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- 2021-06-09 发布
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第4讲 简单的三角恒等变换
三角函数式的化简
[典例引领]
化简:(1)(0<θ<π);
(2)·.
【解】 (1)原式=
=
=.
因为0<θ<π,所以0<<,所以cos >0.
所以原式=-cos θ.
(2)原式=·
=·
=·=.
三角函数式的化简要遵循“三看”原则
[通关练习]
1.(2018·长沙模拟)化简:=________.
解析:==
=4sin α.
答案:4sin α
2.化简:.
解:原式=
=
=
=cos 2x.
三角函数式的求值(高频考点)
三角函数式的求值在高考中主要以选择题形式出现,有时以解答题某一步出现,试题难度较小.高考对三角函数求值的考查有以下三个命题角度:
(1)给角求值;
(2)给值求值;
(3)给值求角.
[典例引领]
角度一 给角求值
的值是________.
【解析】 =
===2.
【答案】 2
角度二 给值求值
已知α∈,且2sin2α-sin αcos α-3cos2 α=0,求的值.
【解】 因为α∈,且2sin2α-sin αcos α-3cos2α=0,则(2sin α-3cos α)(sin α+cos α)=0,
所以2sin α=3cos α,又sin2α+cos2α=1,
所以cos α=,sin α=,
所以
==.
角度三 给值求角
已知tan α,tan β是方程x2+3x+4=0的两根,且α,β∈,则α+β=( )
A. B.或-
C.-或 D.-
【解析】 由题意得tan α+tan β=-3<0,tan αtan β=4>0,所以tan(α+β)==,且tan α<0,tan β<0,又由α,β∈得α,β∈,所以α+β∈(-π,0),所以α+β
=-.
【答案】 D
三角函数求值的3种情况
[通关练习]
1.计算:=( )
A. B.-
C. D.-
解析:选D.原式=-·=-tan=-×=-.
2.已知sin α=且α为第二象限角,则tan=( )
A.- B.-
C.- D.-
解析:选D.由题意得cos α=-,则sin 2α=-,cos 2α=2cos2α-1=,所以tan 2α=-,所以tan===-.
3.(2018·南充模拟)已知α∈,β∈,且cos α=,cos(α+β)=-,则β=________.
解析:因为α∈,β∈,且cos α=,cos=-,
所以sin α==,
sin(α+β)==,
则sin β=sin[(α+β)-α]
=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α
=×-×=,因为β∈,所以β=.
答案:
三角恒等变换的简单应用
[典例引领]
如图,现要在一块半径为1 m,圆心角为的扇形白铁片AOB上剪出一个平行四边形MNPQ,使点P在弧AB上,点Q在OA上,点M,N在OB上,设∠BOP=θ,平行四边形MNPQ的面积为S.
(1)求S关于θ的函数关系式;
(2)求S的最大值及相应的θ角.
【解】 (1)分别过P,Q作PD⊥OB于点D,QE⊥OB于点E,则四边形QEDP为矩形.
由扇形半径为1 m,得PD=sin θ,OD=cos θ.
在Rt△OEQ中,
OE=QE=PD,
MN=QP=DE=OD-OE=cos θ-sin θ,
S=MN·PD=·sin θ
=sin θcos θ-sin2θ,θ∈.
(2)S=sin 2θ-(1-cos 2θ)
=sin 2θ+cos 2θ-=sin-,
因为θ∈,
所以2θ+∈,sin∈.
当θ=时,Smax=(m2).
利用三角恒等变换解决实际问题的思路
(1)结合具体图形引进角为参数,利用三角函数的有关公式进行化简,解决最优化问题.
(2)解决三角函数应用问题和解决一般应用性问题一样,先建模,再讨论变量的范围,最后作出结论并回答问题.
[提醒] 注意恰当选择自变量,并利用解直角三角形等知识表示有关线段.
如图,有一块以点O为圆心的半圆形空地,要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地,使其一边AD落在半圆的直径上,另两点B,C落在半圆的圆周上.已知半圆的半径长为20 m,如何选择关于点O对称的点A,D的位置,可以使矩形ABCD的面积最大,最大值是多少?
解:连接OB,设∠AOB=θ,
则AB=OBsin θ=20sin θ,OA=OBcos θ=20cos θ,且θ∈.
因为A,D关于原点对称,
所以AD=2OA=40cos θ.
设矩形ABCD的面积为S,则
S=AD·AB=40cos θ·20sin θ
=400sin 2θ.因为θ∈,
所以当sin 2θ=1,
即θ=时,Smax=400(m2).
此时AO=DO=10(m).
故当A、D距离圆心O为10 m时,矩形ABCD的面积最大,其最大面积是400 m2.
三角恒等变换三大原则
(1)变角:目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角,其手法通常是“配凑”.
(2)变名:通过变换函数名称达到减少函数种类的目的,其手法通常有“切化弦”“升幂与降幂”等.
