【数学】2020届一轮复习北师大版坐标系学案 9页

选修 4－4 坐标系与参数方程 第一节 坐标系 [考纲传真] 1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下 平面图形的变化情况.2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点 的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能在极坐标系中给出简单图形表示的 极坐标方程． 1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点 P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：x′＝λx，λ＞0， y′＝μy，μ＞0 的作用下，点 P(x，y)对应到点 P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标 伸缩变换． 2．极坐标与极坐标系的概念 在平面内取一个定点 O，叫作极点，从 O 点引一条射 线 Ox，叫作极轴，选定一个单位长度和角的正方向(通常取 逆时针方向)．这样就确定了一个平面极坐标系，简称为极 坐标系．对于平面内任意一点 M，用ρ表示线段 OM 的长，θ 表示以 Ox 为始边、OM 为终边的角度，ρ叫作点 M 的极径，θ叫作点 M 的极角， 有序实数对(ρ，θ)叫作点 M 的极坐标，记作 M(ρ，θ)． 当点 M 在极点时，它的极径ρ＝0，极角θ可以取任意值． 3．极坐标与直角坐标的互化 点 M 直角坐标(x，y) 极坐标(ρ，θ) 互化公式 x＝ρcos θ， y＝ρsin θ ρ2＝x2＋y2 tan θ＝y x(x≠0) 4.圆的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点，半径为 r 的圆 ρ＝r(0≤θ＜2π) 圆心为(r,0)，半径为 r 的圆 ρ＝2rcos_θ －π 2 ≤θ≤π 2 圆心为 r，π 2 ，半径为 r 的圆 ρ＝2rsin_θ(0≤θ＜π) 5.直线的极坐标方程 (1)直线 l 过极点，且极轴到此直线的角为α，则直线 l 的极坐标方程是θ＝ α(ρ∈R)． (2)直线 l 过点 M(a,0)且垂直于极轴，则直线 l 的极坐标方程为ρcos θ＝ a －π 2 ＜θ＜π 2 . (3)直线过 M b，π 2 且平行于极轴，则直线 l 的极坐标方程为ρsin_θ＝b(0＜θ ＜π)． [基础自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与 坐标也是一一对应关系． ( ) (2)若点 P 的直角坐标为(1，－ 3)，则点 P 的一个极坐标是 2，－π 3 .( ) (3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的． ( ) (4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线． ( ) [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)× 2．(教材改编)在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( ) A. 1，π 2 B． 1，－π 2 C．(1,0) D．(1，π) B [法一：由ρ＝－2sin θ，得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为 x2＋y2＝ －2y，化成标准方程为 x2＋(y＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为 1，－π 2 . 法二：由ρ＝－2sin θ＝2cos θ＋π 2 ，知圆心的极坐标为 1，－π 2 ，故选 B．] 3．(教材改编)若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极 坐标系，则线段 y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为( ) A．ρ＝ 1 cos θ＋sin θ ，0≤θ≤π 2 B．ρ＝ 1 cos θ＋sin θ ，0≤θ≤π 4 C．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π 2 D．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π 4 A [∵y＝1－x(0≤x≤1)， ∴ρsin θ＝1－ρcos θ(0≤ρcos θ≤1)， ∴ρ＝ 1 sin θ＋cos θ 0≤θ≤π 2 .] 4．在极坐标系中，曲线 C1 和 C2 的方程分别为ρsin2 θ＝cos θ和ρsin θ＝1.以 极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则 曲线 C1 和 C2 的交点的直角坐标为________． (1,1) [由ρsin2θ＝cos θ⇒ρ2sin2θ＝ρcos θ⇒y2＝x，又由ρsin θ＝1⇒y＝1，联 立 y2＝x， y＝1 ⇒ x＝1， y＝1. 故曲线 C1 和 C2 交点的直角坐标为(1,1)．] 5．在极坐标系中，圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝π 3(ρ∈R)距离的最大值是 ________． 