－log2(3＋1)＝－2.
6．(2018·昆明检测)已知定义在R上的函数f(x)是奇函数，且f(x)在(－∞，0)上是减函数，f(2)＝0，g(x)＝f(x＋2)，则不等式xg(x)≤0的解集是( )
A．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B．[－4，－2]∪[0，＋∞)
C．(－∞，－4]∪[－2，＋∞) D．(－∞，－4]∪[0，＋∞)
解析 选C 依题意，画出函数的大致图象如图所示，
实线部分为g(x)的草图，
则xg(x)≤0⇔
或
由图可得xg(x)≤0的解集为(－∞，－4]∪[－2，＋∞)．
7．已知函数f(x)＝若f(4)>1，则实数a的取值范围是_______．
解析 由题意知f(4)＝f(log4)＝f(－2)＝(3a－1)×(－2)＋4a>1，解得a<，所以实数a的取值范围是.
答案
8．已知函数f(x)＝4x＋1，g(x)＝4－x.若偶函数h(x)满足h(x)＝mf(x)＋ng(x)(其中m，n为常数)，且最小值为1，则m＋n＝________.
解析 由题意，h(x)＝mf(x)＋ng(x)＝m·4x＋m＋n·4－x，h(－x)＝m·4－x＋m＋n·4x，
∵h(x)为偶函数，∴h(x)＝h(－x)，
∴m＝n，∴h(x)＝m(4x＋4－x)＋m.
∵4x＋4－x≥2，∴h(x)min＝3m＝1，
∴m＝，∴m＋n＝.
答案
9．已知函数f(x)＝－.
(1)设g(x)＝f(x＋2)，判断函数y＝g(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)求证 函数f(x)在[2,3)上是增函数．
解 (1)函数y＝g(x)为偶函数，证明如下
因为f(x)＝－，
所以g(x)＝f(x＋2)＝－.
因为g(－x)＝－＝－＝g(x)，
又因为g(x)的定义域为{x|x≠－1且x≠1}，
所以y＝g(x)是偶函数．
(2)证明 设x1，x2∈[2,3)且x10，
(x1－1)(x1－3)(x2－1)(x2－3)>0.
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)1)的性质判断正确的是( )
A．为偶函数，在(0，＋∞)上是增函数
B．为奇函数，在(－∞，＋∞)上是增函数
C．为偶函数，在(0，＋∞)上是减函数
D．为奇函数，在(－∞，＋∞)上是减函数
解析 选B 函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．当a>1时，函数y＝ax是增函数，y＝a－x是减函数，所以f(x)＝(a>1)是增函数．
2．已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[3,4]时，f(x)＝ln ，则( )
A．ff
C．f(sin 1)f
解析 选C 由题意得f(x)是定义在R上周期为2的偶函数，∵f(x)在[3,4]上是增函数，∴函数f(x)在[－1,0]上是增函数，在[0,1]上是减函数，∵01时，f(x)<2，所以④正确．
答案 ①②④
9．已知函数f(x)＝2x＋λ·2－x为偶函数．
(1)求f(x)的最小值；
(2)若不等式f(2x)≥f(x)－m恒成立，求实数m的最小值．
解 (1)法一 由题意得2－x＋λ·2x＝2x＋λ·2－x，∴λ＝1，
∴f(x)＝2x＋2－x，设0≤x10，∴2x＋≥2，
当且仅当2x＝，即x＝0时，等号成立，
∴f(x)的最小值为2.
(2)由条件知f(2x)＝22x＋2－2x＝(2x＋2－x)2－2＝[f(x)]2－2.
∵f(2x)≥f(x)－m恒成立．
∴m≥f(x)－f(2x)＝f(x)－[f(x)]2＋2，
由(1)知，f(x)∈[2，＋∞)，
∴当f(x)＝2时，f(x)－[f(x)]2＋2取得最大值0，
∴m≥0，即实数m的最小值为0.
10．定义 “实数m，n为常数，若函数h(x)满足h(m＋x)＋h(m－x)＝2n，则函数y＝h(x)的图象关于点(m，n)成中心对称”．
(1)已知函数f(x)＝的图象关于点(1，b)成中心对称，求实数b的值；
(2)已知函数g(x)满足g(2＋x)＋g(－x)＝4，当x∈[0,2]时，都有g(x)≤3成立，且当x∈[0,1]时，g(x)＝2 (x－1)＋1，求实数 的取值范围．
解 (1)由f(1＋x)＝，f(1－x)＝，
得f(1＋x)＋f(1－x)＝＋＝4，
又由定义知f(1＋x)＋f(1－x)＝2b，所以b＝2.
(2)法一 在g(2＋x)＋g(－x)＝4中，用x－1代替x得g(1＋x)＋g(1－x)＝4，
由定义知，函数g(x)的图象关于点(1,2)成对称中心，
且g(1)＝2.
①当 ＝0时，g(x)＝2(x∈[0,1])，
又函数g(x)的对称中心为(1,2)，
∴g(x)＝2(x∈[0,2])，显然g(x)≤3成立，∴ ＝0满足；
②当 >0时，g(x)＝2 (x－1)＋1在[0,1]上为增函数，又函数g(x)的对称中心为(1,2)，
∴g(x)在[0,2]上为增函数，要使g(x)≤3，只需g(x)max＝g(2)≤3.
又g(2)＋g(0)＝4，
∴g(0)≥1，即2－ ＋1≥1，∴0< ≤1；
③当 <0时，g(x)＝2 (x－1)＋1在[0,1]上为减函数，又函数g(x)的对称中心为(1,2)，
∴g(x)在[0,2]上为减函数，要使g(x)≤3，只需g(x)max＝g(0)≤3，即2－ ＋1≤3，
∴1－log23≤ <0.
综上，1－log23≤ ≤1，即 的取值范围为[1－log23,1]．
法二 由题意知，
①当x∈[0,1]时，g(x)≤3,2 (x－1)＋1≤3，
即 (x－1)＋1≤log23恒成立．
当 ＝0时，上式显然成立；
当 ≠0时，函数r(x)＝ (x－1)＋1在[0,1]上为单调函数，
∴函数的最大值必为r(0)或r(1)，
∴∴ ≥1－log23.
②由g(2＋x)＋g(－x)＝4，得g(x)＋g(2－x)＝4，
∴当x∈[1,2]时，g(x)＝4－g(2－x)＝4－2 (1－x)＋1≤3，
即2 (1－x)＋1≥1，化简得 (1－x)＋1≥0.
当 ＝0时，上式显然成立；
当 ≠0时，函数t(x)＝ (1－x)＋1在[1,2]上为单调函数，
∴函数的最小值必为t(1)或t(2)，
∴∴ ≤1.
综上，1－log23≤ ≤1，即 的取值范围为[1－log23,1]．
第五节二次函数与幂函数
1．五种常见幂函数的图象与性质
函数
特征
性质
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x
y＝x－1
图象
定义域
R
R
R
{x|x≥0}
{x|x≠0}
值域
R
{y|y≥0}
R
{y|y≥0}
{y|y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增
(－∞，0)减，(0，＋∞)增
增
增
(－∞，0)和
(0，＋∞)减
公共点
(1,1)
2．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
顶点式 f(x)＝a(x－h)2＋ (a≠0)；
两根式 f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
(2)二次函数的图象与性质
解析式
f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)
f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域
(－∞，＋∞)
(－∞，＋∞)
值域
单调性
在上单调递增；
在上单调递减
在上单调递增；
在上单调递减
奇偶性
当b＝0时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数
顶点
对称性
图象关于直线x＝－成轴对称图形
1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝2x是幂函数．( )
(2)当n>0时，幂函数y＝xn在(0，＋∞)上是增函数．( )
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是偶函数．( )
(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈[a，b])的最值一定是.( )
(5)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．( )
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√
2．幂函数y＝f(x)的图象过点(4,2)，则幂函数y＝f(x)的图象是( )
解析 选C 令f(x)＝xα，则4α＝2，∴α＝，∴f(x)＝x，则f(x)的图象如选项C中所示．
3．函数f(x)＝(m2－m－1)xm是幂函数，且在x∈(0，＋∞)上为增函数，则实数m的值是( )
A．－1 B．2 C．3 D．－1或2
解析 选B ∵f(x)＝(m2－m－1)xm是幂函数，
∴m2－m－1＝1，解得m＝－1或m＝2.
又f(x)在x∈(0，＋∞)上是增函数，所以m＝2.
4．已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
解析 选C 由题意知即解得a>.
5．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，若y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数，则实数a的取值范围为________．
解析 由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，
所以要使f(x)在[－4,6]上是单调函数，
应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.
答案 (－∞，－6]∪[4，＋∞)
6．已知f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为[a－1，2a]，则y＝f(x)的值域为________．
解析 因为f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，所以其定义域[a－1,2a]关于原点对称，所以a－1＝－2a，所以a＝，因为f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，即f(－x)＝f(x)，所以b
＝0，所以f(x)＝x2＋1，x∈，其值域为.
答案
[考什么·怎么考]
高考中对幂函数的概念、图象及性质的考查难度不大，一般以选择题、填空题的形式呈现，其中幂函数的图象、利用幂函数性质求参数范围，结合指数、对数比较大小等问题较常见．
1．已知幂函数f(x)的图象经过点(9,3)，则f(2)－f(1)＝( )
A．3 B．1－
C.－1 D．1
解析 选C 设幂函数f(x)＝xα，则f(9)＝9α＝3，即α＝，所以f(x)＝x＝，所以f(2)－f(1)＝－1，故选C.
2．当x∈(0，＋∞)时，幂函数y＝(m2＋m－1)x－5m－3为减函数，则实数m的值为( )
A．－2 B．1
C．1或－2 D．m≠
解析 选B 因为函数y＝(m2＋m－1)x－5m－3既是幂函数又是(0，＋∞)上的减函数，所以解得m＝1.
3．已知a＝3，b＝4，c＝12，则a，b，c的大小关系为( )
A．bb>c，故选C.
4．若(a＋1) <(3－2a) ，则实数a的取值范围是________．
解析 易知函数y＝x的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，所以
解得－1≤a<.
答案
[怎样快解·准解]
1．幂函数的图象与性质
幂函数y＝xα的图象和性质因α的取值不同而不同，一般可从三方面考察
(1)α的正负 α>0时图象经过(0,0)点和(1,1)点，在第一象限的部分“上升”；α<0时图象不过(0,0)点，经过(1,1)点，在第一象限的部分“下降”；
(2)曲线在第一象限的凹凸性 α>1时曲线下凹，0<α<1时曲线上凸，α<0时曲线下凹；
(3)函数的奇偶性 一般先将函数式化为正指数幂或根式形式，再根据函数定义域和奇偶性定义判断其奇偶性．
2．比较幂值大小的常见类型及解决方法
同底不同指
利用指数函数单调性进行比较
同指不同底
利用幂函数单调性进行比较
既不同底
又不同指
常常找到一个中间值，通过比较两个幂值与中间值的大小来判断两个幂值的大小
高考单独考查求二次函数的解析式较少，大多同其性质一同考查，多结合图象求解，难度中等.
[典题领悟]
已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．
解 法一 (利用二次函数的一般式)
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由题意得解得
故所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
法二 (利用二次函数的顶点式)
设f(x)＝a(x－m)2＋n.
∵f(2)＝f(－1)，∴抛物线对称轴为x＝＝.
∴m＝，又根据题意函数有最大值8，∴n＝8，
∴y＝f(x)＝a2＋8.
∵f(2)＝－1，∴a2＋8＝－1，解得a＝－4，
∴f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7.
法三 (利用两根式)
由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，
故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1.
又函数有最大值ymax＝8，即＝8.
解得a＝－4或a＝0(舍去)，
故所求函数解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
[解题师说]
求二次函数解析式的方法
[冲关演练]
已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，求f(x)的解析式．
解 ∵f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，
∴f(x)的对称轴为x＝2.
又∵f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，
∴f(x)＝0的两根为1和3.
设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)．
又∵f(x)的图象过点(4,3)，
∴3a＝3，a＝1.
∴所求f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，
即f(x)＝x2－4x＋3.
高考对二次函数图象与性质进行单独考查的频率较低.常与一元二次方程、一元二次不等式等知识交汇命题是高考的热点，多以选择题、填空题的形式出现，考查二次函数的图象与性质的应用.,常见的命题角度有
(1)二次函数图象的识别；
(2)二次函数的单调性问题；
(3)二次函数的最值问题；
(4)与二次函数有关的恒成立问题.
[题点全练]
角度(一) 二次函数图象的识别
1．(2018·重庆五中模拟)一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是( )
解析 选C 若a>0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，故可排除A；若a<0，一次函数y＝ax＋b为减函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，故可排除D；对于选项B，看直线可知a>0，b>0，从而－<0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故应排除B，选C.
[题型技法] 识别二次函数图象应学会“三看”
角度(二) 二次函数的单调性问题
2．若二次函数y＝ x2－4x＋2在区间[1,2]上是单调递增函数，则实数 的取值范围为( )
A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(－∞，0) D．(－∞，2)
解析 选A 二次函数y＝ x2－4x＋2的对称轴为x＝，当 >0时，要使函数y＝ x2－4x＋2在区间[1,2]上是增函数，只需≤1，解得 ≥2.
当 <0时，<0，此时抛物线的对称轴在区间[1,2]的左侧，该函数y＝ x2－4x＋2在区间[1,2]上是减函数，不符合要求．综上可得实数 的取值范围是[2，＋∞)．
[题型技法] 研究二次函数单调性的思路
(1)二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同，因此研究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论．
(2)若已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)在区间A上单调递减(单调递增)，则A⊆A⊆－，＋∞，即区间A一定在函数对称轴的左侧(右侧)．
角度(三) 二次函数的最值问题
3．(2017·浙江高考)若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[0,1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m( )
A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关
C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关
解析 选B f(x)＝2－＋b，
①当0≤－≤1时，f(x)min＝m＝f＝－＋b，f(x)max＝M＝max{f(0)，f(1)}＝max{b,1＋a＋b}，
∴M－m＝max与a有关，与b无关；
②当－<0时，f(x)在[0,1]上单调递增，
∴M－m＝f(1)－f(0)＝1＋a与a有关，与b无关；
③当－>1时，f(x)在[0,1]上单调递减，
∴M－m＝f(0)－f(1)＝－1－a与a有关，与b无关．
综上所述，M－m与a有关，但与b无关．
[题型技法] 求二次函数在给定区间上最值的方法
二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(不妨设a>0)在区间[m，n]上的最大或最小值如下
(1)当－∈[m，n]，即对称轴在所给区间内时
f(x)的最小值在对称轴处取得，其最小值是f＝；若－≤，f(x)的最大值为f(n)；若－≥，f(x)的最大值为f(m)．
(2)当－∉[m，n]，即给定的区间在对称轴的一侧时
f(x)在[m，n]上是单调函数．若－f(2m＋mt2)对任意实数t恒成立，知－4t>2m＋mt2对任意实数t恒成立，即mt2＋4t＋2m<0对任意实数t恒成立，故有解得m∈(－∞，－)，故选A.
[题型技法] 与二次函数有关的不等式恒成立的条件
(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是
(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是
(3)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.
[题“根”探求]
1．无论题型如何变化，都是围绕二次函数的图象与性质，变换不同的角度来考查．角度(一)中二次函数的图象识别问题是基础问题，角度(二)中二次函数的单调性问题是根本问题，角度(三)与角度(四)是在角度(一)和角度(二)的基础上的重点考查问题，数形结合思想是解决这类问题的基本策略．
2．二次函数在闭区间上最值问题的实质
二次函数在闭区间上一定存在最小值和最大值，它们只能在区间的端点或二次函数图象的顶点处取得(若对称轴不在给定区域内则只考虑端点)．分别求出函数值，通过比较大小确定最值．
[冲关演练]
1．已知函数f(x)＝x2－2x＋4在区间[0，m](m>0)上的最大值为4，最小值为3，则实数m的取值范围是( )
A．[1,2] B．(0,1]
C．(0,2] D．[1，＋∞)
解析 选A 作出函数的图象如图所示，从图中可以看出当1≤m≤2时，函数f(x)＝x2－2x＋4在区间[0，m](m>0)上的最大值为4，最小值为3.故选A.
2．已知函数f(x)＝ax2－2x＋2，若对一切x∈，f(x)>0都成立，则实数a的取值范围为( )
A. B.
C．[－4，＋∞) D．(－4，＋∞)
解析 选B 由题意得，对一切x∈，f(x)>0都成立，
即a>＝－＋＝－22＋，
而－22＋≤，
则实数a的取值范围为.
(一)普通高中适用
A级——基础小题练熟练快
1．幂函数y＝f(x)经过点(3，)，则f(x)是( )
A．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
B．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数
C．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数
D．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
解析 选D 设幂函数的解析式为y＝xα，将(3，)代入解析式得3α＝，解得α＝，∴y＝x，其是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数．
★2．已知幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋1为偶函数，则m＝( )
A．1 B．2 C．1或2 D．3
解析 选A ∵函数f(x)为幂函数，∴m2－3m＋3＝1，即m2－3m＋2＝0，解得m＝1或m＝2.当m＝1时，幂函数f(x)＝x2为偶函数，满足条件．当m＝2时，幂函数f(x)＝x3为奇函数，不满足条件．故选A.
3．函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[－2，＋∞)时，f(x)是增函数，当x∈(－∞，－2]时，f(x)是减函数，则f(1)的值为( )
A．－3 B．13
C．7 D．5
解析 选B 函数f(x)＝2x2－mx＋3图象的对称轴为x＝，由函数f(x)的增减区间可知＝－2，所以m＝－8，即f(x)＝2x2＋8x＋3，所以f(1)＝2＋8＋3＝13.
★4．(2018·安阳模拟)下列选项正确的是( )
A．0.20.2＞0.30.2 B．2＜3
C．0.8－0.1＞1.250.2 D．1.70.3＞0.93.1
解析 选D A中，∵函数y＝x0.2在(0，＋∞)上为增函数，0.2＜0.3，∴0.20.2＜0.30.2，故A不正确；
B中，∵函数y＝x在(0，＋∞)上为减函数，
∴2＞3，故B不正确；
C中，∵0.8－1＝1.25，y＝1.25x在R上是增函数，0.1＜0.2，∴1.250.1＜1.250.2，即0.8－0.1＜1.250.2，故C不正确；D中，1.70.3＞1,0.93.1＜1，∴1.70.3＞0.93.1，故选D.
★5．已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，则( )
A．a>0,4a＋b＝0 B．a<0,4a＋b＝0
C．a>0,2a＋b＝0 D．a<0,2a＋b＝0
解析 选A 由f(0)＝f(4)，得f(x)＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－＝2，∴4a＋b＝0，又f(0)>f(1)，f(4)>f(1)，∴f(x)先减后增，于是a>0，故选A.
★6．若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax－5)的图象关于直线x＝0对称，则f(x)的最大值是( )
A．－4 B．4
C．4或－4 D．不存在
解析 选B 依题意，函数f(x)是偶函数，则y＝x2＋ax－5是偶函数，故a＝0，f(x)＝(1－x2)(x2－5)＝－x4＋6x2－5＝－(x2－3)2＋4，当x2＝3时，f(x)取得最大值4.
★7．若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________.
解析 f(x)＝bx2＋(ab＋2a)x＋2a2.
由已知条件ab＋2a＝0，又f(x)的值域为(－∞，4]，
则因此f(x)＝－2x2＋4.
答案 －2x2＋4
★8．已知二次函数y＝f(x)的顶点坐标为，且方程f(x)＝0的两个实根之差等于7，则此二次函数的解析式是________．
解析 设f(x)＝a2＋49(a≠0)，
方程a2＋49＝0的两个实根分别为x1，x2，
则|x1－x2|＝2 ＝7，
所以a＝－4，所以f(x)＝－4x2－12x＋40.
答案 f(x)＝－4x2－12x＋40
9．当0＜x＜1时，f(x)＝x2，g(x)＝x，h(x)＝x－2，则f(x)，g(x)，h(x)的大小关系是________________．
解析 分别作出f(x)，g(x)，h(x)的图象如图所示，
可知h(x)＞g(x)＞f(x)．
答案 h(x)＞g(x)＞f(x)
★10．如果存在实数x，使得关于x的不等式ax2－4x＋a－3＜0成立，则实数a的取值范围是______________．
解析 当a＝0时，原不等式变为－4x－3＜0，
解得x＞－，显然成立．
当a＞0时，需Δ＝(－4)2－4a(a－3)＞0，
即a2－3a－4＜0，解得0＜a＜4，
当a＜0时，显然成立，
综上可知，实数a的取值范围是(－∞，4)．
答案 (－∞，4)
B级——中档题目练通抓牢
★1．若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为，则m的取值范围是( )
A．[0,4] B.
