• 373.50 KB
  • 2021-06-09 发布

【数学】2019届一轮复习北师大版离散型随机变量及其分布列学案

  • 18页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
12.4 离散型随机变量及其分布列 最新考纲 考情考向分析 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分 布列的概念,认识分布列对于刻画随机现象 的重要性,会求某些取有限个值的离散型随 机变量的分布列. 2.了解超几何分布,并能进行简单的应用. 以理解离散型随机变量及其分布列的概念为 主,经常以频率分布直方图为载体,结合频 率与概率,考查离散型随机变量、离散型随 机变量分布列的求法.在高考中以解答题的 形式进行考查,难度多为中低档. 1.离散型随机变量的分布列 (1)将随机现象中试验(或观测)的每一个可能的结果都对应于一个数,这种对应称为一个随机 变量. (2)离散型随机变量:随机变量的取值能够一一列举出来,这样的随机变量称为离散型随机 变量. (3)设离散型随机变量 X 的取值为 a1,a2,…随机变量 X 取 ai 的概率为 pi(i=1,2,…),记作: P(X=ai)=pi(i=1,2,…), 或把上式列表: X=ai a1 a2 … P(X=ai) p1 p2 … 称为离散型随机变量 X 的分布列. (4)性质: ①pi>0,i=1,2,…; ②p1+p2+…=1. 2.超几何分布 一般地,设有 N 件产品,其中有 M(M≤N)件次品.从中任取 n (n≤N)件产品,用 X 表示取 出的 n 件产品中次品的件数,那么 P(X= )=CkMCn-kN-M CnN (其中 为非负整数). 如果一个随机变量的分布列由上式确定,则称 X 服从参数为 N,M,n 的超几何分布. 题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)抛掷均匀硬币一次,出现正面的次数是随机变量.( √ ) (2)离散型随机变量的分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象.( √ ) (3)从 4 名男演员和 3 名女演员中选出 4 名,其中女演员的人数 X 服从超几何分布.( √ ) (4)离散型随机变量的分布列中,随机变量取各个值的概率之和可以小于 1.( × ) (5)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的.( √ ) 题组二 教材改编 2.设随机变量 X 的分布列如下: X 1 2 3 4 5 P 1 12 1 6 1 3 1 6 p 则 p 为( ) A.1 6 B.1 3 C.1 4 D. 1 12 答案 C 解析 由分布列的性质知, 1 12 +1 6 +1 3 +1 6 +p=1, ∴p=1-3 4 =1 4. 3.有一批产品共 12 件,其中次品 3 件,每次从中任取一件,在取到合格品之前取出的次品 数 X 的所有可能取值是____________. 答案 0,1,2,3 解析 因为次品共有 3 件,所以在取到合格品之前取到次品数为 0,1,2,3. 4.设随机变量 X 的分布列为 X 1 2 3 4 P 1 3 m 1 4 1 6 则 P(|X-3|=1)=________. 答案 5 12 解析 由1 3 +m+1 4 +1 6 =1,解得 m=1 4 , P(|X-3|=1)=P(X=2)+P(X=4) =1 4 +1 6 = 5 12. 题组三 易错自纠 5.袋中有 3 个白球、5 个黑球,从中任取 2 个,可以作为随机变量的是( ) A.至少取到 1 个白球 B.至多取到 1 个白球 C.取到白球的个数 D.取到的球的个数 答案 C 解析 选项 A,B 表述的都是随机事件;选项 D 是确定的值 2,并不随机;选项 C 是随机变 量,可能取值为 0,1,2. 6.随机变量 X 等可能取值 1,2,3,…,n,如果 P(X<4)=0.3,则 n=________. 答案 10 解析 由 P(X<4)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=1 n +1 n +1 n =3 n =0.3,得 n=10. 7.一盒中有 12 个乒乓球,其中 9 个新的、3 个旧的,从盒中任取 3 个球来用,用完后装回 盒中,此时盒中旧球个数 X 是一个随机变量,则 P(X=4)的值为______. 答案 27 220 解析 由题意知取出的 3 个球必为 2 个旧球、1 个新球, 故 P(X=4)=C23C19 C312 = 27 220. 题型一 离散型随机变量的分布列的性质 1.离散型随机变量 X 的概率分布规律为 P(X=n)= a nn+1(n=1,2,3,4),其中 a 是常数,则 P 1 28,且 n∈N+), 其中女校友 6 位,组委会对这 n 位校友登记制作了一份校友名单,现随机从中选出 2 位校友 代表,若选出的 2 位校友是一男一女,则称为“最佳组合”. (1)若随机选出的 2 位校友代表为“最佳组合”的概率不小于1 2 ,求 n 的最大值; (2)当 n=12 时,设选出的 2 位校友代表中女校友人数为 X,求随机变量 X 的分布列. 解 (1)由题意可知,所选 2 人为“最佳组合”的概率为 C1n-6C16 C2n =12n-6 nn-1 , 则12n-6 nn-1 ≥1 2. 化简得 n2-25n+144≤0, 解得 9≤n≤16, 故 n 的最大值为 16. (2)由题意可得,X 的可能取值为 0,1,2. 则 P(X=0)= C26 C212 = 5 22 , P(X=1)=C16C16 C212 = 6 11 , P(X=2)= C26 C212 = 5 22 , 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 P 5 22 6 11 5 22 15.设ξ为随机变量,从棱长为 1 的正方体的 12 条棱中任取两条,当两条棱相交时,ξ=0; 当两条棱平行时,ξ的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时,ξ=1,则随机变量ξ的分布 列是________. 答案 ξ 0 1 2 P 4 11 6 11 1 11 解析 ξ的可能取值为 0,1, 2. P(ξ=0)=8C23 C212 = 4 11 ,P(ξ= 2)= 6 C212 = 1 11. P(ξ=1)=1-P(ξ=0)-P(ξ= 2)=1- 4 11 - 1 11 = 6 11. 16.盒内有大小相同的 9 个球,其中 2 个红色球,3 个白色球,4 个黑色球.规定取出 1 个 红色球得 1 分,取出 1 个白色球得 0 分,取出 1 个黑色球得-1 分.现从盒内任取 3 个球. (1)求取出的 3 个球中至少有 1 个红色球的概率; (2)求取出的 3 个球得分之和恰为 1 分的概率; (3)设ξ为取出的 3 个球中白色球的个数,求ξ的分布列. 解 (1)P=1-C37 C39 = 7 12. (2)记“取出 1 个红色球,2 个白色球”为事件 B,“取出 2 个红色球,1 个黑色球”为事件 C, 则 P(B+C)=P(B)+P(C)=C12C23 C39 +C22C14 C39 = 5 42. (3)ξ可能的取值为 0,1,2,3,ξ服从超几何分布,所以 P(ξ= )=Ck3C3-k6 C39 , =0,1,2,3. 故 P(ξ=0)=C36 C39 = 5 21 ,P(ξ=1)=C13C26 C39 =15 28 , P(ξ=2)=C23C16 C39 = 3 14 ,P(ξ=3)=C33 C39 = 1 84. 所以ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P 5 21 15 28 3 14 1 84