高中人教a版数学必修4：第21课时 平面向量基本定理 word版含解析 4页

第 21课时 平面向量基本定理 课时目标 1.了解平面向量的基本定理及其意义． 2．能正确的运用平面向量基本定理解决问题． 识记强化 1．平面向量基本定理：如果 e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平 面内的任意向量 a，有且只有一对实数λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2.不共线的向量 e1、e2叫做表 示这一平面内所有向量的一组基底． 2．已知两个非零向量 a 和 b，作OA→＝a、OB→＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量 a 与 b 的夹角．如果 a 与 b 的夹角是 90°，我们就说 a 与 b 垂直，记作 a⊥b. 课时作业 一、选择题 1．下列各组向量中，一定能作为基底的是( ) A．a＝0，b≠0 B．a＝3e，b＝－3e(e≠0) C．a＝2e1－e2，b＝e1＋2e2(e1，e2不共线) D．a＝4e1＋4e2，b＝－2e1－2e2(e1，e2不共线) 答案：C 解析：由平面向量基本定理知，a，b 不共线，∴选 C. 2．设 a，b 是不共线的两个非零向量，已知AB→＝2a＋pb，BC→＝a＋b，CD→＝a－2b.若 A， B，D三点共线，则 p的值为( ) A．1 B．2 C．－2 D．－1 答案：D 解析：BD→＝BC→＋CD→＝2a－b，AB→＝2a＋pb，由 A，B，D三点共线，知存在实数λ，使 2a＋pb＝2λa－λb.∵a，b 不共线，∴ 2λ＝2 p＝－λ ，∴p＝－1. 3．在矩形 ABCD中，O是对角线的交点，若BC→＝e1，DC→＝e2，则OC→＝( ) A.1 2 (e1＋e2) B.1 2 (e1－e2) C.1 2 (2e2－e1) D.1 2 (e2－e1) 答案：A 解析：因为 O是矩形 ABCD对角线的交点，BC→＝e1，DC→＝e2，所以OC→＝ 1 2 (BC→＋DC→ ) ＝ 1 2 (e1＋e2)，故选 A. 4．已知非零向量OA→，OB→不共线，且 2OP→＝xOA→ ＋yOB→，若PA→＝λAB→ (λ∈R)，则 x，y满 足的关系是( ) A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－1＝0 C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝0 答案：A 解析：由PA→＝λAB→，得OA→－OP→＝λ(OB→－OA→ )，即OP→＝(1＋λ)OA→－λOB→ .又 2OP→＝xOA→＋ yOB→，∴ x＝2＋2λ y＝－2λ ，消去λ得 x＋y＝2. 5．已知四边形 ABCD是菱形，点 P在对角线 AC上(不包括端点)，则AP→＝( ) A．λ(AB→＋AD→ )，λ∈(0,1) B．λ(AB→＋BC→ )，λ∈ 0， 2 2 C．λ(AB→－AD→ )，λ∈(0,1) D．λ(AB→－BC→ )，λ∈ 0， 2 2 答案：A 解析：如图所示，AC→＝AB→＋AD→ .又点 P在 AC上，∴AP→与AC→同向，且|AP→ |<|AC→ |，故AP→＝ λ(AB→＋AD→ )，λ∈(0,1)． 6．若点 O是▱ABCD的两条对角线 AC与 BD的交点，且AB→＝4e1，BC→＝6e2，则 3e2－ 2e1等于( ) A.AO→ B.CO→ C.BO→ D.DO→ 答案：C 解析：3e2－2e1＝ 1 2 (6e2－4e1)＝ 1 2 (BC→－AB→ ) ＝ 1 2 (AD→－AB→ )＝1 2 BD→＝BO→ . 二、填空题 7．