C. D.
解析 选D
二次函数图象的对称轴为x＝，且f＝－，f(3)＝f(0)＝－4，结合函数图象(如图所示)可得m∈.
2.如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论
①b2＞4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a＜b.
其中正确的是( )
A．②④ B．①④
C．②③ D．①③
解析 选B 因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，①正确．
对称轴为x＝－1，即－＝－1,2a－b＝0，②错误．
结合图象，当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，③错误．
由对称轴为x＝－1知，b＝2a.又函数图象开口向下，所以a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，④正确．
★3．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，且a＞b＞c，a＋b＋c＝0，则( )
A．∀x∈(0,1)，都有f(x)＞0
B．∀x∈(0,1)，都有f(x)＜0
C．∃x0∈(0,1)，都有f(x0)＝0
D．∃x0∈(0,1)，都有f(x0)＞0
解析 选B 由a＞b＞c，a＋b＋c＝0，可知a＞0，c＜0.
抛物线开口方向向上，因为f(0)＝c＜0，f(1)＝a＋b＋c＝0，
即1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，
所以∀x∈(0,1)，都有f(x)＜0.故选B.
4．(2017·山西一模)已知函数f(x)＝x2－m是定义在区间[ －3－m，m2－m]上的奇函数，则f(m)＝________.
解析 由题意得m2－m＝3＋m，即m2－2m－3＝0，
∴m＝3或m＝－1.
当m＝3时，f(x)＝x－1，[－3－m，m2－m]为[－6,6]，
f(x)在x＝0处无意义，故舍去．
当m＝－1时，f(x)＝x3，[－3－m，m2－m]为[－2,2]，满足题意，∴f(m)＝f(－1)＝(－1)3＝－1.
答案 －1
5．已知f(x)＝x2＋2(a－2)x＋4，如果对x∈[－3,1]，f(x)＞0恒成立，则实数a的取值范围为________．
解析 因为f(x)＝x2＋2(a－2)x＋4，对称轴为x＝－(a－2)，
对x∈[－3,1]，f(x)＞0恒成立，
所以或或
解得a∈∅或1≤a＜4或－＜a＜1，
所以实数a的取值范围为.
答案
6．已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.
(1)当a＝2，x∈[－2,3]时，求函数f(x)的值域；
(2)若函数f(x)在[－1,3]上的最大值为1，求实数a的值．
解 (1)当a＝2时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2,3]，
对称轴为x＝－∈[－2,3]，
∴f(x)min＝f＝－－3＝－，
f(x)max＝f(3)＝15，
∴函数f(x)的值域为.
(2)∵函数f(x)的对称轴为x＝－.
①当－≤1，即a≥－时，
f(x)max＝f(3)＝6a＋3，
∴6a＋3＝1，即a＝－，满足题意；
②当－＞1，即a＜－时，
f(x)max＝f(－1)＝－2a－1，
∴－2a－1＝1，即a＝－1，满足题意．
综上可知，a＝－或－1.
★7．已知函数f(x)＝ax2－2ax＋2＋b(a≠0)，若f(x)在区间[2,3]上有最大值5，最小值2.
(1)求a，b的值；
(2)若b<1，g(x)＝f(x)－mx在[2,4]上单调，求m的取值范围．
解 (1)f(x)＝a(x－1)2＋2＋b－a.
当a>0时，f(x)在[2,3]上为增函数，
故⇒⇒
当a<0时，f(x)在[2,3]上为减函数，
故⇒⇒
故当a>0时，a＝1，b＝0，当a<0时，a＝－1，b＝3.
(2)∵b<1，∴a＝1，b＝0，即f(x)＝x2－2x＋2.
g(x)＝x2－2x＋2－mx＝x2－(2＋m)x＋2，
∵g(x)在[2,4]上单调，∴≤2或≥4.
∴m≤2或m≥6.
故m的取值范围为(－∞，2]∪[6，＋∞)．
C级——重难题目自主选做
1．(2018·合肥质检)函数f(x)＝－x2＋3x＋a，g(x)＝2x－x2，若f(g(x))≥0对x∈[0,1]恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．[－e，＋∞) B．[－ln 2，＋∞)
C．[－2，＋∞) D.
解析 选C 如图所示，在同一坐标系中画出y＝x2＋1，y＝2x，y＝x2＋的图象，由图象可知，在[0,1]上，x2＋1≤2x0时，f(x)＝x|x|＋c在R上单调递增，故方程f(x)＝0只有一个实根，②正确．由①可知c＝0时，f(x)的图象关于原点对称，f(x)＝x|x|＋bx＋c的图象由y＝x|x|＋bx的图象向上平移c个单位得到的，故关于点(0，c)对称，③正确；当b＝－1，c＝0时，f(x)＝x|x|－x＝x(|x|－1)＝0，则x＝0或x＝±1，④错误，故选C.
法二 当c＝0时，f(－x)＝－x|－x|＋b(－x)＝－x|x|－bx＝－f(x)，故f(x)是奇函数，①正确，排除D；当b＝0，c＞0时，令f(x)＝x|x|＋c＝0，则当x≥0时，x2＋c＝0无解，当x＜0时，f(x)＝－x2＋c＝0，x＝－只有一个实数根，②正确，排除A、B，选C.
★6.当0＜x＜1时，f(x)＝x2，g(x)＝x，h(x)＝x－2，则f(x)，g(x)，h(x)的大小关系是________________．
解析 分别作出f(x)，g(x)，h(x)的图象如图所示，
可知h(x)＞g(x)＞f(x)．
答案 h(x)＞g(x)＞f(x)
★7.(2017·山西一模)已知函数f(x)＝x2－m是定义在区间[ －3－m，m2－m]上的奇函数，则f(m)＝________.
解析 由题意得m2－m＝3＋m，即m2－2m－3＝0，
∴m＝3或m＝－1.
当m＝3时，f(x)＝x－1，[－3－m，m2－m]为[－6,6]，
f(x)在x＝0处无意义，故舍去．
当m＝－1时，f(x)＝x3，[－3－m，m2－m]为[－2,2]，满足题意，
∴f(m)＝f(－1)＝(－1)3＝－1.
答案 －1
★8.已知二次函数y＝x2＋2 x＋3－2 ，则顶点位置最高时函数的解析式为________．
解析 由题意可知y＝x2＋2 x＋3－2 ＝(x＋ )2－ 2－2 ＋3，所以该函数的顶点坐标为(－ ，－ 2－2 ＋3)．
设顶点的纵坐标为y＝－ 2－2 ＋3＝－( ＋1)2＋4，所以当
＝－1时，顶点位置最高，此时函数的解析式为y＝x2－2x＋5.
答案 y＝x2－2x＋5
★9.已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．
(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；
(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数．
解 (1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[－5,5]，
所以当x＝1时，f(x)取得最小值1；
当x＝－5时，f(x)取得最大值37.
(2)函数f(x)＝(x＋a)2＋2－a2的图象的对称轴为直线x＝－a，
因为y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数，
所以－a≤－5或－a≥5，即a≤－5或a≥5.
故实数a的取值范围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．
10．已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.
(1)当a＝2，x∈[－2,3]时，求函数f(x)的值域；
(2)若函数f(x)在[－1,3]上的最大值为1，求实数a的值．
解 (1)当a＝2时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2,3]，
对称轴为x＝－∈[－2,3]，
∴f(x)min＝f＝－－3＝－，
f(x)max＝f(3)＝15，
∴函数f(x)的值域为.
(2)∵函数f(x)的对称轴为x＝－.
①当－≤1，即a≥－时，
f(x)max＝f(3)＝6a＋3，
∴6a＋3＝1，即a＝－，满足题意；
②当－＞1，即a＜－时，
f(x)max＝f(－1)＝－2a－1，
∴－2a－1＝1，即a＝－1，满足题意．
综上可知，a＝－或－1.
B级——拔高题目稳做准做
★1.已知函数f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m的取值范围是( )
A．[0,1] B．(0,1)
C．(－∞，1) D．(－∞，1]
解析 选D 当m＝0时，令f(x)＝0，得－3x＋1＝0，则x＝＞0，符合题意；
当m＞0时，由f(0)＝1，可知要满足题意，
则需解得0＜m≤1；
当m＜0时，由f(0)＝1可知，函数图象恒与x轴正半轴有一个交点．
综上可知，m的取值范围是(－∞，1]．
2．(2018·合肥质检)函数f(x)＝－x2＋3x＋a，g(x)＝2x－x2，若f(g(x))≥0对x∈[0,1]恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．[－e，＋∞) B．[－ln 2，＋∞)
C．[－2，＋∞) D.
解析 选C 如图所示，在同一坐标系中画出y＝x2＋1，y＝2x，y＝x2＋的图象，由图象可知，在[0,1]上，x2＋1≤2xf(a－1)的实数a的取值范围．
解 (1)因为m2＋m＝m(m＋1)(m∈N*)，而m与m＋1中必有一个为偶数，所以m2＋m为偶数，
所以函数f(x)＝x(m2＋m)－1(m∈N*)的定义域为[0，＋∞)，并且该函数在[0，＋∞)上为增函数．
(2)因为函数f(x)的图象经过点(2，)，
所以＝2(m2＋m)－1，即2＝2(m2＋m)－1，
所以m2＋m＝2，解得m＝1或m＝－2.
又因为m∈N*，所以m＝1，f(x)＝x.
又因为f(2－a)>f(a－1)，
所以解得1≤a<，
故函数f(x)的图象经过点(2，)时，m＝1.满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围为.
★6.已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0，b∈R，c∈R)．
(1)若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，F(x)＝求F(2)＋F(－2)的值；
(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b的取值范围．
解 (1)由已知c＝1，a－b＋c＝0，且－＝－1，
解得a＝1，b＝2，
∴f(x)＝(x＋1)2，∴F(x)＝
∴F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2－(－2＋1)2＝8.
(2)由题可知，f(x)＝x2＋bx，原命题等价于－1≤x2＋bx≤1在(0,1]上恒成立，
即b≤－x且b≥－－x在(0,1]上恒成立．
又－x的最小值为0，－－x的最大值为－2，
∴－2≤b≤0，故b的取值范围是[－2,0]．
第六节指数与指数函数
1．有理数指数幂
(1)幂的有关概念
①正分数指数幂
a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．
②负分数指数幂
a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．
③0的正分数指数幂等于,0的负分数指数幂没有意义．
(2)有理数指数幂的性质
①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；
②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；
③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
2．指数函数的图象与性质
函数
y＝ax(a>0，且a≠1)
图象
a>1
00时，y>1
当x<0时，y>1；
当x>0时，00，且a≠1)，则m0，且a≠1)的图象必经过点( )
A．(0,1) B．(1,1)
C．(2,0) D．(2,2)
解析 选D 由f(2)＝a0＋1＝2，知f(x)的图象必过点(2,2)．
4．函数y＝ax－a(a>0，且a≠1)的图象可能是( )
答案 C
5．函数y＝ 的定义域是________．
解析 要使该函数有意义，则解得x>0，所以定义域为(0，＋∞)．
答案 (0，＋∞)
6．若指数函数f(x)＝(a－2)x为减函数，则实数a的取值范围为________．
解析 ∵f(x)＝(a－2)x为减函数，∴00，则下列等式成立的是( )
A．(－2)－2＝4 B．2a－3＝
C．(－2)0＝－1 D．(a)4＝
解析 选D 对于A，(－2)－2＝，故A错误；对于B，2a－3＝，故B错误；对于C，(－2)0＝1，故C错误；对于D，(a)4＝，故D正确．
2．化简 ＝________.
解析 原式＝＝a·b＝.
答案
3．化简 0＋2－2×－(0.01)0.5＝________.
解析 原式＝1＋×－＝1＋×－＝1＋－＝.
答案
[怎样快解·准解]
1．指数幂运算的一般原则
(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．
(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．
2．易错提醒
(1)分数指数幂中的指数不能随便约分，例如要将a写成a时必须认真考查a的取值才能决定，如(－1)＝＝1，而(－1)＝无意义．
(2)结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又有负分数指数幂，形式力求统一．
指数函数的图象是指数函数的基础，研究指数函数的关键是研究其图象.高考以考查其图象辨析及应用为主，以选择题、填空题的形式考查，属于基础题.
[典题领悟]
1.函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )
A．a>1，b<0
B．a>1，b>0
C．00
D．01时，指数函数的图象呈上升趋势；当01时，代入不成立．故a的值为.
答案
3．若偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f(x－2)>0的解集为________．
解析 ∵f(x)为偶函数，
当x＜0时，f(x)＝f(－x)＝2－x－4.
∴f(x)＝
当f(x－2)＞0时，有或
解得x＞4或x＜0.
∴不等式的解集为{x|x>4或x<0}．
答案 {x|x>4或x<0}
角度(三) 探究指数型函数的性质
4．已知函数f(x)＝.
(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)有最大值3，求a的值．
解 (1)当a＝－1时，f(x)＝－，
令g(x)＝－x2－4x＋3，由于g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝t在R上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．
(2)令g(x)＝ax2－4x＋3，则f(x)＝g(x)，
由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值－1，
因此必有
解得a＝1，即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.
[题“根”探求]
看个性
角度(一)是利用指数函数的性质比较幂值的大小，其方法是 先看能否化成同底数，能化成同底数的先化成同底数幂再利用单调性比较大小，不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小；
角度(二)是利用指数函数的性质解简单的指数方程或不等式，其方法是 先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不等式求解；
角度(三)是指数函数性质的综合应用，其方法是 首先判断指数型函数的性质，再利用其性质求解
找共性
以上问题都是指数型函数问题，关键应判断其单调性，对于形如y＝af(x)的函数的单调性，它的单调区间与f(x)的单调区间有关
(1)若a>1，函数f(x)的单调增(减)区间即函数y＝af(x)的单调增(减)区间；
(2)若01，所以b0时，f(x)＝1－2－x，－f(x)＝2－x－1，此时－x<0，则f(－x)＝2－x－1＝－f(x)；当x<0时，f(x)＝2x－1，－f(x)＝1－2x，此时－x>0，则f(－x)＝1－2－(－x)＝1－2x＝－f(x)．即函数f(x)是奇函数，且单调递增，故选C.
★7．若函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)的图象经过点A，则f(－1)＝________.
解析 依题意可知a2＝，解得a＝，
所以f(x)＝x，
所以f(－1)＝－1＝.
答案
★8．若函数f(x)＝ax－1(a＞0，且a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a＝________.
解析 当a＞1时，f(x)＝ax－1在[0,2]上为增函数，则a2－1＝2，所以a＝±.又因为a＞1，所以a＝.
当0＜a＜1时，f(x)＝ax－1在[0,2]上为减函数，又因为f(0)＝0≠2，所以0＜a＜1不成立．
综上可知，a＝.
答案
9．不等式2>x＋4的解集为________．
解析 不等式2>x＋4可化为 >x＋4，等价于x2－2x0，且a≠1，若函数y＝|ax－2|与y＝3a的图象有两个交点，则实数a的取值范围是________．
解析 ①当01时，作出函数y＝|ax－2|的图象如图(2)，若直线y＝3a与函数y＝|ax－2|(a>1)的图象有两个交点，则由图象可知0<3a<2，此时无解．
所以实数a的取值范围是.
答案
6．已知函数f(x)＝|x|－a.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)的最大值是，求a的值．
解 (1)令t＝|x|－a，则f(x)＝t，不论a取何值，t在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，
又y＝t是单调递减的，
所以f(x)的单调递增区间是(－∞，0]，
单调递减区间是[0，＋∞)．
(2)由于f(x)的最大值是，
且＝－2，
所以g(x)＝|x|－a应该有最小值－2，
从而a＝2.
★7．已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常数且a>0，a≠1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若不等式x＋x－m≥0在x∈(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围．
解 (1)∵f(x)＝b·ax的图象过点A(1,6)，B(3,24)，
∴
②÷①得a2＝4，又a>0且a≠1，
∴a＝2，b＝3，
∴f(x)＝3·2x.
(2)由(1)知x＋x－m≥0在(－∞，1]上恒成立可转化为m≤x＋x在(－∞，1]上恒成立．
令g(x)＝x＋x，
则g(x)在(－∞，1]上单调递减，
∴m≤g(x)min＝g(1)＝＋＝，
故所求实数m的取值范围是.
C级——重难题目自主选做
★1．(2017·全国卷Ⅰ)设x，y， 为正数，且2x＝3y＝5 ，则( )
A．2x<3y<5 B．5 <2x<3y
C．3y<5 <2x D．3y<2x<5
解析 选D 设2x＝3y＝5 ＝ >1，
∴x＝log2 ，y＝log3 ， ＝log5 .
∵2x－3y＝2log2 －3log3 ＝－
＝＝＝>0，
∴2x>3y；
∵3y－5 ＝3log3 －5log5 ＝－
＝＝＝<0，
∴3y<5 ；
∵2x－5 ＝2log2 －5log5 ＝－
＝＝＝<0，
∴5 >2x.∴5 >2x>3y.
2．若函数f(x)＝2|x＋a|(a∈R)满足f(1－x)＝f(1＋x)，f(x)在区间[m，n]上的最大值记为f(x)max，最小值记为f(x)min，若f(x)max－f(x)min＝3，则n－m的取值范围是________．
解析 因为函数f(x)＝2|x＋a|(a∈R)满足f(1－x)＝f(1＋x)，所以f(x) 的图象关于直线x＝1对称，
所以a＝－1，
所以f(x)＝2|x－1|.
作出函数y＝f(x)的图象如图所示．
当m＜n≤1或1≤m＜n时，离对称轴越远，m与n差越小，由y＝2x－1与y＝21－x的性质知极限值为0.当m＜1＜n时，函数f(x)在区间[m，n]上的最大值与最小值的差为f(x)max－f(x)min＝2|±2|－20＝3，则n－m取得最大值是2－(－2)＝4，所以n－m的取值范围是(0,4]．
答案 (0,4]
(二)重点高中适用
A级——保分题目巧做快做
1．化简4a·b÷的结果为( )
A．－ B．－
C．－ D．－6ab
解析 选C 原式＝4÷ab
＝－6ab－1＝－，故选C.
★2.函数y＝的值域是( )
A．(－∞，4) B．(0，＋∞)
C．(0,4] D．[4，＋∞)
解析 选C 设t＝x2＋2x－1，则y＝t.
因为0＜＜1，所以y＝t为关于t的减函数．
因为t＝(x＋1)2－2≥－2，
所以0＜y＝t≤－2＝4，
故所求函数的值域为(0,4]．
★3.若函数f(x)＝2x＋b－1(b∈R)的图象不经过第二象限，则b的取值范围为( )
A．[1，＋∞) B．(－∞，1]
C．[0，＋∞) D．(－∞，0]
解析 选D 因为当x<0时，y＝2x∈(0,1)．
又函数f(x)＝2x＋b－1(b∈R)的图象不经过第二象限，
则有b－1≤－1，解得b≤0.故选D.
★4.(2018·湖北四市联考)已知函数f(x)＝2x－2，则函数y＝|f(x)|的图象可能是( )
解析 选B y＝|f(x)|＝|2x－2|＝易知函数y＝|f(x)|的图象的分段点是x＝1，且过点(1,0)，(0,1)，|f(x)|≥0.又|f(x)|在(－∞，1)上单调递减，故选B.
