湖南省长郡中学2019届高三下学期第一次模拟考试 数学（理）试题（PDF版） 9页

书书书 姓!!名!!!!!! 准考证号!!!!!! 数学 !理科"试题 !长郡版" 第!!!!!页 !共"页" 绝密"启用前 长郡中学#$!%届高考模拟卷 !一" 数!学 !理科" 注意事项# !&本试卷分第!卷 !选择题"和第"卷 !非选择题"两部分#答卷前$考生务必将自 己的姓名%准考证号填写在答题卡上# #&回答第!卷时$选出每小题答案后$用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑# 如需改动$用橡皮擦干净后$再选涂其它答案标号#写在本试卷上无效# '&回答第"卷时$将答案写在答题卡上$写在本试卷上无效# (&考试结束后$将本试卷和答题卡一并交回# 第!卷 一$选择题#本大题共!"小题%每小题#分%共$%分!在每小题给出的四个选项中%只有一 项是符合题目要求的! !!已知集合")&###$$'$%)&####*(#+'%$'$若"&%)%$则实数$的取值范围是 ,&$$' -&$'' .&$%! /&$(! #!复数 " 0*#的共轭复数是 ,&#+0 -&*#+0 .&*#*0 /&#*0 '!右图是#$$#年1月中国成功主办的国际数学家大会的会标$是我国古代 数学家赵爽为证明勾股定理而绘制的$在我国最早的数学著作(周髀算 经)中有详细的记载!若图中大正方形"%&' 的边长为"$小正方形的边 长为#$现作出小正方形的内切圆$向大正方形所在区域模拟随机投掷( 个点$有) 个点落在中间的圆内$由此可估计#的近似值为 ,&#") (( -&() ( .&() #"( /&#") ( (!已知$*$+*)&且$*$+* 都不为$!*)!$#"$则*$! +! )$# +# +是*关于# 的不等式$!#*+!$$ 与$##*+#$$同解+的 ,&充分不必要条件 -&必要不充分条件! .&充要条件 /&既不充分也不必要条件 数学 !理科"试题 !长郡版" 第#!!!!页 !共"页" "!某三棱锥的三视图如图所示$该三棱锥的表面积是 槡,&2$+!# " 槡-&"2+!# " 槡.&'$+2 " 槡/
+2 " 2!阅读如图所示的程序框图$若输入的,)!$$则该算法的功能 是 ,&计算数列 #(& '*! 的前!$项和 -&计算数列 #(& '*! 的前%项和 .&计算数列 #(& '*! 的前!$项和 /&计算数列 #(& '*! 的前%项和 3!函数-!#")"405##+! "! ! %#! "# 的部分图象如图所示$对不同的#!$## ) $$, -+ $若- #! "! )- #! "# $有- #!+#! "# 槡) '$则 ,&-! "# 在 *"# !#$#! "!# 上是减函数 -&-! "# 在 # '$"#! "2 上是减函数 .&-! "# 在 *"# !#$#! "!# 上是增函数 /&-! "# 在 # '$"#! "2 上是增函数 1!如图$直线.为双曲线&.## $#*/# +# )!!$$$$+$$"的一条渐近线$ 0!$0# 是双曲线&的左%右焦点$0! 关于直线.的对称点为0!1$ 且0!1是以0# 为圆心$以半焦距2为半径的圆上的一点$则双曲 线&的离心率为 槡,&# !!!!!! 槡-&' .&# !!!!!!/&' %!已知定义在 &上的偶函数-!#")6 #*, *784#!其中6为自然对数的底数"$记$) -!$!'#"$+)-!#$!'"$2)-!,+98:'#"$则$$+$2的大小关系是 ,&$(2(+ -&2($(+ .&+(2($ /&+($(2 数学 !理科"试题 !长郡版" 第'!!!!页 !共"页" !$!已知从!开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表$第一行为!$第二 行为'$"$第三行为3$%$!!$第四行为!'$!"$!3$!%$如图所示$在宝塔 形数表中位于第*行$第3列的数记为$*$3$比如$'$#)%$$($#)!"$$"$( )#'$若$*$3)#$!%$则*+3) ,&3# -&3! .&22 /&2" !!!已知0 为抛物线&./#)(#的焦点$4 为其准线与# 轴的交点$过0 的直线交抛物线& 于"$% 两点$5 为线段"% 的中点$且#54# 槡) !!$则#"%#) 槡,&2 -&' ' .&1 /&% !#!已知函数6!#")!#6*!"#*)$7!#")95!