【数学】2018届一轮复习北师大版离散型随机变量的均值教案 9页

项目 内容 课题 ‎2.3.1离散型随机变量的均值（二课时）‎ 修改与创新 教学目标 1． 掌握离散型随机变量的均值概念；‎ ‎2、理解两点分布、二项分布的均值；‎ ‎3、两点分布、二项分布的均值求法。‎ 教学重、‎ 难点 重点：离散型随机变量的均值。‎ 难点：求随机变量均值的应用。‎ 教学准备 直尺、粉笔 教学过程 一、复习引入：‎ ‎1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示 ‎2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量 ‎ 3．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量 若是随机变量，是常数，则也是随机变量并且不改变其属性（离散型、连续型） ‎ 二、讲解新课：‎ 根据已知随机变量的分布列，我们可以方便的得出随机变量的某些制定的概率，但分布列的用途远不止于此，例如：已知某射手射击所得环数ξ的分布列如下 ξ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ P ‎0.02‎ ‎0.04‎ ‎0.06‎ ‎0.09‎ ‎0.28‎ ‎0.29‎ ‎0.22‎ 在n次射击之前，可以根据这个分布列估计n次射击的平均环数．这就是我们今天要学习的离散型随机变量的均值或期望 ‎ 根据射手射击所得环数ξ的分布列，‎ 我们可以估计，在n次射击中，预计大约有　　 ]‎ ‎　　次得4环；‎ ‎　　　　次得5环；‎ ‎…………‎ ‎　　次得10环．‎ 故在n次射击的总环数大约为 ‎，‎ 从而，预计n次射击的平均环数约为 ‎．‎ 这是一个由射手射击所得环数的分布列得到的，只与射击环数的可能取值及其相应的概率有关的常数，它反映了射手射击的平均水平．‎ 对于任一射手，若已知其射击所得环数ξ的分布列，即已知各个（i=0，1，2，…，10），我们可以同样预计他任意n次射击的平均环数:‎ ‎…．‎ ‎1. 均值或数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为 ξ x1‎ x2‎ ‎…‎ xn ‎…‎ P p1‎ p2‎ ‎…‎ pn ‎…‎ 则称 …… 为ξ的均值或数学期望，简称期望．‎ ‎　　2. 均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平 ‎ ‎3. 平均数、均值:一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令…，则有…，…，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值 ‎ ‎4. 均值或期望的一个性质:若(a、b是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，它们的分布列为 ‎ ξ x1‎ x2‎ ‎…‎ xn ‎…[ 学,科,网]‎ η ‎…‎ ‎…‎ P p1‎ p2‎ ‎…‎ pn ‎…‎ 于是……‎ ‎ ＝……)……)‎ ‎ ＝，‎ 由此，我们得到了期望的一个性质:‎ ‎5.若ξB（n,p），则Eξ=np ‎ 证明如下：‎ ‎∵　，‎ ‎∴　0×＋1×＋2×＋…＋k×＋…＋n×．‎ 又∵ ，‎ ‎ ∴ ＋＋…＋＋…＋．‎ 故　　若ξ～B(n，p)，则np．‎ 三、讲解范例：‎ 例1. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0.7，求他罚球一次得分的期望 解：因为，‎ 所以 例2. 一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望 ‎ 解：设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分别是，则~ B（20,0.9）,,‎ ‎ ‎ 由于答对每题得5分，学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是5和5所以，他们在测验中的成绩的期望分别是：‎ ‎ ‎ 例3. 根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25,有大洪水的概率为0. 01．该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60 000元，遇到小洪水时要损失10000元．为保护设备，有以下3 种方案：‎ 方案1：运走设备，搬运费为3 800 元． ‎ 方案2：建保护围墙，建设费为2 000 元．但围墙只能防小洪水．‎ 方案3：不采取措施，希望不发生洪水．‎ 试比较哪一种方案好．‎ 解：用X1 、X2和X3分别表示三种方案的损失．