贵州省“阳光校园空中黔课”阶段性检测2020届高三下学期数学（理）试题 Word版含解析 16页

www.ks5u.com 贵州省“阳光校园·空中黔课”阶段性检测高三数学（理科）‎ 一、选择题 ‎1.设，则在复平面内复数对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得，由此求得复数对应的点所在象限.‎ ‎【详解】由于，所以，对应点为，在第二象限.‎ 故选：B ‎【点睛】本小题主要考查共轭复数，考查复数对应点坐标所在象限的判断，属于基础题.‎ ‎2.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100名学生，其中阅读过《西游记》的学生有70位，只阅读过《红楼梦》的学生有20位，则既没阅读过《西游记》也没阅读过《红楼梦》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（ ）‎ A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知求得既没阅读过《西游记》也没阅读过《红楼梦》的学生人数，由此求得既没阅读过《西游记》也没阅读过《红楼梦》的学生人数与该校学生总数比值的估计值.‎ ‎【详解】由于阅读过《西游记》的学生有70位，所以没有阅读过《西游记》的学生有位，这位学生中，有位只阅读过《红楼梦》，故既没阅读过《西游记》也没阅读过《红楼梦》的学生人数为位，所以既没阅读过《西游记》也没阅读过《红楼梦》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为.‎ 故选：A ‎【点睛】本小题主要考查用样本估计总体，属于基础题.‎ ‎3.在等差数列中，已知，则该数列前9项和（ ）‎ A. 18 B. 27 C. 36 D. 45‎ - 16 -‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列的性质求得，再根据等差数列前项和公式求得.‎ ‎【详解】在等差数列中，，所以.‎ 故选：D ‎【点睛】本小题主要考查等差数列的性质，考查等差数列前项和公式，属于基础题.‎ ‎4.已知函数，若，则实数的值等于（ ）‎ A. −6 B. −3 C. 3 D. 6‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对分成和两种情况，由分段函数解析式和求得的值.‎ ‎【详解】当时，，不符合，舍去.‎ 当时，.‎ 故选：A ‎【点睛】本小题主要考查分段函数的性质，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题.‎ ‎5.直三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长为，为中点，则三棱锥的体积为（ ）‎ A. 3 B. C. 1 D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 先计算出直三棱柱的体积，然后计算出除三棱锥 - 16 -‎ 外的三个三棱锥的体积，由此求得三棱锥的体积.‎ ‎【详解】依题意直三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长为，故体积为.‎ ‎，所以.‎ 故选：C ‎【点睛】本小题主要考查主要考查锥体、柱体体积的计算，考查空间想象能力，属于基础题.‎ ‎6.已知曲线，，则下面结论正确的是（ ）‎ A. 把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线；‎ B. 把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线；‎ C. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线；‎ D. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线；‎ - 16 -‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将转化为，再根据三角函数图像变换的知识得出正确选项.‎ ‎【详解】对于曲线，，要得到，则把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到，即得到曲线.‎ 故选：D 点睛】本小题主要考查诱导公式、三角函数图像变换，属于基础题.‎ ‎7.设椭圆的两个焦点分别为，，若上存在点满足，则椭圆的离心率等于（ ）‎ A. B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合椭圆的定义和离心率的求法，求得椭圆的离心率.‎ ‎【详解】根据椭圆的定义以及离心率公式得.‎ 故选：A ‎【点睛】本小题主要考查椭圆的定义和离心率的求法，属于基础题.‎ ‎8.设函数，则下列结论错误的是（ ）‎ A. 的一个周期为 B. 的图象关于直线对称 - 16 -‎ C. 的一个零点为 D. 在单调递减 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合的周期、对称轴、和单调区间，以及的零点，判断出结论错误的选项.‎ ‎【详解】的周期是，所以的一个周期为，A选项正确.‎ 由得（），当时，是的对称轴，B选项正确.‎ ‎，当时，，所以C选项错误.‎ 由得，（），当时，的一个减区间为，所以在上递减，D选项正确.‎ 故选：C ‎【点睛】本小题主要考查三角函数周期、对称轴、零点和单调区间，属于中档题.‎ ‎9.已知各项均为正数的等比数列的前4项和为，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将已知条件转化为的形式列方程组，解方程组求得，由此求得的值.‎ ‎【详解】由于各项均为正数的等比数列的前4项和为，且，所以 - 16 -‎ ‎，解得，所以.‎ 故选：C ‎【点睛】本小题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题.‎ ‎10.抛物线的焦点为，点在双曲线的一条渐近线上，为坐标原点，若，则的面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得点坐标，由此求得三角形的面积.‎ ‎【详解】抛物线的焦点为，双曲线的一条渐近线方程为，由于，结合图像易得，所以三角形的面积为.‎ 故选：B - 16 -‎ ‎【点睛】本小题主要考查抛物线的焦点、双曲线的渐近线，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.‎ 二、填空题 ‎11.已知长方形中，，为的中点，则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用向量加法和减法的运算，结合向量数量积的运算，求得的值.‎ ‎【详解】.