#+)"*95#$若存在)$使得关于#的方程 #$/6!#"/7!#")#有解$其中6为自然对数的底数$则实数$的取值范围是 ,&!*;$$"* ! #6$+;! " -&!*;$$" .&$$!! "#6 /&!*;$$"* ! #6$+;, " 第"卷 本卷包括必考题和选考题两部分!第!'$#!题为必考题%每个试题考生都必须作答! 第##$#'题为选考题%考生根据要求作答! 二$填空题#本大题共(小题%每小题"分%共#$分! !'!已知向量!)!!$槡'"$向量!$"的夹角是# '$!/")#$则#"#等于!!!!! !(!设#$/满足约束条件 #'$$ /'$$ #*/'*!$ #+/%' + , - $ 则8)#*#/的最小值为!!!!!! !"!若 #+#! "# ( 的展开式中各项的系数之和为1!$且常数项为$$则直线/)$ 2#与曲线/ )## 所围成的封闭区域的面积为!!!!!! !2!已知点9$"$%$& 均在表面积为1!#的球面上$其中9".平面"%&$/%"&)'$<$ "& 槡) '"%$则三棱锥9*"%&的体积的最大值为!!!!!! 三$解答题#解答应写出文字说明%证明过程或演算步骤! !3!!本小题满分!#分" 在0"%&中$三边$$+$2所对应的角分别是"$%$&$已知$$+$2成等比数列! !!"若 ! =>5"+ ! =>5&) 槡# ' ' $求角% 的值0 !#"若0"%&外接圆的面积为(#$求0"%&面积的取值范围! 数学 !理科"试题 !长郡版" 第(!!!!页 !共"页" !1!!本小题满分!#分" 如图!$直角梯形"%&' 中$"'1%&中$/"%&)%$<$4$0 分别为边"' 和%& 上的 点$且401"%$"')#"4)#"%)(0&)(!将四边形40&' 沿40 折起成如图#的 位置$使"')"4! !!"求证."01平面&%'0 !#"求平面&%' 与平面'"4 所成锐角的余弦值! !%!!本小题满分!#分" 为了迎接#$!%年全国文明城市评比$某市文明办对市民进行了一次文明创建知识的 网络问卷调查!每一位市民有且仅有一次参加机会$通过随机抽样$得到参加问卷调查 的!$$$人的得分!满分.!$$分"数据$统计结果如下表所示. 组别 ,'$$($" ,($$"$" ,"$$2$" ,2$$3$" ,3$$1$" ,1$$%$" ,%$$!$$- 频数 #" !"$ #$$ #"$ ##" !$$ "$ !!"由频数分布表可以认为$此次问卷调查的得分: 服从正态分布;!"$#!$"$"近似 为这!$$$人得分的平均值!同一组数据用该组区间的中点值作为代表"$请利用正 态分布的知识求9!'2(:%3%!""0 !#"在!!"的条件下$文明办为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案. !%"得分不低于"的可以获赠#次随机话费$得分低于"的可以获赠!次随机话 费0 !&"每次获赠的随机话费和对应的概率为. 获赠的随机话费!单位.元" #$ ($ 概率 ' ( ! ( 现市民小王要参加此次问卷调查$记.##+/#)+# 上$且 5$; 都在第一象限$5;./ 轴$若直线 5"%5% 与/ 轴的交点分别为&%'$判断405/&;' 是否为定值$若是 定值$求出该定值0若不是定值$说明理由! #!!!本小题满分!#分" 已知函数-!#")6*#+ (# )#+(! !!"若))$$()!$求函数-!#"的最小值0 !#"若)$$$($$$-!#"在,$$+;"的最小值为!$求) ( 的最大值! !!请考生在##$#'两题中任选一题作答!注意#只能做所选定的题目!如果多做%则按所 做第一个题目计分! ##!!本小题满分!$分"选修(*(#坐标系与参数方程 以平面直角坐标系的原点> 为极点$#轴的正半轴为极轴建立极坐标系$已知点 5 的 直角坐标为!!$$"$若直线.的极坐标方程为槡#$784%+#! "( *!)$$曲线&的参数方程 是 #)()#$ /)(& ) !) 为参数"! !!"求直线.的直角坐标方程和曲线& 的普通方程0 !#"设直线.与曲线& 交于"$% 两点$求 ! #5"#+ ! #5%#! #'!!本小题满分!$分"选修(*"#不等式选讲 已知函数-! "# ) #*$ + ##*! $)! "& ! !!"当$)!时$求-! "# %#的解集0 !#"若-! "# % ##+! 的解集包含集合 ! #$, -! $求实数$的取值范围! 