5．已知函数f(x)＝的值域是[－8,1]，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－3] B．[－3,0)
C．[－3，－1] D．{－3}
解析 选B 当0≤x≤4时，f(x)∈[－8,1]，当a≤x＜0时，f(x)∈，所以－，－1[－8,1]，即－8≤－＜－1，即－3≤a＜0.所以实数a的取值范围是[－3,0)．
★6.不等式2>x＋4的解集为________．
解析 不等式2>x＋4可化为>x＋4，等价于x2－2x0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式
性质
对数式与指数式的互化 ax＝N⇔x＝logaN
loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N
运算法则
loga(M·N)＝logaM＋logaN
a>0，且a≠1，M>0，N>0
loga＝logaM－logaN
logaMn＝nlogaM(n∈R)
换底公式
换底公式 logab＝(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)
2.对数函数的图象与性质
函数
y＝logax(a＞0，且a≠1)
图象
a＞1
0＜a＜1
图象特征
在y轴右侧，过定点(1,0)
当x逐渐增大时，图象是上升的
当x逐渐增大时，图象是下降的
性质
定义域
(0，＋∞)
值域
R
单调性
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
函数值变化规律
当x＝1时，y＝0
当x>1时，y>0；当01时，y<0；当00
1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝log2(x＋1)是对数函数．( )
(2)log2x2＝2log2x.( )
(3)当x＞1时，logax＞0.( )
(4)函数y＝ln与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．( )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
2．已知a>0，a≠1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象可能是( )
解析 选B 函数y＝loga(－x)的图象与y＝logax的图象关于y轴对称，符合条件的只有B.
3．函数y＝lg|x|( )
A．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增
B．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减
C．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减
D．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增
解析 选B y＝lg|x|是偶函数，由图象知在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．
4．设a＝log2π，b＝logπ，c＝π－2，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a
解析 选C 因为a＝log2π＞1，b＝logπ＜0，c＝π－2＝＞0，但c＜1，所以b＜c＜a.
5．函数y＝的定义域为______．
解析 要使函数有意义，须满足
解得0时，g(x)的图象，然后根据g(x)的图象关于y轴对称画出x<0时g(x)的图象，最后由函数g(x)的图象向上整体平移一个单位即得f(x)的图象，结合图象知选A.
2．已知函数f(x)＝关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________．
解析
问题等价于函数y＝f(x)与y＝－x＋a的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a＞1.
答案 (1，＋∞)
[解题师说]
1．准确审题是关键
(1)要识别对数型函数f(x)＝loga|x|＋1的图象，一般从最基本的对数函数y＝logax的图象入手，抓住图象上的三个关键点(a,1)，(1,0)，，函数的定义域及单调性，并利用平移、对称变换等手段得到所要求的函数图象，特别地要注意a＞1和0＜a＜1的两种不同情况．
(2)方程f(x)＋x－a＝0有且只有一实根，采用直接求解无法得到，常把这种问题转化为y＝f(x)与y＝－x＋a两函数图象的关系问题，利用数形结合法求解．
2．利用结论是捷径
对数函数图象的特征
(1)底数与1的大小关系决定了图象的升降，即a＞1时，图象上升；0＜a＜1时，图象下降．
(2)对数函数在同一直角坐标系中的图象如图，其中图象的相对位置与底数大小有关，图中0＜c＜d＜1＜a＜b.
在x轴上侧，图象从左到右相应的底数由小变大；
在x轴下侧，图象从右到左相应的底数由小变大．
(无论在x轴的上侧还是下侧，底数都按顺时针方向变大)
[冲关演练]
1．函数f(x)＝ln|x－1|的图象大致是( )
解析 选B 当x>1时，f(x)＝ln(x－1)，
又f(x)的图象关于x＝1对称，故选B.
2.已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a＞0，且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是( )
A．0＜a－1＜b＜1 B．0＜b＜a－1＜1
C．0＜b－1＜a＜1 D．0＜a－1＜b－1＜1
解析 选A 令g(x)＝2x＋b－1，这是一个增函数，
而由图象可知函数f(x)＝loga(g(x))是单调递增的，所以必有a＞1.
又由函数图象与y轴交点的纵坐标介于－1和0之间，
即－1＜f(0)＜0，所以－1＜logab＜0，
故a－1＜b＜1，因此0＜a－1＜b＜1.
高考对对数函数的性质及其应用的考查，多以选择题或填空题的形式考查，难度低、中、高档都有.,常见的命题角度有
(1)比较对数值的大小；
(2)简单对数不等式的解法；
(3)对数函数的综合问题.
[题点全练]
角度(一) 比较对数值的大小
1．已知a＝log29－log2，b＝1＋log2，c＝＋log2，则a，b，c的大小关系为( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>a>b D．c>b>a
解析 选B a＝log29－log2＝log23，
b＝1＋log2＝log22，c＝＋log2＝log2，
因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，
且2>3>，所以b>a>c.
[题型技法]
比较对数值大小的方法
若底数为同一常数
可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论
若底数不同，真数相同
可以先用换底公式化为同底后，再进行比较
若底数与真数都不同
常借助1,0等中间量进行比较
角度(二) 简单对数不等式的解法
2．已知不等式logx(2x2＋1)b>c B．b>a>c
C．c>a>b D．b>c>a
解析 选A 由对数函数的性质可得a＝log0.30.2>log0.30.3＝1，b＝logπ3∈(0,1)，c＝log0.3e<0，所以a>b>c.
2．设函数f(x)＝则满足不等式f(x)≤2的实数x的取值集合为________．
解析 原不等式等价于或解得≤x≤1或1＜x≤4，即实数x的取值集合为.
答案
3．已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a＞0，且a≠1)，若f(x)＞1在区间[1,2]上恒成立，则实数a的取值范围为________．
解析 当a＞1时，f(x)＝loga(8－ax)在[1,2]上是减函数，
由f(x)＞1在[1,2]上恒成立，则f(x)min＝loga(8－2a)＞1，
解得1＜a＜，当0＜a＜1时，f(x)在[1,2]上是增函数，
由f(x)＞1在[1,2]上恒成立，则f(x)min＝loga(8－a)＞1，
且8－2a＞0，故不存在实数a满足题意．
综上可知，实数a的取值范围是.
答案
(一)普通高中适用
A级——基础小题练熟练快
★1．函数y＝的定义域是( )
A．[1,2] B．[1,2)
C. D.
解析 选C 由
即解得x≥.
2．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝( )
A．log2x B.
C．logx D．2x－2
解析 选A 由题意知f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，
∵f(2)＝1，∴loga2＝1，∴a＝2.
∴f(x)＝log2x.
★3．如果logxy>1.
★4．若函数y＝a|x|(a＞0，且a≠1)的值域为{y|0＜y≤1}，则函数y＝loga|x|的图象大致是( )
解析 选A 由函数y＝a|x|(a＞0，且a≠1)的值域为{y|0＜y≤1}，知0＜a＜1，由此可知y＝loga|x|的图象大致是A.
★5．设函数f(x)＝loga|x|(a>0，且a≠1)在(－∞，0)上单调递增，则f(a＋1)与f(2)的大小关系是( )
A．f(a＋1)>f(2) B．f(a＋1)f(2)．
★6．(2018·郑州模拟)已知函数f(x)＝lg，若f(a)＝，则f(－a)＝( )
A．2 B．－2
C. D．－
解析 选D ∵f(x)＝lg的定义域为－1c.
★2.已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )
A．a>1，c>1 B．a>1,01 D．00，所以x＞0或x＜－.当x∈时，M∈(1，＋∞)，f(x)＞0，所以a＞1，又M＝x2＋x图象的对称轴为x＝－，且开口向上，故由复合函数的单调性知，函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．
4．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝________.
解析 因为2a＝5b＝m，
所以a＝log2m，b＝log5m，
所以＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2，所以m2＝10，m＝.
答案
5．设函数f(x)＝若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是________________．
解析 由f(a)＞f(－a)得
或
即或
解得a＞1或－1＜a＜0.
答案 (－1,0)∪(1，＋∞)
★6．设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a＞0，且a≠1)，且f(1)＝2.
(1)求a的值及f(x)的定义域；
(2)求f(x)在区间上的最大值．
解 (1)∵f(1)＝2，∴loga4＝2(a＞0，且a≠1)，
∴a＝2.
由得－1＜x＜3，
∴函数f(x)的定义域为(－1,3)．
(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)
＝log2[(1＋x)(3－x)]＝log2[－(x－1)2＋4]，
∴当x∈(－1,1]时，f(x)是增函数；
当x∈(1,3)时，f(x)是减函数，
故函数f(x)在上的最大值是f(1)＝log24＝2.
7．已知函数f(x)＝loga(a2x＋t)，其中a＞0且a≠1.
(1)当a＝2时，若f(x)＜x无解，求t的取值范围；
(2)若存在实数m，n(m＜n)，使得x∈[m，n]时，函数f(x)的值域也为[m，n]，求t的取值范围．
解 (1)∵log2(22x＋t)＜x＝log22x，∴22x＋t＜2x无解，等价于22x＋t≥2x恒成立，即t≥－22x＋2x＝g(x)恒成立，即t≥g(x)max，
∵g(x)＝－22x＋2x＝－2＋，
∴当2x＝，即x＝－1时，g(x)取得最大值，
∴t≥，故t的取值范围为.
(2)由题意知f(x)＝loga(a2x＋t)在[m，n]上是单调增函数，
∴即问题等价于关于 的方程a2 －a ＋t＝0有两个不相等的实根，令a ＝u＞0，则问题等价于关于u的二次方程u2－u＋t＝0在u∈(0，＋∞)上有两个不相等的实根，即即得0＜t＜.
∴t的取值范围为.
C级——重难题目自主选做
★1．(2018·广东省级名校模拟)已知函数f(x)＝(ex－e－x)x，f(log5x)＋f(logx)≤2f(1)，则x的取值范围是( )
A. B．[1,5]
C. D.∪[5，＋∞)
解析 选C ∵f(x)＝(ex－e－x)x，
∴f(－x)＝－x(e－x－ex)＝(ex－e－x)x＝f(x)，
∴函数f(x)是偶函数．
∵f′(x)＝(ex－e－x)＋x(ex＋e－x)＞0在(0，＋∞)上恒成立．
∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
∵f(log5x)＋f(logx)≤2f(1)，
∴2f(log5x)≤2f(1)，即f(log5x)≤f(1)，
∴|log5x|≤1，∴≤x≤5.故选C.
2．(2018·沈阳质检)已知函数f(x)＝|log3x|，实数m，n满足0＜m＜n，且f(m)＝f(n)，若f(x)在[m2，n]上的最大值为2，则＝________.
解析 f(x)＝|log3x|＝所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，由0＜m＜n且f(m)＝f(n)，可得则所以0＜m2＜m＜1，则f(x)在[m2,1)上单调递减，在(1，n]上单调递增，所以f(m2)＞f(m)＝f(n)，则f(x)在[m2，n]上的最大值为f(m2)＝－log3m2＝2，解得m＝，则n＝3，所以＝9.
答案 9
(二)重点高中适用
A级——保分题目巧做快做
1．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝( )
A．log2x B.
C．logx D．2x－2
解析 选A 由题意知f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，
∵f(2)＝1，∴loga2＝1，∴a＝2.∴f(x)＝log2x.
★2.若函数f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上递减，则a的取值范围为( )
A．[1,2) B．[1,2]
C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)
解析 选A 令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，对称轴为x＝a，要使函数在(－∞，1]上递减，则有即解得1≤a<2，即a∈[1,2)．
★3.(2018·广东韶关南雄模拟)函数f(x)＝xa满足f(2)＝4，那么函数g(x)＝|loga(x＋1)|的图象大致为( )
解析 选C ∵f(2)＝4，∴2a＝4，解得a＝2，∴g(x)＝|log2(x＋1)|＝∴当x≥0时，函数g(x)单调递增，且g(0)＝0；当－1c.
★5.已知函数f(x)＝loga(2x－a)在区间上恒有f(x)>0，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析 选A 当00，即0<－a<1，
解得1时，函数f(x)在区间上是增函数，
所以loga(1－a)>0，
即1－a>1，解得a<0，此时无解．
综上所述，实数a的取值范围是.
6．已知函数f(x)＝loga(x＋b)(a＞0，且a≠1)的图象过两点(－1,0)和(0,1)，则logba＝________.
解析 f(x)的图象过两点(－1,0)和(0,1)．
则f(－1)＝loga(－1＋b)＝0，且f(0)＝loga(0＋b)＝1，
所以即所以logba＝1.
答案 1
★7.函数f(x)＝log2 ·log(2x)的最小值为________．
解析 依题意得f(x)＝log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log2x＝2－≥－，当且仅当log2x＝－，即x＝时等号成立，因此函数f(x)的最小值为－.
答案 －
8．设函数f(x)＝若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是________________．
解析 由f(a)＞f(－a)得
或
即或
解得a＞1或－1＜a＜0.
答案 (－1,0)∪(1，＋∞)
★9.已知函数f(x)＝log2(a为常数)是奇函数．
(1)求a的值与函数f(x)的定义域；
(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log2(x－1)>m恒成立，求实数m的取值范围．
解 (1)∵函数f(x)＝log2是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
∴log2＝－log2，
即log2＝log2，
∴a＝1，f(x)＝log2.
令>0，得或
解得x<－1或x>1.
∴函数f(x)的定义域为{x|x<－1或x>1}．
(2)∵f(x)＋log2(x－1)＝log2(1＋x)，
当x>1时，x＋1>2，∴log2(1＋x)>log22＝1.
∵当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log2(x－1)>m恒成立，
∴m≤1.
∴m的取值范围是(－∞，1]．
★10.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝logx.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)解不等式f(x2－1)>－2.
解 (1)当x<0时，－x>0，则f(－x)＝log(－x)．
因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)．
所以函数f(x)的解析式为
f(x)＝
(2)因为f(4)＝log4＝－2，f(x)是偶函数，
所以不等式f(x2－1)>－2可化为f(|x2－1|)>f(4)．
又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
所以|x2－1|<4，解得－0，所以x＞0或x＜－.当x∈时，M∈(1，＋∞)，
f(x)＞0，所以a＞1，又M＝x2＋x图象的对称轴为x＝－，且开口向上，故由复合函数的单调性知，函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．
★2.设方程10x＝|lg(－x)|的两个根分别为x1，x2，则( )
A．x1x2＜0 B．x1x2＝0
C．x1x2＞1 D．0＜x1x2＜1
解析 选D 作出y＝10x与y＝|lg(－x)|的大致图象如图所示．
显然x1＜0，x2＜0.
不妨设x1＜x2，
则x1＜－1，－1＜x2＜0，
所以10x1＝lg(－x1)，
10x2＝－lg(－x2)，
此时10x1＜10x2，即lg(－x1)＜－lg(－x2)，
由此得lg(x1x2)＜0，所以0＜x1x2＜1.
3．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝________.
解析 因为2a＝5b＝m，
所以a＝log2m，b＝log5m，
所以＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2，所以m2＝10，m＝.
答案
4．(2018·沈阳质检)已知函数f(x)＝|log 3x|，实数m，n满足0＜m＜n，且f(m)＝f(n)，若f(x)在[m2，n]上的最大值为2，则＝________.
解析 f(x)＝|log3x|＝所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，由0＜m＜n且f(m)＝f(n)，可得则
所以0＜m2＜m＜1，则f(x)在[m2,1)上单调递减，在(1，n]上单调递增，所以f(m2)＞f(m)＝f(n)，则f(x)在[m2，n]上的最大值为f(m2)＝－log3m2＝2，解得m＝，则n＝3，所以＝9.
答案 9
5．已知函数f(x)＝loga(a2x＋t)，其中a＞0且a≠1.
(1)当a＝2时，若f(x)＜x无解，求t的取值范围；
(2)若存在实数m，n(m＜n)，使得x∈[m，n]时，函数f(x)的值域也为[m，n]，求t的取值范围．
解 (1)∵log2(22x＋t)＜x＝log22x，∴22x＋t＜2x无解，等价于22x＋t≥2x恒成立，即t≥－22x＋2x＝g(x)恒成立，即t≥g(x)max，∵g(x)＝－22x＋2x＝－2＋，
∴当2x＝，即x＝－1时，g(x)取得最大值，
∴t≥，故t的取值范围是.
(2)由题意知f(x)＝loga(a2x＋t)在[m，n]上是单调增函数，
∴即问题等价于关于 的方程a2 －a ＋t＝0有两个不相等的实根，令a ＝u＞0，则问题等价于关于u的二次方程u2－u＋t＝0在u∈(0，＋∞)上有两个不相等的实根，即即得0＜t＜.
∴t的取值范围为.
★6.已知函数f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x.
(1)当x∈[1,4]时，求函数h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)的值域；
(2)如果对任意的x∈[1,4]，不等式f(x2)·f()> ·g(x)恒成立，求实数 的取值范围．
解 (1)h(x)＝(4－2log2x)·log2x＝－2(log2x－1)2＋2，
因为x∈[1,4]，所以log2x∈[0,2]，
故函数h(x)的值域为[0,2]．
(2)由f(x2)·f()> ·g(x)，
得(3－4log2x)(3－log2x)> ·log2x，
令t＝log2x，因为x∈[1,4]，所以t＝log2x∈[0,2]，
所以(3－4t)(3－t)> ·t对一切t∈[0,2]恒成立，
①当t＝0时， ∈R；
②当t∈(0,2]时， <恒成立，
即 <4t＋－15，
因为4t＋≥12，当且仅当4t＝，即t＝时取等号，
所以4t＋－15的最小值为－3.所以 <－3.
综上，实数 的取值范围为(－∞，－3)．
第八节函数与方程
1．函数的零点
函数零点的概念
对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点
方程的根与函数零点的关系
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点
函数零点的存在性定理
函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，若f(a)·f(b)＜0，则y＝f(x)在(a，b)内存在零点
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
与x轴的交点
(x1,0)，(x2,0)
(x1,0)
无
零点个数
0
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．( )
(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.( )
(3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．( )
(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac＜0时没有零点．( )
(5)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)＜0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．( )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√
2．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
y
6
m
－4
－6
－6
－4
n
6
可以判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在的区间是( )
A．(－3，－1)和(2,4) B．(－3，－1)和(－1,1)
C．(－1,1)和(1,2) D．(－1,3)和(4，＋∞)
解析 选A 由表格可得二次函数f(x)的对称轴为x＝，a＞0.由f(－3)·f(－1)＜0，f(2)·f
(4)＜0，可得f(x)的零点所在区间为(－3，－1)和(2,4)，即方程ax2＋bx＋c＝0的两个根所在区间是(－3，－1)和(2,4)．
3．函数f(x)＝ln －的零点所在的大致区间是( )
A．(1,2) B．(2,3)
C.和(3,4) D．(4，＋∞)
解析 选B 易知f(x)为增函数，由f(2)＝ln 2－1＜0，f(3)＝ln 3－＞0，得f(2)·f(3)＜0，故函数f(x)的零点所在的大致区间为(2,3)．
4．函数f(x)＝x－x的零点个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析 选B 函数f(x)＝x－x的零点个数是方程x－x＝0的解的个数，即方程x＝x的解的个数，也就是函数y＝x与y＝x的图象的交点个数，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图所示，可得交点个数为1.
5．若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是________．
解析 由题意知2a＋b＝0，即b＝－2a.
令g(x)＝bx2－ax＝0，得x＝0或x＝＝－.
答案 0，－
6．若函数f(x)＝ax＋1－2a在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是________．
解析 当a＝0时，函数f(x)＝1在(－1,1)上没有零点，所以a≠0.所以函数f(x)是单调函数，要满足题意，只需f(－1)f(1)<0，即(－3a＋1)·(1－a)<0，所以(a－1)·(3a－1)<0，解得0，
∴f(x)的零点所在区间为(1,2)，故选B.
2．设f(x)＝ln ＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
解析 选B 函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)＝ln ，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的范围．作出两函数图象如图所示，可知f(x)的零点所在的区间为(1,2)．故选B.
3．若x0是方程x＝x的解，则x0属于区间( )
A. B.
C. D.
解析 选C 令g(x)＝x，f(x)＝x，
则g(0)＝1＞f(0)＝0，g＝＜f＝，g＝＞f＝，
结合图象可得＜x0＜.
4．函数f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上______(填“存在”或“不存在”)零点．
解析 法一 ∵f(1)＝12－3×1－18＝－20<0，
f(8)＝82－3×8－18＝22>0，
∴f(1)·f(8)<0，
又f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]的图象是连续的，
故f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上存在零点．
法二 令f(x)＝0，得x2－3x－18＝0，
∴(x－6)(x＋3)＝0.
