高中数学人教a必修5学业分层测评5三角形中的几何计算word版含解析 6页

学业分层测评（五） (建议用时：45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1．已知方程 x2sin A＋2xsin B＋sin C＝0 有重根，则△ABC 的三边 a，b，c 的关系满足( ) A．b＝ac B．b2＝ac C．a＝b＝c D．c＝ab 【解析】 由方程有重根，∴Δ＝4sin2B－4sin Asin C＝0，即 sin2B＝sin Asin C，∴b2＝ac. 【答案】 B 2．在△ABC 中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝ 3，则角 A 的对边的长为( ) A. 57 B. 37 C. 21 D． 13 【解析】 ∵S△ABC＝1 2bcsin A＝1 2 ×1×c×sin 60°＝ 3，∴c＝4.由余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccos 60°＝1＋16－2×1×4×1 2 ＝13. ∴a＝ 13. 【答案】 D 3．在△ABC 中，a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，则此三角形的外接圆的半径 R ＝( ) A.1 2 B．1 C．2 2 D．5 2 2 【解析】 S△ABC＝1 2acsin B＝ 2 4 c＝2，∴c＝4 2. b2＝a2＋c2－2accos B＝1＋32－8 2× 2 2 ＝25， ∴b＝5.∴R＝ b 2sin B ＝ 5 2× 2 2 ＝5 2 2 . 【答案】 D 4．在△ABC 中，AC＝ 7，BC＝2，B＝60°，则 BC 边上的高等于( ) A. 3 2 B.3 3 2 C. 3＋ 6 2 D． 3＋ 39 4 【解析】 在△ABC 中，由余弦定理可知： AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B， 即 7＝AB2＋4－2×2×AB×1 2. 整理得 AB2－2AB－3＝0. 解得 AB＝－1(舍去)或 AB＝3. 故 BC 边上的高 AD＝AB·sin B＝3×sin 60°＝3 3 2 . 【答案】 B 5．设△ABC 的内角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c，若三边的长为连 续的三个正整数，且 A>B>C,3b＝20acos A，则 sin A∶sin B∶sin C 为( ) A．4∶3∶2 B．5∶6∶7 C．5∶4∶3 D．6∶5∶4 【解析】 由题意知：a＝b＋1，c＝b－1， 所以 3b＝20acos A＝20(b＋1)·b2＋c2－a2 2bc ＝20(b＋1)·b2＋b－12－b＋12 2bb－1 ， 整理得 7b2－27b－40＝0， 解之得：b＝5(负值舍去)，可知 a＝6，c＝4. 结合正弦定理可知 sin A∶sin B∶sin C＝6∶5∶4. 【答案】 D 二、填空题 6．在△ABC 中，B＝60°，AB＝1，BC＝4，则 BC 边上的中线 AD 的长 为 ． 【解析】 画出三角形知 AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos 60°＝3，∴AD＝ 3. 【答案】 3 7．有一三角形的两边长分别为 3 cm,5 cm，其夹角α的余弦值是方程 5x2－7x －6＝0 的根，则此三角形的面积是 cm2. 【解析】 解方程 5x2－7x－6＝0，得 x＝2 或 x＝－3 5 ， ∵|cos α|≤1，∴cos α＝－3 5 ，sin α＝4 5. 故 S△＝1 2 ×3×5×4 5 ＝6(cm2)． 【答案】 6 8．(2016·郑州模拟)在△ABC 中，B＝120°，AC＝7，AB＝5，则△ABC 的面 积为 ． 【解析】 由余弦定理得 b2＝a2＋c2－2accos B， 即 49＝a2＋25－2×5×acos 120°. 整理得 a2＋5a－24＝0，解得 a＝3 或 a＝－8(舍)． ∴S△ABC＝1 2acsin B＝1 2 ×3×5sin 120°＝15 3 4 . 