(3)变式:根据式子的结构特征进行变形,使其更贴近某个公式或某个期待的目标,其手法通常有“常值代换”“正用、逆用公式”“通分与约分”“分解与组合”“配方与平方”等.
易错防范
在求角的某个三角函数值时,应注意根据条件选择恰当的函数,尽量做到所选函数在确定角的范围内为一对一函数.
(1)已知正切函数值,选正切函数;
(2)已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数;若角的范围是,选正、余弦函数皆可;若角的范围是(0,π),选余弦函数较好;若角的范围为,选正弦函数较好.
1.已知sin 2α=,则cos2=( )
A. B.-
C. D.-
解析:选C.cos2====,故选C.
2.已知f(x)=2tan x-,则f的值为( )
A.4 B.
C.4 D.8
解析:选D.因为f(x)=2=2×=2×=,
所以f==8.
3.(2018·湖北新联考模拟)=( )
A. B.
C. D.1
解析:选A.====.故选A.
4.已知α,β均为锐角,(1+tanα)(1+tan β)=2,则α+β为( )
A. B.
C. D.
解析:选B.由(1+tan α)(1+tan β)=2得
tan α+tan β=1-tan αtan β,
所以tan(α+β)===1.
因为0<α,β<,所以0<α+β<π,所以α+β=.
5.sin220°+cos280°+sin 20°cos 80°的值为( )
A. B.
C. D.1
解析:选A.sin220°+cos280°+sin 20°·cos 80°
=(1-cos 40°)+(1+cos 160°)+sin 20°cos(60°+20°)
=1-cos 40°+(cos 120°·cos 40°-sin 120°·sin 40°)+sin 20°(cos 60°cos 20°-sin 60°sin 20°)
=1-cos 40°-cos 40°-sin 40°+sin 40°-sin220°
=1-cos 40°-(1-cos 40°)=.
6.-=________.
解析:原式=
==tan 30°=.
答案:
7.已知cos 2θ=,则sin4θ+cos4θ=________.
解析:法一:因为cos 2θ=,
所以2cos2θ-1=,1-2sin2θ=,
因为cos2θ=,sin2θ=,
所以sin4θ+cos4θ=.
法二:sin4θ+cos4θ=(sin2θ+cos2θ)2-sin22θ
=1-(1-cos22θ)=1-×=.
答案:
8.已知=,tan(α-β)=,则tan β=________.
解析:因为=,所以=,=1,所以tan α=1,又因为tan(α-β)=,
所以tan β=tan[α-(α-β)]===.
答案:
9.化简:.
解:
==
===
==tan α.
10.已知tan α=-,cos β=,α∈,β∈,求tan(α+β)的值,并求出α+β的值.
解:由cos β=,β∈,
得sin β=,tan β=2.
所以tan(α+β)=
==1.
因为α∈,β∈,
所以<α+β<,
所以α+β=.
1.若sin 2α=,sin(β-α)=,且α∈,β∈,则α+β的值是( )
A. B.
C.或 D.或
解析:选A.因为sin 2α=,α∈,所以cos 2α=-且α∈,又因为sin(β-α)=,β∈,
所以cos(β-α)=-,因此cos(α+β)=cos[(β-α)+2α]=cos(β-α)·cos 2α-sin(β-α)sin 2α=-×-×=,又α+β∈,所以α+β=,故选A.
2.(2018·山西省晋中名校高三联合测试)对于集合{a1,a2,…,an}和常数a0,定义:ω=
为集合{a1,a2,…,an}相对a0的“正弦方差”,则集合相对a0的“正弦方差”为( )
A. B.
C. D.与a0有关的一个值
解析:选A.集合相对a0的“正弦方差”
ω=
=
=
=
=
=.
3.(2018·云南省第一次统一检测)计算
=________(用数字作答).
解析:====.
答案:
4.(2018·济南模拟)设α∈,β∈,且5sin α+5cos α=8,sin β+cos β=2,则cos(α+β)的值为________.
解析:由5sin α+5cos α=8,得sin=,
因为α∈,α+∈,
所以cos=.
又β∈,β+∈,
由sin β+cos β=2,得
sin=.
所以cos=-.
所以cos(α+β)=sin
=sin
=sincos+cossin
=-.
答案:-
5.已知函数f(x)=Acos(+),x∈R,且f=.
(1)求A的值;
(2)设α,β∈,f=-,f=,求cos(α+β)的值.
解:(1)因为f=Acos=Acos=A=,
所以A=2.
(2)由f=2cos(α++)=2cos=-2sin α=-,
得sin α=,又α∈,
所以cos α=.
由f=2cos(β-+)
=2cos β=,
得cos β=,又β∈,
所以sin β=,
所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β
=×-×=-.
6.广告公司为某游乐场设计某项设施的宣传画,根据该设施的外观,设计成的平面图由半径为2 m的扇形AOB和三角区域BCO构成,其中C,O,A在一条直线上,∠ACB=,
记该设施平面图的面积为S(x)m2,∠AOB=x rad,其中