已知 e1，e2是两个不共线向量，a＝k2e1＋ 1－5k 2 e2与 b＝2e1＋3e2共线，则实数 k ＝________. 答案：－2或1 3 解析：由题设，知 k2 2 ＝ 1－5k 2 3 ，∴3k2＋5k－2＝0，解得 k＝－2或1 3 . 8．已知 e1，e2是两个不共线向量，若 a＝2e1－e2与 b＝e1＋λe2共线，则λ＝________. 答案：－ 1 2 解析：因为 a＝2e1－e2与 b＝e1＋λe2共线，所以存在唯一的μ，使 2e1－e2＝μ(e1＋λe2) ＝μe1＋μλe2，所以μ＝2，μλ＝－1，故λ＝－ 1 2 . 9．已知平行四边形 ABCD中，E为 CD的中点，AP→＝yAD→，AQ→＝xAB→，其中 x，y∈R， 且均不为 0.若PQ→∥BE→，则 x y ＝________. 答案： 1 2 解析：∵PQ→＝AQ→－AP→＝xAB→－yAD→，由PQ→∥BE→，可设PQ→＝λBE→，即 xAB→－yAD→＝λ(CE→ －CB→ )＝λ － 1 2 AB→＋AD→ ＝－ λ 2 AB→＋λAD→，∴ x＝－ 1 2 λ y＝－λ ，则 x y ＝ 1 2 . 三、解答题 10. 如图，在▱ABCD中，AB→＝a，AD→＝b，AN→＝3NC→，M为 BC的中点，试用 a，b 表示MN→ . 解：由AN→＝3NC→，知 N为 AC的四等分点． MN→ ＝MC→ ＋CN→ ＝ 1 2 AD→－ 1 4 AC→ ＝ 1 2 AD→－ 1 4 (AB→＋AD→ ) ＝－ 1 4 AB→＋ 1 4 AD→ ＝－ 1 4 a＋1 4 b. 11．已知向量 a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，其中 e1，e2不共线，向量 c＝2e1－9e2，若存 在实数λ和μ，使 d＝λ a＋μb 与 c 共线，那么实数λ和μ应该是什么关系？ 解：∵d＝λa＋μb＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2，若 d 与 c 共线， 则应有实数 k，使 d＝kc， 即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2， 由 2λ＋2μ＝2k， －3λ＋3μ＝－9k， 得λ＝－2μ，故存在这样的实数λ，μ，只要λ＝－2μ，就能使 d 与 c 共线． 能力提升 12．在平行四边形 ABCD中，E和 F分别是边 CD和 BC的中点．若AC→＝λAE→＋μAF→， 其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________. 答案： 4 3 解析：选择AB→，AD→作为平面向量的一组基底，则AC→＝AB→＋AD→，AE→＝ 1 2 AB→＋AD→，AF→＝ AB→＋ 1 2 AD→，又AC→＝λAE→＋μAF→＝(1 2 λ＋μ)AB→＋(λ＋1 2 μ)AD→， 于是得 1 2 λ＋μ＝1， λ＋1 2 μ＝1， 解得 λ＝2 3 ， μ＝2 3 ， 所以λ＋μ＝4 3 . 13. 如图，在△ABC中，D、F分别是 BC、AC的中点，AE→＝ 2 3 AD→，AB→＝a，AC→＝b. 求证：B、E、F三点共线． 证明：如图所示，延长 AD到 G，使AG→＝2AD→，连接 BG、CG，得到平行四边形 ABGC， 则AG→＝a＋b， AD→＝ 1 2 AG→＝ 1 2 (a＋b) AE→＝ 2 3 AD→＝ 1 3 (a＋b) AF→＝ 1 2 AC→＝ 1 2 b， BE→＝AE→－AB→＝ 1 3 (a＋b)－a＝1 3 (b－2a)． 又BF→＝AF→－AB→＝ 1 2 b－a＝1 2 (b－2a)． 所以BE→＝ 2 3 BF→， 又因为BE→与BF→有公共点 B，所以 B、E、F三点共线．