6 [圆ρ＝8sin θ即ρ2＝8ρsin θ，化为直角坐标方程为 x2＋(y－4)2＝16，直线θ ＝π 3 ，则 tan θ＝ 3，化为直角坐标方程为 3x－y＝0，圆心(0,4)到直线的距离为 |－4| 4 ＝2，所以圆上的点到直线距离的最大值为 2＋4＝6.] 平面直角坐标系中的伸缩变换(题组呈现) 1．求椭圆x2 4 ＋y2＝1 经过伸缩变换 x′＝1 2x， y′＝y 后的曲线方程． [解] 由 x′＝1 2x， y′＝y， 得到 x＝2x′， y＝y′. ① 将①代入x2 4 ＋y2＝1，得4x′2 4 ＋y′2＝1，即 x′2＋y′2＝1. 因此椭圆x2 4 ＋y2＝1 经伸缩变换后得到的曲线方程是 x2＋y2＝1. 2．将圆 x2 ＋y2 ＝1 变换为椭圆x2 9 ＋y2 4 ＝1 的一个伸缩变换公式为φ： X＝axa＞0， Y＝byb＞0， 求 a，b 的值． [解] 由 X＝ax， Y＝by 得 x＝1 aX， y＝1 bY， 代入 x2＋y2＝1 中得X2 a2 ＋Y2 b2 ＝1， 所以 a2＝9，b2＝4，即 a＝3，b＝2. [规律方法] 平面上的曲线 y＝fx在变换φ： x′＝λxλ＞0， y′＝μyμ＞0 的作用下的 变换方程的求法是将 x＝x′ λ ， y＝y′ μ 代入 y＝fx，得y′ μ ＝f x′ λ ，整理之后得到 y′＝hx′，即为所求变换之后的方程.,易错警示：应用伸缩变换时，要分清变 换前的点的坐标x，y与变换后的点的坐标x′，y′. 极坐标系与直角坐标系的互化(例题对讲) 【例 1】 (2019·合肥质检)在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴正半轴 为极轴建立极坐标系．曲线 C 的极坐标方程为ρcos θ－π 3 ＝1(0≤θ＜2π)，M，N 分别为曲线 C 与 x 轴，y 轴的交点． (1)写出曲线 C 的直角坐标方程，并求 M，N 的极坐标； (2)设 MN 的中点为 P，求直线 OP 的极坐标方程． [解] (1)由ρcos θ－π 3 ＝1 得 ρ 1 2cos θ＋ 3 2 sin θ ＝1. 从而曲线 C 的直角坐标方程为 1 2x＋ 3 2 y＝1，即 x＋ 3y－2＝0. 当θ＝0 时，ρ＝2，所以 M(2,0)． 当θ＝π 2 时，ρ＝2 3 3 ，所以 N 2 3 3 ，π 2 . (2)M 点的直角坐标为(2,0)，N 点的直角坐标为 0，2 3 3 . 所以 P 点的直角坐标为 1， 3 3 ， 则 P 点的极坐标为 2 3 3 ，π 6 . 所以直线 OP 的极坐标方程为θ＝π 6(ρ∈R)． [规律方法] 极坐标方程与直角坐标方程的互化方法 1直角坐标方程化为极坐标方程：将公式 x＝ρcos θ及 y＝ρsin θ直接代入直 角坐标方程并化简即可. 2极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形，构造出形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2 的形式，再应用公式进行代换.其中方程的两边同乘以或同除以ρ及方程两边平 方是常用的变形技巧. 已知圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－2 2ρcos θ－π 4 ＝2. (1)把圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程． [解] (1)由ρ＝2 知ρ2＝4， 所以圆 O1 的直角坐标方程为 x2＋y2＝4. 因为ρ2－2 2ρcos θ－π 4 ＝2， 所以ρ2－2 2ρ cos θcosπ 4 ＋sin θsinπ 4 ＝2， 即ρ2－2ρcos θ－2ρsin θ＝2. 所以圆 O2 的直角坐标方程为 x2＋y2－2x－2y－2＝0. (2)将两圆的直角坐标方程相减， 得经过两圆交点的直线方程为 x＋y＝1. 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1， 即ρsin θ＋π 4 ＝ 2 2 . 极坐标方程的应用(例题对讲) 【例 2】 在直角坐标系 xOy 中，直线 C1：x＝－2，圆 C2：(x－1)2＋(y－2)2 ＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求 C1，C2 的极坐标方程； (2)若直线 C3 的极坐标方程为θ＝π 4(ρ∈R)，设 C2 与 C3 的交点为 M，N，求 △C2MN 的面积． [解] (1)因为 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ， 所以 C1 的极坐标方程为ρcos θ＝－2， C2 的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0. (2)将θ＝π 4 代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得 ρ2－3 2ρ＋4＝0，解得ρ1＝2 2，ρ2＝ 2. 故ρ1－ρ2＝ 2，即|MN|＝ 2. 由于 C2 的半径为 1，所以△C2MN 的面积为1 2. [规律方法] 在用方程解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题时，将极坐标方 程化为直角坐标方程，有助于增加对方程所表示的曲线的认识，从而达到化陌生 为熟悉的目的，这是转化与化归思想的应用. (2019·广州调研)在极坐标系中，求直线ρsin θ＋π 4 ＝2 被圆ρ＝4 截得的弦长． [解] 由ρsin θ＋π 4 ＝2，得 2 2 (ρsin θ＋ρcos θ)＝2， 可化为 x＋y－2 2＝0.