2020高中数学 第一章 三角函数 阶段复习课 第1课 任意角的三角函数及诱导公式学案 4 7页

第一课　任意角的三角函数及诱导公式 ‎[核心速填]‎ ‎1．与角α终边相同的角的集合为 S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．‎ ‎2．角度制与弧度制的换算 ‎3．弧度制下扇形的弧长和面积公式 ‎(1)弧长公式：l＝|α|r.‎ ‎(2)面积公式：S＝lr＝|α|r2.‎ ‎4．任意角的三角函数 ‎(1)定义1：设任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)．‎ ‎(2)定义2：设任意角α的终边上任意一点P的坐标为(x，y)，r＝|OP|＝，则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)．‎ ‎5．同角三角函数基本关系式 sin2α＋cos2α＝1；＝tan α.‎ ‎6．诱导公式记忆口诀 奇变偶不变，符号看象限．‎ ‎[体系构建]‎ 7‎ ‎[题型探究]‎ 象限角及终边相同的角 ‎　已知α＝－800°.‎ ‎(1)把α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限角；‎ ‎(2)求γ，使γ与α的终边相同，且γ∈.‎ ‎[解]　(1)∵－800°＝－3×360°＋280°，280°＝π，‎ ‎∴α＝－800°＝＋(－3)×2π.‎ ‎∵α与角终边相同，∴α是第四象限角．‎ ‎(2)∵与α终边相同的角可写为2kπ＋，k∈Z的形式，而γ与α的终边相同，∴γ＝2kπ＋，k∈Z.‎ 又γ∈，∴－＜2kπ＋＜，k∈Z，‎ 解得k＝－1，∴γ＝－2π＋＝－.‎ ‎[规律方法]　1.灵活应用角度制或弧度制表示角 ‎(1)注意同一表达式中角度与弧度不能混用．‎ ‎(2)角度制与弧度制的换算 设一个角的弧度数为α，角度数为n，则 αrad＝°，n°＝rad.‎ 7‎ ‎2．象限角的判定方法 ‎(1)根据图象判定．利用图象实际操作时，依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系．‎ ‎(2)将角转化到0°～360°范围内．在直角坐标平面内，0°～360°范围内没有两个角终边是相同的．‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎1．若α角与角终边相同，则在[0,2π]内终边与角终边相同的角是________. ‎ ‎【导学号：84352139】‎ ，，，　[由题意，得α＝＋2kπ(k∈Z)，＝＋(k∈Z)．‎ 又∈[0,2π]，所以k＝0,1,2,3，＝，，，.]‎ 弧度制下扇形弧长及面 积公式的计算 ‎　(1)如图11，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫做正三角形的渐开线，其中弧、弧、弧的圆心依次是A、B、C，如果AB＝1，那么曲线CDEF的长是________．‎ 图11‎ ‎(2)一扇形的圆心角为2弧度，记此扇形的周长为c，面积为S，则的最大值为________．‎ ‎(1)4π　(2)4　[(1)弧的长是＝，‎ 弧的长是：＝，‎ 弧的长是：＝2π，‎ 则曲线CDEF的长是：＋＋2π＝4π.‎ ‎(2)设扇形的弧长为l，半径为r，圆心角大小为2弧度，‎ 则l＝2r，可求：c＝l＋2r＝2r＋2r＝4r，‎ 扇形的面积为S＝lr＝r2×2＝r2，‎ 7‎ 所以＝＝－2＋ ‎＝－2＋4≤4.‎ r＝时等号成立，所以的最大值为4.]‎ ‎ [规律方法]　弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略 (1)明确弧度制下弧长公式l＝|α|r，扇形的面积公式是S＝lr＝|α|r2(其中l是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)；‎ (2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎2．如图12，已知扇形AOB的圆心角为120°，半径长为6，求弓形ACB的面积. ‎ ‎【导学号：84352140】‎ 图12‎ ‎[解]　∵120°＝π＝π，‎ ‎∴l＝6×π＝4π，∴的长为4π.