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本小题主要考查向量加法、减法运算，考查向量数量积的运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.‎ ‎12.设为第二象限角，若，则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据求得的值，结合，求得的值，进而求得的值.‎ - 16 -‎ ‎【详解】由得，解得，由为第二象限角，及解得，所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本小题主要考查两角差的正切公式，考查同角三角函数的基本关系式、二倍角公式，属于基础题.‎ ‎13.如图所示，在山脚测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走146.4米到达，在测得山顶的仰角为，则山高_______米．（，，结果保留小数点后1位）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在三角形中利用正弦定理求得，由此求得.‎ ‎【详解】依题意，‎ ‎，‎ ‎.‎ 三角形中，由正弦定理得，即 - 16 -‎ 所以（米）‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查解三角形在实际生活中的应用，属于基础题.‎ ‎14.已知三个互不重合的平面，，，且直线，不重合，由下列条件：①，；②，；③，，；能推得的条件是__________．‎ ‎【答案】②‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据线面平行的判断方法，对三个条件逐一分析，由此确定正确结果.‎ ‎【详解】对于①，可能，所以①不成立；对于②，根据面面平行的性质可知，条件②能推出.对于③，可能，所以③不成立.所以能推得的条件是②.‎ 故答案为：②‎ ‎【点睛】本小题主要考查线面平行的判断，属于基础题.‎ ‎15.已知数列的各项均为正数，其前项和为，且满足，则_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据递推关系求得的表达式，由此求得的表达式，从而求得的值.‎ ‎【详解】由，令得.当时，由得，整理得，所以 - 16 -‎ ‎，累加得，所以，所以，所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本小题主要考查根据递推关系式求数列的通项公式，属于基础题.‎ 三、解答题 ‎16.已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边经过单位圆上一点.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若角满足，求的值．‎ ‎【答案】（1）（2）或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据三角函数的定义求得的值，利用诱导公式求得的值.‎ ‎（2）先求得的值，由此求得的值.‎ ‎【详解】（1）根据三角函数的定义可知，所以.‎ ‎（2）由于，所以.‎ 当时，‎ ‎.‎ 当时，‎ - 16 -‎ ‎.‎ ‎【点睛】本小题主要考查三角函数的定义，考查同角三角函数的基本关系式，考查两角差的余弦公式，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎17.记为等差数列的前项和，已知，．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将已知条件转化为的形式列方程组，解方程组求得，进而求得的通项公式.‎ ‎（2）利用裂项求和法求得数列的前项和.‎ ‎【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，由题意得，解得，所以.‎ ‎（2）令.‎ 所以 ‎.‎ ‎【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式的求法，考查裂项求和法，属于基础题.‎ ‎18.的内角，，的对边分别为，，，已知．‎ ‎（1）求；‎ - 16 -‎ ‎（2）若为锐角三角形，且的面积为，求边的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用正弦定理、三角形内角和定理和二倍角公式化简，求得的值，进而求得的值.‎ ‎（2）利用三角形的面积公式求得，结合余弦定理，以及三角形是锐角三角形列不等式组，由此求得的取值范围.‎ ‎【详解】（1）依题意，由正弦定理和三角形内角和定理得，即，因此，所以.‎ ‎（2）由于，所以.由余弦定理得，即.由于三角形是锐角三角形，所以，将代入得，化简得，又因为，将的代入不等式组得，解得.‎ ‎【点睛】本小题主要考查正弦定理、三角形内角和定理和二倍角公式，考查余弦定理的运用，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎19.在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标.‎ - 16 -‎ ‎【答案】（1），（2），‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）将参数方程中的参数消去，求得的普通方程；利用两角差的正弦公式、极坐标化为直角坐标的公式将的极坐标方程转化为直角坐标方程.‎ ‎（2）利用点到直线的距离公式以及正弦函数最值的求法，求得的最小值及此时的直角坐标.‎ ‎【详解】（1）由得，两边平方并相加得.‎ 由得，即.‎ ‎（2）设，则，当时，的最小值为，也即的最小值为，此时，所以，所以.‎ ‎【点睛】本小题主要考查参数方程转化为普通方程，考查极坐标方程转化为直角坐标方程，考查点到直线的距离公式，考查曲线参数的运用，属于中档题.‎ ‎20.已知函数，‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）求证：当时，对于任意，都有.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 16 -‎ ‎（1）求得的定义域和导函数，对分成三种情况，讨论的单调性.‎ ‎（2）将不等式转化为，对分成三种情况，通过构造函数法，结合导数，证得不等式成立.‎ ‎【详解】（1）的定义域为，.‎ 当时，，在上递减.‎ 当时，时，，递减，时，，递增.‎ 当时，时，，递减，时，，递增.‎ 综上所述，当时，在上递减.‎ 当时，在上递增，在上递减.‎ 当时，在上递增，在上递减.‎ ‎（2）要证，即证，当时，不等式显然成立.‎ 当时，即证；当时，即证.‎ 令，则，当时，在上，递减，在上，递增，所以，所以.‎ 当时，上，递增，在上，递减，所以，所以.‎ 综上所述，当时，对于任意，都有.‎ - 16 -‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ - 16 -‎ - 16 -‎