2020高中数学 课时分层作业18 平面向量基本定理 新人教A版必修4 7页

课时分层作业(十八)　平面向量基本定理 ‎(建议用时：40分钟)‎ ‎[学业达标练]‎ 一、选择题 ‎1．若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是(　　)‎ A．e1－e2，e2－e1　　　　　 B．2e1－e2，e1－e2‎ C．2e2－3e1,6e1－4e2 D．e1＋e2，e1－e2‎ D　[e1＋e2与e1－e2不共线，可以作为平面向量的基底，另外三组向量都共线，不能作为基底．]‎ ‎2．已知向量a与b的夹角为，则向量‎2a与－3b的夹角为(　　) ‎ ‎【导学号：84352214】‎ A. B. C.π D.π C　[向量‎2a与－3b的夹角与向量a与b的夹角互补，其大小为π－＝.]‎ ‎3．如图238，向量a－b等于(　　)‎ 图238‎ A．－4e1－2e2‎ B．－2e1－4e2‎ C．e1－3e2‎ D．3e1－e2‎ C　[不妨令a＝，b＝，‎ 则a－b＝－＝，‎ 由平行四边形法则可知 ＝e1－3e2.]‎ ‎4．锐角三角形ABC中，关于向量夹角的说法正确的是(　　)‎ 7‎ ‎ 【导学号：84352215】‎ A.与的夹角是锐角 B.与的夹角是锐角 C.与的夹角是钝角 D.与的夹角是锐角 B　[因为△ABC是锐角三角形，所以∠A，∠B，∠C都是锐角．由两个向量夹角的定义知：与的夹角等于180°－∠B，是钝角；与的夹角是∠A，是锐角；与的夹角等于∠C，是锐角；与的夹角等于180°－∠C，是钝角，所以选项B说法正确．]‎ ‎5．在△ABC中，点P是AB上一点，且＝＋，又＝t，则t的值为(　　)‎ A.　　　　 B. ‎ C.　　　　 D. A　[因为＝t，所以－＝t(－)，‎ ＝(1－t)＋t.‎ 又＝＋且与不共线，‎ 所以t＝.]‎ 二、填空题 ‎6．如图239，在平行四边形ABCD中，点O为AC的中点，点N为OB的中点，设＝a，＝b，若用a，b表示向量，则＝________.‎ 图239‎ 7‎ a＋b　[以＝a，＝b作为以A点为公共起点的一组基底，则＝＋ ‎＝＋＝＋(－)‎ ‎＝＋＝a＋b.]‎ ‎7．若向量a＝4e1＋2e2与b＝ke1＋e2共线，其中e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，则k的值为________.‎ ‎ 【导学号：84352216】‎ ‎2　[∵向量a与b共线，‎ ‎∴存在实数λ，使得b＝λa，‎ 即ke1＋e2＝λ(4e1＋2e2)＝4λe1＋2λe2.‎ ‎∵e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，‎ ‎∴∴k＝2.]‎ ‎8．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC，若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．‎ 　[如图，由题意知，D为AB的中点，‎ ＝，‎ 所以＝＋ ‎＝＋ ‎＝＋(－)＝－＋，‎ 所以λ1＝－，λ2＝，‎ 所以λ1＋λ2＝－＋＝.]‎ 三、解答题 ‎9．如图2310，平行四边形ABCD中，＝a，＝b，H，M分别是AD，DC的中点，BF＝BC，以a，b为基底表示向量与. ‎ ‎【导学号：84352217】‎ 7‎ 图2310‎ ‎[解]　在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，H，M分别是AD，DC的中点，BF＝BC，‎ ‎∴＝＋＝＋＝＋＝b＋a，‎ ＝－＝＋－＝a＋b－b＝a－b.‎ ‎10．如图2311，在矩形OACB中，E和F分别是边AC和BC上的点，满足AC＝3AE，BC＝3BF，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，求λ，μ的值．‎ 图2311‎ ‎[解]　在矩形OACB中，＝＋，‎ 又＝λ＋μ ‎＝λ(＋)＋μ(＋)‎ ‎＝λ＋μ ‎＝＋，‎ 所以＝1，＝1，‎ 所以λ＝μ＝.‎ ‎[冲A挑战练]‎ ‎1．如图2312所示，两射线OA与OB交于O，则下列选项中哪些向量的终点落在阴影区域内(不含边界)(　　)‎ 7‎ 图2312‎ ‎①＋2；②＋；‎ ‎③＋；④＋.‎ A．①② B．①②④‎ C．①②③ D．③④‎ A　[①向量＋2的终点显然在阴影区域内；‎ ‎②如图所示＝，‎ ＝，‎ 四边形OCMD为平行四边形，‎ ＋＝，‎ 由三角形相似易得DE＝OB＜DM＝，‎ 故M在阴影区域内．‎ 同理分析③④中向量的终点不在阴影区域内．]‎ ‎2．已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ(λ∈[0，＋∞))，则点P的轨迹一定通过△ABC的 ‎(　　)‎ A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 B　[为上的单位向量，‎ 为上的单位向量，则＋的方向为∠BAC的角平分线的方向．又λ∈[0，＋∞)，‎ 7‎ ‎∴λ的方向与＋的方向相同．‎ 而＝＋λ，‎ ‎∴点P在上移动，‎ ‎∴点P的轨迹一定通过△ABC的内心．]‎ ‎3．设e1，e2是平面内一组基底，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基底a，b的线性组合，即e1＋e2＝________. ‎ ‎【导学号：84352218】‎ a－b　[因为a＝e1＋2e2①，b＝－e1＋e2②，‎ 显然a与b不共线，①＋②得a＋b＝3e2，‎ 所以e2＝代入②得 e1＝e2－b＝－b＝a－b，‎ 故有e1＋e2＝a－b＋a＋b＝a－b.]‎ ‎4．如图2313，在平面内有三个向量，，，||＝||＝1，与的夹角为120°，与的夹角为30°，||＝5，设＝m＋n(m，n∈R)，则m＋n＝________.‎ 图2313‎ ‎15　[作以OC为一条对角线的平行四边形OPCQ，如图，‎ 则∠COQ＝∠OCP＝90°，在Rt△QOC中，2OQ＝QC，||＝5.‎ 则||＝5，||＝10，所以||＝10，又||＝||＝1，所以＝10，＝5，所以＝＋＝10＋5，所以m＋n＝10＋5＝15.]‎ ‎5．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.‎ ‎(1)证明：a，b可以作为一组基底；‎ ‎(2)以a，b为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式；‎ 7‎ ‎(3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值. ‎ ‎【导学号：84352219】‎ ‎[解]　(1)证明：若a，b共线，则存在λ∈R，使a＝λb，则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．由e1，e2不共线，得⇒所以λ不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底．‎ ‎(2)设c＝ma＋nb(m，n∈R)，‎ 则3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)‎ ‎＝(m＋n)e1＋(－‎2m＋3n)e2，‎ 所以⇒ 所以c＝‎2a＋b.‎ ‎(3)由4e1－3e2＝λa＋μb，‎ 得4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)‎ ‎＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2，‎ 所以⇒ 故所求λ，μ的值分别为3和1.‎ 7‎