∵x＝6∈[1,8]，x＝－3∉[1,8]，
∴f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上存在零点．
答案 存在
[怎样快解·准解]
1．函数零点所在区间的判断方法及适合题型
方法
解读
适合题型
定理法
利用函数零点的存在性定理进行判断
能够容易判断区间端点值所对应函数值的正负．(如第1,4题)
图象法
画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断
容易画出函数的图象．(如第2,3题)
解方程法
可先解对应方程，然后看所求的根是否落在给定区间上
当对应方程f(x)＝0易解时．(如第4题)
2．利用函数零点存在性定理解题的步骤
高考中对函数零点个数的考查主要以选择题和填空题形式出现，体现了数形结合思想的运用，难度不大.
[典题领悟]
1．已知函数f(x)＝则函数y＝f(f(x))＋1的零点的个数是( )
A．4 B．3
C．2 D．1
解析 选A 由f(f(x))＋1＝0，得f(f(x))＝－1，
由f(－2)＝f＝－1，得f(x)＝－2或f(x)＝.
若f(x)＝－2，则x＝－3或x＝；
若f(x)＝，则x＝－或x＝.
综上可得函数y＝f(f(x))＋1的零点的个数是4，故选A.
2．已知函数f(x)＝函数g(x)＝3－f(2－x)，则函数y＝f(x)－g(x)的零点个数为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析 选A 由已知条件可得g(x)＝3－f(2－x)＝函数y＝f(x)－g(x)的零点个数即为函数y＝f(x)与y＝g(x)图象的交点个数，在平面直角坐标系内作出函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象如图所示．由图可知函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象有2个交点，所以函数y＝f(x)－g(x)的零点个数为2，选A.
[解题师说]
掌握判断函数零点个数的3种方法
(1)解方程法 若对应方程f(x)＝0可解，通过解方程，则方程有几个解就对应有几个零点．(如典题领悟第1题)
(2)函数零点的存在性定理法 利用定理不仅要判断函数图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数的零点个数．
(3)数形结合法 合理转化为两个函数的图象(易画出图象)的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数．(如典题领悟第2题)
[冲关演练]
1．函数f(x)＝|x－2|－ln 在定义域内的零点的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析 选C 由题意可知f(x)的定义域为(0，＋∞)．在同一平面直角坐标系中作出函数y＝|x－2|(x>0)，y＝ln (x>0)的图象如图所示．
由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.
2．函数f(x)＝的零点个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析 选C 当x＜0时，令f(x)＝0，即x2＋2x＝0，解得x＝－2或x＝0(舍去)．所以当
x＜0时，只有一个零点；当x≥0时，f(x)＝ex－x－2，而f′(x)＝ex－1，显然f′(x)≥0，所以f(x)在[0，＋∞)上单调递增，又f(0)＝e0－0－2＝－1＜0，f(2)＝e2－4＞0，所以当x≥0时，函数f(x)有且只有一个零点．综上，函数f(x)只有两个零点，故选C.
函数零点的应用主要是利用函数零点的存在性定理求相关参数值或范围.多以选择题、填空题的形式出现，体现了化归的数学思想，题目难度较大.
[典题领悟]
已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝a|x－2|－a，其中a＞0，且为
❶ ❷
常数．若函数y＝f(f(x))有10个零点，则a的取值范围是________．
❸
[学审题]
①可知函数f(x)的图象关于y轴对称；
②由f(x)＝0，得x＝1或x＝3；
③等价于函数y＝f(x)的图象与直线y＝±1和y＝±3共有10个交点．
解析 当x≥0时，令f(x)＝0，得|x－2|＝1，
即x＝1或x＝3.
因为f(x)是定义在R上的偶函数，
所以f(x)的零点为x＝±1或x＝±3.
令f(f(x))＝0，
则f(x)＝±1或f(x)＝±3.
因为函数y＝f(f(x))有10个零点，
所以函数y＝f(x)的图象与直线y＝±1和y＝±3共有10个交点．由图可知1＜a＜3.
答案 (1,3)
[解题师说]
利用函数零点求参数范围的思路方法及步骤
(1)常规思路
已知函数的零点个数，一般利用数形结合思想转化为两个函数图象的交点个数，这时图形一定要准确，这种数形结合的方法能够帮助我们直观解题．
(2)常用方法
(3)一般步骤
[冲关演练]
1．若函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是( )
A．(1,3) B．(1,2)
C．(0,3) D．(0,2)
解析 选C 因为函数f(x)＝2x－－a在区间(1,2)上单调递增，又函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则有f(1)·f(2)<0，所以(－a)(4－1－a)<0，
即a(a－3)<0，解得00，f(2)＝3－log22＝2>0，f(4)＝－log24＝－<0，所以函数f(x)的零点所在区间为(2,4)，故选C.
4．已知函数y＝f(x)的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表
x
1
2
3
4
5
6
y
124.4
33
－74
24.5
－36.7
－123.6
则函数y＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
解析 选B 依题意，f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0，根据零点存在性定理可知，f(x)在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)上均至少含有一个零点，故函数y＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有3个．
★5．已知实数a＞1,0＜b＜1，则函数f(x)＝ax＋x－b的零点所在的区间是( )
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
解析 选B 因为a＞1,0＜b＜1，所以f(x)＝ax＋x－b在R上是单调增函数，所以f(－1)＝－1－b＜0，f(0)＝1－b＞0，由零点存在性定理可知，f(x)在区间(－1,0)上存在零点．
★6．已知函数f(x)＝(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－1) B．(－∞，0)
C．(－1,0) D．[－1,0)
解析 选D 当x>0时，f(x)＝3x－1有一个零点x＝，所以只需当x≤0时，ex＋a＝0有一个根即可，即ex＝－a.当x≤0时，ex∈(0,1]，所以－a∈(0,1]，即a∈[－1,0)，故选D.
★7．已知函数f(x)＝＋a的零点为1，则实数a的值为______．
解析 由已知得f(1)＝0，即＋a＝0，解得a＝－.
答案 －
8．函数f(x)＝ex＋x－2的零点有______个．
解析 ∵f(x)在R上单调递增，
又f(0)＝1－2<0，f(1)＝e－>0，
∴函数f(x)有且只有一个零点．
答案 1
9．已知f(x)＝则其零点为________．
解析 当x＞0时，由f(x)＝0，即xln ＝0得ln ＝0，解得x＝1；当x≤0时，由f(x)＝0，即x2－x－2＝0，解得x＝－1或x＝2.因为x≤0，所以x＝－1.
综上，函数的零点为1，－1.
答案 1，－1
★10．设函数y＝x3与y＝x－2的图象的交点为(x0，y0)，若x0∈(n，n＋1)，n∈N，则x0所在的区间是________．
解析 设f(x)＝x3－x－2，则x0是函数f(x
)的零点，在同一平面直角坐标系下作出函数y＝x3与y＝x－2的图象如图所示．因为f(1)＝1－－1＝－1＜0，f(2)＝8－0＝7＞0，所以f(1)·f(2)＜0，所以x0∈(1,2)．
答案 (1,2)
B级——中档题目练通抓牢
★1．已知函数f(x)＝则函数y＝f(x)＋x－4的零点个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 选B 函数y＝f(x)＋x－4的零点个数，即函数y＝－x＋4与y＝f(x)的图象的交点的个数．如图所示，函数y＝－x＋4与y＝f(x)的图象有两个交点，故函数y＝f(x)＋x－4的零点有2个．故选B.
2．(2018·云南第一次统一检测)已知a，b，c，d都是常数，a＞b，c＞d.若f(x)＝2 018－(x－a)(x－b)的零点为c，d，则下列不等式正确的是( )
A．a＞c＞b＞d B．a＞b＞c＞d
C．c＞d＞a＞b D．c＞a＞b＞d
解析 选D f(x)＝2 018－(x－a)·(x－b)＝－x2＋(a＋b)x－ab＋2 018，又f(a)＝f(b)＝2 018，c，d为函数f(x)的零点，且a＞b，c＞d，所以可在平面直角坐标系中作出函数f(x)的大致图象如图所示，由图可知c＞a＞b＞d，故选D.
★3．(2017·山东高考)已知当x∈[0,1]时，函数y＝(mx－1)2的图象与y＝＋m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是( )
A．(0,1]∪[2，＋∞) B．(0,1]∪[3，＋∞)
C．(0， ]∪[2，＋∞) D．(0， ]∪[3，＋∞)
解析 选B 在同一平面直角坐标系中，分别作出函数f(x)＝(mx－1)2＝m22
与g(x)＝＋m的大致图象．
分两种情形
(1)当01时，0<<1，如图②，要使f(x)与g(x)的图象在[0,1]上只有一个交点，只需g(1)≤f(1)，即1＋m≤(m－1)2，解得m≥3或m≤
0(舍去)．
综上所述，m∈(0,1]∪[3，＋∞)．
4．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．
解析 作出f(x)＝的图象如图所示．
由于函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，结合图象得0＜m＜1，即m∈(0,1)．
答案 (0,1)
★5．方程2x＋3x＝ 的解在[1,2)内，则 的取值范围为______．
解析 令函数f(x)＝2x＋3x－ ，
则f(x)在R上是增函数．
当方程2x＋3x＝ 的解在(1,2)内时，f(1)·f(2)<0，
即(5－ )(10－ )<0，
解得5< <10.
当f(1)＝0时， ＝5.
综上， 的取值范围为[5,10)．
答案 [5,10)
6．已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x.
(1)写出函数y＝f(x)的解析式．
(2)若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，求a的取值范围．
解 (1)设x＜0，则－x＞0，
所以f(－x)＝x2＋2x.又因为f(x)是奇函数，
所以f(x)＝－f(－x)＝－x2－2x.
所以f(x)＝
(2)方程f(x)＝a恰有3个不同的解，
即y＝f(x)与y＝a的图象有3个不同的交点．
作出y＝f(x)与y＝a的图象如图所示，故若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，只需－1＜a＜1，
故a的取值范围为(－1,1)．
7．已知二次函数f(x)＝x2＋(2a－1)x＋1－2a，
(1)判断命题 “对于任意的a∈R，方程f(x)＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程；
(2)若y＝f(x)在区间(－1,0)及内各有一个零点，求实数a的取值范围．
解 (1)“对于任意的a∈R，方程f(x)＝1必有实数根”是真命题．依题意，f(x)＝1有实根，即x2＋(2a－1)x－2a＝0有实根，因为Δ＝(2a－1)2＋8a＝(2a＋1)2≥0对于任意的a∈R恒成立，即x2＋(2a－1)x－2a＝0必有实根，从而f(x)＝1必有实根．
(2)依题意，要使y＝f(x)在区间(－1,0)及内各有一个零点，只需即解得＜a＜.
故实数a的取值范围为.
C级——重难题目自主选做
1．(2018·福建宁德一模)已知函数f(x)＝若方程f(f(x))－2＝0恰有三个实数根，则实数 的取值范围是( )
A．[0，＋∞) B．[1,3]
C. D.
解析 选C ∵f(f(x))－2＝0，∴f(f(x))＝2，
∴f(x)＝－1或f(x)＝－( ≠0)．
(1)当 ＝0时，作出函数f(x)的图象如图①所示，
由图象可知f(x)＝－1无解，∴ ＝0不符合题意；
(2)当 ＞0时，作出函数f(x)的图象如图②所示，
由图象可知f(x)＝－1无解且f(x)＝－无解，
即f(f(x))－2＝0无解，不符合题意；
(3)当 ＜0时，作出函数f(x)的图象如图③所示，
由图象可知f(x)＝－1有1个实根，
∵f(f(x))－2＝0有3个实根，∴f(x)＝－有2个实根，
∴1＜－≤3，解得－1＜ ≤－.
综上， 的取值范围是.故选C.
2．已知函数f(x)＝其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则
m的取值范围是________．
解析 函数y＝|x|为偶函数，且左减右增．函数y＝x2－2mx＋4m(x＞m)图象的对称轴为x＝m，且在对称轴右侧单调递增．故当x≤m时函数f(x)先减后增，当x＞m时函数f(x)单调递增，画出函数f(x)的大致图象如图所示，要使f(x)＝b有三个不同的根，则必须满足m＞m2－2m2＋4m，解得m＞3.
答案 (3，＋∞)
(二)重点高中适用
A级——保分题目巧做快做
1．下列函数中，在(－1,1)内有零点且单调递增的是( )
A．y＝logx B．y＝2x－1
C．y＝x2－ D．y＝－x3
解析 选B 函数y＝logx在定义域上单调递减，y＝x2－在(－1,1)上不是单调函数，y＝－x3在定义域上单调递减，均不符合要求．对于y＝2x－1，当x＝0∈(－1,1)时，y＝0且y＝2x－1在R上单调递增．故选B.
2．已知函数y＝f(x)的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表
x
1
2
3
4
5
6
y
124.4
33
－74
24.5
－36.7
－123.6
则函数y＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
解析 选B 依题意，f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0，根据零点存在性定理可知，f(x)在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)上均至少含有一个零点，故函数y＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有3个．
★3.(2018·四川双流中学必得分训练)函数f(x)＝2x＋2x的零点所处的区间是( )
A．[－2，－1] B．[－1,0]
C．[0,1] D．[1,2]
解析 选B f(－2)＝2－2＋2×(－2)<0，f(－1)＝2－1＋2×(－1)<0，f(0)＝20＋0>0，由零点存在性定理知，函数f(x)的零点在区间[－1,0]上．故选B.
★4.(2018·甘肃天水一中月考)已知函数f(x)＝ln －ax2＋ax恰有两个零点，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，0) B．(0，＋∞)
C．(0,1)∪(1，＋∞) D．(－∞，0)∪{1}
解析 选C 由题意，显然x＝1是函数f(x)的一个零点，取a＝－1，则f(x)＝ln ＋x2－x，f′(x)＝＝>0恒成立．则f(x)仅有一个零点，不符合题意，排除A、D；取a＝1，则f(x)＝ln －x2＋x，f′(x)＝＝，令f′(x)＝0，得x＝1，则f(x)在(0,1)上递增，在(1，＋∞)上递减，f(x)max＝f(1)＝0，即f(x)仅有一个零点，不符合题意，排除B，故选C.
5．(2018·云南第一次统一检测)已知a，b，c，d都是常数，a＞b，c＞d.若f(x)＝2 018－(x－a)(x－b)的零点为c，d，则下列不等式正确的是( )
A．a＞c＞b＞d B．a＞b＞c＞d
C．c＞d＞a＞b D．c＞a＞b＞d
解析 选D f(x)＝2 018－(x－a)·(x－b)＝－x2＋(a＋b)x－ab＋2 018，又f(a)＝f(b)＝2 018，c，d为函数f(x)的零点，且a＞b，c＞d，所以可在平面直角坐标系中作出函数f(x)的大致图象如图所示，由图可知c＞a＞b＞d，故选D.
6．函数f(x)＝ex＋x－2的零点有______个．
解析 ∵f(x)在R上单调递增，
又f(0)＝1－2<0，f(1)＝e－>0，
∴函数f(x)有且只有一个零点．
答案 1
7．已知f(x)＝则其零点为________．
解析 当x＞0时，由f(x)＝0，即xln ＝0得ln ＝0，解得x＝1；当x≤0时，由f(x)＝0，即x2－x－2＝0，解得x＝－1或x＝2.因为x≤0，所以x＝－1.
综上，函数的零点为1，－1.
答案 1，－1
8．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．
解析 作出f(x)＝的图象如图所示．
由于函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，结合图象得0＜m＜1，即m
∈(0,1)．
答案 (0,1)
★9.已知函数f(x)＝x3－x2＋＋.求证 存在x0∈，使f(x0)＝x0.
证明 令g(x)＝f(x)－x.
∵g(0)＝，g＝f－＝－，
∴g(0)·g<0.
又∵函数g(x)在上是连续不断的曲线，
∴存在x0∈，使g(x0)＝0，即f(x0)＝x0.
10．已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x.
(1)写出函数y＝f(x)的解析式．
(2)若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，求a的取值范围．
解 (1)设x＜0，则－x＞0，
所以f(－x)＝x2＋2x.又因为f(x)是奇函数，
所以f(x)＝－f(－x)＝－x2－2x.
所以f(x)＝
(2)方程f(x)＝a恰有3个不同的解，
即y＝f(x)与y＝a的图象有3个不同的交点．
作出y＝f(x)与y＝a的图象如图所示，故若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，只需－1＜a＜1，
故a的取值范围为(－1,1)．
B级——拔高题目稳做准做
★1.已知x0是f(x)＝x＋的一个零点，x1∈(－∞，x0)，x2∈(x0,0)，则( )
A．f(x1)＜0，f(x2)＜0 B．f(x1)＞0，f(x2)＞0
C．f(x1)＞0，f(x2)＜0 D．f(x1)＜0，f(x2)＞0
解析 选C 因为x0是函数f(x)＝x＋的一个零点，所以f(x0)＝0，因为f(x)＝x＋在(－∞，0)和(0，＋∞)上是单调递减函数，且x1∈(－∞，x0)，x2∈(x0,0)，所以f(x1)＞f(x0)＝0＞f(x2)．
★2.设函数f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝lnx＋x2－3.若实数a，b满足f(a)＝0，g(b)＝0，则( )
A．g(a)<00，所以f(a)＝0时，a∈(0,1)．又g(x)＝ln ＋x2－3在(0，＋∞)上单调递增，且g(1)＝－2<0，所以g(a)<0.
由g(2)＝ln 2＋1>0，所以g(b)＝0时，b∈(1,2)，
又f(1)＝e－1>0，所以f(b)>0.
综上可知，g(a)<00.
∵f(x)min＝f(1)＝－4a＝－4，∴a＝1.
故函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－2x－3.
(2)∵g(x)＝－4ln ＝x－－4ln －2(x>0)，
∴g′(x)＝1＋－＝.
令g′(x)＝0，得x＝1或x＝3.
当x变化时，g′(x)，g(x)的取值变化情况如下
x
(0,1)
1
(1,3)
3
(3，＋∞)
g′(x)
＋
0
－
0
＋
g(x)
极大值
极小值
当00且a≠1)
对数函数模型
f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
幂函数模型
f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
2．三种函数模型的性质
函数
性质
y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1)
y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x的增大，逐渐表现为与y轴平行
随x的增大，逐渐表现为与x轴平行
随n值变化而各有不同
值的比较
存在一个x0，当x>x0时，有logax4，代入B选项，得y＝x2－1≈3，代入D选项，得y＝x3>8；取x＝3，代入A选项，得y＝2x＋1－1＝15，代入B选项，得y＝x2－1＝8，代入D选项，得y＝x3＝27，故选B.
★3.某种商品进价为4元/件，当日均零售价为6元/件，日均销售100件，当单价每增加1元，日均销量减少10件，试计算该商品在销售过程中，若每天固定成本为20元，则预计单价为多少时，利润最大( )
A．8元/件 B．10元/件
C．12元/件 D．14元/件
解析 选B 设单价为6＋x，日均销售量为100－10x，则日利润y＝(6＋x－4)(100－10x)－20＝－10x2＋80x＋180＝－10(x－4)2＋340(0＜x＜10)．∴当x＝4时，ymax＝340.即单价为10元/件，利润最大，故选B.
4．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是( )
A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
D．某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
解析 选D 根据图象知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故选项A错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B错；甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故选项C错；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D对．
★5.(2018·德阳一诊)某工厂产生的废气经过过滤后排放，在过滤过程中，污染物的数量p(单位 毫克/升)不断减少，已知p与时间t(单位 小时)满足p(t)＝p02－，其中p0为t＝0时的污染物数量．又测得当t∈[0,30]时，污染物数量的变化率是－10ln 2，则p(60)＝( )
A．150毫克/升 B．300毫克/升
C．150ln 2毫克/升 D．300ln 2毫克/升
解析 选C 因为当t∈[0,30]时，污染物数量的变化率是－10ln 2，所以－10ln 2＝，所以p0＝600ln 2，因为p(t)＝p02－，所以p(60)＝600ln 2×2－2＝150ln 2(毫克/升)．
6．(2018·西安八校联考)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________m.
解析 设矩形花园的宽为y m，则＝，即y＝40－x
，矩形花园的面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400，当x＝20 m时，面积最大．
答案 20
7．某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额x为8万元时，奖励1万元．销售额x为64万元时，奖励4万元．若公司拟定的奖励模型为y＝alog4x＋b.某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为______万元．
解析 依题意得
即解得a＝2，b＝－2.
∴y＝2log4x－2，当y＝8时，即2log4x－2＝8.
