- 373.50 KB
- 2021-06-09 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
12.4 离散型随机变量及其分布列
最新考纲 考情考向分析
1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分
布列的概念,认识分布列对于刻画随机现象
的重要性,会求某些取有限个值的离散型随
机变量的分布列.
2.了解超几何分布,并能进行简单的应用.
以理解离散型随机变量及其分布列的概念为
主,经常以频率分布直方图为载体,结合频
率与概率,考查离散型随机变量、离散型随
机变量分布列的求法.在高考中以解答题的
形式进行考查,难度多为中低档.
1.离散型随机变量的分布列
(1)将随机现象中试验(或观测)的每一个可能的结果都对应于一个数,这种对应称为一个随机
变量.
(2)离散型随机变量:随机变量的取值能够一一列举出来,这样的随机变量称为离散型随机
变量.
(3)设离散型随机变量 X 的取值为 a1,a2,…随机变量 X 取 ai 的概率为 pi(i=1,2,…),记作:
P(X=ai)=pi(i=1,2,…),
或把上式列表:
X=ai a1 a2 …
P(X=ai) p1 p2 …
称为离散型随机变量 X 的分布列.
(4)性质:
①pi>0,i=1,2,…;
②p1+p2+…=1.
2.超几何分布
一般地,设有 N 件产品,其中有 M(M≤N)件次品.从中任取 n (n≤N)件产品,用 X 表示取
出的 n 件产品中次品的件数,那么
P(X= )=CkMCn-kN-M
CnN
(其中 为非负整数).
如果一个随机变量的分布列由上式确定,则称 X 服从参数为 N,M,n 的超几何分布.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)抛掷均匀硬币一次,出现正面的次数是随机变量.( √ )
(2)离散型随机变量的分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象.( √ )
(3)从 4 名男演员和 3 名女演员中选出 4 名,其中女演员的人数 X 服从超几何分布.( √ )
(4)离散型随机变量的分布列中,随机变量取各个值的概率之和可以小于 1.( × )
(5)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的.( √ )
题组二 教材改编
2.设随机变量 X 的分布列如下:
X 1 2 3 4 5
P 1
12
1
6
1
3
1
6 p
则 p 为( )
A.1
6 B.1
3
C.1
4 D. 1
12
答案 C
解析 由分布列的性质知, 1
12
+1
6
+1
3
+1
6
+p=1,
∴p=1-3
4
=1
4.
3.有一批产品共 12 件,其中次品 3 件,每次从中任取一件,在取到合格品之前取出的次品
数 X 的所有可能取值是____________.
答案 0,1,2,3
解析 因为次品共有 3 件,所以在取到合格品之前取到次品数为 0,1,2,3.
4.设随机变量 X 的分布列为
X 1 2 3 4
P 1
3 m 1
4
1
6
则 P(|X-3|=1)=________.
答案 5
12
解析 由1
3
+m+1
4
+1
6
=1,解得 m=1
4
,
P(|X-3|=1)=P(X=2)+P(X=4)
=1
4
+1
6
= 5
12.
题组三 易错自纠
5.袋中有 3 个白球、5 个黑球,从中任取 2 个,可以作为随机变量的是( )
A.至少取到 1 个白球 B.至多取到 1 个白球
C.取到白球的个数 D.取到的球的个数
答案 C
解析 选项 A,B 表述的都是随机事件;选项 D 是确定的值 2,并不随机;选项 C 是随机变
量,可能取值为 0,1,2.
6.随机变量 X 等可能取值 1,2,3,…,n,如果 P(X<4)=0.3,则 n=________.
答案 10
解析 由 P(X<4)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=1
n
+1
n
+1
n
=3
n
=0.3,得 n=10.
7.一盒中有 12 个乒乓球,其中 9 个新的、3 个旧的,从盒中任取 3 个球来用,用完后装回
盒中,此时盒中旧球个数 X 是一个随机变量,则 P(X=4)的值为______.
答案 27
220
解析 由题意知取出的 3 个球必为 2 个旧球、1 个新球,
故 P(X=4)=C23C19
C312
= 27
220.
题型一 离散型随机变量的分布列的性质
1.离散型随机变量 X 的概率分布规律为 P(X=n)= a
nn+1(n=1,2,3,4),其中 a 是常数,则
P
1
28,且 n∈N+),
其中女校友 6 位,组委会对这 n 位校友登记制作了一份校友名单,现随机从中选出 2 位校友
代表,若选出的 2 位校友是一男一女,则称为“最佳组合”.
(1)若随机选出的 2 位校友代表为“最佳组合”的概率不小于1
2
,求 n 的最大值;
(2)当 n=12 时,设选出的 2 位校友代表中女校友人数为 X,求随机变量 X 的分布列.
解 (1)由题意可知,所选 2 人为“最佳组合”的概率为
C1n-6C16
C2n
=12n-6
nn-1
,
则12n-6
nn-1
≥1
2.
化简得 n2-25n+144≤0,
解得 9≤n≤16,
故 n 的最大值为 16.
(2)由题意可得,X 的可能取值为 0,1,2.
则 P(X=0)= C26
C212
= 5
22
,
P(X=1)=C16C16
C212
= 6
11
,
P(X=2)= C26
C212
= 5
22
,
所以 X 的分布列为
X 0 1 2
P 5
22
6
11
5
22
15.设ξ为随机变量,从棱长为 1 的正方体的 12 条棱中任取两条,当两条棱相交时,ξ=0;
当两条棱平行时,ξ的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时,ξ=1,则随机变量ξ的分布
列是________.
答案
ξ 0 1 2
P 4
11
6
11
1
11
解析 ξ的可能取值为 0,1, 2.
P(ξ=0)=8C23
C212
= 4
11
,P(ξ= 2)= 6
C212
= 1
11.
P(ξ=1)=1-P(ξ=0)-P(ξ= 2)=1- 4
11
- 1
11
= 6
11.
16.盒内有大小相同的 9 个球,其中 2 个红色球,3 个白色球,4 个黑色球.规定取出 1 个
红色球得 1 分,取出 1 个白色球得 0 分,取出 1 个黑色球得-1 分.现从盒内任取 3 个球.
(1)求取出的 3 个球中至少有 1 个红色球的概率;
(2)求取出的 3 个球得分之和恰为 1 分的概率;
(3)设ξ为取出的 3 个球中白色球的个数,求ξ的分布列.
解 (1)P=1-C37
C39
= 7
12.
(2)记“取出 1 个红色球,2 个白色球”为事件 B,“取出 2 个红色球,1 个黑色球”为事件 C,
则 P(B+C)=P(B)+P(C)=C12C23
C39
+C22C14
C39
= 5
42.
(3)ξ可能的取值为 0,1,2,3,ξ服从超几何分布,所以
P(ξ= )=Ck3C3-k6
C39
, =0,1,2,3.
故 P(ξ=0)=C36
C39
= 5
21
,P(ξ=1)=C13C26
C39
=15
28
,
P(ξ=2)=C23C16
C39
= 3
14
,P(ξ=3)=C33
C39
= 1
84.
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P 5
21
15
28
3
14
1
84