‎ ‎∵S扇形OAB＝lr＝×4π×6＝12π，‎ 如图所示，作OD⊥AB，有S△OAB＝×AB×OD＝×2×6cos 30°×3＝9.‎ ‎∴S弓形ACB＝S扇形OAB－S△OAB＝12π－9.‎ ‎∴弓形ACB的面积为12π－9.‎ 任意角三角函数的定义 ‎　(1)若一个α角的终边上有一点P(－4，a)，且sin α·cos α＝，则a的值为(　　)‎ A．4　　 B．±4 7‎ C．－4或－ D. ‎(2)已知角α的终边经过点P(‎12m，－‎5m)(m≠0)，求sin α，cos α，tan α的值. ‎ ‎【导学号：84352141】‎ ‎(1)C　[(1)因为α角的终边上有一点P(－4，a)，所以tan α＝－，‎ 所以sin αcos α＝＝＝＝，‎ 整理得a2＋‎16a＋16＝0，(a＋4)(a＋4)＝0，所以a＝－4或－.]‎ ‎(2)r＝＝13|m|，‎ 若m＞0，则r＝‎13m，α为第四象限角，‎ sin α＝＝＝－，‎ cos α＝＝＝，‎ tan α＝＝＝－.‎ 若m＜0，则r＝－‎13m，α为第二象限角，‎ sin α＝＝＝，‎ cos α＝＝＝－，‎ tan α＝＝＝－.‎ ‎[规律方法]　利用定义求三角函数值的两种方法 (1)先由直线与单位圆相交求出交点坐标，再利用正弦、余弦、正切函数的定义，求出相应的三角函数值.‎ (2)取角α的终边上任意一点P(a，b)(原点除外)，则对应的角α的正弦值sin α＝，余弦值cos α＝，正切值tan α＝.当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.‎ ‎ [跟踪训练]‎ ‎3．如果点P(sin θ·cos θ，2cos θ)位于第三象限，试判断角θ所在的象限. ‎ ‎【导学号：84352142】‎ ‎[解]　因为点P(sin θ·cos θ，2cos θ)位于第三象限，‎ 所以sin θ·cos θ＜0,2cos θ＜0，‎ 7‎ 即所以角θ在第二象限.‎ 同角三角函数基本关系和 诱导公式的应用 ‎　(1)已知sin(－π＋θ)＋2cos(3π－θ)＝0，则＝________.‎ ‎(2)已知f(α)＝.‎ ‎①化简f(α)；‎ ‎②若f(α)＝，且＜α＜，求cos α－sin α的值；‎ ‎③若α＝－，求f(α)的值. 【导学号：84352143】‎ ‎[思路探究]　先用诱导公式化简，再用同角三角函数基本关系求值．‎ ‎(1)　[(1)由已知得－sin θ－2cos θ＝0，故tan θ＝－2，‎ 则＝＝＝.]‎ ‎(2)①f(α)＝＝sin α·cos α.‎ ‎②由f(α)＝sin α·cos α＝可知，‎ ‎(cos α－sin α)2＝cos2α－2sin α·cos α＋sin2α ‎＝1－2sin α·cos α＝1－2×＝，‎ 又∵＜α＜，∴cos α＜sin α，‎ 即cos α－sin α＜0，‎ ‎∴cos α－sin α＝－.‎ ‎③∵α＝－π＝－6×2π＋，‎ ‎∴f＝cos·sin ‎＝cos·sin ‎＝cos·sin＝×＝.‎ 母题探究：1.将本例(2)中“”改为“－8”“＜α＜”改为“－＜α＜‎0”‎求cos α＋sin α.‎ 7‎ ‎[解]　因为－＜α＜0，所以cos α＞0，sin α＜0且|cos α|＞|sin α|，‎ 所以cos α＋sin α＞0，‎ 又(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋2×＝，‎ 所以cos α＋sin α＝.‎ ‎2．将本例(2)中的用tan α表示.‎ ‎[解]　＝ ‎＝＝.‎ ‎[规律方法]　1.牢记两个基本关系式sin2α＋cos2α＝1及＝tan α，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明．在应用中，要注意掌握解题的技巧．比如：已知sin α±cos α的值，可求cos αsin α.注意应用(cos α±sin α)2＝1±2sin αcos α.‎ ‎2．诱导公式可概括为k·±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．‎ 7‎