解得x＝1 024(万元)．
答案 1 024
8．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝e t(其中 为常数，t表示时间，单位 小时，y表示病毒个数)，则经过5小时，1个病毒能繁殖为______个．
解析 当t＝0.5时，y＝2，所以2＝e ，
所以 ＝2ln 2，所以y＝e2tln 2，
当t＝5时，y＝e10ln 2＝210＝1 024.
答案 1 024
9．根据市场调查，某商品在最近40天内的价格P与时间t的关系用图1中的一条折线表示，销量Q与时间t的关系用图2中的线段表示(t∈N*)．
(1)分别写出图1表示的价格与时间的函数关系P＝f(t)，图2表示的销售量与时间的函数关系Q＝g(t)(不要求计算过程)；
(2)求这种商品的销售额S(销售量与价格之积)的最大值及此时的时间．
解 (1)P＝f(t)＝
Q＝g(t)＝－＋，t∈[1,40]，t∈N*.
(2)当1≤t＜20时，
S＝＝－2＋.
因为t∈N*，所以t＝10或11时，Smax＝176.
当20≤t≤40时，S＝(－t＋41)＝t2－28t＋为减函数；当t＝20时，Smax
＝161.
而161＜176，所以当t＝10或11时，Smax＝176.
故当t＝10或11时，这种商品的销售额S最大，为176.
10．某厂为巴西奥运会生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)(万元)．当年产量不足80千件时，C(x)＝x2＋10x；当年产量不小于80千件时，C(x)＝51x＋－1 450.每件商品售价为0.05万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．
(1)写出年利润L(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；
(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
解 (1)由题意可得，当0＜x＜80时，L(x)＝0.05×1 000x－，当x≥80时，L(x)＝0.05×1 000x－，
即L(x)＝
(2)当0＜x＜80时，L(x)＝－(x－60)2＋950，
∴当x＝60时，L(x)取得最大值，为950.
当x≥80时，L(x)＝1 200－≤1 200－2 ＝1 200－200＝1 000，∴当且仅当x＝，即x＝100时，L(x)取得最大值，为1 000.
综上所述，当x＝100时，L(x)取得最大值1 000，即年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大．
B级——拔高题目稳做准做
1.如图，矩形ABCD的周长为8，设AB＝x(1≤x≤3)，线段MN的两端点在矩形的边上滑动，且MN＝1，当N沿A→D→C→B→A在矩形的边上滑动一周时，线段MN的中点P所形成的轨迹为G，记G围成的区域的面积为y，则函数y＝f(x)的图象大致为( )
解析 选D 由题意可知点P
的轨迹为图中虚线所示，其中四个角均是半径为的扇形．
因为矩形ABCD的周长为8，AB＝x，则AD＝＝4－x，
所以y＝x(4－x)－＝－(x－2)2＋4－(1≤x≤3)，
显然该函数的图象是二次函数图象的一部分，
且当x＝2时，y＝4－∈(3,4)，故选D.
2．我们定义函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)为“下整函数”；定义y＝{x}({x}表示不小于x的最小整数)为“上整函数”；例如[4.3]＝4，[5]＝5；{4.3}＝5，{5}＝5.某停车场收费标准为每小时2元，即不超过1小时(包括1小时)收费2元，超过一小时，不超过2小时(包括2小时)收费4元，以此类推．若李刚停车时间为x小时，则李刚应付费为(单位 元)( )
A．2[x＋1] B．2([x]＋1)
C．2{x} D．{2x}
解析 选C 如x＝1时，应付费2元，
此时2[x＋1]＝4,2([x]＋1)＝4，排除A、B；
当x＝0.5时，付费为2元，此时{2x}＝1，排除D，
故选C.
3．某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位 元/100 g)与上市时间t(单位 天)的数据如下表
时间t
60
100
180
种植成本Q
116
84
116
根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系．
Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt.
利用你选取的函数，求得
(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是________；
(2)最低种植成本是________(元/100 g)．
解析 根据表中数据可知函数不单调，所以Q＝at2＋bt＋c，且开口向上，对称轴t＝－＝＝120，
代入数据解得
所以西红柿种植成本最低时的上市天数是120，
最低种植成本是14 400a＋120b＋c＝14 400×0.01＋120×(－2.4)＋224＝80.
答案 (1)120 (2)80
★4.一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N*)件．当x≤20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当x＞20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元，则y(万元)与x(件)的函数关系式为__________________，该工厂的年产量为________件时，所得年利润最大．(年利润＝年销售总收入－年总投资)
解析 当x≤20时，y＝(33x－x2)－x－100＝－x2＋32x－100；当x＞20时，y＝260－100－x＝160－x.
故y＝(x∈N*)．
当0＜x≤20时，y＝－x2＋32x－100＝－(x－16)2＋156，当x＝16时，ymax＝156.
当x＞20时，160－x＜140，
故x＝16时取得最大年利润．
答案 y＝(x∈N*) 16
★5.某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为x元时，销售量可达到(15－0.1x)万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格(单位 元)与销售量(单位 万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价－供货价格．问
(1)每套丛书售价定为100元时，书商所获得的总利润是多少万元？
(2)每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？
解 (1)每套丛书售价定为100元时，销售量为15－0.1×100＝5(万套)，所以每套丛书的供货价格为30＋＝32(元)，故书商所获得的总利润为5×(100－32)＝340(万元)．
(2)每套丛书售价定为x元时，由得0＜x＜150.
设单套丛书的利润为P元，
则P＝x－＝x－－30，
因为0＜x＜150，所以150－x＞0，
所以P＝－＋120，
又(150－x)＋≥2 ＝2×10＝20，
当且仅当150－x＝，即x＝140时等号成立，
所以Pmax＝－20＋120＝100.
故每套丛书售价定为140元时，单套丛书的利润最大，为100元．
★6.(2018·山东德州期中)某地自来水苯超标，当地自来水公司对水质检测后，决定在水中投放一种药剂来净化水质．已知每投放质量为m的药剂后，经过x天该药剂在水中释放的浓度y(毫克/升)满足y＝mf(x)，其中f(x)＝当药剂在水中的浓度不低于5(毫克/升)时称为有效净化；当药剂在水中的浓度不低于5(毫克/升)且不高于10(毫克/升)时称为最佳净化．
(1)如果投放的药剂的质量为m＝5，试问自来水达到有效净化总共可持续几天？
(2)如果投放的药剂质量为m，为了使在9天(从投放药剂算起包括9天)之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m的最小值．
解 (1)当m＝5时，y＝当010，显然符合题意；当x>5时，由≥5，解得55时，y′＝<0，
所以函数y＝在(5,9]上单调递减，
所以≤y<3m.综上可知≤y≤3m.
为使5≤y≤10恒成立，只要
解得≤m≤，
所以应该投放的药剂质量m的最小值为.
第十节变化率与导数、导数的运算
1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率
＝ 为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)
或y′，即
f′(x0)＝ ＝ .
(2)导数的几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
(3)函数f(x)的导函数
称函数f′(x)＝ 为f(x)的导函数．
2．基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)＝xn(n∈Q*)
f′(x)＝n·xn－1
f(x)＝sin
f′(x)＝cos_x
f(x)＝cos
f′(x)＝－sin_x
f(x)＝ax(a>0)
f′(x)＝axln_a
f(x)＝ex
f′(x)＝
f(x)＝logax(a>0，且a≠1)
f′(x)＝
f(x)＝ln
f′(x)＝
3．导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)′＝(g(x)≠0)．
4．复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同．( )
(2)f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值．( )
(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( )
(4)因为(ln )′＝，所以′＝ln ．( )
(5)y＝cos 3x由函数y＝cos u，u＝3x复合而成．( )
答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)√
2．已知f(x)＝xln ，若f′(x0)＝2，则x0等于( )
A．e2 B．e
C. D．ln 2
解析 选B f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln ＋1，由f′(x0)＝2，即ln 0＋1＝2，解得x0＝e.
3．下列求导运算正确的是( )
A.′＝1＋ B．(log2x)′＝
C．(3x)′＝3xlog3e D．(x2cos )′＝－2sin
解析 选B ′＝x′＋′＝1－；(3x)′＝3xln 3；(x2cos )′＝(x2)′cos ＋x2(cos )′＝2xcos －x2sin .
4．曲线y＝1－在点(－1，－1)处的切线方程为( )
A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1
C．y＝－2x－3 D．y＝－2x－2
解析 选A 因为y＝1－＝，
所以y′＝＝，y′|x＝－1＝2，
所以曲线在点(－1，－1)处的切线斜率为2，
所以所求切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.
5．(2017·全国卷Ⅰ)曲线y＝x2＋在点(1,2)处的切线方程为________．
解析 因为y′＝2x－，所以在点(1,2)处的切线方程的斜率为y′|x＝1＝2×1－＝1，所以切线方程为y－2＝x－1，即x－y＋1＝0.
答案 x－y＋1＝0
6．已知直线y＝－x＋1是函数f(x)＝－·ex图象的切线，则实数a＝________.
解析 设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝－·ex0＝－1，
∴ex0＝a，又－·ex0＝－x0＋1，
∴x0＝2，a＝e2.
答案 e2
[考什么·怎么考]
导数的运算是所有导数问题的基础，高考中直接考查导数运算的题目较少，但凡是涉及导数的问题不用计算导数的也极其罕见.因此，必须牢牢掌握导数的运算法则.
1．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln ，则f′(1)＝( )
A．－e B．－1
C．1 D．e
解析 选B 由f(x)＝2xf′(1)＋ln ，
得f′(x)＝2f′(1)＋.
所以f′(1)＝2f′(1)＋1，则f′(1)＝－1.
2．求下列函数的导数．
(1)y＝x2sin ；
(2)y＝ln ＋；
(3)y＝；
(4)y＝xsincos.
解 (1)y′＝(x2)′sin ＋x2(sin )′
＝2xsin ＋x2cos .
(2)y′＝′＝(ln )′＋′＝－.
(3)y′＝′＝＝－.
(4)∵y＝xsincos
＝xsin(4x＋π)
＝－xsin 4x，
∴y′＝－sin 4x－x·4cos 4x
＝－sin 4x－2xcos 4x.
[怎样快解·准解]
1．谨记1个原则
先化简解析式，使之变成能用求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导．
2．熟记求导函数的5种形式及解法
(1)连乘积形式 先展开化为多项式的形式，再求导；
(2)分式形式 观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；
(3)对数形式 先化为和、差的形式，再求导；
(4)根式形式 先化为分数指数幂的形式，再求导；
(5)三角形式 先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导．
3．掌握求复合函数的导数一般步骤
(1)分清复合关系，适当选定中间变量，正确分解关系；
(2)分层求导，弄清每一步中是哪个变量对哪个变量求导数．
导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择题、填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度较小，属中低档题.,常见的命题角度有
(1)求曲线的切线方程；
(2)求切点坐标；
(3)求参数的值(范围).
[题点全练]
角度(一) 求曲线的切线方程
1．已知函数f(x)＝ln －，则函数f(x)的图象在处的切线方程为________．
解析 由f(x)＝ln －，得f′(x)＝－，
则f′(1)＝1－＝1－＝－，
故所求切线方程为y－＝－(x－1)，
即5x＋4y＋9＝0.
答案 5x＋4y＋9＝0
角度(二) 求切点坐标
2．曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则P点的坐标为( )
A．(1,3) B．(－1,3)
C．(1,3)和(－1,3) D．(1，－3)
解析 选C f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，则3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1，∴P(1,3)或(－1,3)，经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y＝2x－1上，故选C.
角度(三) 求参数的值(范围)
3．(2018·成都诊断)若曲线y＝f(x)＝ln ＋ax2(a为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C．(0，＋∞) D．[0，＋∞)
解析 选D f′(x)＝＋2ax＝(x＞0)，根据题意有f′(x)≥0(x＞0)恒成立，所以2ax2＋1≥0(x＞0)恒成立，即2a≥－(x＞0)恒成立，所以a≥0，故实数a的取值范围为[0，＋∞)．
[题“根”探求]
看个性
角度(一)是求曲线的切线方程，其关键是理解导数的几何意义，并能准确求导；
角度(二)是求切点坐标，其思路是先求函数的导数，然后让导数值等于切线的斜率，从而得出切线方程或求出切点坐标；
角度(三)是求参数的值(范围)，其关键是列出函数的导数等于切线斜率的方程
找共性
解决此类问题的先决条件是应先正确求导，再根据其他条件求解，求曲线的切线应注意
(1)“过点A的曲线的切线方程”与“在点A处的切线方程”是不相同的，后者A必为切点，前者未必是切点；
(2)曲线在某点处的切线若有则只有一条，曲线过某点的切线往往不止一条；切线与曲线的公共点不一定只有一个
[冲关演练]
1．曲线y＝sin ＋ex在点(0,1)处的切线方程是( )
A．x－3y＋3＝0 B．x－2y＋2＝0
C．2x－y＋1＝0 D．3x－y＋1＝0
解析 选C 因为y＝sin ＋ex，
所以y′＝cos ＋ex，
所以y′|x＝0＝cos 0＋e0＝2，
所以曲线y＝sin ＋ex在点(0,1)处的切线方程为y－1＝2(x－0)，即2x－y＋1＝0.
2．(2017·天津高考)已知a∈R，设函数f(x)＝ax－ln 的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为________．
解析 因为f′(x)＝a－，所以f′(1)＝a－1.又f(1)＝a，所以切线l的方程为y－a＝(a－1)(x－1)．令x＝0，得y＝1.
答案 1
3．(2018·云南一检)已知函数f(x)＝axln ＋b(a，b∈R)，若f(x)的图象在x＝1处的切线方程为2x－y＝0，则a＋b＝________.
解析 由题意，得f′(x)＝aln ＋a，所以f′(1)＝a，因为函数f(x)的图象在x＝1处的切线方程为2x－y＝0，所以a＝2，又f(1)＝b，则2×1－b＝0，所以b＝2，故a＋b＝4.
答案 4
(一)普通高中适用
A级——基础小题练熟练快
1．已知函数f(x)＝(x2＋2)(ax2＋b)，且f′(1)＝2，则f′(－1)＝( )
A．－1 B．－2
C．2 D．0
解析 选B f(x)＝(x2＋2)(ax2＋b)＝ax4＋(2a＋b)x2＋2b，f′(x)＝4ax3＋2(2a＋b)x为奇函数，所以f′(－1)＝－f′(1)＝－2.
2．已知函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)，若f′(1)＝－1，则a＝( )
A．e B.
C. D.
解析 选B 因为f′(x)＝，所以f′(1)＝＝－1，所以ln a＝－1，所以a＝.
3．曲线y＝ex－ln 在点(1，e)处的切线方程为( )
A．(1－e)x－y＋1＝0 B．(1－e)x－y－1＝0
C．(e－1)x－y＋1＝0 D．(e－1)x－y－1＝0
解析 选C 由于y′＝e－，所以y′|x＝1＝e－1，故曲线y＝ex－ln 在点(1，e)处的切线方程为y－e＝(e－1)(x－1)，即(e－1)x－y＋1＝0.
★4．曲线f(x)＝2x－ex与y轴的交点为P，则曲线在点P处的切线方程为( )
A．x－y＋1＝0 B．x＋y＋1＝0
C．x－y－1＝0 D．x＋y－1＝0
解析 选C 曲线f(x)＝2x－ex与y轴的交点为(0，－1)．
且f′(x)＝2－ex，所以f′(0)＝1.
所以所求切线方程为y＋1＝x，即x－y－1＝0.
★5．函数g(x)＝x3＋x2＋3ln ＋b(b∈R)在x＝1处的切线过点(0，－5)，则b的值为( )
A. B.
C. D.
解析 选B 当x＝1时，g(1)＝1＋＋b＝＋b，
又g′(x)＝3x2＋5x＋，
所以切线斜率 ＝g′(1)＝3＋5＋3＝11，
从而切线方程为y＝11x－5，
由于点在切线上，
所以＋b＝11－5，
解得b＝.故选B.
6.如图，y＝f(x)是可导函数，直线l y＝ x＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝( )
A．－1 B．0
C．2 D．4
解析 选B 由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处的切线的斜率为－，即f′(3)＝－，又g(x)＝xf(x)，g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，由题图可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×＝0.
★7．若函数f(x)＝，则f′(x)＝________.
解析 f′(x)＝
＝
＝.
答案
★8．(2018·东北四市联考)函数f(x)＝exsin 的图象在点(0，f(0))处的切线方程是________．
解析 由f(x)＝exsin ，得f′(x)＝exsin ＋excos ，所以f(0)＝0且f′(0)＝1，则切线的斜率为1，切点坐标为(0,0)，所以切线方程为y＝x.
答案 y＝x
★9．若函数f(x)在R上可导，f(x)＝exln ＋x3f′(1)，则f′(1)＝________.
解析 由已知可得f′(x)＝ex＋3x2f′(1)，
故f′(1)＝e＋3f′(1)，解得f′(1)＝－.
答案 －
★10．设曲线y＝在点处的切线与直线x－ay＋1＝0平行，则实数a＝________.
解析 因为y′＝，
所以y′x＝＝－1，由条件知＝－1，
所以a＝－1.
答案 －1
B级——中档题目练通抓牢
★1．已知曲线y＝ln 的切线过原点，则此切线的斜率为( )
A．e B．－e
C. D．－
解析 选C y＝ln 的定义域为(0，＋∞)，设切点为(x0，y0)，则 ＝y′|x＝x0＝，所以切线方程为y－y0＝(x－x0)，又切线过点(0,0)，代入切线方程得y0＝1，则x0＝e，所以 ＝y′
|x＝x0＝＝.
2．已知函数f(x)＝aln ＋bx2的图象在点P(1,1)处的切线与直线x－y＋1＝0垂直，则a的值为( )
A．－1 B．1
C．3 D．－3
解析 选D 由已知可得P(1,1)在函数f(x)的图象上，
所以f(1)＝1，即aln 1＋b×12＝1，解得b＝1，
所以f(x)＝aln ＋x2，故f′(x)＝＋2x.
则函数f(x)的图象在点P(1,1)处的切线的斜率 ＝f′(1)＝a＋2，
因为切线与直线x－y＋1＝0垂直，
所以a＋2＝－1，即a＝－3.故选D.
★3．在直角坐标系xOy中，设P是曲线C xy＝1(x＞0)上任意一点，l是曲线C在点P处的切线，且l交坐标轴于A，B两点，则下列结论正确的是( )
A．△OAB的面积为定值2
B．△OAB的面积有最小值为3
C．△OAB的面积有最大值为4
D．△OAB的面积的取值范围是[3,4]
解析 选A 由题意知，y＝(x＞0)，则y′＝－.
设P，则曲线C在点P处的切线方程为y－＝－(x－a)，
令x＝0可得y＝；令y＝0可得x＝2a，
所以△OAB的面积为××2a＝2，即定值2.
故选A.
4．曲线f(x)＝ex在x＝0处的切线与曲线g(x)＝ax2－a(a≠0)相切，则a＝________，切点坐标为________．
解析 曲线f(x)在x＝0处的切线方程为y＝x＋1.
设其与曲线g(x)＝ax2－a相切于点(x0，ax－a)．
则g′(x0)＝2ax0＝1，且ax－a＝x0＋1.
解得x0＝－1，a＝－，切点坐标为(－1,0)．
答案 － (－1,0)
5．若点P是曲线y＝x2－ln 上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为_______．
解析 由y＝x2－ln ，得y′＝2x－(x＞0)，
设点P0(x0，y0)是曲线y＝x2－ln 上到直线y＝x－2的距离最小的点，则y′x＝x0＝2x0－＝1，解得x0＝1或x0＝－(舍去)．
∴点P0的坐标为(1,1)．
∴所求的最小距离＝＝.
答案
6．已知点M是曲线y＝x3－2x2＋3x＋1上任意一点，曲线在M处的切线为l，求
(1)斜率最小的切线方程；
(2)切线l的倾斜角α的取值范围．
解 (1)∵y′＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，
∴当x＝2时，y′min＝－1，此时y＝，
∴斜率最小时的切点为，斜率 ＝－1，
∴切线方程为3x＋3y－11＝0.
(2)由(1)得 ≥－1，∴tan α≥－1，
又∵α∈[0，π)，∴α∈∪.
故α的取值范围为∪.