书书书 理科数学试题参考答案!长郡版"!"!!!! 长郡中学#$"%届高考模拟卷!一" 数学!理科"参考答案 一#选择题 题!号 " # & ' ( ) * + % "$ "" "# 答!案 , - , - . / . . / - / , "$!-!$解析%奇数#$"%为第"$"$个奇数!按照蛇形排列&第"行到第"行末共有"0#0!0"1" "0! "" # 个奇 数&则第"行到第''行末共有%%$个奇数&第"行到第'(行末共有"$&(个奇数&则#$"%位于第'(行'而 第'(行是从右到左依次递增&且共有'(个奇数'故#$"%位于第'(行&从右到左第#$列&则"1'(
#)" "0#1*"&故选-! ""!/!$解析%根据题意可知直线的斜率是存在的&抛物线的焦点坐标是$!"&$"&设直线%(&1'!(!""&将直 线与抛物 线 方 程 联 立
'(& &1'!(!") "&消 元 '#(# ! !#'# 0'"(0'# 1$&得 (" 0(# 1#'#0' '# &从 而 得 ) '#0# '# &#! "' &得*!!"&$"&根据#)*# 槡1 ""&得 '#0# '#! "0" # 0' '# 1""&求得'#1#&而#+,#1("0(# 0-1#0' '# 0#1)&故选 /! "#!,!$解析%由#."/!(""0!("1(&得(0.!#(0#1!'2(""*34!(01"!34(+1$& 得"0. # "01! "(* +!'2 "34 "01! "( 1$&即 #2! "01! "* +( "34 "01! "( 1" #.& 令21"01 ( &3!2"1!#2!2""342&则34!2"1!3420#2 2!"1#2 2!!"0342"& 显然212是函数34!2"的唯一零点&易得3!2"56713!2"12& 8" #.$2&即.%!!9&$"& " #2&09* "!故选,! 二#填空题 "&!# "'!!& "(!&# & ")!+" +!$解析%设外接球的半径为5&易得'!5#1+"!&解得5#1+" '& 在'+,6中&设21+,&又(,+61&$:&+6 槡1 &+,& 8,61 2#0!槡&2"#!#2"槡&2"槡&槡 #12&即'+,6为等腰三角形& 设'+,6的外接圆半径为7&则#71 2 ;<4&$:1#2&即712&又8+)平面+,6&设8+11&则5#1 1! "# # 07# 11# ' 02#1+" '& 三棱锥8!+,6的体积91" &=1=" #=2 槡= &2=;<4&$:1槡&12# "# 1 槡&1 +" '!1#! "' "# 1槡&1!+"!1#" '+ & 令&11!+"!1#"&&41+"!&1#1$&则 1 槡1& &&8三棱锥8!+,6 的体积的最大值为槡&1!+"!1#" '+ 1 槡 槡&=& &!+"!#*" '+ 1+" +!故填+" +! 理科数学试题参考答案!长郡版"!#!!!! 三#解答题 "*!$解析%!"" " >64+0 " >6461?@;+ ;<4+0?@;6 ;<461;<4!+06" ;<4+;<461 槡# & & & 又A.&:&;成等比数列&得:#1.;&由正弦定理有;<4#,1;<4+;<46& A+061!!,&8;<4!+06"1;<4,&得;<4, ;<4#,1 槡# & & &即;<4,1槡& #& 由:#1.;知&:不是最大边&8,1! &! )分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !#"A'+,6外接圆的面积为'!&8'+,6的外接圆的半径51#& 由余弦定理:#1.#0;#!#.;?@;,&得?@;,1.#0;#!:# #.; &又:#1.;& 8?@;,*" #&当且仅当.1;时取等号&又A, 为'+,6的内角&8$+,$! && 由正弦定理 : ;<4,1#5&得:1';<4,! "$分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 8'+,6的面积<'+,6 1" #.;;<4,1" #:#;<4,1+;<4&,& A$+,$! &&8$+;<4,$槡& #&8<'+,6 %!$& 槡& &+! "#分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! "+!$解析%!""取=* 中点>&连接$>&+>&6>! 由条件6$,=>&86$>= 为平行四边形&8$>-6=! 