‎ 采用第1种方案，无论有无洪水，都损失3 800 元，即 X1 = 3 800 . ‎ 采用第2 种方案，遇到大洪水时，损失2 000 + 60 000=62 000 元；没有大洪水时，损失2 000 元，即 同样，采用第 3 种方案，有 于是， ‎ EX1＝3 800 , ‎ EX2＝62 000×P (X2 = 62 000 ) + 2 00000×P (X2 = 2 000 ) ‎ ‎= 62000×0. 01 + 2000×(1-0.01) = 2 600 , ‎ EX3 = 60000×P (X3 = 60000) + 10 000×P(X3 =10 000 ) + 0×P (X3 =0) ‎ ‎= 60 000×0.01 + 10000×0.25=3100 . ‎ 采取方案2的平均损失最小，所以可以选择方案2 . ‎ 值得注意的是，上述结论是通过比较“平均损失”而得出的．一般地，我们可以这样来理解“平均损失”：假设问题中的气象情况多次发生，那么采用方案 2 将会使损失减到最小．由于洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的，所以对于个别的一次决策，采用方案 2 也不一定是最好的．‎ 例4.随机抛掷一枚骰子，求所得骰子点数的期望 解：∵，‎ ‎=3.5‎ 例5.有一批数量很大的产品，其次品率是15%，对这批产品进行抽查，每次抽取1件，如果抽出次品，则抽查终止，否则继续抽查，直到抽出次品为止，但抽查次数不超过10次求抽查次数的期望（结果保留三个有效数字）‎ 解：抽查次数取110的整数，从这批数量很大的产品中抽出1件检查的试验可以认为是彼此独立的，取出次品的概率是0.15，取出正品的概率是0.85，前次取出正品而第次（=1，2，…，10）取出次品的概率：‎ ‎（=1，2，…，10）‎ 需要抽查10次即前9次取出的都是正品的概率：由此可得的概率分布如下：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎0.15‎ ‎0.1275‎ ‎0.1084‎ ‎0.092‎ ‎0.0783‎ ‎0.0666‎ ‎0.0566 ‎ ‎0.0481‎ ‎0.0409‎ ‎0.2316‎ 根据以上的概率分布，可得的期望 例7.某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km时租车费为10元，若行驶路程超出4km，则按每超出lkm加收2元计费(超出不足lkm的部分按lkm计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km．某司机经常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按lkm路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量．设他所收租车费为η ‎(Ⅰ)求租车费η关于行车路程ξ的关系式；‎ ‎(Ⅱ)若随机变量ξ的分布列为 ξ ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ P ‎0.1‎ ‎0.5‎ ‎0.3‎ ‎0.1‎ 求所收租车费η的数学期望．‎ ‎(Ⅲ)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?‎ 解：(Ⅰ)依题意得　η=2(ξ-4)十10，即　η=2ξ+2；‎ ‎(Ⅱ)‎ ‎∵ η=2ξ+2‎ ‎∴ 2Eξ+2=34.8 （元）‎ 故所收租车费η的数学期望为34.8元．‎ ‎　　(Ⅲ)由38=2ξ+2，得ξ=18，5(18-15)=15‎ ‎　　所以出租车在途中因故停车累计最多15分钟 四、课堂练习：‎ ‎1. 口袋中有5只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3球，以表示取出球的最大号码，则（ ）‎ A．4；　　B．5；　　C．4.5；　　D．4.75‎ 答案：C ‎ ‎2. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中的1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求 ‎⑴他罚球1次的得分ξ的数学期望；‎ ‎⑵他罚球2次的得分η的数学期望；‎ ‎⑶他罚球3次的得分ξ的数学期望．‎ ‎3．设有m升水，其中含有大肠杆菌n个．今取水1升进行化验，设其中含有大肠杆菌的个数为ξ，求ξ的数学期望．‎ 分析：任取1升水，此升水中含一个大肠杆菌的概率是，事件“ξ=k”发生，即n个大肠杆菌中恰有k个在此升水中，由n次独立重复实验中事件A（在此升水中含一个大肠杆菌）恰好发生k次的概率计算方法可求出P(ξ=k),进而可求Eξ.‎ ‎　　‎ 五、小结 ：(1)离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；‎ ‎(2)求离散型随机变量ξ的期望的基本步骤：①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出Eξ 公式E（aξ+b）= aEξ+b，以及服从二项分布的随机变量的期望Eξ=np ‎ 板书设计 教学反思 课后反思 ‎ ‎ ‎ ‎