7．设抛物线C y＝－x2＋x－4，过原点O作C的切线y＝ x，使切点P在第一象限．
(1)求 的值；
(2)过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q的坐标．
解 (1)因为y′＝－2x＋，设切点P的坐标为(x1，y1)，
则解得或
因为切点P在第一象限，所以 ＝.
(2)过P点作切线的垂线，其方程为y＝－2x＋5.
将其代入抛物线方程得，x2－x＋9＝0.
设Q点的坐标为(x2，y2)，则2x2＝9，
所以x2＝，y2＝－4.
所以Q点的坐标为.
C级——重难题目自主选做
★1．已知f(x)＝x2＋sin，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(x)的图象是( )
解析 选A ∵f(x)＝x2＋sin＝x2＋cos ，∴f′(x)＝x－sin ，它是一个奇函数，其图象关于原点对称，故排除B，D.又f″(x)＝－cos ，当－＜x＜时，cos ＞，∴f″(x)＜0，故函数y＝f′(x)在区间上单调递减，故排除C，选A.
★2．若函数f(x)＝2sin (x∈[0，π))的图象在切点P处的切线平行于函数g(x)＝2的图象在切点Q处的切线，则直线PQ的斜率为( )
A. B．2
C. D.
解析 选A 由题意得f′(x)＝2cos ，g′(x)＝x＋x－.设P(x1，f(x1))，Q(x2，g(x2))，f′(x1)＝g′(x2)，
即2cos 1＝x2＋x－2，故4cos2x1＝x2＋x＋2，
所以－4＋4cos2x1＝x2＋x－2，即－4sin2x1＝x2－x－22，所以sin 1＝0，x1＝0，x2＝x－2，x2＝1，
故P(0,0)，Q，故 PQ＝.
(二)重点高中适用
A级——保分题目巧做快做
1．已知函数f(x)＝(x2＋2)(ax2＋b)，且f′(1)＝2，则f′(－1)＝( )
A．－1 B．－2
C．2 D．0
解析 选B f(x)＝(x2＋2)(ax2＋b)＝ax4＋(2a＋b)x2＋2b，f′(x)＝4ax3＋2(2a＋b)x为奇函数，所以f′(－1)＝－f′(1)＝－2.
2．曲线y＝ex－ln 在点(1，e)处的切线方程为( )
A．(1－e)x－y＋1＝0 B．(1－e)x－y－1＝0
C．(e－1)x－y＋1＝0 D．(e－1)x－y－1＝0
解析 选C 由于y′＝e－，所以y′|x＝1＝e－1，故曲线y＝ex－ln 在点(1，e)处的切线方程为y－e＝(e－1)(x－1)，即(e－1)x－y＋1＝0.
★3.已知曲线y＝－3ln 的一条切线的斜率为－，则切点的横坐标为( )
A．3 B．2
C．1 D.
解析 选B 因为y＝－3ln (x>0)，所以y′＝－.再由导数的几何意义，令－＝－，解得x＝2或x＝－3(舍去)．故切点的横坐标为2.
★4.(2018·湖北百所重点高中联考)已知函数f(x＋1)＝，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
解析 选A f(x＋1)＝，故f(x)＝，即f(x)＝2－，对f(x)求导得f′(x)＝，则f′(1)＝1，故所求切线的斜率为1，故选A.
5．已知函数f(x)＝aln ＋bx2的图象在点P(1,1)处的切线与直线x－y＋1＝0垂直，则a的值为( )
A．－1 B．1
C．3 D．－3
解析 选D 由已知可得P(1,1)在函数f(x)的图象上，
所以f(1)＝1，即aln 1＋b＝1，解得b＝1，
所以f(x)＝aln ＋x2，故f′(x)＝＋2x.
则函数f(x)的图象在点P(1,1)处的切线的斜率 ＝f′(1)＝a＋2，
因为切线与直线x－y＋1＝0垂直，
所以a＋2＝－1，即a＝－3.故选D.
★6.已知函数f(x)＝cos ，则f(π)＋f′＝________.
解析 ∵f′(x)＝－cos －sin ，
∴f(π)＋f′＝－－＝－.
答案 －
★7.(2018·昆明质检)若函数f(x)＝cos的图象在x＝0处的切线方程为y＝－3x＋1，则ω＝________.
解析 由题意，得f′(x)＝－ωsin，所以f′(0)＝－ωsin＝－ω＝－3，所以ω＝3.
答案 3
8．曲线f(x)＝ex在x＝0处的切线与曲线g(x)＝ax2－a(a≠0)相切，则a＝________，切点坐标为________．
解析 曲线f(x)在x＝0处的切线方程为y＝x＋1.
设其与曲线g(x)＝ax2－a相切于点(x0，ax－a)．
则g′(x0)＝2ax0＝1，且ax－a＝x0＋1.
解得x0＝－1，a＝－，切点坐标为(－1,0)．
答案 － (－1,0)
★9.求下列函数的导数．
(1)y＝(1－)；
(2)y＝x·tan ；
(3)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；
(4)y＝.
解 (1)∵y＝(1－)＝－＝x－－x，
∴y′＝(x－)′－(x)′＝－x－－x－.
(2)y′＝(x·tan )′＝x′tan ＋x(tan )′
＝tan ＋x·′＝tan ＋x·
＝tan ＋.
(3)∵y＝(x2＋3x＋2)(x＋3)，
∴y′＝(x2＋3x＋2)′(x＋3)＋(x2＋3x＋2)(x＋3)′
＝(2x＋3)(x＋3)＋x2＋3x＋2
＝2x2＋9x＋9＋x2＋3x＋2
＝3x2＋12x＋11.
(4)y′＝′＝
＝＝
＝.
10．已知点M是曲线y＝x3－2x2＋3x＋1上任意一点，曲线在M处的切线为l，求
(1)斜率最小的切线方程；
(2)切线l的倾斜角α的取值范围．
解 (1)∵y′＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，
∴当x＝2时，y′min＝－1，此时y＝，
∴斜率最小时的切点为，斜率 ＝－1，
∴切线方程为3x＋3y－11＝0.
(2)由(1)得 ≥－1，∴tan α≥－1，
又∵α∈[0，π)，∴α∈∪.
故α的取值范围为∪.
B级——拔高题目稳做准做
1.如图，y＝f(x)是可导函数，直线l y＝ x＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝( )
A．－1 B．0
C．2 D．4
解析 选B 由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处的切线的斜率为－，即f′(3)＝－，又g(x)＝xf(x)，g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，由题图可知f(3)＝1，所以g′
(3)＝1＋3×＝0.
★2.已知f(x)＝ln ，g(x)＝x2＋mx＋(m<0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m的值为( )
A．－1 B．－3
C．－4 D．－2
解析 选D ∵f′(x)＝，∴直线l的斜率为 ＝f′(1)＝1，
又f(1)＝0，∴切线l的方程为y＝x－1.
∵g′(x)＝x＋m，
设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，
则有解得m＝－2.
3．若点P是曲线y＝x2－ln 上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为________．
解析 由y＝x2－ln ，得y′＝2x－(x＞0)，
设点P0(x0，y0)是曲线y＝x2－ln 上到直线y＝x－2的距离最小的点，则y′|x＝x0＝2x0－＝1，
解得x0＝1或x0＝－(舍去)．
∴点P0的坐标为(1,1)．
∴所求的最小距离＝＝.
答案
★4.已知曲线f(x)＝x3＋ax＋在x＝0处的切线与曲线g(x)＝－ln 相切，则a的值为________．
解析 由f(x)＝x3＋ax＋得，f′(x)＝3x2＋a，f′(0)＝a，f(0)＝，
∴曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程为y－＝ax.
设直线y－＝ax与曲线g(x)＝－ln 相切于点(x0，－ln 0)，
g′(x)＝－，
∴
将②代入①得ln 0＝，
∴x0＝e，
∴a＝－＝－e.
答案 －e－
★5.已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．
(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；
(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．
解 f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)．
(1)由题意，得
解得b＝0，a＝－3或a＝1.
(2)因为曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，
所以关于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根，
所以Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)＞0，
即4a2＋4a＋1＞0，
所以a≠－.
所以a的取值范围为∪.
6．设抛物线C y＝－x2＋x－4，过原点O作C的切线y＝ x，使切点P在第一象限．
(1)求 的值；
(2)过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q的坐标．
解 (1)因为y′＝－2x＋，设切点P的坐标为(x1，y1)，
则解得或
因为切点P在第一象限，所以 ＝.
(2)过P点作切线的垂线，其方程为y＝－2x＋5.
将其代入抛物线方程得，x2－x＋9＝0.
设Q点的坐标为(x2，y2)，则2x2＝9，
所以x2＝，y2＝－4.
所以Q点的坐标为.
第十一节导数的应用
1．函数的单调性
在(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.f′(x)≥0⇔f(x)在(a，b)上为增函数．f′(x)≤0⇔f(x)在(a，b)上为减函数．
2．函数的极值
(1)函数的极小值
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)函数的极大值
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．
3．函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.( )
(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．( )
(3)在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个，则f(x)在(a，b)内是减函数．( )
(4)函数的极大值不一定比极小值大．( )
(5)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件．( )
(6)函数的极大值一定是函数的最大值．( )
(7)开区间上的单调连续函数无最值．( )
答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)× (6)× (7)√
2．函数f(x)＝cos －x在(0，π)上的单调性是( )
A．先增后减 B．先减后增
C．增函数 D．减函数
解析 选D ∵f′(x)＝－sin －1＜0.
∴f(x)在(0，π)上是减函数，故选D.
3．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是( )
A．(－∞，2) B．(0,3)
C．(1,4) D．(2，＋∞)
解析 选D 函数f(x)＝(x－3)ex的导数为f′(x)＝[(x－3)ex]′＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex.由函数导数与函数单调性的关系，得当f′(x)>0时，函数f(x)单调递增，此时由不等式f′(x)＝(x－2)ex>0，解得x>2.
4．(2016·四川高考)已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝( )
A．－4 B．－2
C．4 D．2
解析 选D 由题意得f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0得x＝±2，∴当x＜－2或x＞2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜2时，f′(x)＜0，∴f(x)在(－∞，－2)上为增函数，在(－2,2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数．∴f(x)在x＝2处取得极小值，∴a＝2.
5．函数f(x)＝2x3－2x2在区间[－1,2]上的最大值是________．
解析 f′(x)＝6x2－4x，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝.
∵f(－1)＝－4，f(0)＝0，
f＝－，f(2)＝8.
∴函数f(x)＝2x3－2x2在区间[－1,2]上的最大值为8.
答案 8
6．已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是增函数，则a的最大值是________．
解析 f′(x)＝3x2－a，由题意知f′(x)≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a≤3x2在[1，＋∞)上恒成立，又x∈[1，＋∞)时，3x2≥3，∴a≤3，即a的最大值是3.
答案 3
第一课时 导数与函数的单调性
单调性是导数应用中最基本、最重要的知识点，导数的所有应用都离不开单调性，研究函数的单调性常出现在解答题某一问中，多利用分类讨论思想.
[典题领悟]
(2017·全国卷Ⅰ节选)已知函数f(x)＝ex(ex－a)－a2x，
讨论f(x)的单调性．
解 函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，
f′(x)＝2e2x－aex－a2＝(2ex＋a)(ex－a)．
①若a＝0，则f(x)＝e2x在(－∞，＋∞)上单调递增．
②若a＞0，则由f′(x)＝0，得x＝ln a.
当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)＜0；
当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)＞0.
故f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增．
③若a＜0，则由f′(x)＝0，得x＝ln.
当x∈时，f′(x)＜0；
当x∈时，f′(x)＞0.
故f(x)在上单调递减，
在上单调递增．
综上，当a＝0时，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；
当a>0时，f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增，
当a<0时，f(x)在上单调递减，在上单调递增．
[解题师说]
1．解题“3步骤”
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f′(x)，并求方程f′(x)＝0的根；
(3)利用f′(x)＝0的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上讨论f′(x)的正负，由f′(x)的正负确定f(x)在相应子区间上的单调性．
2．解题“2注意”
(1)研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．
(2)f′(x)>0(<0)在区间(a，b)上成立是f(x)在区间(a，b)上单调递增(减)的充分条件．
[冲关演练]
1．函数f(x)＝ln －为________函数(填“增”或“减”)．
解析 由已知得f(x)的定义域为(0，＋∞)．
∵f(x)＝ln －，
∴f′(x)＝－＝.
∵x>0，
∴4x2＋3x＋1>0，x(1＋2x)2>0.
∴当x>0时，f′(x)>0.
∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
答案 增
2．已知函数f(x)＝mln(x＋1)，g(x)＝，x>－1，
讨论函数F(x)＝f(x)－g(x)在(－1，＋∞)上的单调性．
解 由已知得F(x)＝mln(x＋1)－(x>－1)，
则F′(x)＝－＝(x>－1)．
当m≤0时，F′(x)<0，函数F(x)在(－1，＋∞)上单调递减；
当m>0时，令F′(x)<0，得x<－1＋，函数F(x)在上单调递减；
令F′(x)>0，得x>－1＋，函数F(x)在上单调递增．
综上所述，当m≤0时，F(x)在(－1，＋∞)上单调递减；
当m>0时，F(x)在上单调递减，在上单调递增．
利用导数求函数的单调区间是高考的热点和重点，一般为解答题的第一问，若不含参数，难度一般，若含参数，则难度较高，需要分类讨论.
[典题领悟]
已知函数f(x)＝ln(x＋m)－mx，求函数f(x)的单调区间．
解 ∵f(x)＝ln(x＋m)－mx，
∴f′(x)＝－m，x∈(－m，＋∞)．
当m≤0时，f′(x)＝－m>0，即函数f(x)的单调递增区间为(－m，＋∞)，无单调递减区间；
当m>0时，f′(x)＝－m＝，
由f′(x)＝0，得x＝－m∈(－m，＋∞)，
当x∈时，f′(x)>0；
当x∈时，f′(x)<0，
∴m>0时，函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.
[解题师说]
1．掌握利用导数求函数单调区间的3个步骤
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)由f′(x)>0(或f′(x)<0)解出相应的x的取值范围，对应的区间为f(x)的单调递增(减)区间．
2．理清有关函数单调区间的3个点
(1)单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间要先求函数的定义域；
(2)求可导函数f(x)的单调区间，可以直接转化为f′(x)>0与f′(x)<0这两个不等式的解集问题来外理；
(3)若可导函数f(x)在指定区间D上单调递增(减)，则应将其转化为f′(x)≥0(f′(x)≤0)来处理．
[冲关演练]
1．函数y＝x2－ln 的单调递减区间为( )
A．(0,1) B．(0，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(0,2)
解析 选A 对于函数y＝x2－ln ，易得其定义域为(0，＋∞)，y′＝x－＝，令<0，又x>0，所以x2－1<0，解得00时，求函数g(x)＝f(x)＋ln(x＋1)＋x的单调区间．
解 ∵g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)＋(1－a)x＋2－a(x>0)，
∴g′(x)＝ln(x＋1)＋2－a.
∴当2－a≥0，即a≤2时，g′(x)>0对x∈(0，＋∞)恒成立．
此时，g(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间．
当2－a<0，即a>2时，令g′(x)＝0，得x＝ea－2－1，
由g′(x)>0，得x>ea－2－1；由g′(x)<0，得02时，g(x)的单调递减区间为(0，ea－2－1)，单调递增区间为(ea－2－1，＋∞)．
考点三 已知函数的单调性求参数的取值范围
已知函数的单调性求参数范围问题是近几年高考的热点，一般为解答题的第二问.难度中档，有时也以选择题、填空题的形式出现，难度中高档.解决此类问题的关键是转化为恒成立问题，再参变分离，转化为最值问题求解.
[典题领悟]
设函数f(x)＝x3－x2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.
(1)求b，c的值；
(2)若a＞0，求函数f(x)的单调区间；
(3)设函数g(x)＝f(x)＋2x，且g(x)在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围．
解 (1)f′(x)＝x2－ax＋b，
由题意得即
(2)由(1)得，f′(x)＝x2－ax＝x(x－a)(a＞0)，
当x∈(－∞，0)时，f′(x)＞0；
当x∈(0，a)时，f′(x)<0；
当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0.
所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(a，＋∞)，单调递减区间为(0，a)．
(3)g′(x)＝x2－ax＋2，依题意，存在x∈(－2，－1)，
使不等式g′(x)＝x2－ax＋2<0成立，
即x∈(－2，－1)时，a0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围；
(3)若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I上含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围．
[冲关演练]
在本例中，(1)若g(x)在(－2，－1)内为减函数，求实数a的取值范围．
(2)若g(x)的单调减区间为(－2，－1)，求实数a的值．
(3)若g(x)在(－2，－1)上不单调，求实数a的取值范围．
解 (1)∵g′(x)＝x2－ax＋2，且g(x)在(－2，－1)内为减函数，
∴x2－ax＋2≤0在(－2，－1)内恒成立，
∴即解得a≤－3.
即实数a的取值范围为(－∞，－3]．
(2)∵g(x)的单调减区间为(－2，－1)，
∴x1＝－2，x2＝－1是g′(x)＝0的两个根，
∴(－2)＋(－1)＝a，即a＝－3.
(3)由(1)知g(x)在(－2，－1)上为减函数时，实数a的取值范围是(－∞，－3]．
若g(x)在(－2，－1)上为增函数，可知a≥x＋在(－2，－1)上恒成立，又y＝x＋的值域为(－3，－2)，
∴实数a的范围是[－2，＋∞)，
∴函数g(x)在(－2，－1)上单调时，a的取值范围是
(－∞，－3]∪[－2，＋∞)，故g(x)在(－2，－1)上不单调时，实数a的取值范围是(－3，－2)．
(一)普通高中适用
A级——基础小题练熟练快
1．已知m是实数，函数f(x)＝x2(x－m)，若f′(－1)＝－1，则函数f(x)的单调增区间是( )
A.
B.
C.，(0，＋∞)
D.∪(0，＋∞)
解析 选C ∵f′(x)＝3x2－2mx，
∴f′(－1)＝3＋2m＝－1，解得m＝－2，
由f′(x)＝3x2＋4x＞0，解得x＜－或x＞0，
即f(x)的单调增区间为，(0，＋∞)，故选C.
★2．下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( )
A．f(x)＝sin 2x B．f(x)＝xex
C．f(x)＝x3－x D．f(x)＝－x＋ln
解析 选B 对于A，f(x)＝sin 2x的单调递增区间是( ∈ )；对于B，f′(x)＝ex(x＋1)，当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，∴函数f(x)＝xex在(0，＋∞)上为增函数；对于C，f′(x)＝3x2－1，令f′(x)>0，得x>或x<－，∴函数f(x)＝x3－x在和上单调递增；对于D，f′(x)＝－1＋＝－，令f′(x)>0，得00时，f′(x)>0，即a>0时，f(x)在R上单调递增，由f(x)在R上单调递增，可得a≥0.故“a＞0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件．
6．(2017·四川乐山一中期末)若f(x)＝x2－aln 在(1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，1) B．(－∞，1]
C．(－∞，2) D．(－∞，2]
解析 选D 由f(x)＝x2－aln ，得f′(x)＝2x－，
∵f(x)在(1，＋∞)上单调递增，
∴2x－≥0在(1，＋∞)上恒成立，
即a≤2x2在(1，＋∞)上恒成立，
∵x∈(1，＋∞)时，2x2＞2，∴a≤2.故选D.
★7．函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间为________．
解析 由f(x)＝x3－15x2－33x＋6，得f′(x)＝3x2－30x－33，令f′(x)＜0，即3(x－11)(x＋1)＜0，解得－1＜x＜11，所以函数f(x)的单调减区间为(－1,11)．
答案 (－1,11)
8．若f(x)＝xsin ＋cos ，则f(－3)，f，f(2)的大小关系为________．
解析 函数f(x)为偶函数，
因此f(－3)＝f(3)．
又f′(x)＝sin ＋xcos －sin ＝xcos ，
当x∈时，f′(x)≤0.
所以f(x)在区间上是减函数，
所以f＞f(2)＞f(3)＝f(－3)．
答案 f(－3)＜f(2)＜f
9．已知函数f(x)＝ax＋ln ，则当a＜0时，f(x)的单调递增区间是________，单调递减区间是________．
解析 由已知得f(x)的定义域为(0，＋∞)．
当a＜0时，因为f′(x)＝a＋＝，所以当x≥－时，f′(x)≤0，当0＜x＜－时，f′(x)＞0，所以f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.