【答案】 15 3 4 三、解答题 9．已知△ABC 的三内角满足 cos(A＋B)cos(A－B)＝1－5sin2C，求证：a2＋ b2＝5c2. 【导学号：05920063】 【证明】 由已知得 cos2Acos2B－sin2Asin2B＝1－5sin2C， ∴(1－sin2A)(1－sin2B)－sin2Asin2B＝1－5sin2C， ∴1－sin2A－sin2B＝1－5sin2C， ∴sin2A＋sin2B＝5sin2C. 由正弦定理得，所以 a 2R 2＋ b 2R 2＝5 c 2R 2， 即 a2＋b2＝5c2. 10．(2014·全国卷Ⅱ)四边形 ABCD 的内角 A 与 C 互补，AB＝1，BC＝3，CD ＝DA＝2. (1)求 C 和 BD； (2)求四边形 ABCD 的面积． 【解】 (1)由题设及余弦定理得 BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos C＝13－12cos C， ① BD2＝AB2＋DA2－2AB·DAcos A＝5＋4cos C． ② 由①，②得 cos C＝1 2 ，故 C＝60°，BD＝ 7. (2)四边形 ABCD 的面积 S＝1 2AB·DAsin A＋1 2BC·CDsin C ＝ 1 2 ×1×2＋1 2 ×3×2 ·sin 60°＝2 3. [能力提升] 1．已知锐角△ABC 中，|AB → |＝4，|AC → |＝1，△ABC 的面积为 3，则AB → ·AC → 的 值为( ) A．2 B．－2 C．4 D．－4 【解析】 由题意 S△ABC＝1 2|AB → ||AC → |sin A＝ 3， 得 sin A＝ 3 2 ，又△ABC 为锐角三角形， ∴cos A＝1 2 ，∴AB → ·AC → ＝|AB → ||AC → |cos A＝2. 【答案】 A 2．在斜三角形 ABC 中，sin A＝－ 2cos B·cos C，且 tan B·tan C＝1－ 2， 则角 A 的值为( ) A.π 4 B.π 3 C.π 2 D．3π 4 【解析】 由题意知，sin A＝－ 2cos B·cos C＝sin(B＋C)＝sin B·cos C＋cos B·sin C，在等式－ 2cos B·cos C＝sin B·cos C＋cos B·sin C 两边除以 cos B·cos C 得 tan B＋tan C＝－ 2，tan(B＋C)＝ tan B＋tan C 1－tan Btan C ＝－1＝－tan A，所以角 A＝π 4. 【答案】 A 3．(2015·天津高考)在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c. 已知△ABC 的面积为 3 15，b－c＝2，cos A＝－1 4 ，则 a 的值为 ． 【解析】 在△ABC 中，由 cos A＝－1 4 可得 sin A＝ 15 4 ， 所以有 1 2bc× 15 4 ＝3 15， b－c＝2， a2＝b2＋c2－2bc× －1 4 ， 解得 a＝8， b＝6， c＝4. 【答案】 8 4．(2015·陕西高考)△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.向量 m ＝(a， 3b)与 n＝(cos A，sin B)平行． (1)求 A； (2)若 a＝ 7，b＝2，求△ABC 的面积． 【解】 (1)因为 m∥n，所以 asin B－ 3bcos A＝0， 由正弦定理，得 sin Asin B－ 3sin Bcos A＝0， 又 sin B≠0，从而 tan A＝ 3. 由于 00，所以 c＝3. 故△ABC 的面积为 1 2bcsin A＝3 3 2 . 法二 由正弦定理，得 7 sin π 3 ＝ 2 sin B ，从而 sin B＝ 21 7 . 又由 a>b，知 A>B，所以 cos B＝2 7 7 . 故 sin C＝sin(A＋B)＝sin B＋π 3 ＝sin Bcos π 3 ＋cos Bsin π 3 ＝3 21 14 . 所以△ABC 的面积为 1 2absin C＝3 3 2 .