又$>.平面6,=&6=/平面6,=&8$>-平面6,=! 同理+>-平面6,=!又$>0+>1>&$>&+>/平面+$>& 8平面+$>-平面6,=&又+$/平面+$>& 8+$-平面6,=! (分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !#"A*$)+*&*$)=*&+*0=*1*&8*$)平面+=*&又+=1+*1=*& 以+* 中点? 为原点&+* 为( 轴建立如图所示的空间直角坐标系& 则+!!"&$&$"&=!$&$&槡&"&,!!"&!#&$"&*!"&$&$"&$!"&!#&$"! 8=* 的中点坐标为 " #&$&槡&! "# &A 1226$1" # 122=*&86 " #&!#&槡&! "# ! 易知 122,+是平面+=* 的一个法向量&122,+1!"1!$&#&$"& 设平面,6= 的一个法向量为!#1!(&&&@"& 由 !#" 122,61!(&&&@"" & #&$&槡&! "# 1& #(0槡& #@1$& !#" 122,=1!(&&&@""!"&#&槡&"1(0#& 槡0 &@1$ 3 4 5 & 令(1#&则&1#&@ 槡1!# &&8!#1!#&#& 槡!# &"! ?@;,!"&!#-1 !""!# #!"##!##1 槡#=$0#=#!# &=$ 槡#=# ( 1槡( (! 8平面6,= 与平面=+* 所成锐角的余弦值为槡( (! "#分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! "%!$解析%!""根据题中所给的统计表&结合题中所给的条件&可以求得 !1&(=$!$#(0'(=$!"(0((=$!#0)(=$!#(0*(=$!##(0+(=$!"0%(=$!$( 1$!+*(0)!*(0""0")!#(0")!+*(0+!(0'!*(1)(& 又&)6 槡)(!# #"$&*%!(6 槡)(0 #"$& 88!&)+A$*%B("1" #=$!%(''0" #=$!)+#)1$!+"+(! (分!!!!!!!!!!!!!!!!!! !#"由条件&8!A+!"18!A*!"1" #&B 可能的取值为#$&'$&)$&+$& 理科数学试题参考答案!长郡版"!&!!!! 8!B1#$"1" #=& '1& +&8!B1'$"1" #=" '0" #=& '=& '1"& &#& 8!B1)$"1" #=#=& '=" '1& ")&8!B1+$"1" #=" '=" '1" &#& 8变量B 的分布列为( B #$ '$ )$ +$ 8 & + "& &# & ") " &# 8*!B"1#$=& +0'$="& �)$=& ")0+$="
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'(&得2# 槡!' #2!+1$! 设点+&, 对应的参数分别为2"&2#&则2"02# 槡1' #&2"2#1!+& 8 " #)+#0 " #),#1#2"!2## #2"2## 1 !2"02#"#!'2"2槡 # #2"2## 1 槡�&# + 1"! "$分!!!!!!!!!!!!!! #&!$解析%!""当.1"时&E!"( 1 (!" 0 #(!" & E!"( $#" (!" 0 #(!" $#& 上述不等式可化为 ($" #& "!(0"!#($# 3 4 5 & 或 " #+(+"& "!(0#(!"$# 3 4 5 & 或 (*"& (!"0#(!"$#) & 解得 ($" #& (*$ 3 4 5 & 或 " #+(+"& ($# 3 4 5 & 或 (*"& ($' & 3 4 5 & 8$$($" #或" #+(+"或"$($' &&8原不等式的解集为 ( $$($) .' & ! (分!!!!!!!!!! !#"AE!"( $ #(0" 的解集包含集合 " #&* +" & 8当(% " #&* +" 时&不等式E!"( $ #(0" 恒成立& 即 (!. 0 #(!" $ #(0" 在(% " #&* +" 上恒成立& 8 (!. 0#(!"$#(0"&即 (!. $#&8!#$(!.$#& 8(!#$.$(0#在(% " #&* +" 上恒成立& 8 (! "!# 567$.$ (! "0# 5<4&8!"$.$( #&8.的取值范围是 !"&* +( # ! "$分!!!!!!!!!!