答案
★10．若函数f(x)＝2ax3－6x2＋7在(0,2]上是减函数，则实数a的取值范围是________．
解析 因为f(x)＝2ax3－6x2＋7，
所以f′(x)＝6ax2－12x.又f(x)在(0,2]上是减函数，所以f′(x)＝6ax2－12x≤0在(0,2]上恒成立．
即a≤在(0,2]上恒成立．令g(x)＝，
而g(x)＝在(0,2]上为减函数，
所以g(x)min＝g(2)＝1，故a≤1.
答案 (－∞，1]
B级——中档题目练通抓牢
★1.已知函数f(x)的导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则f(x)的图象可能是( )
解析 选D 当x<0时，由导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c<0，知相应的函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，排除A、B；当x>0时，由导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c的图象可知，导函数在区间(0，x1)内的值是大于0的，则函数f(x)在(0，x1)上单调递增，只有D选项符合题意．
★2．若函数f(x)＝x3－x2＋ax－5在区间[－1,2]上不单调，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－3] B．(－3,1)
C．[1，＋∞) D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
解析 选B 因为f(x)＝x3－x2＋ax－5，
所以f′(x)＝x2－2x＋a＝(x－1)2＋a－1，
如果函数f(x)＝x3－x2＋ax－5在区间[－1,2]上单调，那么a－1≥0或解得a≥1或a≤－3，于是满足条件的a∈(－3,1)．
★3．函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)＝f(2－x)，且当x∈(－∞，1)时，(x－1)f′(x)<0，设a＝f(0)，b＝f，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为( )
A．a0，所以函数f(x)在(－∞，1)上是单调递增函数，所以a＝f(0)0)，
当a≥0时，因为x＞0，所以f′(x)＞0，
故f(x)在(0，＋∞)上为增函数；
当a＜0时，由f′(x)＝＞0，得x＞－a；
由f′(x)＝＜0，得0＜x＜－a，
所以f(x)在(0，－a)上为减函数，在(－a，＋∞)上为增函数．
综上所述，当a≥0时，f(x)在(0，＋∞)上为增函数；
当a＜0时，f(x)在(0，－a)上为减函数，在(－a，＋∞)上为增函数．
7．已知函数f(x)＝aln ＋x2＋(a＋1)x＋3.
(1)当a＝－1时，求函数f(x)的单调递减区间；
(2)若函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．
解 (1)当a＝－1时，f(x)＝－ln ＋x2＋3，定义域为(0，＋∞)，则f′(x)＝－＋x.
由得0＜x＜1.
所以函数f(x)的单调递减区间为(0,1)．
(2)法一 因为函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
所以f′(x)＝＋x＋a＋1≥0在(0，＋∞)上恒成立，
所以x2＋(a＋1)x＋a≥0，即(x＋1)(x＋a)≥0在(0，＋∞)上恒成立．
因为x＋1＞0，所以x＋a≥0对x∈(0，＋∞)恒成立，
所以a≥0，故实数a的取值范围是[0，＋∞)．
法二 因为函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
所以f′(x)＝＋x＋a＋1≥0在(0，＋∞)上恒成立，
即x2＋(a＋1)x＋a≥0在(0，＋∞)上恒成立．
令g(x)＝x2＋(a＋1)x＋a，
因为Δ＝(a＋1)2－4a≥0恒成立，
所以即a≥0，
所以实数a的取值范围是[0，＋∞)．
C级——重难题目自主选做
1．定义在区间(0，＋∞)上的函数y＝f(x)使不等式2f(x)0，x>0，
∴′＝＝>0，
∴y＝在(0，＋∞)上单调递增，
∴>，即>4.
∵xf′(x)－3f(x)<0，x>0，
∴′＝＝<0，
∴y＝在(0，＋∞)上单调递减，
∴<，即<8.
综上，4<<8.
★2．(2017·江苏高考)已知函数f(x)＝x3－2x＋ex－，其中e是自然对数的底数．若f(a－1)＋f(2a2)≤0，则实数a的取值范围是________．
解析 由f(x)＝x3－2x＋ex－，
得f(－x)＝－x3＋2x＋－ex＝－f(x)，
所以f(x)是R上的奇函数．
又f′(x)＝3x2－2＋ex＋≥3x2－2＋2＝3x2≥0，当且仅当x＝0时取等号，
所以f(x)在其定义域内单调递增．
因为f(a－1)＋f(2a2)≤0，
所以f(a－1)≤－f(2a2)＝f(－2a2)，
所以a－1≤－2a2，解得－1≤a≤，
故实数a的取值范围是.
答案
(二)重点高中适用
A级——保分题目巧做快做
1．已知m是实数，函数f(x)＝x2(x－m)，若f′(－1)＝－1，则函数f(x)的单调增区间是( )
A.
B.
C.，(0，＋∞)
D.∪(0，＋∞)
解析 选C ∵f′(x)＝3x2－2mx，
∴f′(－1)＝3＋2m＝－1，解得m＝－2，
由f′(x)＝3x2＋4x＞0，解得x＜－或x＞0，
即f(x)的单调增区间为，(0，＋∞)，故选C.
2．已知函数f(x)＝x2＋2cos ，若f′(x)是f(x)的导函数，则函数f′(x)的图象大致是( )
解析 选A 设g(x)＝f′(x)＝2x－2sin ，g′(x)＝2－2cos ≥0，所以函数f′(x)在R上单调递增．
★3.定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f′(x)，已知函数y＝2f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的单调递减区间为( )
A．(1，＋∞) B．(1,2)
C．(－∞，2) D．(2，＋∞)
解析 选D 结合图象可知，
当x∈(－∞，2]时，2f′(x)≥1，即f′(x)≥0；
当x∈(2，＋∞)时，2f′(x)＜1，即f′(x)＜0；
故函数y＝f(x)的单调递减区间为(2，＋∞)．
4．已知函数f(x)＝x3＋ax＋4，则“a＞0”是“f(x)在R上单调递增”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析 选A f′(x)＝x2＋a，当a>0时，f′(x)>0，即a>0时，f(x)在R上单调递增，由f(x)在R上单调递增，可得a≥0.故“a＞0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件．
★5.(2017·四川乐山一中期末)f(x)＝x2－aln 在(1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，1) B．(－∞，1]
C．(－∞，2) D．(－∞，2]
解析 选D 由f(x)＝x2－aln ，得f′(x)＝2x－，
∵f(x)在(1，＋∞)上单调递增，
∴2x－≥0在(1，＋∞)上恒成立，
即a≤2x2在(1，＋∞)上恒成立，
∵x∈(1，＋∞)时，2x2＞2，∴a≤2.故选D.
★6.函数f(x)＝＋－ln 的单调递减区间是________．
解析 因为f(x)＝＋－ln ，所以函数的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝－－＝，
令f′(x)＜0，解得0＜x＜5，
所以函数f(x)的单调递减区间为(0,5)．
答案 (0,5)
7．已知函数f(x)＝ax＋ln ，则当a＜0时，f(x)的单调递增区间是________，单调递减区间是________．
解析 由已知得f(x)的定义域为(0，＋∞)．
当a＜0时，因为f′(x)＝a＋＝，所以当x≥－时，f′(x)≤0，当0＜x＜－时，f′(x)＞0，所以f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.
答案
8．若f(x)＝xsin ＋cos ，则f(－3)，f，f(2)的大小关系为______________________．
解析 函数f(x)为偶函数，
因此f(－3)＝f(3)．
又f′(x)＝sin ＋xcos －sin ＝xcos ，
当x∈时，f′(x)≤0.
所以f(x)在区间上是减函数，
所以f＞f(2)＞f(3)＝f(－3)．
答案 f(－3)＜f(2)＜f
★9.设f(x)＝a(x－5)2＋6ln ，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)．
(1)确定a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间．
解 (1)因为f(x)＝a(x－5)2＋6ln ，
所以f′(x)＝2a(x－5)＋.
令x＝1，得f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a，
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－16a＝(6－8a)(x－1)，
由点(0,6)在切线上，
可得6－16a＝8a－6，解得a＝.
(2)由(1)知，f(x)＝(x－5)2＋6ln (x＞0)，
f′(x)＝x－5＋＝.
令f′(x)＝0，解得x＝2或x＝3.
当0＜x＜2或x＞3时，f′(x)＞0；
当2＜x＜3时，f′(x)＜0，
故f(x)的单调递增区间是(0,2)，(3，＋∞)，单调递减区间是(2,3)．
★10.已知e是自然对数的底数，实数a是常数，函数f(x)＝ex－ax－1的定义域为(0，＋∞)．
(1)设a＝e，求函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)判断函数f(x)的单调性．
解 (1)∵a＝e，∴f(x)＝ex－ex－1，
∴f′(x)＝ex－e，f(1)＝－1，f′(1)＝0.
∴当a＝e时，函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y＝－1.
(2)∵f(x)＝ex－ax－1，∴f′(x)＝ex－a.
易知f′(x)＝ex－a在(0，＋∞)上单调递增．
∴当a≤1时，f′(x)＞0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a＞1时，由f′(x)＝ex－a＝0，得x＝ln a，
∴当0＜x＜ln a时，f′(x)＜0，当x＞ln a时，f′(x)＞0，
∴f(x)在(0，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增．
综上，当a≤1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a＞1时，f(x)在(0，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增．
B级——拔高题目稳做准做
★1.(2018·张掖一诊)定义在R上的可导函数f(x)满足f(1)＝1，且2f′(x)＞1，当x∈时，不等式f(2cos )＞－2sin2的解集为( )
A. B.
C. D.
解析 选D 令g(x)＝f(x)－－，
则g′(x)＝f′(x)－＞0，
∴g(x)在R上单调递增，且g(1)＝f(1)－－＝0，
∵f(2cos )－＋2sin2＝f(2cos )－－＝g(2cos )，
∴f(2cos )＞－2sin2，即g(2cos )＞0，∴2cos ＞1.
又x∈，∴x∈.
2．定义在区间(0，＋∞)上的函数y＝f(x)使不等式2f(x)0，x>0，
∴′＝＝>0，
∴y＝在(0，＋∞)上单调递增，
∴>，即>4.
∵xf′(x)－3f(x)<0，x>0，
∴′＝＝<0，
∴y＝在(0，＋∞)上单调递减，
∴<，即<8.
综上，4<<8.
★3.已知定义在R上的可导函数f(x)的图象如图所示，则不等式(x2－2x－3)f′(x)>0的解集为________．
解析 由题图可知
不等式(x2－2x－3)f′(x)>0等价于或解得x∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)．
答案 (－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)
★4.已知函数f(x)＝－2x2＋ln (a>0)，若函数f(x)在[1,2]上为单调函数，则a的取值范围是________．
解析 f′(x)＝－4x＋，
若函数f(x)在[1,2]上为单调函数，
即f′(x)＝－4x＋≥0或f′(x)＝－4x＋≤0在[1,2]上恒成立，
即≥4x－或≤4x－在[1,2]上恒成立．
令h(x)＝4x－，
则h(x)在[1,2]上单调递增，
所以≥h(2)或≤h(1)，
即≥或≤3，又a>0，
所以00，得10，函数f(x)＝a2x3－3ax2＋2，求函数f(x)在区间(－1,1)上的极值．
解 由f(x)＝a2x3－3ax2＋2，得f′(x)＝3a2x2－6ax.
令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝.
①当0<<1，即a>2时，x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表
x
(－1,0)
0
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
极大值
极小值
故f(x)的极大值是f(0)＝2，极小值是f＝2－.
②当≥1，即00)．
(1)当a＝1，且函数f(x)的图象过点(0,1)时，求函数f(x)的极小值；
(2)若f(x)在(－∞，＋∞)上无极值点，求a的取值范围．解 f′(x)＝3ax2－4x＋1.
(1)函数f(x)的图象过点(0,1)时，有f(0)＝c＝1.
当a＝1时，f(x)＝x3－2x2＋x＋1，f′(x)＝3x2－4x＋1，
由f′(x)>0，解得x<或x>1；
由f′(x)<0，解得0，得01，
∴f(x)＝1－－ln 在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．
(2)由(1)得f(x)在上单调递增，在[1，e]上单调递减，
∴f(x)在上的最大值为f(1)＝1－1－ln 1＝0.
又f＝1－e－ln＝2－e，f(e)＝1－－ln e＝－，且f0，g(t)是增函数．
所以当t＝10时，函数g(t)有极小值，也是最小值，
所以g(t)min＝300，
此时f(t)min＝15.
故当t＝10时，公路l的长度最短，最短长度为15千米．
[解题师说]
1．利用导数解决生活中的实际应用问题的4步骤
2．利用导数解决生活中优化问题的方法
求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，然后利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合．
[冲关演练]
某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．
(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；
(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．
解 (1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh元，底面的总成本为160πr2元，
所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．
又根据题意知200πrh＋160πr2＝12 000π，
所以h＝(300－4r2)，
从而V(r)＝πr2h＝(300r－4r3)．
因为r＞0，又由h＞0可得r＜5，
故函数V(r)的定义域为(0,5)．
(2)因为V(r)＝(300r－4r3)，
所以V′(r)＝(300－12r2)．
令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(舍去)．
当r∈(0,5)时，V′(r)＞0，故V(r)在(0,5)上为增函数；
当r∈(5,5)时，V′(r)＜0，故V(r)在(5,5)上为减函数．
由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8.即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．
利用导数研究不等式的问题是每年高考的常考内容，主要考查证明不等式或不等式恒成立问题，多以解答题的形式考查，难度较大，属于中高档题.
[典题领悟]
已知函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝ x( ∈R)．
(1)证明 当x>0时，f(x)0，使得对任意的x∈(0，x0)恒有f(x)>g(x)．
[学审题]
第(1)问证明f(x)g(x)，只需构造G(x)＝f(x)－g(x)，求G(x)，对 进行分类讨论，说明G(x)的单调性，利用其性质便可证明．
证明 (1)令F(x)＝f(x)－x＝ln(1＋x)－x，x∈[0，＋∞)，
则有F′(x)＝－1＝.
当x∈(0，＋∞)时，F′(x)<0，
所以F(x)在[0，＋∞)上单调递减，
故当x>0时，F(x)0时，f(x)0，故G(x)在[0，＋∞)上单调递增，G(x)>G(0)＝0，故任意正实数x0均满足题意．
当0< <1时，令G′(x)＝0，得x＝＝－1>0，
取x0＝－1，对任意x∈(0，x0)，有G′(x)>0，
从而G(x)在[0，x0)上单调递增，
所以G(x)>G(0)＝0，即f(x)>g(x)．
综上，当 <1时，总存在x0>0，使得对任意x∈(0，x0)恒有f(x)>g(x)．
[解题师说]
1．证明不等式的常用方法——构造法
(1)证明f(x)g(x)，x∈(a，b)，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，如果F′(x)>0，则F(x)在(a，b)上是增函数，同时若F(a)≥0，由增函数的定义可知，x∈(a，b)时，有F(x)>0，即证明了f(x)>g(x)．
2．不等式成立(恒成立)问题中的常用结论
(1)f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a，f(x)≥a成立⇒f(x)max≥a.
(2)f(x)≤b恒成立⇔f(x)max≤b，
f(x)≤b成立⇔f(x)min≤b.
(3)f(x)>g(x)恒成立F(x)min>0.
(4)①∀x1∈M，∀x2∈N，
f(x1)>g(x2)⇔f(x1)min>g(x2)max；
②∀x1∈M，∃x2∈N，
f(x1)>g(x2)⇔f(x1)min>g(x2)min；
③∃x1∈M，∃x2∈N，
f(x1)>g(x2)⇔f(x1)max>g(x2)min；
④∃x1∈M，∀x2∈N，
f(x1)>g(x2)⇔f(x1)max>g(x2)max.
[冲关演练]
(2018·沈阳质检)已知函数f(x)＝ex－1－x－ax2.
(1)当a＝0时，求证 f(x)≥0；
(2)当x≥0时，若不等式f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．
解 (1)证明 当a＝0时，f(x)＝ex－1－x，f′(x)＝ex－1.
当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0；
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.
故f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，
f(x)min＝f(0)＝0，
∴f(x)≥0.
(2)f′(x)＝ex－1－2ax，
令h(x)＝ex－1－2ax，则h′(x)＝ex－2a.
①当2a≤1，即a≤时，h′(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，h(x)单调递增，
∴h(x)≥h(0)，即f′(x)≥f′(0)＝0，
∴f(x)在[0，＋∞)上为增函数，
∴f(x)≥f(0)＝0，
∴当a≤时满足条件．
②当2a>1，即a>时，令h′(x)＝0，解得x＝ln 2a，
当x∈[0，ln 2a)时，h′(x)<0，h(x)单调递减，
∴当x∈[0，ln 2a)时，有h(x)0)，则获得最大利润时的年产量为( )
A．1百万件 B．2百万件
C．3百万件 D．4百万件
解析 选C y′＝－3x2＋27＝－3(x＋3)(x－3)，
当00；
当x>3时，y′<0.
故当x＝3时，该商品的年利润最大．
5．若函数f(x)＝x3－2cx2＋x有极值点，则实数c的取值范围为( )
A.
B.
C.∪
D.∪
解析 选D 若函数f(x)＝x3－2cx2＋x有极值点，
则f′(x)＝3x2－4cx＋1＝0有两个不等实根，
故Δ＝(－4c)2－12＞0，
解得c＞或c＜－.
所以实数c的取值范围为∪.
★6．若ex≥ ＋x在R上恒成立，则实数 的取值范围为( )
A．(－∞，1] B．[1，＋∞)
C．(－∞，－1] D．[－1，＋∞)
解析 选A 由ex≥ ＋x，得 ≤ex－x.
令f(x)＝ex－x，
∴f′(x)＝ex－1.
当f′(x)<0时，解得x<0，当f′(x)>0时，解得x>0.
∴f(x)在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数．
∴f(x)min＝f(0)＝1.
∴实数 的取值范围为(－∞，1]．故选A.
7．函数f(x)＝的极小值为________．
解析 f′(x)＝＝.
令f′(x)<0，得x<－2或x>1.
令f′(x)>0，得－20，
∵f′(x)＝2x－5＋2ex的零点在区间(0,1)上，∴f(x)＝x2－5x＋2ex的极值点在区间(0,1)上．
★2．设直线x＝t与函数h(x)＝x2，g(x)＝ln 的图象分别交于点M，N，则当|MN|最小时t的值为( )
A．1 B.
C. D.
解析 选D 由已知条件可得|MN|＝t2－ln t，
设f(t)＝t2－ln t(t>0)，则f′(t)＝2t－，
令f′(t)＝0，得t＝，
当00，解得x<－2或x>1，
令f′(x)<0，解得－20，
由f′(x)＝3x2－3a＝3(x－)(x＋)，
可得a＝1，
由f(x)＝x3－3ax＋b在x＝1处取得极小值2，
可得1－3＋b＝2，故b＝4.
所以f(x)＝x3－3x＋4的极大值为f(－1)＝(－1)3－3×(－1)＋4＝6.
答案 6
★5．已知函数f(x)＝x3－ax2＋b(a，b为实数，且a＞1)在区间[－1,1]上的最大值为1，最小值为－1，则a＝____________，b＝________.
解析 因为f′(x)＝3x2－3ax＝3x(x－a)，
令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝a.
因为a＞1，
所以当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表
x
－1
(－1,0)
0
(0,1)
1
f′(x)
＋
＋
0
－
－
f(x)
－1－a＋b
极大值b
1－a＋b
由题意得b＝1.
则f(－1)＝－，f(1)＝2－，f(－1)＜f(1)，
所以－＝－1，所以a＝.
答案 1
★6．(2018·张掖一诊)设函数f(x)＝－aln ，求函数f(x)的单调区间和极值．
解 由f(x)＝－aln ，得f′(x)＝x－＝(x＞0)．
①当a≤0时，f′(x)＞0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，函数既无极大值，也无极小值；
②当a＞0时，由f′(x)＝0，得x＝或x＝－(舍去)．
于是，当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表
x
(0，)
(，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
所以函数f(x)的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是(，＋∞)．
函数f(x)在x＝处取得极小值f()＝，无极大值．
综上可知，当a≤0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，函数f(x)既无极大值也无极小值；
当a＞0时，函数f(x)的单调递减区间是(0，)，单调递增区间为(，＋∞)，函数f(x)有极小值，无极大值．
7．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线为l 3x－y＋1＝0，若x＝时，y＝f(x)有极值．
(1)求a，b，c的值．
(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．
解 (1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，
得f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0，①
当x＝时，y＝f(x)有极值，则f′＝0，
可得4a＋3b＋4＝0，②
由①②，解得a＝2，b＝－4.