圆ρ＝4 可化为 x2＋y2＝16， 圆心(0,0)到直线 x＋y－2 2＝0 的距离 d＝|－2 2| 2 ＝2， 由圆中的弦长公式，得弦长 l＝2 r2－d2＝2 42－22＝4 3. 故所求弦长为 4 3. 1．(2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的方程为 y＝k|x|＋2.以坐标原 点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ －3＝0. (1)求 C2 的直角坐标方程； (2)若 C1 与 C2 有且仅有三个公共点，求 C1 的方程． [解] (1)由 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ得 C2 的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝4. (2)由(1)知 C2 是圆心为 A(－1,0)，半径为 2 的圆． 由题设知，C1 是过点 B(0,2)且关于 y 轴对称的两条射线．记 y 轴右边的射线 为 l1，y 轴左边的射线为 l2.由于 B 在圆 C2 的外面，故 C1 与 C2 有且仅有三个公共 点等价于 l1 与 C2 只有一个公共点且 l2 与 C2 有两个公共点，或 l2 与 C2 只有一个 公共点且 l1 与 C2 有两个公共点． 当 l1 与 C2 只有一个公共点时，点 A 到 l1 所在直线的距离为 2，所以|－k＋2| k2＋1 ＝2，故 k＝－4 3 或 k＝0.经检验，当 k＝0 时，l1 与 C2 没有公共点；当 k＝－4 3 时， l1 与 C2 只有一个公共点，l2 与 C2 有两个公共点． 当 l2 与 C2 只有一个公共点时，A 到 l2 所在直线的距离为 2，所以 |k＋2| k2＋1 ＝2， 故 k＝0 或 k＝4 3.经检验，当 k＝0 时，l1 与 C2 没有公共点；当 k＝4 3 时，l2 与 C2 没 有公共点． 综上，所求 C1 的方程为 y＝－4 3|x|＋2. 2．(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴 为极轴建立极坐标系，曲线 C1 的极坐标方程为ρcos θ＝4. (1)M 为曲线 C1 上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点 P 的轨迹 C2 的直角坐标方程； (2)设点 A 的极坐标为 2，π 3 ，点 B 在曲线 C2 上，求△OAB 面积的最大值． [解] (1)设 P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)． 由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝ 4 cos θ. 由|OM|·|OP|＝16 得 C2 的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ＞0)． 因此 C2 的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)． (2)设点 B 的极坐标为(ρB，α)(ρB>0)． 由题设知|OA|＝2，ρB＝4cos α，于是△OAB 的面积 S＝1 2|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cos α·|sin α－π 3 | ＝2|sin 2α－π 3 － 3 2 |≤2＋ 3. 当α＝－ π 12 时，S 取得最大值 2＋ 3. 所以△OAB 面积的最大值为 2＋ 3. 3 ． (2016· 全 国 卷 Ⅰ) 在 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 曲 线 C1 的 参 数 方 程 为 x＝acos t， y＝1＋asin t， (t 为参数，a>0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的 极坐标系中，曲线 C2：ρ＝4cos θ. (1)说明 C1 是哪一种曲线，并将 C1 的方程化为极坐标方程； (2)直线 C3 的极坐标方程为θ＝α0，其中α0 满足 tan α0＝2，若曲线 C1 与 C2 的 公共点都在 C3 上，求 a. [解] (1)消去参数 t 得到 C1 的普通方程为 x2＋(y－1)2＝a2，则 C1 是以(0,1) 为圆心，a 为半径的圆． 将 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入 C1 的普通方程中，得到 C1 的极坐标方程为ρ2－ 2ρsin θ＋1－a2＝0. (2)曲线 C1，C2 的公共点的极坐标满足方程组 ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0， ρ＝4cos θ. 若ρ≠0，由方程组得 16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0， 由已知 tan θ＝2，可得 16cos2θ－8sin θcos θ＝0， 从而 1－a2＝0，解得 a＝－1(舍去)或 a＝1. 当 a＝1 时，极点也为 C1，C2 的公共点，且在 C3 上． 所以 a＝1.