由于切点的横坐标为1，纵坐标为4，所以f(1)＝4.
所以1＋a＋b＋c＝4，得c＝5.
(2)由(1)可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，
f′(x)＝3x2＋4x－4.
令f′(x)＝0，解得x＝－2或x＝.
当x变化时，f′(x)，f(x)的取值及变化情况如表所示
x
－3
(－3，－2)
－2
1
f′(x)
＋
＋
0
－
0
＋
＋
f(x)
8
13
4
所以y＝f(x)在[－3,1]上的最大值为13，最小值为.
C级——重难题目自主选做
★(2018·福建质检)已知函数f(x)＝xcos －(a＋1)sin ，x∈[0，π]，其中≤a≤.
(1)证明 当x∈时，f(x)≤0；
(2)判断f(x)的极值点个数，并说明理由．
解 (1)证明 依题意，得f′(x)＝－xsin －acos ，
因为≤a≤，所以当x∈时，f′(x)＜0，
所以f(x)在上单调递减，
故当x∈时，f(x)≤f(0)＝0成立．
(2)f(x)有唯一极值点．
理由如下
设p(x)＝f′(x)，则p′(x)＝－xcos ＋(a－1)sin ，
因为a≥＞1，所以当x∈时，p′(x)＞0，
所以p(x)在上单调递增，
因为p＝－＜0，p(π)＝a＞0，
所以p(x)在上存在唯一零点，记为β.
又由(1)知，当x∈时，p(x)＜0，
所以p(x)在上无零点．
故f′(x)在[0，π]上存在唯一零点β，
当x∈(0，β)时，f′(x)＜0；当x∈(β，π)时，f′(x)＞0.
所以当x∈[0，π]时，f(x)有唯一极值点β，β为极小值点．
(二)重点高中适用
A级——保分题目巧做快做
1．函数f(x)＝ln －x在区间(0，e]上的最大值为( )
A．1－e B．－1
C．－e D．0
解析 选B 因为f′(x)＝－1＝，当x∈(0,1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，e]时，f′(x)＜0，所以f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，e]，所以当x＝1时，f(x)取得最大值ln 1－1＝－1.
2.已知函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)上的图象如图所示，则函数f(x)在(a，b)上的极大值点的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 选B 由函数极值的定义和导函数的图象可知，f′(x)在(a，b)上与x轴的交点个数为4，但是在原点附近的导数值恒大于零，故x＝0不是函数f(x)的极值点，其余的3个交点都是极值点，其中有2个点满足其附近的导数值左正右负，故极大值点有2个．
3．若函数f(x)＝x3－2cx2＋x有极值点，则实数c的取值范围为( )
A.
B.
C.∪
D.∪
解析 选D 若函数f(x)＝x3－2cx2＋x有极值点，
则f′(x)＝3x2－4cx＋1＝0有两个不等实根，
故Δ＝(－4c)2－12＞0，解得c＞或c＜－.
所以实数c的取值范围为∪.
★4.已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m，n∈[－1,1]，则f(m)＋f′(n
)的最小值是( )
A．－13 B．－15
C．10 D．15
解析 选A 求导得f′(x)＝－3x2＋2ax，
由函数f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0，
即－3×4＋2a×2＝0，所以a＝3.
由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4，f′(x)＝－3x2＋6x，易知f(x)在[－1,0)上单调递减，在(0,1]上单调递增，所以当m∈[－1,1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.
又因为f′(x)＝－3x2＋6x的图象开口向下，且对称轴为x＝1，
所以当n∈[－1,1]时，f′(n)min＝f′(－1)＝－9.
故f(m)＋f′(n)的最小值为－13.
★5.已知函数f(x)＝－ ，若x＝2是函数f(x)的唯一一个极值点，则实数 的取值范围为( )
A．(－∞，e] B．[0，e]
C．(－∞，e) D．[0，e)
解析 选A 因为函数f(x)＝－ ，
所以函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，
所以f′(x)＝－
＝.
因为x＝2是函数f(x)的唯一一个极值点，
所以x＝2是导函数f′(x)＝0的唯一根．
所以－ ＝0在(0，＋∞)上无变号零点．
设g(x)＝，则g′(x)＝.
当x∈(0,1)时，g′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，
所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
所以g(x)min＝g(1)＝e，结合g(x)＝与y＝ 的图象知，若x＝2是函数f(x)的唯一一个极值点，则应需 ≤e.
★6.f(x)＝的极小值为________．
解析 f′(x)＝＝.
令f′(x)<0，得x<－2或x>1.
令f′(x)>0，得－20，
由f′(x)＝3x2－3a＝3(x－)(x＋)，
可得a＝1，
由f(x)＝x3－3ax＋b在x＝1处取得极小值2，
可得1－3＋b＝2，故b＝4.
所以f(x)＝x3－3x＋4的极大值为f(－1)＝(－1)3－3×(－1)＋4＝6.
答案 6
9．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线为l 3x－y＋1＝0，若x＝时，y＝f(x)有极值．
(1)求a，b，c的值．
(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．
解 (1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，
得f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0，①
当x＝时，y＝f(x)有极值，则f′＝0，
可得4a＋3b＋4＝0，②
由①②，解得a＝2，b＝－4.
由于切点的横坐标为1，纵坐标为4，所以f(1)＝4.
所以1＋a＋b＋c＝4，得c＝5.
(2)由(1)可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，
f′(x)＝3x2＋4x－4.
令f′(x)＝0，解得x＝－2或x＝.
当x变化时，f′(x)，f(x)的取值及变化情况如表所示
x
－3
(－3，－2)
－2
1
f′(x)
＋
＋
0
－
0
＋
＋
f(x)
8
13
4
所以y＝f(x)在[－3,1]上的最大值为13，最小值为.
★10.设函数f(x)＝mx2－(2m＋1)x＋ln ，m∈R.
(1)当m＝3时，求f(x)的极值；
(2)设m>0，讨论函数f(x)的单调性．
解 (1)当m＝3时，f(x)＝3x2－7x＋ln (x>0)，
∴f′(x)＝6x－7＋＝.
由f′(x)>0，得01；
由f′(x)<0，得1，即00，得0，
由f′(x)<0，得1时，
由f′(x)>0，得01，
由f′(x)<0，得0，解得x<－2或x>1，
令f′(x)<0，解得－20)的极大值为6，极小值为2，则f(x)的单调递减区间是________．
解析 令f′(x)＝3x2－3a＝0，得x＝±.
当x变化时，f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表
x
(－∞，
－)
－
(－，
)
(，
＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
极大值
极小值
从而
解得
所以f(x)的单调递减区间是(－1,1)．
答案 (－1,1)
★4.设函数f(x)＝ln －ax2－bx，若x＝1是f(x)的极大值点，则a的取值范围为________．
解析 ∵f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－ax－b，
由f′(1)＝0，得b＝1－a.
∴f′(x)＝－ax＋a－1＝
＝－.
①若a≥0，当0＜x＜1时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；
当x＞1时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；
所以x＝1是f(x)的极大值点．
②若a＜0，由f′(x)＝0，得x＝1或x＝－.
因为x＝1是f(x)的极大值点，
所以－＞1，解得－1＜a＜0.
综合①②得a的取值范围是(－1，＋∞)．
答案 (－1，＋∞)
★5.已知函数f(x)＝－.
(1)求曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程；
(2)设函数g(x)＝－－＋m(m∈R)，试讨论函数f(x)与g(x)的图象在(0，＋∞)上交点的个数．
解 (1)由题意知，f′(x)＝，
∴f′(0)＝1，又f(0)＝－，
故所求切线方程为y＋＝x，即x－y－＝0.
(2)令h(x)＝f(x)－g(x)＝－＋＋－m(x>0)，
则h′(x)＝－＋＝－.
易知h′(1)＝0，
∴当00，当x>1时，h′(x)<0，
∴函数h(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
∴h(x)max＝h(1)＝－＋1－m.
①当－＋1－m＝0，即m＝1－时，函数h(x)只有1个零点，
即函数f(x)与g(x)的图象在(0，＋∞)上只有1个交点；
②当－＋1－m<0，即m>1－时，函数h(x)没有零点，
即函数f(x)与g(x)的图象在(0，＋∞)上没有交点；
③当－＋1－m>0，即m<1－时，函数h(x)有2个零点，
即函数f(x)与g(x)的图象在(0，＋∞)上有2个交点．
★6.(2018·广西三市第一次联考)已知f(x)＝ax－ln ，x∈(0，e]，g(x)＝，其中e是自然对数的底数，a∈R.
(1)当a＝1时，求f(x)的极值，并证明f(x)＞g(x)＋恒成立；
(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为3？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
解 (1)∵f(x)＝x－ln ，f′(x)＝1－＝.
∴当0＜x＜1时，f′(x)＜0，此时f(x)单调递减；
当1＜x＜e时，f′(x)＞0，此时f(x)单调递增．
∴f(x)的极小值为f(1)＝1，
即f(x)在(0，e]上的最小值为1，
令h(x)＝g(x)＋＝＋，
则h′(x)＝，
当0＜x＜e时，h′(x)＞0，h(x)在(0，e]上单调递增，
∴h(x)max＝h(e)＝＋＜＋＝1＝f(x)min.
∴f(x)＞g(x)＋恒成立．
(2)假设存在实数a，使f(x)＝ax－ln (x∈(0，e])有最小值3，f′(x)＝a－＝.
①当a≤0时，f(x)在(0，e]上单调递减，f(x)min＝f(e)＝ae－1＝3，a＝(舍去)，
∴a≤0时，不存在a使f(x)的最小值为3.
②当0＜＜e，即a＞时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，
∴f(x)min＝f＝1＋ln a＝3，a＝e2，满足条件．
③当≥e，即0＜a≤时，
f(x)在(0，e]上单调递减，
f(x)min＝f(e)＝ae－1＝3，a＝(舍去)，
∴≥e时，不存在a使f(x)的最小值为3.
综上，存在实数a＝e2，
使得当x∈(0，e]时，f(x)有最小值3.
第十二节定积分与微积分基本定理
1．定积分的概念
在f(x)dx中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式．
2．定积分的性质
(1) f(x)dx＝ f(x)dx( 为常数)；
(2) [f1(x)±f2(x)]dx＝f1(x)dx±f2(x)dx；
(3) f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(其中a＜c＜b)．
3．微积分基本定理
一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿－莱布尼茨公式．其中F(x)叫做f(x)的一个原函数．为了方便，常把F(b)－F(a)记作F(x) ，即f(x)dx＝F(x)＝F(b)－F(a)．
4．定积分的几何意义
定积分f(x)dx的几何意义是介于x轴、曲线y＝f(x)及直线x＝a，x＝b之间的曲边梯形的面积的代数和，其值可正可负，具体来说，如图，设阴影部分的面积为S.
①S＝f(x)dx；②S＝－f(x)dx；③S＝f(x)dx－f(x)dx；④S＝f(x)dx－g(x)dx＝ [f(x)－g(x)]dx.
1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)设函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则f(x)dx＝f(t)dt.( )
(2)定积分一定是曲边梯形的面积．( )
(3)若f(x)dx<0，那么由y＝f(x)的图象，直线x＝a，直线x＝b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方．( )
答案 (1)√ (2)× (3)×
2. exdx的值等于( )
A．e2 B．e－e2
C．e2－e D.(e2－e)
解析 选C exdx＝ex＝e2－e.
3．已知t是常数，若(2x－2)dx＝8，则t＝( )
A．1 B．－2
C．－2或4 D．4
解析 选D 由(2x－2)dx＝8得，(x2－2x) ＝t2－2t＝8，解得t＝4或t＝－2(舍去)．
4.如图，函数y＝－x2＋2x＋1与y＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是( )
A．1 B.
C. D．2
解析 选B 由得x1＝0，x2＝2.
所以所求面积S＝ (－x2＋2x＋1－1)dx＝ (－x2＋2x)dx＝＝－＋4＝.
5. e|x|dx的值为________．
解析 e|x|dx＝e－xdx＋exdx＝－e－x＋ex
＝[－e0－(－e)]＋(e－e0)＝－1＋e＋e－1＝2e－2.
答案 2e－2
6．若f(x)dx＝1，f(x)dx＝－1，则f(x)dx＝______.
解析 ∵f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx，
∴f(x)dx＝f(x)dx－f(x)dx＝－1－1＝－2.
答案 －2
[考什么·怎么考]
在高考中，定积分的计算是考查定积分的一种常见形式，能否快速、准确地求解原函数是解决问题的关键，属于基础题.
方法(一) 定理法求定积分
1. dx＝________.
解析 dx＝＝－ln 2.
答案 －ln 2
2. (sin －cos )dx＝________.
解析 (sin －cos )dx＝sin dx－cos dx
＝(－cos ) －sin ＝2.
答案 2
方法(二) 性质法求定积分
3. |1－x|dx＝________.
解析 |1－x|dx＝ (1－x)dx＋ (x－1)dx
＝＋
＝－0＋－＝1.
答案 1
4．若f(x)＝则f(x)dx＝________.
解析 f(x)dx＝xdx＋x2dx
＝x2＋x3＝＋－
＝.
答案
方法(三) 几何法求定积分
5. dx＝________.
解析 如图，y＝(0≤x≤1)表示以原点为圆心，半径为1的圆位于第一象限的弧，由几何意义知dx即为扇形的面积S＝.
答案
6. (＋x)dx＝________.
解析 (＋x)dx＝dx＋xdx，
其中dx等于半圆x2＋y2＝4(y≥0)的面积S，
S＝π·22＝2π，xdx＝x2＝0，
所以 (＋x)dx＝2π.
答案 2π
方法(四) 奇偶性法求定积分
7. (x2tan ＋x3＋1)dx＝________.
解析 ∵f(x)＝x2tan ＋x3是奇函数，
∴ (x2tan ＋x3＋1)dx＝0＋1dx＝x＝2.
答案 2
8. |x|dx＝________.
解析 ∵f(x)＝|x|是偶函数，
∴|x|dx＝2xdx＝x2＝4.
答案 4
[怎样快解·准解]
1．正确选用求定积分的4大常用方法
方法
适用类型
方法解读
定理法
较简单函数
利用微积分基本定理求定积分，其关键是求出被积函数的原函数
性质法
绝对值函数、分段函数
利用定积分的性质将积分区间分解为若干部分求解
几何法
函数较复杂且有明显的几何意义
用定积分的几何意义来求，即通过图形中面积的计算来求定积分值的大小
奇偶
性法
函数具有奇偶性
若函数f(x)为偶函数，且在区间[－a，a]上连续，则f(x)dx＝2f(x)dx；若f(x)是奇函数，且在区间[－a，a]上连续，则f(x)dx＝0
2．利用微积分基本定理求定积分的5步骤
定积分的应用体现在两个方面，一是求曲边梯形的面积，二是求变速运动的路程，特别是求曲线梯形的面积是近几年高考的热点，考查题型为选择题或填空题，难度较小，属中低档题.
[典题领悟]
1．(2018·新疆第二次适应性检测)由曲线y＝x2＋1，直线y＝－x＋3，x轴正半轴与y轴正半轴所围成图形的面积为( )
A．3 B.
C. D.
解析 选B 由题可知题中所围成的图形如图中阴影部分所示，
由
解得(舍去)或即A(1,2)，结合图形可知，所求的面积为(x2＋1)dx＋×22＝＋2＝.
2．一物体按规律x＝bt3做直线运动，式中x为时间t
内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方(比例系数为 ， >0)，则物体由x＝0运动到x＝a，阻力所做的功为________．
解析 物体的速度v＝＝(bt3)′＝3bt2.
媒质的阻力F阻＝ v2＝ (3bt2)2＝9 b2t4.
当x＝0时，t＝0；
当x＝a时，t＝t1＝，
又dx＝vdt，故阻力所做的功为
W阻＝F阻dx＝ v2·vdt＝ v3dt
＝ (3bt2)3dt＝ b3t＝ .
答案
[解题师说]
1．求曲边图形的面积的4步骤
(1)根据题意画出图形；
(2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；
(3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；
(4)计算定积分，写出答案．
求解时，注意要把定积分与利用定积分计算图形面积区别开 定积分是一个数值(极限值)，可为正，可为负，也可为零，而平面图形的面积在一般意义上总为正．
2．定积分在物理中的2个应用
(1)求物体做变速直线运动的路程，如果变速直线运动物体的速度为v＝v(t)，那么从时刻t＝a到t＝b所经过的路程s＝v(t)dt.
(2)变力做功，一物体在变力F(x)的作用下，沿着与F(x)相同方向从x＝a移动到x＝b时，力F(x)所做的功是W＝F(x)dx.
[冲关演练]
1．从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v＝gt(g为常数)，则电视塔高为( )
A.g B．g
C.g D．2g
解析 选C 由题意知电视塔高为gtdt＝gt2＝2g－g＝g.
2．曲线y＝与直线y＝x－1及x＝4所围成的封闭图形的面积为( )
A．2ln 2 B．2－ln 2
C．4－ln 2 D．4－2ln 2
解析 选D 由曲线y＝与直线y＝x－1联立，解得x＝－1(舍去)，x＝2，作出曲线y＝与直线y＝x－1的图象如图所示，故所求图形的面积为S＝dx＝x2－x－2ln ＝4－2ln 2.
3．(2018·历城二中模拟)设a>0，若曲线y＝与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则a＝________.
解析 封闭图形如图所示，
则dx＝x＝a－0＝a2，解得a＝.
答案
(一)普通高中适用
A级——基础小题练熟练快
★1．定积分(3x＋ex)dx的值为( )
A．e＋1 B．e
C．e－ D．e＋
解析 选D (3x＋ex)dx＝＝＋e－1＝e＋.
2．若f(x)＝则f(x)dx＝( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析 选D f(x)dx＝(x3＋sin )dx＋3dx＝0＋3x＝6－3＝3.
3. (1＋cos )dx＝( )
A．π B．2
C．π－2 D．π＋2
解析 选D 因为(x＋sin )′＝1＋cos ，
所以 (1＋cos )dx＝(x＋sin )
＝＋sin－＝π＋2.
4．若(x2＋mx)dx＝0，则实数m的值为( )
A．－ B．－
C．－1 D．－2
解析 选B 由题意知 (x2＋mx)dx＝＝＋＝0，解得m＝－.
★5．若f(x)＝f(f(1))＝1，则a的值为( )
A．1 B．2
C．－1 D．－2
解析 选A 因为f(1)＝lg 1＝0，f(0)＝3t2dt＝t3＝a3，所以由f(f(1))＝1得a3＝1，所以a＝1.
★6．已知f(x)为偶函数且f(x)dx＝8，则f(x)dx等于( )
A．0 B．4
C．8 D．16
解析 选D 因为原函数f(x)为偶函数，即在y轴两侧的图象对称，所以对应的面积相等，
即f(x)dx＝2f(x)dx＝8×2＝16.
★7．若函数f(x)＝x＋，则f(x)dx＝________.
解析 f(x)dx＝dx＝＝e2＋.
答案 e2＋
8．若dx＝3＋ln 2(a>1)，则a的值是________．
解析 dx＝2xdx＋dx
＝x2＋ln ＝a2－1＋ln a＝3＋ln 2，
所以解得a＝2.
答案 2
9．汽车以v＝3t＋2(单位 m/s)作变速直线运动时，在第1 s至第2 s间的1 s内经过的路程是________m.
解析 s＝ (3t＋2)dt＝
＝×4＋4－＝10－＝(m)．
答案
10．如图，由曲线y＝x2和直线y＝t2(0b B．a＋b<1
C．a1)，则a的值是________．
解析 dx＝2xdx＋dx
＝x2＋ln ＝a2－1＋ln a＝3＋ln 2，
所以解得a＝2.
答案 2
7．汽车以v＝3t＋2(单位 m/s)作变速直线运动时，在第1 s至第2 s间的1 s内经过的路程是________m.
解析 s＝(3t＋2)dt＝
＝×4＋4－＝10－＝(m)．
答案
★8.如图，由曲线y＝x2和直线y＝t2(0
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